Specjalne rodzaje kart kontrolnych

10.1. KARTY UWZGLĘDNIAJĄCE TREND

Dla niektórych procesów produkcyjnych charakterystycznym jest występowanie tren-du, najczęściej liniowego. Trend może być bardzo powolny (np. w procesie wytłaczania wyrobów z blachy na skutek postępującego zużycia tłoczników) albo stosunkowo szyb-ki (np. w procesie obróbszyb-ki skrawaniem na skutek stępienia ostrzy narzędzia).

Należy zauważyć, że trend nie zawsze bywa zauważalny w prosty sposób. Wypływa stąd potrzeba stosowania takich procedur, które go wykrywają. Procedurą zawodną w takiej sytuacji jest procedura oparta o badanie kształtu rozkładu mierzonych cech w pewnym ograniczonym czasie.

W sytuacji, gdy występuje trend należy ten fakt uwzględnić i to nie tylko na kar-tach kontrolnych, ale i przy obliczaniu współczynników zdolności procesu.

Aby sprawdzić, czy trend jest istotny należy [5, 15]:

1) obliczyć współczynnik korelacji r dla k próbek o liczności n każda,

2) sprawdzić, czy wartość obliczonego współczynnika korelacji r jest statystycznie istotna przy zadanym prawdopodobieństwie oceny i dla n próbek; jeśli korela-cja jest istotna należy ją uwzględnić w następnych obliczeniach, w przeciwnym wypadku trendu nie uwzględnia się,

3) obliczyć parametry prostej regresji wg metody najmniejszych kwadratów Gaussa, 4) obliczyć średnie odchylenie kwadratowe skorygowane (z uwagi na regresję).

Punkt 3 pozwala na obliczenie położenia linii centralnej LC na skorygowanej kar-cie, natomiast punkt 4 pozwala na obliczenie linii kontrolnych (górnej i dolnej) na skorygowanej karcie.

Wzory służące do powyższych obliczeń z uwagi na ograniczoną objętość opracowa-nia zostały pominięte, ale można je łatwo znaleźć w podręcznikach z zakresu rachunku prawdopodobieństwa i statystyki.

Z rys. 9 można zauważyć, że w sytuacji nieuwzględnienia trendu, linie kontrolne byłyby znacznie od siebie oddalone.

Rys. 9

Karty kontrolne Shewharta są z pewnością najbardziej rozpowszechnionymi na-rzędziami do badania stabilności procesów, przede wszystkim za sprawą nieskompli-kowanej postaci i łatwości prowadzenia. Jednak w niektórych sytuacjach są one mało skuteczne. Z tego powodu do monitorowania procesów o szczególnych cechach opra-cowano inne techniki statystyczne w postaci specjalnych kart kontrolnych. Należą do nich karty kontrolne sum skumulowanych (tzw. karty CUSUM) oraz karty z wykład-niczo ważoną średnią ruchomą znane pod nazwą kart EWMA.

10.2. KARTY CUSUM

Karty CUSUM bazują na wszystkich informacjach dotyczących kolejnych warto-ści próbek. Wykreśla się na nich skumulowaną sumę odchyleń od wartowarto-ści norma-tywnej.

W przypadku pobierania próbek o liczności n ≥ 1 suma skumulowana odchyleń będzie równa

(57) gdzie:

x_k – średnia wartość przyjętego parametru dla k-tej próbki, m – wartość normatywna parametru.

Poszczególne wartości s nanosi się na tor karty. Charakterystyczną cechą kart CUSUM jest to, że nie posiadają typowych dla kart Shewharta linii kontrolnych oddalo-nych o pewną stałą wartość od linii centralnej. Do wnioskowania o stabilności procesu wg kart CUSUM służy ostatnia sekwencja punktów na tej karcie oraz tzw. procedura maski [11, 15].

Jeżeli średnia procesu ulegnie zmianie, to zostanie to uwidocznione na wykresie kontrolnym w postaci pewnego dryfu, zaś losowy charakter zmian średniej procesu znajduje swoje odzwierciedlenie w postaci przypadkowych fluktuacji wokół linii od-niesienia (spełniającej rolę linii centralnej).

Podstawową zaletą kart CUSUM jest skuteczność w wykrywaniu niewielkich prze-sunięć średniej wartości przyjętego parametru do oceny procesu natomiast wadą trud-ności w stosowaniu maski do oceny procesu i specyficzny tok obliczeń do tej karty.

