Zastosujmy teraz rozwinięty powyżej formalizm do układu zamkniętego, składającego się z N punktów materialnych, poddanych działaniu tylko sił wewnętrznych. Wyjdziemy z nieskończenie małej funkcji
tworzącej, zawierającej wszystkie znane symetrię mechaniki newtonowskiej, odzwierciedlające ważne fizyczne rezultaty będące owocem wielu lat jej rozwoju. Funkcja o której mowa wygląda następująco :
N N N N
I = – a Σ pΩ + ξH - d Σ (rΩ × pΩ ) – v [ t Σ rΩ – Σ mΩrΩ ] (15.1) Ω=1 Ω=1 Ω=1 Ω=1
gdzie : a , ξ , d , v – są nieskończenie małymi parametrami ( ξ - jest parametrem skalarnym, reszta to parametry wektorowe ).
Zgodnie z ogólną teorią, potrzebne nam będą pochodne cząstkowe od I względem różnych zmiennych, dlatego znajdujemy :
∂I/∂rΩ = ξ (∂H/∂rΩ ) + ( d × pΩ ) – v mΩ (15.2)
∂I/∂pΩ = – a + ξ (∂H/∂pΩ ) – ( d × rΩ ) – v t (15.3) N
∂I/∂t = ξ (∂H/∂t) + v Σ pΩ (15.4) Ω=1
Stąd, zgodnie ze wzorami (13.5), teorii ogólnej, obliczamy przekształcone zmienne i przekształcone funkcje Hamiltona :
r^Ω = rΩ – ∂I/∂pΩ = rΩ + a + ( d × rΩ ) – v t – ξ (drΩ /dt ) (15.5) p^Ω = pΩ - ∂I/∂rΩ = pΩ + ( d × pΩ ) – v mΩ – ξ (dpΩ /dt ) (15.6) N
H^ = H – ∂I/∂t = H – v Σ pΩ – ξ (∂H/∂t ) (15.7) Ω=1
Równości te przedstawiają wzory na przekształcenia odpowiednich wielkości, otrzymane przy pomocy nieskończenie małej funkcji tworzącej.
Teraz wyjaśnię sens nieskończenie małych parametrów i rozpatrzę wzór dotyczący przekształcenia zmiennej r^Ω . Widać , że :
a – określa przesunięcie przestrzenne d – określa obrót przestrzenny.
v – określa ruch jednostajny.
ξ - określa przesunięcie czasu.
Przy przekształceniach Lorentza czterowymiarowej przestrzeni, a i ξ opisują przesunięcie czasoprzestrzenne d i v – określają obrót czasoprzestrzenny.
Mając do dyspozycji te wyniki zbadamy funkcje Hamiltona dla zamkniętego układu mechanicznego,
składającego się z N punktów materialnych . Miedzy tymi punktami mogą działać siły potencjalne, które zależne są tylko od wartości różnicy wektorów wodzących punktów materialnych. A tego, na mocy zachowawczości układu wynika, że :
N
H = T + U = Σ ½ mΩ (drΩ /dt )2 + U (rΩΓ ) (15.8) Ω=1
lub : N
H = ½ Σ ( p2Ω /mΩ ) + U (rΩΓ ) ( rΩΓ = | rΩ – rΓ | ) (15.9) Ω=1
Teraz nasze zadanie polega na tym aby znaleźć symetrię w tej funkcji Hamiltona, ponieważ zgodnie z ogólną teorią, każda symetria daje pewne prawo zachowania ( całkę pierwszą ).
Jak już wspomniałem, wprowadzona powyżej nieskończenie mała funkcja tworząca I wyczerpuje wszystkie symetrię funkcji Hamiltona. Należy również pokazać, że spełniona jest równość :
(∂I/∂t ) + ∆^H = 0 (15.10) Zgodnie ze wzorem (14.1) obliczmy wielkość :
N N
∆^H = ½ Σ ( p^2Ω /mΩ ) + U (r^ΩΓ ) – ½ Σ ( p2Ω /mΩ ) + U (rΩΓ ) Ω=1 Ω=1
W to wyrażenie należy podstawić wartości czterech zmiennych pΩ , p^Ω , r^Ω , rΩ .
