Obliczanie kart kontrolnych bez zadanych wartości normatywnych

BEZ ZADANYCH WARTOŚCI NORMATYWNYCH

Dla ustalenia położenia linii na kartach regulacyjnych nieodzowne jest wykona-nie badań wstępnych. Polegają one na pobraniu z bieżącej produkcji, w określonych odstępach czasu k = 20 – 30, próbek o liczności n odpowiadającej potrzebom para-metru statystycznego przyjętego do badań. Dla każdej z próbek oblicza się wartości parametru (lub parametrów), biorąc za podstawę do tego wyniki przeprowadzonych pomiarów. Wartości obliczonych parametrów nanosi się na tor karty kontrolnej wg kolejności pobranych próbek (rys. 6).

Następnie oblicza się położenie linii centralnej (oznaczenia międzynarodowe: CL) jako średniej arytmetycznej wszystkich wartości parametrów próbek do badań wstęp-nych, tzn.

(7) gdzie:

x_c – wartość określająca położenie (na osi rzędnych) linii centralnej na kar-cie,

– wartość obliczonego parametru statystycznego dla i-tej próbki (jeżeli tym parametrem będzie średnia arytmetyczna, to będzie średnią z wyników pomiarów wybranej cechy z wszystkich n elementów próbki),

n – liczność próbek,

k – liczba próbek pobranych w ramach badań wstępnych.

Następnym krokiem jest obliczanie położenia na wykresie regulacyjnym kontrol-nych linii graniczkontrol-nych: górnej – GLK (oznaczenia międzynarodowe – UCL) i dolnej – DLK (oznaczenia międzynarodowe – LCL)

(8) gdzie:

x_g, x_d– wartości wskazujące położenie (oś rzędnych) linii kontrolnej odpo-wiednio górnej i dolnej,

t – współczynnik statystyczny zależny od przyjętego prawdopodobieństwa wystąpienia mylnego sygnału (w kartach Shewharta przyjmuje się t = 3),

s_r – odchylenie średnie kwadratowe średniej arytmetycznej.

Wartość s_r oblicza się ze wzoru

(9) gdzie:

k – liczba próbek w badaniach wstępnych,

s – odchylenie średnie kwadratowe obliczone wg wzoru (3),

Rys. 6. Wyznaczanie położenia linii centralnej i granicznych linii kontrolnych (górnej i dolnej) sposobem stabilizacyjnym

W tym przypadku s jest równe

(10)

Obliczone wartości x_c, x_g, x_d nanosi się na tor karty kontrolnej (rys. 6).

Przytoczone wzory opisują teoretyczne podstawy obliczania kart kontrolnych, co pozwala lepiej zrozumieć ich sens i zapewnia lepszą interpretację uzyskanych wyni-ków, zwłaszcza w odniesieniu do wykresu regulacyjnego.

Wzory te są związane z rozkładem normalnym Gaussa badanej populacji. Jednak nie zawsze rozkład danej cechy w badanej populacji ma rozkład normalny lub do niego zbliżony. Sensowne jest więc postawienie pytania, czy podane wzory mogą być używane dla innych rozkładów? Na to pytanie należy odpowiedzieć twierdząco, bo-wiem trzeba odróżnić rozkład cechy w odniesieniu do pojedynczych obserwacji od rozkładu wartości cechy odniesionej do wieloelementowego podzbioru (próbki) z po-pulacji. Otóż z centralnego twierdzenia granicznego wynika, że np. wartości średnie zmierzają do rozkładu normalnego, nawet wtedy gdy rozkład cechy w populacji zasad-niczo różni się od rozkładu Gaussa. Dla przykładu podano za [7] na rys. 7, jak zmienia się charakter funkcji gęstości prawdopodobieństwa dla rozkładu typu wykładniczego dla próbki 2- i 4- elementowej. Na podstawie rys. 7 można zauważyć, że nawet dla próbek kilkuelementowych osiągnięty rozkład niewiele różni się od normalnego.

W przypadku rozstępu i odchyleń średnich kwadratowych można stwierdzić, że ich rozkłady z natury rzeczy nie są normalne, pomimo wszystko zakłada się ich nor-malność przy obliczeniach, ponieważ zapewnia to zarówno prostotę wzorów, jak i „bez-pieczeństwo” tak otrzymanych wyników.

