Modelowanie zatrudnienia w przedsiębiorstwach

Prace A r e l l a n o i B o n d a [1991] oraz B l u n d e l l a i B o n d a [1998] oprócz propozycji nowych metod estymacji zawierają przykłady praktycznego zastosowania FDGMM i SGMM. W obu przykładach modelowane jest zatrud-nienie, a zbiór danych jest ten sam. Przykłady te zostaną omówione poniŜej, poniewaŜ pokazują ewolucję wyników w zaleŜności od metody estymacji.

Model A r e l l a n o i B o n d a [1991] estymowano na podstawie danych ze 140 firm brytyjskich, dla których dostępne były dane z co najmniej 7 kolejnych lat z okresu 1976–1984. Panel jest niezbilansowany w dwojakim sensie: liczba obserwacji w czasie jest róŜna dla róŜnych firm oraz obserwacje pochodzą z róŜnych okresów. Firmy, naleŜące do działu „przemysł” (ang. manufacturing), zaklasyfikowano dodatkowo do jednej z dziewięciu głównych gałęzi przemysłu. Ogólna postać modelu jest następująca:

+ + + + + + + = _{1 i,t−1 2 i,t−2 1 it 2 i,t−1 1 it 2 i,t−1 3 i,t−2} it n n w w k k k n γ γ β β θ θ θ (4.10) +δ₁ys_it+δ₂ys_i,t−1+δ₃ys_i,t−2+α_i+λ_t+ε_it (4.10) gdzie nit oznacza logarytm zatrudnienia w firmie i na koniec roku t, wit – logarytm przeciętnego wynagrodzenia (urealnionego za pomocą deflatora wartości dodanej dla przemysłu), kit – logarytm nakładów kapitałowych brutto,

ys_it – logarytm produkcji gałęzi przemysłu, do której naleŜy dana firma, mierzo-ny jako wartość dodana wytworzona w tej gałęzi, αi – efekty grupowe, λt – efekty czasowe. ZałoŜeniem ekonomicznym, leŜącym u podstaw konstrukcji modelu (4.10) jest to, Ŝe zatrudnienie kształtuje się zgodnie z log-liniową funkcją popytu na pracę, przy czym w krótkim okresie róŜni się ono od mode-lowego. Zmienne kit i wit oraz ich opóźnienia są uwzględnione w celu modelo-wania krótkookresowych mechanizmów dostosowawczych zatrudnienia. Zmienna ysit wprowadzona jest w celu uwzględnienia zmian popytu danej gałęzi, a zagregowane zmiany popytu są uwzględnione poprzez wprowadzenie efektów czasowych.

Model (4.10) oszacowano za pomocą jedno- i dwustopniowej FDGMM, przy załoŜeniu, Ŝe wszystkie zmienne objaśniające, oprócz opóźnień zmiennej objaśnianej, są ściśle egzogeniczne⁵. Oceny parametrów uzyskane metodą jedno- i dwustopniową róŜnią się nieznacznie. Błędy szacunku parametrów dla metody dwustopniowej, obliczone według wzoru (3.35), są jednak ok. 30% mniejsze niŜ dla metody jednostopniowej. Autorzy przypuszczają, Ŝe ten wzrost efektywności moŜe być pozorny, poniewaŜ w rzeczywistości moŜe on świadczyć o obciąŜeniu

Szczegółowe wyniki estymacji omawianych poniŜej modeli są zawarte w tekście oryginal-nym w tab. 4 na s. 290.

w dół estymatorów wariancji estymatorów dwustopniowej FDGMM, właści-wym dla małej próby. Wyniki testów statystycznych są niejednoznaczne. Za pomocą testu autokorelacji Arellano–Bonda stwierdzono poprawność warunków momentów wykorzystanych w obu metodach. Taki sam wynik dał test Sargana dla metody dwustopniowej. Test Sargana dla metody jednostopniowej i róŜni-cowy test Sargana odrzuciły hipotezę zerową o poprawności warunków momen-tów. Według autorów, przyczyny takiego rozstrzygnięcia mogą być dwie. Jedną z nich jest stwierdzona metodą symulacji generalna tendencja testu Sargana do błędnego odrzucania H0 w przypadku występowania heteroskedastyczności, a drugą – niepoprawność załoŜenia o ścisłej egzogeniczności wynagrodzeń i kapitału.