Przy zmiennych podniesionych do kwadratu, należy mieć na uwadze, że małe drugiego rzędu odrzucamy : Obliczmy :
r^ΩΓ = | rΩ – rΓ | :
r^ΩΓ = sqrt ( r^Ω – r^Γ ) = sqrt { [ rΩ – rΓ + d × ( rΩ – rΓ ) – ξ ( r.Ω – r.Γ )]2 } =
= [ ( rΩ – rΓ )2 + 2 ( rΩ – rΓ ) [d × ( rΩ – rΓ )] – 2 ξ ( rΩ – rΓ ) ( r.Ω – r.Γ )] ½ (15.11) Dalej mamy :
N
∆^H = ½ Σ (1/mΩ )[ p^2Ω + 2 pΩ (d × pΩ ) – 2mΩ pΩ v – 2 ξ p.Ω pΩ – p2Ω ] + Ω=1
U {[ ( rΩ – rΓ )2 + 2( rΩ – rΓ ) [d × ( rΩ – rΓ )] – 2( rΩ – rΓ ) ( r.Ω – r.Γ )ξ ] ½ } – U (rΩΓ ) (15.12) Uproszczając ( uwzględniając m.in. to ,że iloczyn mieszany wektorów do którego wchodzą równe czynniki jest równy zeru ) otrzymamy :
N N
∆^H = – v Σ pΩ – ½ ξ d/dt Σ (p^2Ω / mΩ ) + U ( rΩΓ sqrt [ 1– 2ξ d/dt ( ln (rΩΓ )] ) – U(rΩΓ )}
Ω=1 Ω=1
( o słuszności wyrażenia stojącego pod pierwiastkiem można się przekonać różniczkując je ).
Teraz możemy rozłożyć pierwiastek, wchodzący jako argument funkcji , w szereg Taylora :
sqrt [1 – 2ξ d/dt ( ln (rΩΓ ) ] ≈ 1 – ξ d/dt [ ln (rΩΓ ) ] (15.13) Zatem, rozkładając w szereg Taylora samą funkcję U otrzymamy :
N
U = U ( rΩΓ – ξ rΩΓ d/dt[ ln (rΩΓ )] = U(rΩΓ ) – ½ξ Σ (∂U/∂rΩΓ ) (drΩΓ /dt) (15.14) Ω, Γ=1
Ponieważ do sumy po prawej stronie , każda ze składowych wchodzi dwukrotnie postawiliśmy przed znakiem sumy czynnik ½ . W wyniku tego wyrażenie ∆^H przyjmuje postać :
N N N
∆^H = – v Σ pΩ – ½ ξ d/dt Σ (p^2Ω / mΩ ) – ½ξ Σ (∂U/∂rΩΓ ) (drΩΓ /dt) (15.15) Ω=1 Ω=1 Ω, Γ=1
Ponieważ :
N N
dH/dt = ½ d/dt Σ (p^2Ω / mΩ ) + ½ Σ (∂U/∂rΩΓ ) (drΩΓ /dt) (15.16) Ω=1 Ω, Γ=1
ostatecznie otrzymujemy : N
∆^H = – v Σ pΩ – ξ dH/dt (15.17) Ω=1
Teraz obliczmy pochodną zupełną względem czasu wielkości I : N N
dI/dt = ∂I/∂t + ∆^H = v Σ pΩ + ξ dH/dt – v Σ pΩ – ξ dH/dt (15.18) Ω=1 Ω=1
Z tego , na mocy równości (6.11) wynika warunek postaci :
dI/dt = 0 lub I = const. (15.19) Zatem nasza nieskończenie mała funkcja tworząca jest stałą ruchu , rozpatrywanego układu mechanicznego.
Wyjaśnię teraz co oznacza taki wynik.
Ponieważ parametry wybrane zostały dowolnie, można ustalić wartość jednego z nich, a pozostałe przyjąć równe zeru. Wykonując kolejno tą procedurę do każdego z parametrów, znajdujemy dla każdego z nich stałą wielkość, będącą mnożnikiem przy danym parametrze w wyrażeniu (15.1).
Rozpatrzmy otrzymywane w taki sposób wyrażenia : 1). a ≠ 0 , d = 0 , v = 0 , ξ = 0
Z (15.1) wynika równość : N
a Σ pΩ = const.
Ω=1 Zatem : N
Σ pΩ = const. ( zachowanie pędu ) (15.20) Ω=1
Zatem ,jak widać , prawo zachowania pędu otrzymaliśmy z symetrii funkcji Hamiltona , względem przesunięcia przestrzennego. Dlatego w przestrzeni konfiguracyjnej wszystkie punkty są „równouprawnione” żadnego z punktów nie można uprzywilejować. Własność ta nazywamy „jednorodnością przestrzeni”.
