RÓWNANIA HAMILTONA

W teorii pola można wprowadzić równania przedstawiające sobą analog równań mechaniki Hamiltona. W tym celu wprowadzimy – analogicznie do pojęcia pędu kanonicznego (6.4) wielkości :

ΠΩi = ∂₤ / ∂UΩ | i (20.1) Podczas gdy w mechanice mają miejsce zależności :

qk → pk = ∂L/∂ p.k

w teorii pola istnieje zależność relatywistyczna :

UΩ → ΠΩi = ∂₤ / ∂UΩ | i (20.2) W mechanice - jednej uogólnionej współrzędnej qk w miarę sposobności odpowiada jeden pęd uogólniony pk . Jeśli jednak w teorii pola ściśle trzymać się zasad formalnych, to jednej funkcji pola UΩ należało by

przyporządkować cztery wielkości postaci : ΠΩi .

Wymaganie zgodności z ideami mechaniki zmusza nas jednak do odejścia od tej „dyrektywy” i wprowadzenia pojęcia pędu stowarzyszonego z polem :

ΠΩi = (1/c) ΠΩ4 = (1/c) ∂₤ / ∂UΩ | 4 = ∂₤ / ∂(∂UΩ | t ) (20.3) Zatem otrzymujemy następujące przyporządkowanie :

UΩ → ΠΩ (20.4) jednak jest ono okupione tym, że wydzielamy czwartą składową (czas) i tym samym wychodzimy poza ramy ścisłego czterowymiarowego formalizmu.

Analogicznie do funkcji Hamiltona (6.2) wprowadzamy w teorii pola „gęstość hamiltonianu” :

Ħ = ΠΩ ( ∂UΩ/∂t) – ₤ = ΠΩ4 UΩ | 4 – ₤ (20.5) Tutaj jednak również odchodzimy od kowariantności, ponieważ przy określaniu w/w wielkości wydzielamy czas. Odpowiednio zatem otrzymywane z tego równania Hamiltona nie powinny pojawiać się w

czterowymiarowym formaliźmie. Osiągamy tutaj pewną granicę, do której można jeszcze stosować idee mechaniki.

Zbudujmy różniczkę zupełną wielkości Ħ :

dĦ = ( ∂UΩ/∂t) dΠΩ + ΠΩ d ( ∂UΩ/∂t) – ( ∂₤ / ∂UΩ ) – ( ∂₤ / ∂UΩ | i ) dUΩ | i – (∂₤ / ∂ xi )jaw dxi (20.6) Zapis (∂₤ /∂xi )jaw – oznacza pochodną względem współrzędnej xi wchodzącej w sposób jawny do funkcji ₤ , w charakterze zmiennej niezależnej.

Wielkości (∂₤ /∂xi ) i (∂₤ /∂xi )jaw – związane są następującymi zależnościami :

(∂₤ /∂xi ) = ( ∂₤ /∂UΩ )UΩ | i + ( ∂₤ /∂UΩ | i ) UΩ | j | i + (∂₤ /∂xi )jaw (20.7) Z zależności :

ΠΩ ( ∂UΩ/∂t) – (∂₤ /∂UΩ | i )UΩ | i = – (∂₤ /∂UΩ | µ ) UΩ | µ (20.8) Wynika, że :

dĦ = (∂UΩ/∂t) dΠΩ – (∂₤ /∂UΩ ) dUΩ – (∂₤/∂UΩ | µ )UΩ | µ – (∂₤/∂xi )jaw dxi (20.9) Stąd widać, że Ħ ma postać :

Ħ = Ħ(UΩ , UΩ | µ , ΠΩ, xi ) (20.10) jeśli UΩ i ΠΩ są niezależne. Będziemy rozwijać teorię właśnie dla takiego przypadku.

