W LA´ SCIWO´ SCI MIESZANIN 89 W szczeg´ olno´ sci entropia mieszania wyra˙za si e wzorem ,

∆mS =

r

X

i=1

Ni(si− si,o) . (8.23)

Znajac t_, a definicj_, e mo˙zemy stwierdzi´_, c, ˙ze wz´or (8.11) okre´sla entropie mieszania gaz´_, ow doskona lych.

Mieszanina doskona l_, a (mieszanin_, a idealn_, a) nazywamy mieszanin_, e, kt´_, orej entalpia mieszania jest r´owna zeru, a entropia mieszania jest r´owna entropii mieszania gaz´ow doskona lych

∆mH = 0 , (8.24a)

∆mS = −R

r

X

i=1

Niln xi , (8.24b)

gdzie x_i oznacza u lamek molowy i-tego sk ladnika w mieszaninie. Zauwa˙zmy, ˙ze mieszanina gaz´ow doskona lych jest mieszanina doskona l_, a._,

Zauwa˙zmy, ˙ze z (8.24) wynika, ˙ze entalpia swobodna mieszania w przypadku roztworu doskona lego wynosi

∆_mG = ∆_mH − T ∆_mS = RT

r

X

i=1

N_iln x_i . (8.25)

Prowadzi to do wniosku, ˙ze entalpia swobodna roztworu doskona lego wyra˙za sie wzorem_,

G =

r

X

i=1

Ni(gi,o+ RT ln xi) . (8.26)

Potencja l chemiczny i-tego sk ladnika roztworu doskona lego mo˙ze wiec by´_, c obliczony ze wzoru µ_i= µ_i,o(T, p) + RT ln x_i , (8.27) czyli potencja ly chemiczne sk ladnik´ow roztworu doskona lego maja identyczn_, a struktur_, e jak sk ladnik´_, ow mieszaniny gaz´ow doskona lych. Wz´or (8.27) mo˙ze na r´owni z (8.24) stanowi´c definicje roztworu_, doskona lego. Je´sli bowiem wyjdziemy z (8.27) to entropie roztworu uzyskamy ze wzoru_,

S = − ∂G

∂T



p,{Ni}^r_i=1

=

r

X

i=1

Ni(si,o− R ln xi) (8.28)

i nastepnie entalpi_, e_,

H = G + T S =

r

X

i=1

N_ih_i,o . (8.29)

Wyznaczenie w oparciu o powy˙zsze wzory entalpii oraz entropii mieszania prowadzi do (8.24).

W tym miejscu nale˙zy uczyni´c pewne zastrze˙zenie. R´ownowa˙zno´s´c (8.24) i (8.27) zosta la wykazana w przypadku, gdy w mieszaninie wystepuj_, a tylko i wy l_, acznie te sk ladniki, kt´_, ore by ly u˙zyte do wyt-worzenia mieszaniny. Gdy w czasie twyt-worzenia mieszaniny powstaja nowe sk ladniki (np. w wyniku_, reakcji chemicznych, czy dysocjacji) to zazwyczaj (8.24) nie jest spe lnione, natomiast mo˙zliwa jest sytuacja, w kt´orej dla wszystkich sk ladnik´ow mieszaniny - w tym powsta lych podczas jej tworzenia - obowiazuje (8.27). Z tego wzgl_, edu wielu autor´_, ow uznaje (8.27) za podstawowa definicj_, e roztworu_, doskona lego. Przy takim rozszerzeniu definicji wiele om´owionych w dalszej cze´_,sci skryptu zjawisk przypisanych roztworom rzeczywistym mo˙ze wystapi´_, c w redefiniowanych roztworach doskona lych.

Przebadajmy teraz dalsze w lasno´sci roztwor´ow doskona lych. Wyznaczmy w szczeg´olno´sci objeto´_, s´c mieszania i energie wewn_, etrzn_, a mieszania. Poniewa˙z_,

∆_mV = ∂∆_mG

∂p



T ,{N_i}^r_i=1

, (8.30)

wiec korzystaj_, ac ze wzoru (8.25) stwierdzamy, ˙ze_,

∆mV = 0 . (8.31)

Roztw´or doskona ly ma zerowa obj_, eto´_, s´c mieszania, tzn. w czasie jego tworzenia przy sta lych tem-peraturze i ci´snieniu objeto´_, s´c nie ulega zmianie.

Z kolei

∆mU = T ∆mS − p∆mV + ∆mG , (8.32) wiec wobec (8.24b), (8.30) i (8.25)_,

∆mU = 0 , (8.33)

czyli energia wewnetrzna mieszania roztworu doskona lego jest r´_, owna zeru.

