Libracja. W tym przypadku współrzędna i pęd są periodycznymi funkcjami czasu o jednakowym okresie τ : q( t + τ) = q(t) ; p( t + τ ) = p(t) (11.1) Jako przykład libracji może służyć ruch liniowego oscylatora harmonicznego oraz wahadła matematycznego w przypadku braku tarcia.
Na skutek periodyczności q i p ruch w dwuwymiarowej przestrzeni fazowej (na płaszczyźnie fazowej ) odbywa się po pewnej krzywej zamkniętej. Taka krzywą nazywaną „trajektorią fazową” przedstawiono na rysunku 7.
Rozłożenie w szereg Fouriera daje : +∞
q = Σ q0L exp [ 2πi L(νt + γ ) ] (11.2) L = –∞
Rys. 7 +∞
p = Σ p0L exp [ 2πi L( νt + γ ) ] (11.2) L = –∞
gdzie : ν = 1/τ - jest częstotliwością drgań, γ - to stała fazowa.
Wykorzystując zmienną :
ω = νt + γ (11.3) zmieniającą się o jeden przez okres, można odzwierciedlić okresowość współrzędnej q poprzez następujący zapis :
q(w + 1) = q(w) (11.4) Wtedy rozkład w szereg Fouriera dla tej współrzędnej przyjmie postać :
+∞
q = Σ q0L exp ( 2πi L w ) ] (11.5) L = –∞
Obrót.
Wybierając przy ruchu szczególną postać współrzędnej , którą oznaczymy przez w i którą możemy rozpatrywać jako kąt w procesie ruchu ( będzie ona wzrastała z czasem).
Chociaż periodyczność „w”, w czasie nie jest zakładana, w czasie τ układ powraca do swojego punktu początkowego. W czasie τ współrzędna w zmienia się o jednostkę :
w = (1/τ) ( t – t0) + w0 = νt + γ (11.6) W przeciwieństwie do niej pęd J przedstawia periodyczną funkcję współrzędnej w :
J(w + 1) = J(w) (11.7)lub na mocy równości (11.6) – periodyczną funkcję czasu :
J ( t + τ) = J(t) (11.8) Ten przypadek przedstawiono na rysunku 8.
Rys. 8
Przykładami takiego rodzaju ruchu są różne przypadki obrotu wokół stałej osi. Aby znormalizować okres tak jak to było zrobione powyżej między współrzędną w i kątem obrotu ϕ wokół osi należy ustanowić następującą zależność :
w = ϕ / 2π (11.9) Jeśli dla opisania ruchu wykorzystamy współrzędne ortokartezjańskie XK ( XK -oznacza współrzędne postaci : xΩ , yΩ , zΩ ), to współrzędna i pęd okażą się funkcjami okresowymi czasu , zatem w tym przypadku pozostaje w mocy równość (11.4) :
XK(w + 1 ) = XK(w ) (11.10)
11.2 UKŁAD PERIODYCZNY Z WIELOMA STOPNIAMI SWOBODY.
Układem periodycznym z wieloma stopniami swobody będziemy nazywać taki układ , którego ruch opisywany we współrzędnych ortokartezjańskich możemy – uogólniając zależności (11.4) lub (11.10) przedstawić za pomocą funkcji :
XK ( w1 + 1 , w2 + 1 , ... ) = XK ( w1, w2 , ... ) (11.11) Przy tym mają miejsce następujące uogólnione równości (11.3) :
w1 = ν1t + γ1 , w2 = ν2t + γ2 , ... , (11.12) gdzie : ν1 = 1/τ1, ν1 = 1/τ1 , ... a wielkości : τ1, τ2, .. przedstawiają okresy zmienności zmiennych w1, w2, ...
Analogicznie do (11.5) można przedstawić funkcję XK jako szereg Fouriera : ∞
XK = Σ CKL1,L2 exp [ 2πi (L1w1 + L2 w2 + ... ) ] (11.13) L1L1=–∞
Uwzględniając równości (11.12) rozkład ten można zapisać następująco : ∞
XK = Σ DKL1,L2 exp [ 2πi (L1ν1 + L2 ν2 + ... ) ] (11.14) L1L1= –∞
( gdzie wszystkie stałe fazowe są odpowiednio uwzględniane poprzez współczynniki DKL1,L2 ).
W ogólnym przypadku szereg Fouriera (11.14) nie przedstawia okresowej w czasie t, funkcji - chociaż każda oddzielnie wzięta eksponenta może być okresowa. Periodyczność będzie miała miejsce tylko wtedy , kiedy częstotliwości ν1, ν2 ... będą się miały do siebie jak liczby całkowite. Dlatego układy z wieloma stopniami swobody nazywane są „układami warunkowo periodycznymi”.
Ilość częstotliwości których stosunek wyrażony być może liczbą całkowitą określa tzw. „stopień
zdegenerowania” układu. Jeżeli nie ma takich częstotliwości układ jest niezdegenerowany. Jeżeli wszystkie częstotliwości związane są przez zależności całkowite , to układ nazywamy „zupełnie zdegenerowanym” – w tym przypadku mamy do czynienia z okresową funkcją czasu.
