Modyfikacje oszacowań parametrycznych

Dodawanie kolejnych elementów do zbioru S pozwala na polepszenie oszacowań (w najgorszym przypadku – nie pogorszenie). Własność ta zostanie wykorzystana w rozdziale 10 do sterowania dokładnością wyznaczania oszacowań.

Należy podkreślić, że koszt obliczania ( , )Li τ S ⁱ Ui^{( , )}τ S jest zaniedbywalnie mały w stosunku do kosztu wyznaczenia dokładnych wartości współrzędnych oceny ( )f τ ^(co w ogólnym przypadku wymaga albo rozwiązania zadania optymalizacyjnego albo, co dopuszczamy w rozprawie, nie jest możliwe), gdyż obliczanie formuły (8.3) i (8.4) sprowadza się jedynie do wykonywania prostych operacji arytmetycznych i wyznaczania wartości maksymalnej bądź minimalnej na skończonych zbiorach liczb.

8.4 Modyfikacje oszacowań parametrycznych

Barierą stosowalności formuł (8.3) i (8.4) jest z pewnością wymaganie, aby elementy szkieletu były elementami zbioru wariantów efektywnych. Zatem oszacowania te nie dają się w pełni realizować w formule obliczeń przybliżonych.

Oszacowania te nie dają się także zastosować dla rozwiązywania rozpatrywanego

8 W (Kaliszewski 2003, 2006a, 2008a) formuła dla oszacowań od dołu zawiera błąd, który został zauważony, a poprawna formuła przyjmuje postać (8.3).

w rozprawie problemu decyzyjnego (7.1), ponieważ ze względu na możliwy nieanalityczny charakter odwzorowania f wyznaczenie w sposób dokładny zbioru wariantów efektywnych ^{E X}

( )

⁰ nie jest możliwe. Nie jest więc w tej sytuacji możliwe wyznaczanie żadnego szkieletu rozumianego jako podzbiór zbioru wariantów efektywnych.

Poniżej przedstawiamy sposób pokonania tej niedogodności.

Ze sposobu wyprowadzenia formuły (8.3) (Kaliszewski 2003, 2006a, 2008a) wynika, że dla wyznaczania oszacowań dolnych L_i( , )τ S ^można wykorzystywać również warianty nieefektywne. Ponieważ jednak wariant nieefektywny jest źródłem słabszego oszacowania niż element go dominujący, taka możliwość wydawała się nie mieć żadnego praktycznego znaczenia i w przywołanych powyżej pracach nie była eksploatowana. Przyjęto tam silne, w praktyce jednak bardzo ograniczające założenie, że elementy szkieletu są dane (w tym sensie, że mogą być wyznaczone) i dlatego rozważania o możliwości wykorzystywania wariantów nieefektywnych w formule (8.3) wydawały się bezprzedmiotowe.

Obowiązuje jednak zależność (wynika ona wprost z wyprowadzonych w tym podrozdziale formuł), że im ocena nieefektywna znajduje się bliżej zbioru ocen efektywnych, tym jej wpływ na wartość oszacowań od dołu jest potencjalnie większa.

Ta obserwacja stała się podstawą dla prezentowanej poniżej modyfikacji idei oszacowań parametrycznych tak, aby możliwe było wykorzystanie w niej (co przedstawimy jednak dopiero w rozdziale 9) obliczeń ewolucyjnych.

Pokażemy teraz, że formuły (8.3) i (8.4) pozostają w mocy, jeżeli szkielet S zostanie zastąpiony dwoma zbiorami przybliżającymi zbiór wariantów efektywnych od

„dołu” i od „góry”, w zdefiniowanym poniżej sensie. Zbiory te, dla wygody, nazwiemy również szkieletami, odróżniając je od właściwych szkieletów za pomocą dopełniającego określenia.

Definicja 8.5

Skończony zbiór S_D⊆ X0, S_D ≥1, którego elementy spełniają następującą własność:

nazywać będziemy szkieletem dolnym.

Definicja 8.6

Skończony zbiór S_G ⊆ℝ^m\X0, S_G ≥1, którego elementy spełniają następujące własności:

(1) ∀ ∈x S_G ~∃ ∈x′ S_G:x′≺ x, (2) ^{∀ ∈x SG ~ ∃ ∈x′ E X}

( )

^{0 :x≺x′,}

(3) ∀ ∈x S_G ( )f x ≫ y^nad,

nazywać będziemy szkieletem górnym.

W terminach wariantów decyzyjnych elementy S s_D ą, a elementy S nie sG ą, wariantami decyzyjnymi.

Definicję 8.5 i definicję 8.6 ilustruje rysunek 8.3, na którym przedstawiono (w dwóch wymiarach): zbiór ocen efektywnych (pogrubiony fragment konturu zbioru

( 0)

Z = f X ), obraz szkieletu dolnego w odwzorowaniu f (czarne koła), obraz szkieletu górnego w odwzorowaniu f (czarne trójkąty). Mówiąc kolokwialnie, elementy obrazu szkieletu górnego znajdują się „nad” zbiorem ocen efektywnych, w obszarze nieosiągalnym (co wynika z definicji 8.6, definicji ocen efektywnych oraz przyjętego założenia, że wszystkie odwzorowania kryterialne są typu „im więcej tym lepiej”).

