Procedury aproksymacji przebiegu czasowego sygnału

W rozdziale 4.4 omówiono podstawy teoretyczne aproksymacji funkcji, na której opiera się wiele metod analizy i przetwarzania sygnału. Procedury aproksymacji przebiegów czasowych zostały zaimplementowane w programie komputerowym wieloczujnikowego systemu pomiarowego. Z jednej strony stanowią odrębne programy napisane w celach sprawdzenia skuteczności aproksymacji w odniesieniu do sygnałów fotopletyzmograficznych. Natomiast z drugiej strony są podprogramami innych programów opisanych w rozdziale 5.5.2.3.

Pierwszą analizowaną funkcją aproksymującą była funkcja typu wielomian, która ze względu na swą prostą budowę i określone znane właściwości ma szerokie zastosowanie w wielu działach matematyki i techniki. Różne kombinacje współczynników oraz zmiennych o wykładnikach naturalnych kształtują unikatowy przebieg funkcji [34, 133]. W niniejszej

pracy sygnał fotopletyzmograficzny poddano aproksymacji wielomianowej z użyciem jako bazy funkcji: jednomianów stopnia n oraz wielomianów ortonormalnych. W pierwszej kolejności zastosowano najczęściej wykorzystywany model wielomianowej funkcji aproksymującej, który można wyrazić w postaci ogólnego wzoru:

∑

(5.15) Sumę błędów różnic dla jednomianów stopnia n, będącą wyznacznikiem dopasowania wielomianu do aproksymowanej funkcji, można przedstawić następująco:

∑ ( ∑ aproksymującego stopnia i. Pierwsza aproksymacja dotyczyła pojedynczego okresu sygnału PPG, w której zmieniano stopień wielomianu i aproksymującego od i=6 do i=27. Dla przykładu na rysunku 5.80a przedstawiono wynik aproksymacji wielomianem stopnia i=15, na którym widać właściwe niezniekształcone odwzorowanie sygnału PPG potwierdzone przebiegiem wykresu błędu aproksymacji na rysunku 5.80b.

a) b) c)

Rys. 5.80. Wykresy: a) sygnału PPG i jego aproksymacji wielomianem stopnia i=15 oraz różnic  między przebiegami przed i po aproksymacji wielomianem: b) 15 stopnia i c) 22 stopnia

Dla wielomianów wyższych rzędów można było zaobserwować charakterystyczne oscylacje wysokoczęstotliwościowe przebiegu. Jest to szczególnie widoczne na wykresie rysunku 5.80c już przy rzędzie wielomianu równym i=22. Powodem były błędy w trakcie obliczeń na źle uwarunkowanej macierzy wejściowej, które przez zastosowanie procedury skalowania w oparciu o wzory (4.18) i (4.19) można było skutecznie wyeliminować, poprawiając stabilność numeryczną obliczeń.

Kolejnym krokiem było sprawdzenie wpływu doboru rzędu wielomianu na dokładność aproksymacji wyrażonej w postaci obliczonych współczynników SSE, R², MSE.

Rozpatrywany w pracy zakres zmian rzędów wielomianów aproksymujących mieścił się w przedziale od i=6 do i=27. Na wykresach (rys. 5.81) widać, iż charakterystyki są nieliniowe i dzielą przestrzeń na cztery obszary:

 od 6 do 10 stopnia, wielomiany niedokładnie odwzorowują analizowany przebieg PPG, zniekształcając znacząco jego kształt,

 od 10 do 20 stopnia, gdzie widać granicę efektu nasycania krzywych błędów przy jednak nie dość dokładnym odtwarzaniu kształtu krzywej PPG,

 od 20 do 25 stopnia, sygnał PPG jest bardzo dobrze odwzorowany przez wielomiany aproksymujące, zarówno co do kształtu, jak i wartości,

 powyżej 25 stopnia, różnice w przebiegach dla kolejnych stopni są niezauważalne jednak mogą zawierać zakłócenia wysokoczęstotliwościowe.

a) b) c)

Rys. 5.81. Zależności dokładności aproksymacji od stopnia wielomianu aproksymującego wyrażonej współczynnikami: a) SSE, b) R², c) MSE