Omówiony wcześniej przykład zagadnienia Keplera , jest przykładem układu zdegenerowanego o dwóch stopniach swobody ( niezależne współrzędne r , ϕ ) , w którym istnieje tylko jedna częstotliwość.
Poprzez nałożenie pewnego zaburzenia (perturbacji) możemy pozbyć się degeneracji , jednak wtedy ruch odbywać się będzie po rozecie.
W charakterze przykładu układu warunkowo periodycznego , można przywołać oscylator anizotropowy tj. punkt materialny , dla którego stałe sprężystości są różne w różnych kierunkach . Tor takiego punktu przedstawia pewną figurę Lissajous – jest to krzywa nie zamknięta w sposób gęsty pokrywająca pewien obszar.
Ruch jest periodyczny tylko w przypadku zdegenerowanym.
Układ mechaniczny może poruszać się ruchem periodycznym tylko w przypadku konserwatywności – wynika to z warunków energetycznych. Dlatego w dalszej części przyjmiemy , że :
H = H(qK , pK ) (11.15) Przy badaniu ruchu periodycznego wygodnie jest wykorzystywać przekształcenia kanoniczne.
11.3 ZMIENNE KĄT–DZIAŁANIE.
Rozpatrzmy przypadek C, przekształcenia kanonicznego, tj. zastosujmy wzory przekształcenia (9.23) : q^k = – ∂R3(qk , p^k, t ) /∂p^k ; pk = – ∂R3(qk, p^k, t )/∂qk
H – H^ = ∂R3(qk, p^k, t)/∂t (11.16) Przy pomocy takiego przekształcenia równania Hamiltona w nowych zmiennych kanonicznych przyjmą postać
q. ^k = – ∂H^ /∂p^k ; p. ^k = – ∂H^ /∂q^k (11.17) Funkcje R3, względem której wcześniej nie zakładaliśmy żadnych dodatkowych warunków, teraz wybieramy tak aby nowa funkcja Hamiltona zależała tylko od nowych pędów :
H^ = H^ (p. ^k ) (11.18) W tym przypadku z drugiego równania Hamiltona wynika , że :
p^k = const. (11.19) I dlatego z pierwszego całkowania otrzymujemy równości :
q^k = ν^k t + γ^k (11.20) gdzie : ν^k , γ^k - są stałymi. Wtedy :
ν^k = ∂H^ ( p^k ) / ∂ p^k (11.21) Wcześniej, współrzędne które nie wchodziły do funkcji Hamiltona nazwaliśmy „zmiennymi cyklicznymi”.
Zatem, jak widać zmienna cykliczna rośnie liniowo w czasie. Jeśli zmienna cykliczna posiada w szczególności , własność , taką że w okresie rośnie do jedności , to nazywamy ją „zmienną kątową”.
Dlatego zgodnie z już wykorzystywanymi we wzorach (11.3) i (11.6) oznaczeniami przyjmiemy dla niej symbol w. Mnożąc równość (11.20) przez pewną stałą λ, możemy przejść od współrzędne q^k do odpowiadającej jej zmiennej wk :
wk = ν^k t + γ^k (11.22) gdzie :
wk = λq^k , νk = λν^k , γk = λϕ^k (11.23) Pęd – sprzężony kanonicznie ze zmienną wk nazywamy „zmienną działania” i oznaczamy ją przez Jk , zatem zależności (11.21) możemy przepisać do postaci :
νk = ∂H^ / ∂ Jk (11.24) gdzie :
Jk = ∂p^k / λ (11.25)
Ponieważ , na mocy warunków (11.15) i (11.18) lewa strona trzeciego ze wzorów (11.16) nie zależny w sposób jawny od czasu , funkcja R3 może być liniową funkcją czasu. Bez ograniczenia ogólności możemy założyć :
∂R3 /∂ t = 0 (11.26) Zatem , z (11.16) wynikają wzory przekształcenia :
wk = – ∂R3 / ∂Jk ; pk = - ∂R3 / ∂qk ; H = H^ = E (11.27) Ostatni z nich przedstawia skrócone równanie Hamiltona – Jakobiego a drugi ustanawia tożsamość :
R3 = – W (11.28) ( W – jest skróconym działaniem ). Dlatego wzory (11.27) można zapisać następująco :
wk = νk t + γk = ∂W / ∂Jk , pk = ∂W/∂qk , H( qk, ∂W/∂qk ) = E (11.29) 11.4 UKŁADY O ZMIENNYCH ROZDZIELONYCH.
Aby mieć możliwość rozwinięcia dalej teorii w żądanym kierunku, musimy ograniczyć się do układów o zmiennych rozdzielonych. Nasze dalsze kroki będą polegały na tym co następuje.