Możemy teraz zapisać następujące równania :

∂UΩ/∂t = ∂Ħ/∂ΠΩ ; ∂Ħ/∂UΩ = – ∂₤ /∂UΩ (20.11)

∂Ħ/∂UΩ | µ = ∂₤ /∂UΩ | µ ; ( ∂Ħ/∂xi )jaw = – (∂₤ /∂xi )jaw (20.12)

I dalej – dokonamy pewnego przekształcenia równania Lagrange’a :

∂₤ /∂UΩ = ( ∂₤ /∂UΩ | i ) | i = ( ∂₤ /∂UΩ | µ ) | µ + ∂/∂t [ (∂₤ /∂(∂UΩ /∂t ) ] =

= ( ∂₤/∂UΩ | µ ) | µ + ∂ΠΩ /∂t (20.13) Stąd wynika, że :

∂ΠΩ /∂t = ( ∂₤ /∂UΩ ) – (∂₤ /∂UΩ | µ ) | µ (20.14) Podstawiając te wyrażenia do układu (20.11) daje równania Hamiltona teorii pola :

∂UΩ /∂t = ∂Ħ/∂ΠΩ ; ∂ΠΩ /∂t = – [(∂Ħ/∂ΠΩ ) – (∂₤/∂UΩ | µ ) | µ ] (20.15) Równania te można przybliżyć do postaci podobnej do równań mechaniki Hamiltonowskiej, jeśli wprowadzić pojęcie – „pochodnej funkcjonalnej”. Pochodne funkcjonalne od pewnego wyrażenia całkowego :

F =

∫

f( UΩ , UΩ | µ , ΠΩ , xi ) d3x (20.16) V3

definiujemy w następujący sposób :

*) Należy zauważyć, że autor rozróżnia pochodną wariacyjną i funkcjonalną – przypis redaktora *)

∂ΦF/∂ΦUΩ = ∂f/∂UΩ – (∂f/∂UΩ | µ ) | µ ; ∂ΦF/∂ΦΠΩ = ∂f/∂ΠΩ (20.17) Przedstawimy funkcję Hamiltona jako całkę gęstości hamiltonianu względem przestrzennej objętości :

H =

∫

Ħ (UΩ, UΩ | µ , ΠΩ, xi ) d3x (20.18) V3

Biorąc pochodne funkcjonalne od H i podstawiając je do powyższego równania Hamiltona, otrzymamy :

∂UΩ /∂t = ∂ΦH/∂ΦΠΩ ; ∂ΠΩ /∂t = – ∂ΦH/∂ΦUΩ (20.19) tj. ustanowiliśmy daleko idącą formalną odpowiedniość z równaniami mechaniki Hamiltona (6.9).

*) Zauważmy , że równania Lagrange’a teorii pola (19.12) zapisane przez pochodne funkcjonalne funkcji Lagrange’a L (18.1) mają postać :

∂ΦL/∂ΦUΩ = – ∂/∂t [ ∂ΦL/∂Φ( ∂UΩ/∂t) ] = 0

i formalnie odpowiadają mechanicznym równaniom Lagrange’a (5.2) – przypis redaktora *) 21. ZAPIS FORMALIZMU HAMILTONA PRZY POMOCY NAWIASÓW POISSONA.

Na początku wyjdziemy od tych samych idei od jakich wyszliśmy definiując nawiasy Poissona w mechanice, w tym celu rozpatrzymy dwie funkcje f , g , o następującej postaci :

f = f ( UΩ , UΩ | µ , ΠΩ, xi ) ; g = g( UΩ , UΩ | µ , ΠΩ, xi ) (21.1) Dalej wprowadzimy wielkości F ,G jako całki względem przestrzennej objętości , funkcji f i g :

F =

∫

f d3x ; g =

∫

g d3x ; (21.2) V3 V3

Nawiasy Poissona od F i G definiujemy przez pochodne funkcjonalne (20.17) w następujący sposób :

[ F, G ] =

∫

{ (∂ΦF/∂ΦUΩ ) (∂ΦG/∂ΦΠΩ ) – (∂ΦG/∂ΦUΩ )(∂ΦF/∂ΦΠΩ ) } d3x (21.3) V3

Wykorzystując tą definicję , obliczymy nawiasy Poissona dla pewnych funkcji F , G szczególnej postaci.

