Testowanie hipotez

Test autokorelacji Arellano–Bonda

Występowanie autokorelacji pierwszego rzędu w modelu pierwszych róŜnic jest zjawiskiem spodziewanym, gdyŜ jeśli εit są niezaleŜne, to ich pierwsze róŜnice są skorelowane rzędu 1. Występowanie w tym modelu autokorelacji rzędu wyŜszego niŜ 1 oznaczałoby jednak, Ŝe warunki momentów są niespełnione, lub inaczej, Ŝe instrumenty uŜyte podczas estymacji GMM nie są właściwe. A r e l -l a n o i B o n d [1991] zaproponowa-li test, badający występowanie autokore-lacji drugiego rzędu składnika losowego w modelu pierwszych róŜnic, postaci:

(3.91) y_it−y_i,t−₁=γ(y_i,t−₁−y_i,t−₂)+(x^T_it−x^T_i,t−₁)β+(ε_it−ε_i,t−₁) (3.91) W najbardziej zwartym zapisie macierzowym (3.91) przyjmie postać:

(3.91) ∆y=Wδ+∆ε (3.92)

gdzie ∆y= [y_it – y_i,t–1], ∆ε= [ε_it – ε_i,t–1] są wektorami ((T – 2)N × 1), W jest

macierzą obserwacji na zmiennych objaśniających modelu (3.91), δ – wektorem parametrów strukturalnych tego modelu. Wektor reszt modelu (3.92) wyznaczyć moŜna jako:

(3.91) ∆εˆ=∆y−Wδ^ˆ =∆ε−W(δ^ˆ_GMM−δ) (3.93)

gdzie δˆ_GMMoznaczać moŜe estymator FDGMM lub estymator SGMM modelu (3.92), postaci (3.43).

Zgodność estymatora GMM zaleŜy, jak zostało to stwierdzone uprzednio, od prawdziwości warunku:

(3.91) E(∆ε_it∆ε_i,t−2)=0 dla t = 3, ..., T

Zatem testem, weryfikującym poprawność warunków momentów, moŜe być test, badający występowanie autokorelacji drugiego rzędu w modelu (3.92). Weryfikowana jest hipoteza zerowa o niewystępowaniu takiej autokorelacji. Statystyka empiryczna ma postać:

(3.91) ₂ ²_1/2 ˆ ˆ ˆ * ε ε ε ∆ ∆ ∆ = ⁻ T m (3.95)

gdzie ∆εˆ−₂ oznacza drugie róŜnice wektora ∆ε, zaś elementy wektora

*

ˆε

∆ są równe elementom ∆ε, ale z pominięciem pierwszych dwóch wartości, tak aby wymiary wektorów umoŜliwiały wykonalność mnoŜenia. Statystyka m2 ma rozkład normalny N(0, 1), co zostało wykazane w: A r e l l a n o, B o n d [1991], s. 293–294 (Appendix).

Hipoteza zerowa jest prawdziwa, jeśli składnik losowy modelu na pozio-mach (3.11) nie wykazuje autokorelacji w czasie, ale równieŜ jeśli składnik ten jest procesem błądzenia losowego. RozróŜnienia między tymi dwoma przypad-kami moŜna dokonać obliczając, analogicznie do wyliczania m2, wartość statystyki m₁. W ten sposób zbadane zostanie występowanie autokorelacji pierwszego rzędu w modelu pierwszych róŜnic. Alternatywnie A r e l l a n o, B o n d [1991] zasugerowali stosowanie testu Hausmana, bazującego na róŜnicy efektywności między dwoma estymatorami: GMM i MNK modelu pierwszych róŜnic¹⁶. Jest to uzasadnione, poniewaŜ jeśli składnik losowy modelu na pozio-mach jest procesem błądzenia losowego, to oba te estymatory są zgodne.

Test Sargana (Sargana–Hansena)¹⁷

Test ten, w kontekście panelowych modeli dynamicznych, zaproponowany został przez A r e l l a n o, B o n d a [1991]. Konstrukcja bazuje na propozycjach S a r g a n a [1958] oraz H a n s e n a [1982]. Test bada prawdziwość warunków ponadidentyfikujących, niewykorzystanych w procesie estymacji. Weryfikowa-na jest hipoteza zerowa, Ŝe wykorzystane instrumenty są właściwe w sensie ich nieskorelowania ze składnikami losowymi modelu pierwszych róŜnic (3.92). Statystyka empiryczna ma postać:

(3.91) εˆ Z Z εˆ εˆ Z Z εˆ 1 1 ∆         ∆ ∆ ∆ = − =

∑

gdzie εˆ∆ jest określone wzorem (3.93), Z_i jest macierzą zmiennych instrumen-talnych, określoną wzorem (3.27) lub (3.39), w zaleŜności od tego, czy model jest autoregresyjny lub czy zawiera niezaleŜne zmienne objaśniające, zaś

Test Hausmana opisany jest w podrozdz. 2.3.