2). ξ ≠ 0 , d = 0 , v = 0 , a = 0
W tym przypadku z (15.1) wynika równość : ξ H = const.
i dlatego :
H = E = const. ( zachowanie energii ) (15.21) Prawo zachowania energii jest wynikiem symetrii funkcji Hamiltona względem przesunięcia czasowego.
Dlatego żadna chwila czasu nie jest uprzywilejowana , stwierdzenie to nazywamy „jednorodnością czasu”.
3). d ≠ 0 , a = 0 , v = 0 , ξ = 0
Przy tych warunkach ze wzoru (15.1) otrzymujemy : N
d Σ ( rΩ× pΩ ) = const.
Ω=1
Odpowiednio zatem : N
Σ ( rΩ × pΩ ) = const. ( zachowanie momentu pędu ) (15.22) Ω=1
Jak widzimy prawo zachowania momentu pędu wynika z symetrii funkcji Hamiltona względem obrotu przestrzennego. Własność ta nazywa się „izotropowością” przestrzeni.
4). v ≠ 0 , a = 0 , d = 0 , ξ = 0 Zgodnie ze wzorem (15.1) mamy : N N
v [ t Σ rΩ - Σ mΩrΩ ] = const.
Ω=1 Ω=1 skąd otrzymujemy : N N
Σ mΩrΩ - t Σ pΩ = const. (prawo zachowania prędkości środka masy ) (15.23) Ω=1 Ω=1
Zatem, jednostajny i prostoliniowy ruch środka masy wynika z odpowiedniej symetrii funkcji Hamiltona.
W podejściu czterowymiarowym fakt ten dotyczy obrotu czasoprzestrzennego ( obrót lorentzowski ), któremu odpowiada „izotropowość continuum czasoprzestrzennego )
Prawa zachowania pędu, momentu pędu i prędkości środka masy wyrażone są równaniami wektorowymi, każde takie równanie równoważne jest trzem równaniom skalarnym, zatem te trzy prawa łącznie dają dziewięć stałych ruchu. Przy spełnieniu wszystkich wskazanych powyżej symetrii w mechanice istnieje dziesięć stałych ruchu ( włączając stałą energii )
16.MECHANIKA RELATYWISTYCZNA PUNKTU MATERIALNEGO W TRÓJWYMIAROWYM FORMALIŹMIE.
Przy dużych prędkościach ruchu mechanika Newtonowska nie jest już słuszna i należy stosować wzory szczególnej teorii względności stworzonej przez A. Einsteina w 1905 roku. Mechanika relatywistyczna układu punktów materialnych nie istnieje , ponieważ wysokoenergetyczne cząstki oddziałują wzajemnie w wyniku czego występują zjawiska których wyjaśnienie wymaga wyjścia poza ramy mechaniki ( przykładowo : anihilacja par cząstek i promieniowanie fal elektromagnetycznych ).
W relatywistycznym sformułowaniu równanie ruchu punktu zapisujemy następująco :
d/dt { m0 r. / sqrt [ 1 – ( r. 2 / c2 )] } = K (16.1) Równanie to przedstawia uogólnienie równania ruchu Newtona.
W mechanice relatywistycznej masa nie jest stała ale jest zmienną dynamiczną, zależną od prędkości :
m = m0 / sqrt (1 – ( r. 2 / c2 ) ) ( masa relatywistyczna ) (16.2) Pokaże teraz , że można przenieść do mechaniki relatywistycznej teorię Lagrange’a – Jakobiego w
trójwymiarowym sformułowaniu.
Zdefiniujmy działanie w sposób analogiczny jak wcześniej ( zobacz wyrażenie ( 8.1 ) ) : t1
S =
∫
L(r, r., t ) dt + S0 (16.3) t0Ponieważ nie nakładamy na funkcję Lagrange’a żadnych ograniczeń, zasadę Hamiltona otrzymamy również w znanej postaci :
t1
δ
∫
L(r, r. , t ) dt = 0 , przyczym : δr ( t1) = δr (t0 ) = 0 (16.4) t0Odpowiednio zatem równanie Lagrange’a wygląda następująco :
δL/δr = ∂L/∂r – d/dt (∂L/∂r. ) = 0 (16.5) Równanie ruchu (16.1) możemy otrzymać przy pomocy relatywistycznej funkcji Lagrange’a :
L = m0 c2 [ 1 – ( r. 2/c2 ) ] ½ – U(r, r., t ) (16.6) Rozłożenie wyrażenia pod pierwiastkiem w szereg Taylora daje :
[ 1 – ( r. 2 / c2 ) ] ½ ≈ 1 – ½ (r. 2 /c2 ) (16.7) Jeżeli rozpatrujemy małe prędkości w porównaniu z prędkością światła ( r. 2 << c2 ), to człony wyższych rzędów można odrzucić. Wtedy z dokładnością do stałej addytywnej, która jak wiadomo nie figuruje w równaniach ruchu, otrzymujemy już znaną postać funkcji Lagrange’a mechaniki newtonowskiej (4.24):
L ≈ – m0c2 + ½ m r. 2 – U (16.8) Pokaże teraz, że ta relatywistyczna funkcja Lagrange’a prowadzi do prawidłowych równań ruchu.