Zwiększanie rzędu wielomianu powyżej stopnia 30 nie ma praktycznego uzasadnienia i może komplikować przeprowadzane obliczenia. Zastosowanie bazy jednomianów nie jest korzystne przede wszystkim ze względu na duży i powtarzalny nakład obliczeniowy współczynników wielomianu. Jednym ze sposobów uproszczenia obliczeń jest przyjęcie jako bazy składowych funkcji ortonormalnych. Zatem obliczenia współczynników wielomianów w zapisie macierzowym upraszczają się do postaci:

(5.17)

W przygotowanej aplikacji jest możliwość zastosowania jako bazy ortonormalnych wielomianów Czebyszewa, Legendre'a, Laguerre, Hermita. Minimalny rząd tego typu wielomianów aproksymujących pojedynczy okres sygnału PPG wynosi 20, co jest porównywalne z wcześniej wykorzystywaną bazą jednomianów. Zastosowanie wielomianów ortonormalnych wpływa na szybkość i jakość obliczeń, jednak wymaga często przeprowadzenia normalizacji danych pomiarowych do przedziałów, w których funkcje bazowe są ortonormalne.

Drugą badaną funkcją aproksymującą przebieg fali tętna była funkcja Gaussa. Geneza powstania fali tętna określana jest często jako propagacja dwóch składowych fal tętna rozchodzących się w przeciwnych kierunkach [37, 39, 48]. Pierwsza z nich to fala główna, natomiast druga to fala odbita będąca odpowiedzią układu. W kształcie sygnału PPG można odnaleźć kształty typowych fal bardzo przypominających krzywe Gaussa o różnych amplitudach. Wzór określający funkcję Gaussa można wyrazić w postaci:

^{[ (}

) ] (5.18)

gdzie: a – to amplituda, b – to lokalizacja maksimum funkcji, c – określa szerokość powierzchni krzywej. Poprzez swoje właściwości funkcja Gaussa stanowi bazę funkcyjną, którą można użyć do aproksymacji przebiegu PPG i jest postaci:

R^2

∑ ^{[ (}

) ]

(5.19) Ze względu na charakter funkcji aproksymującej podstawowym przedziałem aproksymacji jest pojedynczy okres sygnału PPG. Ponieważ funkcja bazowa jest nieliniowa, w procedurze aproksymacji należy wykorzystać odpowiednie metody zarezerwowane dla funkcji nieliniowych (np. metoda Levenberga-Marquardta) [25, 34, 94]. Za pomocą operacji logarytmowania można przekształcić wzór do postaci liniowej, a to pozwala na wykorzystanie mniej skomplikowanych metod obliczeniowych, np. minimalizacji błędu średniokwadratowego LS. W ramach badań procesowi aproksymacji funkcjami Gaussa zostały poddane pojedyncze okresy sygnału PPG. Na rysunku 5.82 przedstawiono przykładowy wynik aproksymacji w postaci sumy czterech funkcji Gaussa.

a) c)

b)

Rys. 5.82. Wykresy: a) aproksymowanego przebiegu PPG, b) błędu aproksymacji oraz c) składowych aproksymujących na tle aproksymowanej krzywej PPG.

Wykres na rysunku 5.82b zawiera przebieg aproksymowany w postaci fali tętna oraz składowe aproksymujące, których maksima pokrywają się z maksimami przebiegu PPG. Taka właściwość pozwala na bezpośredni odczyt przybliżonych miejsc występowania maksimów, określonych przez wartość współczynnika b funkcji Gaussa. Aproksymacja sumą funkcji Gaussa może być alternatywą dla klasycznych procedur wyznaczania maksimów (np. poprzez obliczenie drugiej pochodnej), szczególnie dla sygnałów silnie zakłóconych. Do sprawdzenia poprawności detekcji maksimów przez analizowaną procedurę wybrano kilka okresów przebiegu PPG i wyznaczono błędy bezwzględne różnic pomiędzy położeniem rzeczywistym maksimów (wyznaczonych bezpośrednio z przebiegu czasowego) a położeniem odczytanym na podstawie współczynnika b aproksymujących funkcji Gaussa.