Rys. 7. Funkcje gęstości prawdopodobieństwa: a) dla populacji x (próbka 1-elementowa), b) dla wartości średniej (próbka 2-elementowa), c) dla wartości średniej (próbka

4-elementowa)

Poniżej podano sposób postępowania dla metody – R (średnia – rozstęp) przy projektowaniu karty kontrolnej metodą stabilizacyjną.

1. Wykonać badania wstępne tzn.:

a) pobrać w ustalonych odstępach czasu k = 20 – 30 próbek o liczności n ≥ 5, b) dokonać pomiaru wybranej cechy (np. średnicy) w każdej sztuce próbki: x₁, x₂,..,x_n, c) obliczyć dla każdej próbki:

– średnią arytmetyczną dla każdej i-tej próbki, – rozstęp R_i = R_max – R_min dla każdej i-tej próbki

d) obliczyć położenie linii centralnej i granicznej górnej oraz dolnej – dla wartości średniej

(11)

(12)

– dla rozstępu R

(13) (14)

(dla n ≥ 7) (15)

Jak widać na podstawie wzorów (11–15) są one dla linii granicznych nieco prze-kształconą formą (dla wygody stosowania) wzorów (7), (8).

Dla innych statystyk (tj. parametrów opisujących proces) obowiązują wzory:

a) dla odchylenia średniego kwadratowego s

(16)

(17)

(dla n ≥ 6) (18)

b) dla mediany M_e

(19)

(20)

Wartości współczynników występujących w powyższych wzorach, służących do obliczania linii na kartach kontrolnych, zależą od liczności próbki i są podane w [12].

Specyficzną odmianą kart kontrolnych przy liczbowej ocenie właściwości są karty pojedynczych obserwacji. Przesłankami do ich zastosowania bywa:

– duży koszt pomiaru, – długi czas pomiaru,

– badania mają charakter niszczący.

Dla takiej karty określanie położenia linii kontrolnych odbywa się za pomocą wzo-rów (metody stabilizacyjne) dla wartości średniej

(21)

(22) dla rozrzutu

(23) (24) (25) Wartości współczynników D₃, D₄, E₂ zawiera również norma [14].

Jeżeli po wykonaniu badań wstępnych oraz naniesieniu danych na tor kontrolny karty okaże się, że nie wszystkie punkty zawierają się wewnątrz linii kontrolnych, to należy dokonać tzw. rekalkulacji. Sygnały o przekroczeniu tych linii świadczą bowiem o nie całkowicie ustabilizowanym poziomie jakości produkcji. Należy więc zdiagno-zować przyczyny występowania zakłóceń (o charakterze nielosowym) poprawić sta-bilność produkcji. Następnie usunąć te wyniki, które wskazują na nieustabilizowanie jakości i zastąpić je badaniami dodatkowych próbek oraz ponownie obliczyć granice kontrolne.

Przykład

Przedmiotem badania była produkcja tłoków do silników spalinowych o wymiarze nominalnym N = 50,00 mm i tolerancji wykonania T = 0,020 mm (rozkład syme-tryczny).

Przyjęto liczebność próbki n = 4 i częstość pobierania – co 1 godzinę. Wyniki pomiarów podano w tabeli 2.

Należy obliczyć dane do toru regulacyjnego karty kontrolnej .

Tabela 2 Wyniki badania próbek

Parametry karty kontrolnej:

– Wartość średnia średniej

= 1000 / 20 = 50,00 [mm]

– Wartość średnia rozstępu

= 0,16 / 20 = 0,008 [mm]

– Linie kontrolne wartości średniej

[mm]

[mm]

[mm]

– Linie kontrolne rozstępu

[mm]

[mm]

LCL_R = 0 [mm]

Wyniki obliczeń oraz przebieg wykresu regulacyjnego pokazano na rys. 8a i 8b.

Rys. 8a. Tor wartości średniej

Rys. 8b. Tor rozstępu

Z uwagi na to, że wykresy znajdują się wewnątrz linii kontrolnych oraz że nie występuje TREND, RUN oraz MIDDLE THIRD, należy uznać proces za wyregulowany.

Opisane metody obliczania danych do kart kontrolnych są w pełni przydatne wów-czas, gdy spełnione są założenia co do stałości wartości średniej dla danej cechy liczbo-wej oraz rozproszenie o odchyleniu standardowym s. Jeżeli tak nie jest (monitorowany proces ma ruchomą średnią), to należy zastosować specjalne metody obliczania ruchomych granic z niestacjonarnego modelu [9].

9.2. OPIS SPOSOBU Z ZADANYMI WARTOŚCIAMI