17

Test Sargana dla modelu szacowanego na podstawie danych czasowych jest omówiony w dodatku II.

[

]

Z= Statystyka s ma rozkład χ² z q stopniami swobody, gdzie q

oznacza liczbę kolumn macierzy Z, pomniejszoną o liczbę szacowanych

parametrów.

Jak zauwaŜyli A r e l l a n o, B o n d [1991], moŜliwa jest sytuacja, gdy jeden z opisanych powyŜej testów moŜna do przeprowadzić, a drugi jest niewykonalny.

Zastosowanie testu Sargana jest moŜliwe tylko w przypadku, gdy liczba ko-lumn macierzy Z przewyŜsza liczbę szacowanych parametrów. Ponadto

przepro-wadzenie testu Sargana na podstawie reszt estymatora jednostopniowej GMM moŜe nastąpić tylko wtedy, gdy składniki losowe mają jednakowy rozkład i są niezaleŜne dla wszystkich i, t. W innym przypadku zmodyfikowana statystyka s,

obliczona na podstawie reszt jednostopniowej GMM, nie ma rozkładu χ². Test autokorelacji jest natomiast wykonalny niezaleŜnie od rozkładu składnika losowe-go, poniewaŜ rozkład statystyki m2 pozostaje rozkładem normalnym.

Odwrotna sytuacja, kiedy test autokorelacji nie moŜe być zastosowany, a test Sargana jest moŜliwy do przeprowadzenia, ma miejsce, jeśli liczba obserwacji w czasie T < 5. Dla przykładu, w przypadku modelu

autoregresyj-nego i T = 4 statystyka testu Sargana bada dwie liniowe kombinacje utworzo-

ne z trzech dostępnych warunków momentów: E(∆ε_i3y_i1)=E(∆ε_i4y_i1)=

. 0 ) (∆ _{4 2} =

=E ε_i y_i Nie moŜna natomiast obliczyć, z powodu braku danych, drugich róŜnic wektora ∆ε, potrzebnych do obliczenia wartości m2.

B o w s h e r [2002] zauwaŜył, Ŝe zdolność testu Sargana do wykrywania nie-właściwych warunków momentów zmniejsza się drastycznie w małych próbach wraz ze wzrostem liczby dodatkowych warunków. Ponadto w przypadku, gdy wariancja składnika losowego nie jest stała test Sargana jest obciąŜony na niekorzyść hipotezy zerowej.

RóŜnicowy test Sargana (ang. Sargan difference test)

Test Sargana, dla którego postać statystyki empirycznej dana jest wzorem (3.96), został zaproponowany do badania prawdziwości warunków ponadidenty-fikujących, których spełnienie jest zakładane, jeśli metodą estymacji jest FDGMM A r e l l a n o i B o n d a [1991]. Zastosowane systemowej GMM B l u n d e l l a i B o n d a [1998] wymaga przyjęcia załoŜenia, Ŝe spełnione są dodatkowe warunki momentów określone wzorem (3.80). Zbadanie prawdziwo-ści tych dodatkowych warunków jest moŜliwe poprzez zastosowanie testu, określanego w literaturze anglojęzycznej terminami differenced-Sargan, Sargan

difference lub incremental Sargan test¹⁸. PoniŜej test ten nazywany będzie

MoŜliwość zastosowania tego testu została zauwaŜona przez A r e l l a n o, B o n d a [1991], s. 283. B o n d i W i n d m e i j e r [2005] zaproponowali jego zastosowanie do porównania SGMM i FDGMM. Praca ta zawiera ponadto na s. 10–12 szczegółową analizę własności statystycznych testu.

róŜnicowym testem Sargana. Jest on skonstruowany jako róŜnica pomiędzy wartościami statystyk empirycznych testu Sargana dla dwóch modeli: modelu „z ograniczeniami” (ang. restricted model) i modelu „bez ograniczeń” (ang.

unrestricted model). Pod tym pierwszym pojęciem, w kontekście SGMM

i FDGMM, rozumie się model, który spełnia załoŜenia B l u n d e l l a i B o n d a [1998], a drugi z nich to model spełniający załoŜenia A r e l l a n o i B o n d a [1991]. Statystyka empiryczna ma postać:

(3.91) ds=s_SGMM−s_FDGMM (3.97)

gdzie sSGMM i sFDGMM oznaczają wartości empiryczne testu Sargana, obliczone na podstawie wzoru (3.96) z wektorem reszt ∆εˆ wyznaczonym odpowiednio na podstawie dwustopniowego estymatora SGMM lub FDGMM.

Jeśli hipoteza zerowa jest prawdziwa, a więc wykorzystane instrumenty są właściwe, to statystyka ds ma rozkład χ² z r stopniami swobody, gdzie r oznacza

róŜnicę między liczbami stopni swobody dla statystyk s_SGMM i s_FDGMM. Tak określona liczba stopni swobody jest równa liczbie dodatkowych warunków momentów, spełnionych dzięki uwzględnieniu załoŜeń B l u n d e l l a i B o n d a [1998].