Będziemy poszukiwali całki zupełnej skróconego równania Hamiltona – Jakobiego w postaci sumy :
W = Σ WL (qL , αM ) = W1 (q1 , αM ) + W2 (q2 , αM ) + ... (11.30) L
Przy tym otrzymamy :
E = E ( αM ) (11.31) Wtedy pierwsze i drugie równanie (11.29) wyglądać następująco :
wk = νk t + γk = Σ (∂WL /∂JK ) , pk = ∂Wk /∂qk (11.32) Ustalmy następnie wartość wszystkich współrzędnych , oprócz qk , i dla ruchu wzdłuż odpowiadającej linii współrzędnościowej ( zakładając Jk = const. ) znajdujemy :
dM wk = (∂2WM /∂qM∂JK ) dqM (11.33) Całkując w okresie , znajdujemy przyrost :
∆M wk = ∂/∂JK
∫
(∂WM /∂qM) dqM = ∂/∂JK∫
pM dqM (11.34) τ τ(symbol
∫
- oznacza, że całkowania dokonujemy w ciągu pełnego okresu ) τPrzy M = K otrzymujemy ∆M wk = 1, skąd wynika, że :
JK =
∫
pK dqK (11.35) τzakładając stałe całkowania równe zeru.
Przy M ≠ K otrzymamy : ∆M wk = 0, chociaż wartość wk zmienia się podczas ruchu.
Całkę po prawej stronie równości (11.35) nazywamy „całką fazową” jest ona identyczna z odpowiadającą jej zmienną działania. Dlatego zmienna działania równa jest powierzchni obszaru zakreskowanego na rysunkach 7 i 8 .
Ponieważ w całce, wchodzącej do równania (11.35) całkowanie prowadzimy względem współrzędnej wchodzi do niej jeszcze również parametr αM , możemy zatem zapisać :
JK = JK ( αM ) (11.36) Rozwiązując ten układ względem αM :
αM = αM (JK ) (11.37) a następnie podstawiając wynik do wzoru (11.31) , otrzymamy :
E = E ( αM (JK ) ) (11.38) Obliczając pochodną cząstkową od tej wielkości względem JK i uwzględniając równości (11.27) i (11.24)
znajdujemy wartości częstotliwości :
νK = ∂E( αM ( JK )) / ∂JK (11.39)
Podsumowując najistotniejsze z otrzymanych rezultatów możemy powiedzieć :
1. Rozwiązując równanie Hamiltona – Jakobiego, otrzymujmy funkcję tworzącą przekształcenia kanonicznego.
2. Obliczając całki fazowe (11.35), znajdujemy zmienne działania, kanonicznie sprzężone do zmiennych kątowych (11.22). Tym samym rozpatrywane zagadnienie dynamiczne okazuje się rozwiązywalna w nowych zmiennych. Przekształcenie odwrotne do zmiennych pierwotnych można wykonać przy pomocy wspomnianej powyżej funkcji tworzącej.
3. Zgodnie z równościami (11.39) , różniczkowanie energii względem zmiennych działania daje wartości częstotliwości.
11.5 ZASADA KWANTOWANIA BOHRA – SOMMERFELDA.
Przejście do pół klasycznej mechaniki kwantowej dokonywane jest z zastosowaniem do całki fazowej zasady kwantowania Bohra – Sommerfelda :
JK =
∫
pK dqK = nK h (11.40) τ( h - jest stałą Plancka ). Przy tym liczba kwantowa nK może przyjmować wartości ze zbioru liczb całkowitych.
Pochodna cząstkowa (11.39) przechodzi w zależność różnicową , co związane jest z tym ,że na mocy warunku :
∆JK = h (11.41) zmiana zmiennej działania mniejsza niż h jest niemożliwa. Stąd otrzymujemy następująca zależność :
ν = ∆E / h lub ∆E = ν h (11.42) w której rozpoznajemy wzory Plancka.
Stosując zasadę Bohra – Sommerfelda (11.40) do rozpatrywanego w rozdziale 10.2 zagadnienia Keplera , otrzymamy zgodnie z równaniem (10.37) :
Jϕ =
∫
pϕ dϕ = 2πα = nϕ h lub α = (h /2π) nϕ = ħ nϕ (11.43) τ( wielkość nϕ nazywamy „azymutalną liczbą kwantową” ) i zgodnie z równaniem (10.38) :
rmax
Jr =
∫
pr dr = ±∫
sqrt [ 2m ( E + (k/r) ) – [ (ħnϕ )2 /r2 ] ] dr = ħ nr (11.44) τ rmin( wielkość nr nazywamy „radialna liczbą kwantową” ; ħ = h /2π )
Wybieramy zazwyczaj znak plus aby nr , mogło przyjmować tylko dodatnie wartości. Wielkości : rmin = 1/ s2 , rmax = 1/ s1 reprezentują minimalną i maksymalną wartość kąta biegunowego.
Obliczenie całki ( przykładowo na płaszczyźnie zespolonej ) daje : Jr = – nϕ h – 2πi [ mK/ sqrt (2mE) ] = h nr
skąd otrzymujemy dyskretne poziomy energii :
En = – (mK2/ 2ħ2r2 ) (11.45) do którego wchodzi „główna liczba kwantowa“ :
n = nr + nϕ (11.46) Energia jest ujemna dlatego , że mamy stany związane. Odpowiednio z wprowadzonymi powyżej oznaczeniami dla atomów stosujemy K = - eQ. Wzór (11.45) jest słuszny dla atomu wodoru, jak również dla układów wodoropodobnych.