 (t)

U(t) U(t)

0 0,2 0,4 0,6 0,8

t [s]

0 0,2 0,4 0,6 0,8

t [s]

0 0,2 0,4 0,6 0,8 t [s]

a) b)

Rys. 5.83. Wykresy zależności błędów lokalizacji maksimów od liczby składników funkcji aproksymującej dla: a) pierwszego i b) drugiego maksimum przebiegu PPG

Na rysunku 5.83 widać efekt poprawnej detekcji lokalizacji maksimów sygnału PPG w przypadku aproksymacji maksymalnie czterema przebiegami Gaussa, na co wyraźnie wskazują błędy bezwzględne. Większa liczba składowych funkcji Gaussa stwarzała trudności w oszacowaniu, który ze składników znajduje się bliżej „prawdziwego” maksimum.

Najlepszy wynik udało się osiągnąć dla najprostszego przypadku, a mianowicie aproksymacji sumą dwóch funkcji Gaussa, co pozwalało na najbardziej dokładny odczyt położenia wartości maksymalnych. Z drugiej strony wykorzystanie tak małej liczby składników funkcji aproksymującej powoduje duże różnice występujące pomiędzy przebiegiem a funkcją aproksymującą, nie oddając realnych cech kształtu badanego przebiegu. Następnie sprawdzono jaka liczba członów funkcji aproksymującej wystarczająco wiarygodnie odtworzy pojedynczy okres sygnału PPG.

a) b) c)

Rys. 5.84. Zależności liczby składników sumy funkcji Gaussa od błędu aproksymacji określonego przez współczynniki: a) SSE, b) RMSE, c) MSE, wyznaczone na podstawie pojedynczego okresu sygnału PPG

Zmieniając liczbę składników sumy funkcji Gaussa od 2 do 8, aproksymowano pojedynczy okres sygnału PPG i wyznaczono błędy aproksymacji przedstawione na rysunku 5.84. Można uzyskać dobre odwzorowanie jeśli zastosuje się funkcję aproksymującą zawierającą minimum cztery funkcje Gaussa dla sygnałów z wcięciem dykrotycznym, co jest równoznaczne z

[s] [s]

wyznaczeniem 12 parametrów je określających. Przy mniej skomplikowanym kształcie przebiegu PPG liczba funkcji Gaussa jest mniejsza.

Trzeci i ostatni rodzaj funkcji wykorzystywanych w opracowanym programie komputerowym to rodzina funkcji trygonometrycznych. Jako pierwszą bazę funkcji aproksymujących wybrano szereg Fouriera, opisany dyskretną zależnością w postaci:

∑

(5.20)

gdzie N – jest równe liczbie próbek sygnału a x jest określone w równoodległych punktach:

(5.21)

Założony z góry stopień wielomianu trygonometrycznego k musi spełniać warunek:

(5.22)

Współczynniki szeregu Fouriera dyskretnej postaci sygnału można obliczyć za pomocą następujących wzorów:

∑ ∑

(5.23)

∑

(5.24) Poza przedstawioną postacią szeregu Fouriera, stosując podstawowe tożsamości trygonometryczne, można tę samą funkcję aproksymowaną przedstawić w postaci ciągu funkcji sinus bądź cosinus. Przykładowo szereg wyrażony funkcjami harmonicznymi sinus ma postać:

∑

(5.25) gdzie współczynniki hk i φ_k można wyznaczyć korzystając z następujących zależności :

√

√ (5.26)

Współczynniki szeregów trygonometrycznych można wyznaczyć w różny sposób. Wykonano rozwiązania konkretnych procedur numerycznych. Dla sprawdzenia wykonano serię aproksymacji pojedynczego okresu sygnału PPG z wykorzystaniem dwóch sposobów obliczania parametrów trygonometrycznych funkcji aproksymujących. W pierwszym przypadku zaimplementowana procedura opierała się na powszechnie znanych wzorach 5.23, 5.24. Widać, iż kolejne obliczane wyrazy szeregu są zasadniczo średnimi arytmetycznymi aproksymowanych sygnałów wejściowych z odpowiednią wagą, a same procedury można odnieść do procesu cyfrowej filtracji filtrami typu SOI. Przykładową aproksymację pojedynczego okresu sygnału PPG zilustrowano na rysunku 5.85.

a) c)

b)

Rys. 5.85. Wykresy: a) aproksymowanego przebiegu PPG, b) błędu aproksymacji oraz c) składowych aproksymujących

Aproksymacje tego typu można bezpośrednio przyrównać do analizy widmowej. Stosując wzory (5.24) w prosty sposób da się wyznaczyć charakterystykę amplitudową i fazową analizowanego przebiegu. Rozdzielczość częstotliwościowa zależy w tym przypadku od liczby składników szeregu. Przykładową charakterystykę amplitudową i fazową sygnału PPG przedstawiono na rysunku 5.86.