10.3. KARTY EWMA

Karty kontrolne EWMA są oparte o zróżniczkowany model procesu losowego autoregresji i średnią ruchomą ARIMA. Model ARIMA [10] jest wyrażany w postaci odwróconej jako szereg czasowy utworzony z estymatorów odchylenia standardowe-go s lub z rozstępu R.

Na wykresie kontrolnym karty zaznacza się punkty z_i , które są obliczane z nastę-pujących zależności

s_i = max [z_i; ;z₀] (58)

z₀ = ln s₀² (59)

z_i = ly_i + (1 – l)z_{i – 1} (60)

y_i = ln s_i² (61)

gdzie

s_i – odchylenie średnie kwadratowe dla i-tej próbki, s₀ – odchylenie średnie kwadratowe procesu, l – współczynnik intensywności różniczkowania.

Karta EWMA posiada tylko jedną (górną) granicę kontrolną. Obliczyć ją można na podstawie zależności:

(62) przy czym

(63) Karta EWMA umożliwia wykrywanie rozrzutów (rozproszeń) w stosunkowo nie-wielkich wartościach. Jest to ważna zaleta tej karty zwłaszcza w odniesieniu do proce-sów o wysokim stopniu zautomatyzowania oraz wielowymiarowych (przemysł meta-lurgiczny, spożywczy, chemiczny).

10.4. TYPOWE NIESTABILNOŚCI NA WYKRESACH

Istnienie na wykresie kontrolnym pewnych specyficznych kombinacji (których prawdopodobieństwo zaistnienia jest znacząco małe) jest traktowane jako sygnał o nie-stabilności procesu. Typowymi konfiguracjami są tu:

– trend (tendencja), – run (passa),

– middle third (środkowa jedna trzecia).

Z trendem mamy do czynienia wtedy, gdy siedem kolejnych wartości miary przy-jętej wartości średniej (a więc w kolejnych siedmiu próbkach) wykazuje nieprzerwa-ną tendencję wzrostową lub malejącą (rys. 10).

Rys. 10. Trend

Run występuje wówczas, gdy siedem kolejnych wartości średnich leży po tej samej stronie linii kontrolnej centralnej (rys. 11).

Rys. 11. Run

Natomiast middle third występuje wówczas, gdy mniej niż 40% lub więcej niż 90%

ostatnich 25 wartości średnich mieści się w środkowej jednej trzeciej przedziału kon-trolnego. Spadek poniżej 40% oznacza występowanie „szerokiej” krzywej rozkła-du wartości średniej (rozkła-duży rozrzut). Natomiast przekroczenie granicy 90% jest ozna-ką nieprawidłowego podania granic kontrolnych – dolnej i górnej. Pojęcie środkowej jednej trzeciej zilustrowano na rys. 12.

Rys. 12. Środkowa jedna trzecia (middle third)

Istnieją także inne konfiguracje punktów tworzących wykres regulacyjny na kar-cie świadczące o istnieniu wyznaczalnych przyczyn zmienności np.:

– p e r i o d y c z n o ś ć – objawiająca się tym samym przebiegiem (wzorem) zmian (np. wzrost lub spadek w praktycznie równych odstępach),

– o b k l e j a n i e l i n i i k o n t r o l n y c h (h u g g i n g) – charakteryzująca się przyleganiem ściśle do linii centralnej, względnie górnej lub dolnej linii kontro-lnej.

Obklejanie linii centralnej zachodzi wówczas, gdy większość punktów leży w stre-fie o szerokości równej połowie odległości między górną a dolną (symetrycznie do linii centralnej) linią kontrolną.

Obklejanie linii kontrolnych występuje, jeżeli dwa z trzech, trzy z siedmiu, cztery z dziesięciu punktów na wykazie regulacyjnym leżą wewnątrz strefy równej 1/3 szero-kości przedziału regulacyjnego.

Wszystkie omówione w tym rozdziale szczególne konfiguracje punktów na wykre-sie regulacyjnym wskazują (z dużym prawdopodobieństwem) na istnienie przyczyn wyznaczalnych, świadczących o rozregulowaniu procesu produkcyjnego (nawet wte-dy, gdy wszystkie punkty leżą wewnątrz linii kontrolnych). Norma [14] przewiduje wiele testów ułatwiających sprawdzenie, czy istnieją przyczyny wyznaczalne.