Różniczkując ją znajdujemy :
∂L/∂r = – ∂U/∂r (16.9) p = ∂L/∂r. = { m0r. / sqrt [ 1 – ( r.2 / c2 ) ] } – ∂U/∂r. (16.10) Wprowadzając masę relatywistyczną (16.2) otrzymujemy :
p = mr. – ∂U/∂r. (16.11) Podstawmy to wyrażenie do równania Lagrange’a :
d/dt ( mr. ) = – ∂U/∂r +d/dt ( ∂U/∂r. ) (16.12) Porównując go z równaniem ruchu otrzymamy wyrażenie dla siły :
K = – ∂U/∂r + d/dt ( ∂U/∂r. ) (16.13) identyczne z wyrażeniem (4.27).
Zastosujmy powyższe wzory do opisu ruchu cząstki naładowanej poruszającej się w dowolnym polu
elektromagnetycznym ( efekty kwantowo-mechaniczne pomijamy ) i sprawdźmy czy otrzymamy znany wzór : K = eE + (e/c)( v × B ) (16.14) gdzie : E – jest natężeniem pola elektrycznego, B – jest natężeniem pola magnetycznego.
W danym przypadku potencjał uogólniony wygląda następująco :
U = eϕ – (e/c) Ar. (16.15) Podstawiając ten potencjał do wzoru (16.13) otrzymamy :
K = e(∂ϕ/∂r) + (e/c) ∂/∂r(Ar. ) – (e/c) dA/dt (16.16) Aby dojść do ogólnego wyrażenia na siłę należy przekształcić ten wynik. W tym celu przejdziemy od zapisu wektorowego do zapisu we współrzędnych. ( Indeksy górne greckie przybierają wartości od 1 do 3 . Zgodnie z umową sumacyjną stosujemy również sumowanie względem powtarzających się indeksów ) Mamy zatem :
Kµ = – e (∂ϕ/∂xµ ) + (e/c) (∂Aν/∂xµ )x.ν – (e/c) (∂Aµ/dt ) (16.17) Przy tym uwzględniliśmy, że w formaliźmie Lagrange’a współrzędne i prędkości rozpatruje się jako zmienne niezależne. Dalsze przekształcenia pokazują, że :
Kµ = – e (∂ϕ/∂xµ ) + (e/c) [ (∂Aν/∂xµ ) – (∂Aµ/∂xν )x.ν – (∂Aµ/dt )] (16.18) Przyjmując zależność między natężeniami pól i potencjałem skalarnym ϕ oraz wektorowym A, postaci : E = – grad ϕ – (1/c) ∂A/∂t , B = rot A (16.19) lub w zapisie we współrzędnych :
Eµ = – (∂ϕ/∂xµ ) – (1/c) (∂Aµ/∂t ) ; B1 = (∂A3/∂x2 ) – (∂A2/∂x3 ) itd. (16.20) wzory (16.18) dla µ = 1 można przedstawić w następującej postaci :
K1 = eE1 + (e/c){ [(∂A2/∂x1 ) – (∂A1/∂x2 )] x.2 – [(∂A1/∂x3 ) – (∂A3/∂x1 )] x.3 } =
= eE1 + (e/c)( B3x.2 – B2x.3 ) = eE1 + (e/c)( v × B)1
Dla pozostałych składowych można przeprowadzić analogiczne rachunki, otrzymując zapis we współrzędnych wzoru (16.14). Zatem pokazaliśmy, że (16.15) przedstawia prawidłowe wyrażenie dla potencjału uogólnionego.
Następnym etapem będzie obliczenie funkcji Hamiltona z funkcji Lagrange’a – w tym celu wykorzystamy wzór (6.2) :
H( r, p, t ) = r. p – L( r, r., t ) (16.21) W naszym przypadku spełnione są również równania kanoniczne (6.9) – (6.11) których zapis wektorowy ma postać :
r. = ∂H/∂p ; p. = – ∂H/∂r ; dH/dt = ∂H/∂t = –∂L/∂t (16.22) Podstawiając wyrażenia (16.6) do wzoru (16.21) otrzymamy :
H = r.p + m0c2 sqrt [ 1 – ( r. 2 / c2 )] + U (16.23) Ponieważ H jest funkcją współrzędnych i pędu r. należy wyrazić przez p.
