10.1 LINIOWY OSCYLATOR HARMONICZNY.
W rozdziale 7.3 badaliśmy oscylator harmoniczny jako przykład teorii Hamiltona. Teraz rozpatrzymy ten sam charakterystyczny przykład w celu poglądowego przedstawienia teorii Hamiltona – Jakobiego, można bowiem na tym przykładzie zademonstrować pewne charakterystyczne cechy tej teorii.
Funkcja Hamiltona zadana jest wzorem (7.15) :
H = p2 / 2m + ½ k x2 (10.1) Ponieważ mamy do czynienia z układem zachowawczym , można wykorzystać równanie Hamiltona – Jakobiego w postaci ( 8.27) :
½ (1/m) ( dW/ dx )2 + ½ k x2 = E (10.2) Można było tutaj zamienić pochodną cząstkową W na pochodną zupełną, ponieważ x jest jedyną współrzędną zalezną. Z równania (10.2) wynika ,że :
dW/ dx = ± sqrt ( 2mE – m k x2 ) (10.3) Całkując to równanie , znajdujemy W i zgodnie z wzorem (8.26) otrzymujemy :
S = – Et ± sqrt (2mE )
∫
sqrt [ 1 – (kx2 /2E ) ] dx + const. (10.4) Zatem całka zupełna została znaleziona.Jedynym istotnym parametrem ( oprócz stałej addytywnej całkowania która jednak nie odgrywa żadnej roli ) jest energia E. W zagadnieniu tym występuje tylko jedna współrzędna x, dlatego można podstawić E = α.
Ponieważ w wielu przypadkach z fizycznego punktu widzenia interesuje nas jedynie tor ruchu, można nie obliczać całki.
Znajdziemy pochodną cząstkową od S po E :
∂S/ ∂E = – t ± sqrt (m /2E)
∫
sqrt [ 1 – (x2k /2E )] dx ± [ k sqrt (2mE)/4E2 ]∫
{x2dx /sqrt [ 1 – (k x2/2E) ]}dx= – t ± sqrt (m /2E)
∫
dx / sqrt [ 1 – (x2k /2E )]Dokonując całkowania, co na tym etapie jest konieczne, wygodnie jest podstawić :
ξ = sqrt (k/2E ) x (10.5) oraz przyjmując :
ω = sqrt (k/m) ( zobacz równość (7.2) ).
Otrzymujmy :
∂S/ ∂E = – t ± ( 1/ω)
∫
dξ / sqrt ( 1 – ξ2 ) = – t ± (1/ω) arcsin [ sqrt (k/ 2E )x ] (10.6) Teraz wykorzystamy wzór (9.47) tj. podstawimy :∂S /∂E = β (10.7) co prowadzi do równania :
x = ± sqrt (2E /k ) sin [ω( t + β)] (10.8) Wynik ten jest zgodny ze wzorem (7.19) – odróżnia się od niego jedynie wyborem stałej całkowania.
Porównanie tych dwóch wyników - w szczególności - prowadzi do zależności :
C = ± sqrt (2E /k ) (10.9) Wykorzystaliśmy ten poglądowy przykład aby na konkrecie pokazać zastosowanie wprowadzonej wcześniej teorii , warto podkreślić jeszcze kilka interesujących w nim faktów.
Po pierwsze można zdefiniować stałą addytywną całkowania w wyrażeniu (10.4) w ten sposób aby sprowadzić funkcję S do postaci (8.26) . Co daje nam :
x
S = – E ( t – t0 ) ± sqrt ( 2mE )
∫
sqrt [ 1 – (kx2 /2E)] dx + S0 (10.10) x0gdzie : x0 = x (t0 ) – odpowiada początkowemu położeniu punktu materialnego.
Dokonując całkowania, znajdujemy :
S = – E ( t – t0 ) ± (E/ω){ arcsin [x sqrt ( k/2E)] – arcsin [ x0 sqrt (k/2E)] + x sqrt (k/2E) sqrt ( 1 – (kx2 /2E)) – – x0 sqrt ( k/2E) sqrt (1 – (kx02 /2E)) + S0 (10.11) Porównajmy ten wynik z wyrażeniem dla działania otrzymanym przez bezpośrednie całkowanie.