Otrzymane wyniki odgrywają ważną rolę przy formalnym przejściu do kwantowej teorii pola. Przy wyborze jednej z tych funkcji – funkcji Hamiltona H otrzymamy :

[ F, H ] =

∫

{ (∂ΦF/∂ΦUΩ ) (∂ΦH/∂ΦΠΩ ) – (∂ΦH/∂ΦUΩ )(∂ΦF/∂ΦΠΩ ) } d3x (21.4) V3

Zamieniając pochodne funkcjonalne od H równymi im na mocy równań Hamiltona wyrażeniami (20.19) i zapisując pochodne funkcjonalne od F w postaci (20.17) dochodzimy do następującego wyniku :

[ F , H ] =

∫

{ ( ∂f/∂UΩ – (∂f/∂UΩ | µ ) | µ )(∂UΩ /∂t) + (∂F/∂ΠΩ )(∂ΠΩ /∂t) }d3x (21.5) V3

Pozbywając się nawiasów w wyrażeniu pod całkowym oraz wykorzystując wzory dla pochodnej iloczynu , otrzymujemy :

[ F , H ] =

∫

{ ( ∂f/∂UΩ )(∂UΩ/∂t ) - (∂f/∂UΩ | µ )(∂UΩ /∂t) + (∂f/∂UΩ | µ )(∂UΩ | µ /∂t) + V3

+ (∂f/∂ΠΩ )(∂ΠΩ /∂t) }d3x (21.6) Zastosujmy do drugiej składowej po prawej stronie tego równania twierdzenie Gaussa- Ostrogradskiego :

∫

(∂f/∂UΩ | µ ) (∂UΩ /∂t) d3x =

∫

(∂f/∂UΩ | µ ) (∂UΩ /∂t)dσµ (21.7) V3 ∂V3

Jeśli przyjmiemy, że przy przejściu granicznym do całki po nieskończonej objętości, funkcja całkowa w całce po powierzchni dąży do zera szybciej niż pole obszaru tej powierzchni dąży do nieskończoności, to całka ta dążyć będzie do zera.

Ponieważ :

∂f/∂t = (∂f/∂UΩ )(∂UΩ /∂t) + (∂f/∂UΩ | µ )(∂UΩ | µ /∂t) + ( ∂f/∂UΩ )(∂ΠΩ /∂t) + (∂f/∂t )jaw (21.8) to mamy :

[ F , H ] =

∫

[ (∂f/∂t) – (∂f/∂t )jaw ] d3x (21.9) V3

Teraz można dokonać całkowania, ponieważ operacje – całkowania względem czasu i całkowania względem objętości przestrzennej są zamienne, w wyniku tego otrzymujemy :

dF/dt = ∂F/∂t + [ F , H ] (21.10) Jest to „równanie ruchu“ dla wielkości F w teorii pola. Podstawiając , w szczególności F = H , otrzymamy : dH/dt = ∂H/∂t (21.11) Jeśli funkcja Hamiltona nie zależy w sposób jawny od czasu to H jest stałą ruchu i można utożsamić powyższą zależność z prawem zachowania energii.

dH/dt = 0 (21.12) lub

H = const. (21.13) W teorii pola nie przypadkowo wybraliśmy dla funkcji Lagrange’a L, funkcji Hamiltona H i działania S te same symbole co i w mechanice. Nie bacząc na rozszerzenie fizycznych aspektów , mamy do czynienia z tą samą fizyczna treścią - odpowiada to ciągłości procesu rozwoju fizyki.

Zastosujemy teraz ogólne równania ruchu (21.10) do przypadków : F = UΩ i F = ΠΩ.

