Właściwości filtrów NOI i SOI zastosowane w kondycjonowaniu sygnału

Filtracja cyfrowa to pierwsza procedura numeryczna, jaką zastosowano w procesie przetwarzania sygnału fotopletyzmograficznego rys. 5.50. W opracowanym systemie zrealizowano ją w blokach filtrów dolno- i górnoprzepustowych, mogących tworzyć filtr pasmowoprzepustowy, którego częstotliwości graniczne można regulować stosownie do wymagań przeprowadzanej analizy. Aplikacja oferuje szereg różnego rodzaju filtrów, które mogą być wybrane przez użytkownika i zastosowane. Ponieważ informacja zawarta jest w kształcie sygnału, wybrane struktury filtrów powinny cechować się liniowym przebiegiem fazy, czyli stałym opóźnieniem grupowym. O właściwościach filtrów decydują współczynniki równania transmitancji operatorowej [161]:

∑

∑ (5.11)

Z uwagi na postać równania transmitancji wyróżnia się dwa główne rodzaje filtrów cyfrowych: NOI (Nieskończonej Odpowiedzi Impulsowej) i SOI (Skończonej Odpowiedzi Impulsowej). Charakterystyki amplitudowo-fazowe filtrów kształtuje się przez odpowiedni dobór współczynników transmitancji an i bn dla filtrów NOI i współczynników transmitancji bn dla filtrów SOI. Struktury filtrów SOI są zawsze stabilne, a ich opóźnienie grupowe jest stałe, jednak jest to okupione dużo większą złożonością obliczeniową algorytmu filtracji wydłużającą czas przetwarzania procedury. Natomiast niewłaściwy dobór współczynników filtrów NOI może prowadzić do niestabilności, a także innych niż stałe opóźnienie grupowe.

Procedury numeryczne filtracji filtrami typu NOI są mniej złożone obliczeniowo w porównaniu z filtrami SOI [59, 161].

Dla niskoczęstotliwościowego sygnału, jakim jest sygnał PPG, istotną rolę odgrywa dobra filtracja dolnoprzepustowa separująca zakłócenia. Na podstawie pomiarów opracowano kryterium porównawcze, dzięki któremu określono częstotliwość graniczną gwarantującą dobrą filtrację zakłóceń i jak najmniejsze tłumienie składowych sygnału użytecznego. Do realizacji tego zadania należało pozyskać odpowiednie sygnały referencyjne za pomocą systemu pomiarowego. W pierwszej kolejności zarejestrowano sygnał pochodzący z czujnika z „zakrytą” powierzchnią światłoczułą fotodiody będący sygnałem odniesienia. Na rysunku 5.51 przedstawiono przebieg czasowy napięcia wyjściowego układu pomiarowego oraz jego widmo, gdzie średni poziom szumów osiąga wartość –107 dB. Analizując widmo sygnału można stwierdzić, że zakłócenia w torze pomiarowym mają charakter szumu białego z pojedynczymi składowymi harmonicznymi pochodzącymi z sieci elektroenergetycznej.

a) b)

Rys. 5.51. a) Przebieg czasowy składowej szumowej napięcia wyjściowego układu pomiarowego i b) jego charakterystyka amplitudowa

Za pomocą tego samego czujnika zarejestrowano sygnał PPG w tym samym torze pomiarowym i wykonano jego analizę widmową (rys. 5.52).

Ifd(f) [dB]

Ifd[uA]

0 0,4 0,8 1,2 1,6 2.0 t[s]

a) b)

Rys. 5.52. Przebieg: a) czasowy sygnału PPG bez wstępnej filtracji i b) jego charakterystyka widmowa

Porównując charakterystyki widmowe sygnału PPG i szumów układu, można określić przedziały częstotliwościowe zakłóceń oraz sygnału użytecznego. Poglądowo na rysunku 5.52b zieloną linią zaznaczono poziom szumów własnych układu a w zakreślonym na czerwono oknie widać przedział, w którym powinny znajdować się wszystkie cenne informacyjnie składowe (0–12) Hz, związane z krzywą PPG. Przedstawiony zakres jest szerszy o około 2 Hz od przedziału wyznaczonego na podstawie przecięcia widma zakłóceń z widmem sygnału, co stanowi pewien „zapas informacyjny”. Przeprowadzona analiza wskazuje jednoznacznie częstotliwości graniczne badanych filtrów dolnoprzepustowych.