Kolejnym etapem analizy były próby modyfikacji modelu (4.10). Pierwszą z nich było pominiecie opóźnień czasowych, które w modelu wyjściowym były nieistotne, tzn. ki,t–1, ki,t–2, ysi,t–2. Tak zmodyfikowany model przyjmuje postać:

it t i t i it it t i it t i t i it n n w w k ys ys n =γ_{1 ,−1}+γ_{2 ,−2}+β₁ +β_{2 ,−1}+θ₁ +δ₁ +δ_{2 ,−1}+α +λ +ε (4.11) Nie uzyskano jednak w ten sposób znaczących zmian wyników. Następnym krokiem było potraktowanie wynagrodzeń i kapitału w modelu (4.11) jako zmiennych endogenicznych. Jako instrumenty dla zmiennych w_it, w_i,t–1 i k_it zastosowano opóźnienia zmiennych w i k z okresu t – 2 i wcześniejsze. Jako dodatkowe instrumenty wykorzystano opóźnienia realnych wartości produkcji sprzedanej w danej firmie i zapasów. Postać macierzy zmiennych instrumental-nych jest wskazana przez autorów w przypisach do tab. 4 na s. 290. Wyniki estymacji i zastosowanych testów statystycznych wskazują jednoznacznie, Ŝe traktowanie wynagrodzeń i kapitału jako zmiennych egzogenicznych było nieuzasadnione. Zarówno test Arellano–Bonda, jak i testy Sargana stwierdzają poprawność warunków momentów wykorzystanych do estymacji modelu (4.11). A r e l l a n o i B o n d [1991] podjęli dodatkowo próbę oszacowania modelu (4.10) za pomocą metody zmiennych instrumentalnych Andersona i Hsiao oraz estymatora wewnątrzgrupowego (WG). Wyniki zawarte są w tekście oryginal-nym w tab. 5 na s. 292. Estymatory Andersona i Hsiao okazały się zdecydowa-nie mzdecydowa-niej efektywne niŜ estymatory FDGMM. Oceny parametrów uzyskane na podstawie WG były zbliŜone do ocen FDGMM, choć ocena WG parametru autoregresyjnego była nieco wyŜsza niŜ FDGMM. NaleŜy jednak zauwaŜyć, Ŝe metoda WG nie daje moŜliwości uwzględnienia endogeniczności zmiennych objaśniających, a ponadto w świetle późniejszych prac wartości bliskie ocenom WG świadczyć mogą o obciąŜeniu estymatora.

Na zakończenie Arellano i Bond podkreślają, Ŝe FDGMM jest znacznie efektywniejszą metodą estymacji panelowych modeli dynamicznych niŜ prostsze

metody zmiennych instrumentalnych (w szczególności metoda Andersona– Hsiao). Zwracają jednak uwagę na tendencję testu Sargana do błędnego odrzu-cania H0, w przypadku występowania heteroskedastyczności, oraz na problem obciąŜenia w dół estymatora asymptotycznej wariancji dwustopniowego estymatora FDGMM. Korekta, która powinna być uwzględniona dla małych prób przy obliczaniu estymowanej asymptotycznej wariancji dwustopniowego estymatora GMM, została zaproponowana w 2005 r. przez F. Windmeijera. Sposób jej wyznaczenia jest dany wzorem (3.46) w pkt 3.2.3. Jednym z przykła-dów zawartych w pracy W i n d m e i j e r a [2005] jest próba zastosowania korekty (3.46) do oszacowania wariancji estymatora GMM modelu (4.11). Praca W i n d m e i j e r a [2005] (tab. 2, s. 42) zawiera wyniki estymacji modelu (4.11) za pomocą jedno- i dwustopniowego estymatora FDGMM. Dla metody dwu-stopniowej obliczone są błędy szacunku parametrów: standardowe – asympto-tyczne, dane wzorem (3.35), oraz na podstawie korekty Windmeijera (3.46). Błędy (3.35) dla estymatora dwustopniowego są znacznie mniejsze niŜ błędy estymatora jednostopniowego, podczas gdy błędy obliczone na podstawie (3.46) są im w zasadzie równe, z nieznacznymi odchyleniami w górę lub w dół. W i n d m e i j e r [2005], podobnie jak A r e l l a n o i B o n d [1991], przypisuje pozorny wzrost efektywności estymacji dwustopniowej FDGMM temu, Ŝe estymatory (3.35) są obciąŜone w dół w małych próbach.