W tym celu zróżniczkujmy funkcje (7.19) względem czasu :
dx/dt = Cω cos [ ω( t – t0 ) + λ ] (10.12) podstawmy to wyrażenie razem z wyrażeniem (7.19) do wyrażenia (7.13) co prowadzi do następującej funkcji Lagrange’a :
L = (k/2)C2 { cos2 [ ω ( t – t0 ) + λ ] – sin2 [ ω( t – t0 ) + λ ] }= (k/2)C2 cos2[ 2ω( t – t0 ) + 2λ ] (10.13) Skąd przez całkowanie , zgodnie z (8.1) , znajdujemy działanie :
S = (kC2/2) { sin[ 2ω( t – t0 ) + 2λ ] – sin (2λ)} + S0 (10.14) Wartość początkowa współrzędnej x, na mocy (7.19) jest równa :
x0 = C sin(λ) (10.15) a prędkość początkowa na mocy (10.12) jest równa :
v0 = Cω cos(λ) (10.16) Wykorzystując te równania, można wyrazić stałe całkowania C i λ przez x0 i v0 :
C = ± (v0 /ω) sqrt [ 1 + (x2 0 /v2
0 ) ] ; λ = arctg (x0ω / v0 ) (10.17) Podstawiając te wartości do wyrażeń (7.19) , (10.12) i (10.14) dochodzimy do wprowadzonych wcześniej wyrażeń postaci odpowiednio : (8.2) , (8.3) i (8.4). Rozwiązując otrzymaną z (7.19) równość względem v0 , znajdujemy :
v0 = [ ω / sin(ω ( t – t0 )] { x – x0 cos [ω ( t – t0 )] } (10.18) co jest wynikiem analogicznym do (8.5). Podstawienie tego wyrażenia do (10.17) daje :
C2 ={ x2 + x20 – 2xx0 cos[ ω ( t – t0 ) ]} / sin2 [ ω ( t – t0 ) + λ ] (10.19) λ = arctg {x0 sin[ ω ( t – t0 )] } / [ x - x0 cos [ ω ( t – t0 ) ] (10.19)
zatem wyrażenie (10.14) przyjmuje postać : S = (k/2ω)C2 cos[ ω ( t – t0 ) + 2λ ] + S0 . lub – z uwzględnieniem równości :
cos[ ω ( t – t0 ) + 2λ ] = {(x2 + x20 ) cos[ ω ( t – t0 ) ] – 2xx0}/ {x2 + x20 – 2xx0 cos[ ω ( t – t0 ) ]} (10.20) postać :
S = {(k/2ω)(x2 + x20 ) cos[ ω ( t – t0 ) ] – 2xx0}/ sin[ ω ( t – t0 )] (10.21) - która odpowiada strukturze funkcji (8.6).
Podkreślam jeszcze raz następujący fakt : wyrażenie dla działania (10.11) przedstawia sobą całkę zupełną równania Hamiltona- Jakobiego , podczas gdy zależność (10.21) podaje działanie, opisujące faktyczny proces ruchu i dlatego też proces ten ma odzwierciedlenie w tej zależności poprzez wzory (7.19) i (10.12). Dlatego , wykorzystując równania (7.19) można sprowadzić wyrażenie (10.11) do postaci (10.21). Co zapisałem poniżej.
uwzględniając równość :
arcsin ( A) – arcsin(B) = arcsin [ A – sqrt(1 - B2 ) – B sqrt ( 1- A2 ) ] (10.22) wyrażenie (10.11) można przepisać następująco :
S = - E ( t – t0 ) ± (E/ω) arcsin [x sqrt ( k/2E) sqrt ( 1 – (kx2 /2E) - x0 sqrt (k/2E)sqrt ( 1 – (kx2 /2E)] +
+ x sqrt (k/2E) sqrt ( 1 – (kx2 /2E) ) – x0 sqrt (k/2E)sqrt ( 1 – (kx02 /2E) + S0 . (10.23) Na mocy (10.9) wynika z tego , że :
S = - E ( t – t0 ) + (E/ω) arcsin {(x/C)sqrt [ 1 – (x02/C2 ) ] – (x0 / C) sqrt [ 1 – (x2/C2 )] } +
+ (x / C) sqrt [ 1 – (x2/C2 )] – (x0 / C) sqrt [ 1 – (x02/C2 )] + S0 . (10.24) Podstawiając wyrażenie (7.19) otrzymujemy :
S = - E ( t – t0 ) + (E/ω) { arcsin [sin [ ω ( t – t0 ) + λ ] cos (λ) – sin(λ)cos [ ω ( t – t0 ) + λ ] ] +
+ sin[ ω ( t – t0 ) + λ ] cos[ ω ( t – t0 ) + λ ] – sin(λ) cos(λ) } + S0 . (10.25) lub :
S =( E/2ω) { sin[ 2ω ( t – t0 ) + 2λ ] – sin (2λ )} + S0 . (10.25) Wynik ten jest zgodny z wyrażeniem (10.14), co dowodzi naszego stwierdzenia.