Procedura weryfikacji jakości filtrów polega na porównaniu widma przebiegów PPG przed i po filtracji poprzez wyznaczeniu ich różnicy oraz współczynników w postaci: sumy kwadratów błędów SSE (4.12) współczynnika korelacji r (4.10) oraz błędu średniokwadratowego MSE (4.20). Sprawdzeniu oddziaływania filtracji dolnoprzepustowej na sygnał PPG poddano dwie struktury filtrów o stałym opóźnieniu grupowym: filtr NOI realizujący filtr Bessela oraz filtr SOI zaprojektowany metodą okien czasowych. W obydwu przypadkach zmieniano częstotliwość odcięcia filtru w zakresie od 5 Hz do 30 Hz, obserwując jej wpływ na badany sygnał. Jako pierwszy poddano analizie filtr Bessela NOI, którego charakterystyki amplitudowe, fazowe i opóźnienia grupowe przedstawia rysunek 5.53.

a) b) c)

Rys. 5.53. Charakterystyki: a) amplitudowe, b) fazowe oraz c) opóźnienia grupowego filtru Bessela o częstotliwości granicznej 10 Hz rzędu: 4-go (czarny), 8-go (czerwony), 12-go (niebieski)

Ifd[uA] Ifd(f) [dB]

0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 t[s]

Tłumienie filtru rozpoczyna się praktycznie od 2 Hz, co pokazuje charakterystyka amplitudowa, przy liniowym przebiegu fazy. Zwiększanie rzędu filtru decyduje z jednej strony o silniejszym nachyleniu charakterystyki w paśmie tłumiącym zakłócenia, jednak z drugiej strony przesuwa realną granicę tłumienia filtru w paśmie przepustowym. Utrzymanie stałego pola pasma przepustowego dla różnych rzędów filtru wymaga zmiany częstotliwości granicznej. Porównując przebiegi przed i po filtracji sporządzono charakterystyki przedstawione na rys. 5.54, na których widać, iż niski rząd filtru powoduje mniejsze zniekształcenia sygnału użytecznego dla niskich częstotliwości odcięcia niż filtry wyższych rzędów.

a) b) c)

Rys. 5.54. Wykresy współczynników różnicy widm w zależności od częstotliwości: a) sumy kwadratów błędu SSE, b) współczynnika korelacji r, c) błędu średniokwadratowego częstotliwości MSE odcięcia filtrów dolnoprzepustowych NOI rzędu: 4-go (czarny), 8-go (czerwony), 12-go (niebieski)

Poszczególne krzywe są zbieżne do pewnej stałej wartości, co oznacza, iż dalsze zwiększanie częstotliwości granicznej nie jest uzasadnione, a w przetworzonym sygnale PPG znajdują się wszystkie istotne składowe. Początek przedziału silnej zbieżności określony jest przez wartości współczynników: SSE = 2,3·10^-7, r = 0,9985, dla których dolne granice częstotliwości odcięcia filtrów kolejnych rzędów wynoszą odpowiednio: 10 Hz, 13 Hz, 15 Hz. Przeprowadzone doświadczenia potwierdzają właściwy przedział zmian częstotliwości granicznej filtrów dolnoprzepustowych NOI dla różnych rzędów, a wyznaczone współczynniki określają kryterium jej wyboru.

Druga analizowana struktura filtrów to filtry SOI (rzędu 10, 150, 200) zaprojektowane metodą okien, których charakterystyki amplitudowe, fazowe i opóźnienia grupowego przedstawia rysunek 5.55. Filtry SOI w porównaniu z filtrami NOI różnią się zasadniczo kształtem przebiegów amplitudowo-fazowych określanych przez częstotliwości graniczne przy założonym rzędzie. Pole pasma przepustowego w obszarze do częstotliwości granicznej równej 8 Hz praktycznie jest identyczne, o czym świadczy identyczny przebieg charakterystyk amplitudowych dla wszystkich rzędów filtru.

SSE r MSE

a) b) c)

Rys. 5.55. Charakterystyki: a) amplitudowe, b) fazowe oraz c) opóźnienia grupowego filtrów SOI o częstotliwości odcięcia 10 Hz rzędu: 100-go (czarny), 150-go (czerwony), 200-go (niebieski)