Rysunek 8.3. Obraz szkieletu dolnego i szkieletu górnego w odwzorowaniu f.

Z f2(x)

f1(x) ynad

Rysunek 8.4 wyjaśnia dlaczego w definicji 8.6 sama własność (1) bez własności (2) nie wystarcza dla określenia szkieletu górnego. Wyróżniony na tym rysunku element x¹ spełnia własność (1), a nie spełnia własności (2), ponieważ element (wariant)

( )

2

x ∈E X0 dominuje element x¹. Zatem w sposób oczywisty element x¹ nie może być uznany za element zbioru przybliżającego zbiór wariantów efektywnych od „góry”.

Rysunek 8.4. Interpretacja własności (1) i (2) w definicji 8.6.

8.4.1 Oszacowania od dołu

Załóżmy, że dysponujemy szkieletem dolnym SD (definicja 8.5).

Lemat 8.1

Dla dowolnego kierunku ustępstw ^{τ =}

(

^τ1,…,τk

)

^{, τi >0, i=1,…, ,k oraz}

szkieletu dolnego S_D , oszacowania od dołu wartości współrzędnych oceny ^f

( )

^τ

wyznacza następująca formuła:

( ) ( )

dolnego S pozwala ustalić pewne oszacowanie od dołu, a formuła wyznacza spośród _D tych oszacowań oszacowanie o najwyższej wartości.

8.4.2 Oszacowania od góry

Załóżmy, że dysponujemy szkieletem górnym S (definicja 8.6). ZałóG żmy także, że w tym przypadku element wyróżniony y^*∈ℝ spełnia dodatkowo warunek: ^k

( ) *, 1, , .

oszacowania od góry wartości współrzędnych oceny ( )f τ wyznacza następująca formuła:

gdzie S_G( , )τ i ⊆S_G, i=1,…, ,k oznacza zbiór tych x∈S_G, dla których

( ) ( ).

l l

f τ ≤ f x

Wyznaczymy teraz indeksy, dla których zachodzi warunek (8.9). Warstwice funkcji

(

^*

)

Element f( )τ , będący rozwiązaniem zadania optymalizacyjnego (8.7) znajduje się na brzegu jednego z tych stożków. Jednocześnie element ( )f τ ^{nie mo}że leżeć powyżej

Rysunek 8.5. Wyznaczenie indeksów spełniających warunek (8.9).

2 * 2

Powyższy układ równań pozwala znaleźć punkt przecięcia półprostej y=y^*−tτ, tych wyprowadzonych w (Kaliszewski 2003, 2006a, 2008a) tylko zastąpieniem w oszacowaniu od dołu szkieletu S szkieletem dolnym S i zast_D ąpieniem w oszacowaniu od góry szkieletu S szkieletem górnym S_G. O ile jednak każdy podzbiór X nie zawieraj0 ący elementów zdominowanych może pełnić rolę S to, jak to D

pokażemy w rozdziale 9, wyznaczanie szkieletu górnego S jest zadaniem daleko G

nietrywialnym.

Zauważmy także, że gdybyśmy za szkielet dolny uznali dowolny podzbiór X0, elementy zdominowane w takim szkielecie dolnym nie miałyby wpływu na wartość oszacowań od dołu. Analogicznie, gdybyśmy za szkielet górny uznali podzbiór ℝ^m \X0

spełniający własności (2) i (3) w definicji (8.6), a nie spełniający własności (1) tej

definicji, elementy dominujące w takim szkielecie górnym inne jego elementy nie miałyby wpływu na wartość oszacowań od góry.

Zastąpienie szkieletu będącego podzbiorem zbioru wariantów efektywnych parą szkieletów S i _D S_G, których obrazy w odwzorowaniu f są „bliskie” zbiorowi ocen efektywnych, nie powinno prowadzić do znaczącego pogorszenia dokładności oszacowań parametrycznych. Narzuca to jednak wymagania na szkielety S i D S_G, i problemem tym zajmujemy się szczegółowo w rozdziale 9. Natomiast w dalszej części tego rozdziału będziemy zakładać, że szkielety S i D S zapewniaj_G ące wymaganą dokładność oszacowań parametrycznych są dane.

W dalszej części rozprawy, dla uproszczenia, oszacowania parametryczne nazywać będziemy po prostu oszacowaniami.

Oczywistą korzyścią z zaproponowanej powyżej modyfikacji wyznaczania oszacowań jest możliwość całkowitego wyeliminowania z wielokryterialnych procesów decyzyjnych konieczności stosowania obliczeń dokładnych (czyli w tym przypadku obliczeń optymalizacyjnych). Ideę tę rozwiniemy w następnym podrozdziale.

W dokumencie Komputerowe wspomaganie procesów decyzyjnych w sklepach wielkopowierzchniowych z wykorzystaniem optymalizacji wielokryterialnej i metod przybliżonych (Stron 63-71)