B l u n d e l l i B o n d [1998] zilustrowali korzyści z zastosowania SGMM przykładem modelu zatrudnienia szacowanego na podstawie tych samych danych, które A r e l l a n o i B o n d [1991] wykorzystali do estymacji FDGMM. Postać modelu, będącego dynamicznym równaniem popytu na pracę, jest następująca (oznaczenia zmiennych, takie jak w modelu (4.10)):

n_it =γn_i,t−1+β₁w_it+β₂w_i,t−1+θ₁k_it+θ₂k_i,t−1+u_it, uit =αi+εit (4.12) Model (4.12) jest przez autorów interpretowany ekonomicznie jako statycz-ny model popytu na pracę typu Cobba–Douglasa, który został zdynamizowastatycz-ny dla uwzględnienia autoregresji w składniku losowym. Ocena parametru autore-gresyjnego moŜe być interpretowana jako ocena tempa procesów dostosowaw-czych. Postać moŜliwych do wykorzystania warunków momentów zaleŜy od załoŜeń, dotyczących korelacji między x_it i u_it. PoniewaŜ, podobnie jak A r e l -l a n o i B o n d [1991], autorzy traktują wynagrodzenia i kapitał jako zmienne endogeniczne, to warunki momentów wykorzystane w SGMM mają postać (3.40) i (3.87). Warunek (3.80), równowaŜny załoŜeniu, dotyczącemu warunków początkowych jest w rozwaŜanym tu przypadku spełniony, gdyŜ, jak stwierdzają B l u n d e l l i B o n d [1998], jedynym powodem, dla którego rok 1976 jest pierwszym okresem próby, jest brak wcześniejszych danych statystycznych. Nie ma zatem Ŝadnych powodów, by obserwację początkową traktować w

szczegól-ny sposób: „there is nothing special about the first observation on the firms in this sample” (B l u n d e l l, B o n d [1998], s. 136).

Model (4.12) oszacowano na podstawie dwóch prób. DłuŜsza obejmuje okres 1976–1984 i jest identyczna z próbą wykorzystaną przez A r e l l a n o i B o n d a [1991], a krótsza obejmuje okres od 1979–1984 i jest niezbilansowanym panelem 4 do 6 obserwacji dla 140 firm. Model jest szacowany za pomocą FDGMM i SGMM, przy czym są to metody jednostopniowe, uznane za bardziej wiarygodne ze względu na obciąŜenie ocen wariancji estymatorów właściwe dla metod dwustopniowych (korekta Widmeijera opracowana została dopiero w późniejszych latach). W przypadku krótszej próby ocena FDGMM parametru autoregresyjnego wynosi 0,4, a elastyczność zatrudnienia względem kapitału równa jest 0,2, co sugeruje zbyt niskie korzyści skali. Ocena SGMM parametru autoregresyjnego wynosi 0,86, a elastyczność zatrudnienia względem kapitału – 0,6, co jest bardziej sensowne. Autorzy zwracają ponadto uwagę na duŜy wzrost efektywności estymacji w wyniku zastosowania SGMM. Właściwość dodatko-wych warunków momentów zbadano testem Sargana i testem Arellano–Bonda. W przypadku dłuŜszej próby wyniki FDGMM i SGMM są bardziej zbliŜone – elastyczność zatrudnienia względem kapitału wynosi ok. 0,8 dla obu estymato-rów, jednak SGMM pozostaje bardziej efektywny. Blundell i Bond konkludują, Ŝe dla krótkich prób, szczególnie jeśli szeregi charakteryzują się wysokim stopniem trwałości, estymatory FDGMM są obciąŜone, a wykorzystanie w SGMM dodatkowych warunków momentów daje moŜliwość redukcji tego obciąŜenia i zwiększenia precyzji estymatorów.