Rozbudujmy dalej nasz przykład. Różniczkowanie funkcji (10.21) daje :
∂S/∂x = {k [x cos[ ω ( t – t0 ) ] - x0 }/ ω sin[ ω ( t – t0 )] (10.26)
∂S/∂x0 = {k [x0 cos[ ω ( t – t0 ) ] - x }/ ω sin[ ω ( t – t0 )] (10.26) A następnie wykorzystując (10.19), wyrażenie (10.12) można sprowadzić do następującej postaci :
dx/dt = { ω/sin[ ω ( t – t0 )] } { x cos[ ω ( t – t0 )] – x0 } (10.27) Przy pomocy tego wzoru i wzoru (10.18) ze wzoru (10.26) otrzymamy równości :
∂S/∂x = m (dx/dt) ; ∂S/∂x0 = - mv0 (10.28) bezpośrednio odpowiadającą zależnościom (8.11) i (8.12) w teorii ogólnej.
Różniczkując oprócz tego funkcję (10.21) względem czasu otrzymujemy :
∂S/∂t =- (k/2) [ x2 + x02 – 2x0 x cos [ ω ( t – t0 )] ] / sin2[ ω ( t – t0 )] (10.29) Z drugiej strony , zgodnie z (10.1) mamy :
H = E = (k/2)[ x2 + x02 – 2x0 x cos [ ω ( t – t0 )] ] / sin2[ ω ( t – t0 )] (10.30) Co jeszcze raz potwierdza , że działanie S, spełnia równanie Hamiltona – Jakobiego.
10.2 ZAGADNIENIE KEPLERA.
Zastosowanie teorii Hamiltona – Jakobiego do zagadnienia Keplera nie tylko pozwala rozwiązać samo to zagadnienie ale posiada również duże znaczenie dla przybliżenia półklasycznego teorii kwantowej. Na początku będziemy rozpatrywali ruch płaski i zapiszemy funkcję Lagrange’a we współrzędnych biegunowych :
L = ½ m ( r. 2 + r2 ϕ. 2 ) + K/r (10.31) gdzie : K = γN Mm (dla pola grawitacyjnego)
K = – eQ (dla pola Coulombowskiego)
γN – stała grawitacyjna, m – (odpowiednio e ) – masa (ładunek ) poruszającej się cząstki M – ( Q ) – masa ( ładunek ) ciała centralnego .