Należy jednak pamiętać, iż efektem przyjęcia niskiego rzędu tego typu filtru jest przesunięcie całej charakterystyki amplitudowej w dół. Konsekwencją tego jest tłumienie, nawet składowej stałej, co może utrudniać interpretację sygnału fotopletyzmograficznego. W odróżnieniu od filtrów NOI, charakterystyka fazowa ma liniowy przebieg a opóźnienie grupowe praktycznie stałą wartość w obszarze przepustowym i tłumienia. Tak jak w przypadku filtru NOI dokonano analizy jakości filtracji sygnału fotopletyzmograficznego za pomocą filtrów SOI o różnych rzędach. Rejestrując charakterystyki amplitudowe przed i po filtracji, obliczono ich różnice i wyznaczono współczynniki takie jak: SSE oraz współczynnik korelacji r i MSE mówiące o ich podobieństwie (rys. 5.56).

a) b) c)

Rys. 5.56. Charakterystyki zależności: a) sumy kwadratów błędów SSE, b) współczynnika korelacji r, c) błędu średniokwadratowego MSE różnicy widm przed i po filtracji od częstotliwości odcięcia dolnoprzepustowych filtrów SOI rzędu: 100-go (czarny), 150-go (czerwony) i 200-go (niebieski)

Wykresy współczynników podobieństwa widm są wyraźnie zbieżne, przechodząc w jedną prostą w przedziale od 12 Hz do 30 Hz. Zatem dla wybranych rzędów filtrów potwierdzona wykresami górna granica częstotliwości odcięcia nie powinna być wyższa niż 12 Hz.

Początek silnej zbieżności wyznaczonych współczynników określa dolną granicę częstotliwości odcięcia. Ze sporządzonych wykresów wynika, iż graniczne wartości współczynników to: SSE = 2·10^-7 oraz r = 0,9985, dla których częstotliwości graniczne wynoszą odpowiednio: 9 Hz, 10 Hz, 11 Hz. Duże wartości sumy błędu średniokwadratowego SSE filtrów rzędu 100 powodowane są tłumieniem składowej stałej i składowych niskoczęstotliwościowych. Kosztem zastosowania filtrów SOI jest większa złożoność

SSE r MSE

U(f) [dB]

filtracji porównano także obrazy przebiegów czasowych pozyskanych krzywych PPG (rys. 5.57).

a) b) c)

Rys. 5.57. Przebiegi krzywej PPG: a) zniekształconej w procesie filtracji dla fg = 6 Hz (niebieski – surowy sygnał, czerwony – sygnał po filtracji), b) zniekształconej w procesie filtracji dla f_g=20 Hz, c) prawidłowej po filtracji dla f_g=12 Hz

Skutki źle dobranej częstotliwości granicznej widać na rysunkach 5.57a i b. Zbyt mała częstotliwość graniczna powoduje tłumienie składowych sygnału PPG, zmieniając jego kształt przez wygładzanie szeregu istotnych cech morfologicznych. Zbyt wysoka częstotliwość graniczna powoduje zwiększenie zawartości składowych zakłócających, co ujawnia się nadmiernymi zafalowaniami o małej amplitudzie nałożonymi na właściwy przebieg fali tętna.

Drugi blok stosowanej filtracji, „oferowanej” użytkownikowi przez system, to filtracja górnoprzepustowa, która głównie służyć może eliminacji składowej stałej lub składowych wolnozmiennych sygnału PPG. Para w postaci bloku filtru górno-dolnoprzepustowego może tworzyć filtr pasmowoprzepustowy o dobieranych parametrach. W przypadku analizy tylko składowej zmiennej składowa stała oraz składowe wolnozmienne są mniej istotne, a czasem wręcz utrudniają jej analizę. Sytuacją pożądaną jest uzyskanie przebiegu fali tętna, na którym wszystkie minima sygnału PPG miałyby tę samą wartość, przylegając do prostej poziomej linii. W związku z tym zakres częstotliwości odcięcia tego rodzaju filtrów powinien zawierać się w umownym przedziale (0–0,1) Hz i będzie zależał od celu badań. Górna granica częstotliwości odcięcia filtru jest tutaj umowna, gdyż rozdzielenie składowej wolnozmiennej, oddechowej (od 12 do 20 1/min u dorosłego człowieka w warunkach prawidłowych) i składowej zmiennej sygnału PPG jest trudne do realizacji, a czasem nawet z zastosowaniem metod cyfrowej filtracji niemożliwe. Pierwszym rodzajem badanych filtrów był cyfrowy filtr górnoprzepustowy Bessela typu NOI o charakterystykach amplitudowych, fazowych, opóźnienia grupowego i odpowiedziach skokowych przedstawionych na rysunkach 5.58.