Zgodnie z zależnościami (21.2) wykorzystamy przy tym wyrażenia całkowe dla wielkości UΩ i ΠΩ , wyrażonych przy pomocy funkcji delta Diraca :

UΩ (xµ, t ) =

∫

_{UΩ (}ξµ, t ) δ(xµ – ξµ )d3ξ (21.14) V3

ΠΩ (xµ, t ) =

∫

ΠΩ (ξµ, t ) δ(xµ – ξµ )d3ξ (21.15) V3

Ponieważ nie występuje tutaj jawna zależność od czasu, z równania (21.10) otrzymujemy następujące „równanie ruchu” dla funkcji polowych i pędów sprzężonych :

∂UΩ /∂t = [ UΩ, H ] ; ∂ΠΩ/∂t = [ ΠΩ, H ] (21.16) Równania te są „równaniami polowymi Hamiltona“ zapisanymi przez nawiasy Poissona.

Poniżej obliczymy nawiasy Poissona dwóch funkcji polowych od dwóch funkcji pędów stowarzyszonych. Mając na uwadze zastosowania kwantowomechaniczne , będziemy również mówić o zależnościach komutacyjnych.

Przy obliczeniach będziemy wykorzystywali reprezentacje całkowe (21.14) i (21.15). Zgodnie z ogólną teorią zakładamy :

F = UΩ (xµ, t ) i f = UΩ (ξµ, t )δ(xµ - ξµ ) (21.17) jak również :

G = ΠΩ (xµ, t ) i g =ΠΩ (ξµ, t ) δ(xµ - ξµ ) (21.18)

Nawiasy Poissona od dwóch funkcji polowych zapisujemy następująco :

[ UΩ(xµ, t ) ,UΓ (x^µ, t )] =

∫

{(∂ΦUΩ /∂ΦUΛ)(∂ΦUΓ /∂ΦΠΛ) – (∂ΦUΓ /∂ΦUΛ)(∂ΦUΩ /∂ΦΠΛ) }d3ξ (21.19) V3

należy przy tym, wnikliwie śledzić względem jakiego argumentu bierzemy pochodne.

Zgodnie z definicją pochodnej funkcjonalnej (20.17) , otrzymujemy :

(∂ΦUΓ /∂ΦΠΛ) = ∂/∂Π{UΓ δ(xµ – ξµ )} = 0 (21.20) co jest konsekwencją m.in. tego, że funkcje polowe UΓ i funkcje pędu ΠΛ zakładamy jako niezależne jedna od drugiej. Zatem z równości (21.19) wynika zależność komutacyjna :

[ UΩ (xµ, t ), UΓ (x^µ, t )] = 0 (21.21) Obliczymy teraz nawiasy Poissona od dwóch funkcji pędów ΠΩ i ΠΓ :

[ ΠΩ (xµ, t ), ΠΓ (x^µ, t ) ] =

∫

{(∂ΦΠΩ/∂ΦUΛ)(∂ΦΠΓ/∂ΦΠΛ) – (∂ΦΠΓ/∂ΦUΛ)(∂ΦΠΩ/∂ΦΠΛ) }d3ξ (21.22) V3

Następnie ponownie wykorzystamy definicję pochodnej funkcjonalnej (20.17) i znajdziemy :

(∂ΦΠΩ/∂ΦUΛ) = ∂/∂UΛ{ΠΩ δ(xµ – ξµ )} – { ∂/∂UΛ | µ ( ΠΩ δ(xµ – ξµ ) )}| µ = 0 (21.33) co wynika z tego, że wielkości ΠΩ i UΛ | µ również rozpatrujemy jako niezależne.

Dlatego też z równości (21.22) wynika zależność komutacyjna :

[ ΠΩ (xµ, t ), ΠΓ (x^µ, t ) ] = 0 (21.24) Na zakończenie wprowadzimy zależności komutacyjne zawierające funkcje polową UΩ i funkcje pędu ΠΓ : [UΩ (xµ, t ), ΠΓ (x^µ, t ) ] =

∫

{∂/∂UΛ [UΩδ(xµ – ξµ )] ∂/∂ΠΛ[ (ΠΓδ(x^µ – ξµ )] – ∂/∂UΛ [ ΠΓδ(x^µ – ξµ )]

V3

∂/∂ΠΛ[ UΩδ(xµ – ξµ )] }d3ξ (21.25) Ostatnia składowa zeruje się na mocy niezależności UΛ i ΠΓ. Uwzględniając wyniki różniczkowania :