W tym zagadnieniu punkt posiada dwa stopnie swobody , czego odzwierciedleniem są dwie współrzędne biegunowe r , ϕ. Znajdziemy pędy uogólnione :
pr = ∂L/ ∂ r. = mr. ; pϕ = ∂L/ ∂ ϕ. = mr2ϕ. (10.32) Wtedy funkcja Hamiltona przyjmuje postać :
H = prr. + pϕϕ. – L = ½ m ( r. 2 + r2 ϕ. 2 ) – (K/r ) = (1/2m) [ pr2 + (1/r2 ) pϕ2 ] – (K/r ) (10.33) Ponieważ chodzi o zagadnienie stacjonarne , można wyjść bezpośrednio z równania Hamiltona – Jakobiego w
postaci (8.27) :
(1/2m) [ ( ∂W/∂r)2 + (1/r2 )( ∂W/∂ϕ)2 ] – (K/r) = E (10.34) przy czym :
pr = ∂W/∂r ; pϕ = ∂W/∂ϕ (10.35) Zgodnie z zależnością (8.31) zakładamy , że :
W = R(r) + Φ(ϕ) (10.36) podstawiając to wyrażenie do równania (10.34), otrzymujemy :
R’2 + (1/r2 ) Φ2 – (2mK/r) = 2mE lub :
r2 R’2 – 2mKr – 2mEr2 = Φ’2
Ponieważ wielkości stojące po różnych stronach tego równania zależne są od różnych zmiennych niezależnych , każda strona równania powinna równać się stałej. Odpowiednio ,zatem udało się rozdzielić zmienne i otrzymać dwa równania różniczkowe zwyczajne :
pϕ = Φ’ = α (10.37) pr = R’ = ± sqrt [ 2m ( E + (k/r) ) – ( α2 / r2 ) ] (10.38) Pierwsza z tych równości wyraża prawo zachowania momentu pędu. Na mocy wzoru (8.26) otrzymujemy działanie :
S = – Et ±
∫
sqrt {2m [E + (K/r) – (α2 / r2 )}dr + αϕ + const. (10.39) Jest to całka zupełna równania Hamiltona – Jakobiego.Odpowiednimi parametrami niezależnymi są E i α.
Zgodnie z twierdzeniem Jakobiego , aby znaleźć równanie ruchu, należy zróżniczkować całkę zupełną względem tych parametrów. Na początku zróżniczkujemy względem α :
β = ∂S/∂α = ± α
∫
{2m [ E + (K/r) – (α2 / r2 )}-1/2 dr/r2 + ϕ Przejście do nowej zmiennej całkowania s = 1/r daje :β - ϕ = ± α
∫
[ 2m (E + Ks) – α2 s2 ]-1/2 ds = ±∫
ds / sqrt [ (s – s1) (s2 – s ) ] (10.40) Wykorzystaliśmy tutaj pierwiastki trójmianu s1 i s2 , dla których zachodzi równość :s1s2 = –2mE/α2 , s1+ s2 = 2mK/α2 (10.41) Fizyczny sens tych pierwiastków jest następujący :
s1 - jest wielkością odwrotną do odległości peryhelium.
s2 - jest wielkością odwrotną do odległości w aphelium.
Dalej, należy dokonać podstawienia :
s = ½ (s1 + s2 ) + ½ (s2 – s1 ) u (10.42) które sprowadza równanie (10.40) do postaci :
β – ϕ = ±
∫
du / sqrt ( 1 – u2 ) = ± arcsin(u ) = ± arcsin{ [ 2 /( s2 – s1 )] [ (1/r) – ½ (s2 + s1 )} (10.43) Stąd otrzymujemy :1/r = ½ (s2 + s1) ± ½ ( s2 – s1 )] sin( β – ϕ ) (10.44) Przywołując zależności wiążące wielkości s1 i s2 z półosią wielką a i mimośrodem ε tj. zależności :
s1 = 1 /a(1 + ε) ; s2 = 1/a( 1 – ε) (10.45) równanie (10.44) można zapisać w postaci :
1/r = [ 1±ε sin ( ϕ – β)] / a( 1 – ε2 ) (10.46) Jest to równanie wiążące r oraz ϕ, określa ono postać geometryczną toru , który jest przecięciem stożka.
Drugie równanie opisujące prawo ruchu w czasie – otrzymujemy przez zróżniczkowanie funkcji (10.39) względem E. Zgodnie z twierdzeniem Jakobiego mamy :
γ = ∂S/∂E = – t ± m
∫
{ 2m [E + (K/r)] – (α2 / r2 )}– ½ drDokonując zamiany zmiennych całkowania i wykorzystując wyżej wprowadzone oznaczenia , znajdujemy : t + γ = ± (m/α)
∫
ds / s2 sqrt [ (s – s1) (s2 – s )] (10.47) tj. ustanawiamy zależność między t i r.Całki tej jednak nie będziemy obliczać.
Jak widać z wyrażenia (10.31) w tym przykładzie kąt ϕ przedstawia współrzędną cykliczną.
11. RUCH PERIODYCZNY I WARUKOWO-PERIODYCZNY (quasiokresowy)