Ifd[uA] Ifd[uA] Ifd[uA]

1,6 2,4 3,2 4 t[s]

1,6 2,4 3,2 4

t[s] 1,6 2,4 3,2 4

t[s]

a) b)

c) d)

Rys. 5.58. Charakterystyki: a) amplitudowa, b) fazowa, c) opóźnienia grupowego oraz d) odpowiedzi skokowych górnoprzepustowego filtru NOI Bessela rzędu: 4-go (czarny), 8-go (czerwony), 12-go (niebieski)

Charakterystyki amplitudowe mają identyczny przebieg i dla kolejnych rzędów filtru ulegają przesunięciu, obejmując różne pola przepustowe. Szczególną uwagę zwraca tutaj wykres odpowiedzi skokowej, z którego wynika, że niskie częstotliwości graniczne filtru wywołują długie czasy ustalania odpowiedzi na wyjściu filtru, wprowadzając dodatkowe oscylacje (rys. 5.58d). Charakterystyka fazowa jest tylko w części liniowa, z dużym obszarem nieliniowości w paśmie przejściowym i przepustowym, co rzutuje na kształt opóźnienia grupowego. Efekty długiej i oscylacyjnej odpowiedzi skokowej można odnaleźć w bezpośrednim porównaniu przebiegów czasowych krzywej PPG przed i po filtracji (rys. 5.59).

FFT [dB] Ku(f) [dB] Faza [deg]

Opóźnienie grupowe [liczba próbek] U(t)

t(s)

a) b) c)

Rys. 5.59. Przykładowe przebiegi czasowe sygnału fotopletyzmograficznego: a) przed filtracją, b) po filtracji oraz c) wykres porównawczy widm przed i po filtracji

Na przedstawionych fragmentach sygnałów można zauważyć duże zniekształcenia kształtu przebiegu składowej zmiennej przy niewielkim tłumieniu składowej stałej oraz składowych wolnozmiennych (rys. 5.59c). Kolejnym analizowanym rodzajem filtrów były filtry górnoprzepustowe SOI zaprojektowane metodą okien rzędu 2000, 2500, 3000, których charakterystyki przedstawia rysunek 5.60.

a) b)

c) d)

Rys. 5.60. Charakterystyki: a) amplitudowe, b) fazowe, c) opóźnienia grupowego oraz odpowiedzi skokowej filtru górnoprzepustowego SOI fg = 0,1 Hz, rzędu: 2000-go (czarny), 2500-go (czerwony), 3000-go (niebieski)

Ku(f) [dB] Ifd(f) [dB]

Ifd [uA]

Ifd [uA]

t[s]

0 0,8 0,16 0,24 0,32 0 0,8 0,16 0,24 0,32

t[s]

Faza [deg]

Opóźnienie grupowe [liczba próbek] U(t)

t[s]

Charakterystyka amplitudowa zmienia swoje nachylenie oraz ulega całkowitemu przesunięciu pionowemu w zależności od założonego rzędu filtru. Szczególną uwagę zwraca tutaj fakt, że jedynie tak wysokie rządy filtrów gwarantowały odpowiednie właściwości tłumienia filtru porównywalne z wcześniej analizowanymi filtrami Bessela. Charakterystyka fazowa filtrów ma przebieg liniowy i zapewnia w całym zakresie częstotliwości stałe opóźnienie grupowe. Odpowiedź skokowa nie wykazuje oscylacji, a czas ustalania odpowiedzi na wyjściu filtru jest dużo krótszy. W przebiegach czasowych sygnałów nie zaobserwowano istotnych zniekształceń, a na charakterystykach widmowych widać umiarkowane tłumienie w paśmie zaporowym przy bardzo wysokim rzędzie filtru, co pokazuje rysunek 5.61.

Rys. 5.61. Widmo sygnału PPG przed i po filtracji za pomocą filtru SOI

Tak jak w przypadku filtrów dolnoprzepustowych SOI, filtry górnoprzepustowe SOI także są bardziej selektywnie. Jednak wysokie rzędy filtrów SOI wymagają dużych nakładów obliczeń zastosowanych procedur przetwarzania, co może za bardzo obciążyć system komputerowy.

Filtracja cyfrowa sygnałów PPG może być skuteczna, ale wymaga od użytkownika dużej znajomości jej realnego wpływu na przebiegi fotopletyzmograficzne. Przeprowadzona analiza dostarcza informacje o właściwym wyborze rodzaju filtru i doborze jego parametrów, tak, aby w jak najmniejszym stopniu zniekształcić sygnał PPG.

5.5.1.3. Eliminacja składowej sieciowej poprzez koherentne uśrednianie