∂/∂UΛ [ UΩδ(xµ – ξµ )] = δΩΛ δΩδ (xµ – ξµ ) (21.26)

∂/∂ΠΛ[ (ΠΓδ(x^µ – ξµ )] = δΛΓδΩδ (x^µ – ξµ ) (21.27) dochodzimy do równości :

UΩ (xµ, t ), ΠΓ (x^µ, t ) ] =

∫

{ δΩΛδΩδ (xµ – ξµ ) δΛΓδΩδ (x^µ – ξµ ) }d3ξ (21.28) V3

Stąd poprzez całkowanie otrzymujemy zależność komutacyjną :

[UΩ (xµ, t ), ΠΓ (x^µ, t ) ] = δΩΓ δ (xµ – x^µ ) (21.29) W odróżnieniu od poprzednich wyników teraz nawiasy Poissona są różne od zera, jeśli zawierają one funkcje polową i odpowiadającą jej funkcję pędu, przy czym wartości obu tych wielkości brane są w jednej i tej samej chwili czasu i w jednym i tym samym punkcie przestrzeni.

Na zakończenie tego rozdziału obliczymy jeszcze nawiasy Poissona od dowolnej wielkości F i funkcji polowej UΩ , oraz od dowolnej wielkości F i funkcji pędu ΠΩ.

Mamy zatem :

[ F, UΩ (xµ, t ) ] =

∫

{(∂ΦF/∂ΦUΛ)(∂ΦUΩ /∂ΦΠΛ) – (∂ΦUΩ /∂ΦUΛ)(∂ΦF/∂ΦΠΛ) }d3ξ (21.30) V3

W wyrażeniu podcałkowym pierwsza składowa zeruje się na mocy niezależności UΩ i ΠΛ , zatem pozostaje : [ F, UΩ (xµ, t ) ] =

∫

{δΩΛ (∂f /∂ΠΛ) δ(xµ – ξµ ) }d3ξ (21.31) V3

Po całkowaniu otrzymujemy :

[ F , UΩ ] = – (∂ΦF/∂ΦΠΩ ) (21.32)

Analogicznie prowadzimy obliczenia dla :

[ F , ΠΩ (xµ, t ) ] =

∫

{(∂ΦF/∂ΦUΛ)(∂Φ ΠΩ/∂ΦΠΛ) – (∂Φ ΠΩ/∂ΦUΛ)(∂ΦF/∂ΦΠΛ) }d3ξ (21.33) V3

Teraz zeruje się druga składowa w wyrażeniu podcałkowym, zatem pozostaje :

[ F , ΠΩ (xµ, t ) ] =

∫

{ [ (∂f/∂UΛ) – (∂ f/∂UΛ | µ ) | µ ] δΛΩδ (xµ – ξµ )}d3ξ (21.34) V3

Zatem poprzez całkowanie otrzymujemy :

[ F, ΠΩ (xµ, t ) ] = δΛΩ [ (∂f/∂UΛ) – (∂ f/∂UΛ | µ ) | µ ] = ( ∂f/∂UΩ ) – (∂ f/∂UΩ | µ ) | µ (21.35) lub – przy wykorzystaniu pochodnej funkcjonalnej :

[ F, ΠΩ ] = (∂ΦF/∂ΦUΩ ) (21.36) Dla równań (21.32) i (21.36) istnieją mechaniczne analogi – równania (7.8) i (7.9).

Wprowadzone w tym rozdziale zależności, w których figurują nawiasy Poissona, mają zasadnicze znaczenie przy formalnym przejściu do kwantowej teorii pola, jest tak ponieważ w kwantowej teorii pola nawiasy Poissona są komutatorami od odpowiadających im polowych operatorów, podobnie jak to było dla zależności

mechanicznych (7.4).

22. TEORIA NOETHER

W dokumencie Podstawowe zasady mechaniki klasycznej i klasycznej teorii pola (Stron 53-57)