Jednak celowe wydaje się przeprowadzić to następująco : na początku wyrazić p przez r. a potem przejść od r.
do p. Zgodnie z definicją pędu kanonicznego (6.4) :
p = ∂L/∂r. = { r. m0 /sqrt [ 1 – ( r.2 / c2 )] } – ∂U/∂r. (16.24) Podstawiając to wyrażenie do wzoru (16.23) , otrzymamy :
H = { r. m0 / sqrt [ 1 – ( r.2 / c2 ) ] } + m0c2 sqrt [ 1 – ( r.2 /c2 ) ] + U – ( ∂U/∂r. ) r. =
= m0c2 + U – (∂U/∂r. ) r. (16.25) Zatem, dochodzimy do interesującego wyniku. W mechanice relatywistycznej energii kinetycznej odpowiada wielkość m0c2. Jednak do funkcji Lagrange’a wyrażenie to nie wchodzi tj. w mechanice relatywistycznej już nie zachodzi zależność postaci ;
L = T – U
Teraz zapiszemy w funkcji Hamiltona r. przez p dla przypadku ruchu cząstki naładowanej w polu
elektromagnetycznym. W tym celu podstawimy do wyrażenia (16.25) potencjał uogólniony (16.15), co pozwoli otrzymać :
H = mc2 + eϕ = { m0c2 / sqrt [ 1 – ( r.2/c2 )] } + eϕ (16.26)
Stąd wynika , że :
( H – eϕ )2 = m02c2 / [ 1 – ( r.2 /c2 ) ] (16.27) I dalej, zgodnie ze wzorem (16.24) *) Zauważmy, że tutaj nie spełniona jest równość p = mr., chociaż
wykorzystujemy współrzędne kartezjańskie. *) :
p = { r. m0 /sqrt [ 1 – ( r.2 /c2 )] } + (e/c) A = mr. + (e/c) A (16.28) skąd :
[ p – (e/c)A ]2 = m02
r.2 / [ 1 – ( r.2 /c2 )] (16.29) Rozwiązując to równanie względem r.2 /c2, otrzymamy :
r.2 /c2 = (1/c2 )[ p – (e/c)A ]2 / [m02 + (1/c2 )[ p – (e/c) A ]2 (16.30) I dalej :
1 – ( r.2 /c2 ) = { 1 + (1/m02c2 ) [ p – (e/c) A ]2 }–1 (16.31) I ostatecznie (16.27) możemy zapisać w następujący sposób :
( H – eϕ)2 = m02 c4 + c2 [ p – (e/c)A ]2 (16.32) Przy podstawieniu do tego równania następujących zależności :
p = ∂S/∂r ; H = – ∂S/∂t (16.33) (jak to było robione przy wyprowadzaniu równania Hamiltona – Jakobiego ), otrzymujemy równanie Hamiltona - Jakobiego dla cząstki relatywistycznej poruszającej się w polu elektromagnetycznym :
[ (∂S/∂r) – (e/c) A ]2 – (1/c2 ) [(∂S/∂t) + eϕ ]2 + m02 c2 = 0 (16.34) W dalszej kolejności będziemy przyjmowali , że indeksy łacińskie przyjmują wartości od 1 do 4, zgodnie z liczbą wymiarów czasoprzestrzeni. Umowa sumacyjna pozostaje w mocy.
W zapisie czterowymiarowym równanie (16.34) znacznie się upraszcza. Wektor wodzący ma cztery składowe : xi = (x, y, z , ct ) (16.35) a czteropotencjał ma postać :
Ai = ( A, –ϕ ) = ( A1, A2 , A3 , –ϕ ) (16.36) W STW tensor metryczny ma postać :
gij = gij = ( 1 0 0 0 ) (16.37) ( 0 1 0 0 )
( 0 0 0 1 ) ( 0 0 0 –1 )
Po uwzględnieniu tych zależności równanie (16.34) przyjmuje postać :
gij [ (∂S/∂xi ) – (e/c)Ai ] [ (∂S/∂xi ) – (e/c) Aj ] + m02 c2 = 0 (16.38) Jest to relatywistyczne równanie Hamiltona –Jakobiego.
Poprzez niego ustanawia się związek z równaniem Kleina-Gordona mechaniki kwantowej , opisującym ruch relatywistyczny cząstki przy braku spinu.