Rys. 5.86. Charakterystyka amplitudowa i fazowa przebiegu PPG wyznaczona na podstawie aproksymacji szeregiem Fouriera 10-go rzędu

suma składowych sin

suma składowych cos

 [j.w.] Faza [deg] U(f) [j.w.]

U(t) [j.w.] U(t) [j.w.]

t [s]

0 0,2 0,4 0,6 0,8

0 0,2 0,4 0,6 0,8 t [s]

0 0,2 0,4 0,6 0,8

t [s]

Oprócz standardowych obliczeń, opartych na przedstawionych powyżej wzorach, do wyznaczenia współczynników szeregu Fouriera można również wykorzystać metodę minimalizacji błędu średniokwadratowego (LS) stosowaną do wyznaczania współczynników funkcji wielomianowych. Dla porównania na rysunku 5.87a przedstawiono obraz wyniku aproksymacji szeregiem trygonometrycznym z 10 współczynnikami przy zastosowaniu metody LS.

a) c)

b)

Rys. 5.87. Wykresy: a) przebiegu aproksymowanego za pomocą 10 składników szeregu, b) błędu aproksymacji oraz c) porównania dokładności aproksymacji wyznaczonej ze wzorów (czarne punkty) i metodą LS (niebieskie punkty)

Prawidłowe odwzorowanie przebiegu PPG, zarówno pierwszym, jak i drugim sposobem wymaga przynajmniej czterech składników szeregu Fouriera. Powyżej sześciu składników szeregu różnice pomiędzy przebiegiem aproksymującym a aproksymowanym stają się pomijalnie małe (rys. 5.87b). Zwiększanie liczby składników powyżej 10 nie poprawia znacząco jakości aproksymacji. Dla porównania na wykresie pokazano przebieg zmian współczynnika SSE dla obu używanych sposobów. Oba wykresy mają taki sam kształt, natomiast różnice pomiędzy kolejnymi punktami pomiarowymi są zauważalne. Mniejsze wartości błędu wyrażanego przez współczynnik SSE otrzymano przy zastosowaniu metody LS. W niniejszym rozdziale przedstawiono różne sposoby opisu pojedynczych okresów sygnału PPG, które mogą być wykorzystywane zarówno do kompresji sygnału, jak i generowania sygnałów referencyjnych i testowych. Na podstawie przeprowadzonych doświadczeń w tabeli 5.7 zebrano dane porównawcze dotyczące minimalnej i maksymalnej liczby składników oraz parametrów funkcji aproksymujących.

 [j.w.] SSE

U(t) [j.w.]

0 0,2 0,4 0,6 0,8

t [s]

0 0,2 0,4 0,6 0,8

t [s]

Tabela 5.7. Porównanie właściwości funkcji aproksymujących Lp Rodzaj funkcji Minimalna

liczba funkcje trygonometryczne wystarczająco dobrze odtwarzające badane sygnały PPG. Niektóre z postaci funkcji aproksymujących pozwalają na analizę postaci czasowej (funkcja Gaussa) oraz częstotliwościowej (funkcje trygonometryczne) przebiegów PPG. Ich zwięzła postać ułatwia konstrukcję cyfrowych generatorów sygnałów PPG stanowiących modele porównawcze i klasyfikacyjne poprawności przebiegu fali tętna. Z punktu widzenia szybkości i jakości obliczeń dobrym algorytmem jest algorytm LS zapewniający wystarczająco dużą dokładność i krótki czas przetwarzania. Przedstawione sposoby aproksymacji zostały także wykorzystane w wielu procedurach pomocniczych dotyczących kondycjonowania, filtracji i analizy sygnałów fotopletyzmograficznych. Przeprowadzone badania i sformułowane wnioski dotyczące sposobów aproksymacji były podstawą wielu implementacji w opracowanym przez autora programie komputerowym metod numerycznych do np.:

aproksymacji charakterystyk diod LED w rozdziale 5.3.3.1, wyznaczania składowej zmiennej w rozdziale 5.5.2.3, detekcji kształtu krzywej PPG w rozdziale 5.5.2.5, wyznaczania okresu i częstości sygnału PPG w rozdziale 5.5.2.7.