Roztwory, kt´ore nie spe lniaja warunk´_, ow (8.24) (lub - co r´ownowa˙zne - (8.27)), nosza nazw_, e rozt-_, wor´ow niedoskona lych lub roztwor´ow rzeczywistych . Poni˙zej om´owimy niekt´ore ich w la´sciwo´sci.

Roztworem doskona lym odniesienia Rddla danego uk ladu rzeczywistego R nazywamy hipotetyczny roztw´or doskona ly o takim samym sk ladzie chemicznym jak roztw´or rzeczywisty. Innymi s lowy w roztworze doskona lym odniesienia potencja l chemiczny ka˙zdego sk ladnika musi wyra˙za´c sie wzorem_, typu (8.27)

µi,R_d(T, p, {Nj}^r_i=1) = µi,R_d,o(T, p) + RT ln xi . (8.34) Nale˙zy podkre´sli´c, ˙ze poniewa˙z roztw´or doskona ly odniesienia jest uk ladem hipotetycznym, wiec_, µi,R_d,o jest pewnym dowolnym parametrem. W przypadku, gdy ste˙zenie substancji w badanym_, roztworze rzeczywistym mo˙ze osiagn_, a´_,c warto´s´c jeden mo˙zemy przyja´_,c, ˙ze

µ_i,R(T, p, {x_j}^r_j=1)|_xi=1= µ_i,Rd(T, p, {x_j}^r_j=1)|_xi=1 . (8.35) Poniewa˙z

µi,R(T, p, {xj}^r_j=1)|xi=1= µi,o(T, p) , (8.36) wiec_,

µi,R_d,o= µi,o(T, p) , (8.37)

czyli µ_i,Rd,o jest r´owny potencja lowi chemicznemu substancji czystej. Om´owionej powy˙zej proce-dury nie da sie zastosowa´_, c w przypadku, gdy osiagni_, ecie przez u lamek molowy danego sk ladnika_, warto´sci r´ownej jeden w roztworze rzeczywistym jest niemo˙zliwe.

Inny spos´ob okre´slenia µ_i,Rd,o jest mo˙zliwy w przypadku szczeg´olnej klasy roztwor´ow, kt´ore dla ma lych ste˙ze´_, n sa roztworami rozcie´_, nczonymi doskona lymi.

Roztworem rozcie´nczonym doskona lym (roztworem rozcie´nczonym idealnym) nazywamy roztw´or rzeczywisty, kt´ory spe lnia warunki (8.24) dla ma lych ste˙ze´_, n substancji rozpuszczonych (co r´ownowa˙zne - ste˙zeniu rozpuszczalnika bliskiemu jedno´_, sci). Potencja l chemiczny rozpuszczalnika w roztworze rozcie´nczonym doskona lym mo˙zemy wyznaczy´c ze wzoru

µ1= µ1,o(T, p) + RT ln x1 , (8.38) za´s substancji rozpuszczonych ze wzoru

µi= Ψi(T, p) + RT ln xi , i ∈ 2; r , (8.39)

8.3. W LA´SCIWO´SCI MIESZANIN 91 gdzie Ψi sa pewnymi funkcjami. Poniewa˙z st_, e˙zenie substancji rozpuszczonych jest bardzo ma le_,

r

X

i=2

x_i 1 , (8.40)

wiec rozpisuj_, ac u lamek molowy rozpuszczalnika jako_,

x1= 1 −

r

X

i=2

xi (8.41)

i dokonujac rozwini_, ecia logarytmu we wzorze (8.38) uzyskujemy:_,

µ₁≈ µ1,o(T, p) − RT

r

X

i=2

x_i . (8.42)

Oczywi´scie w przypadku roztwor´ow, kt´ore dla niskich ste˙ze´_, n sa roztworami rozcie´_, nczonymi doskona lymi naturalne jest przyjecie µ_{, i,Rd,o} w ten spos´ob, by potencja ly chemiczne granicznie rozcie´nczonych:

roztworu doskona lego odniesienia i roztworu rzeczywistego by ly sobie r´owne.

µi,R_d,o= Ψi . (8.43)

W dalszej analizie bedziemy zak lada´_, c, ˙ze roztw´or doskona ly odniesienia jest w pe lni zdefiniowany, tzn. okre´slone sa wszystkie µ_{, i,Rd,o}.

Zdefiniowanie roztworu doskona lego odniesienia pozwoli nam na ilo´sciowe okre´slenie odstepstw za-_, chowania roztworu rzeczywistego od roztworu doskona lego. Nadmiarowymi parametrami termody-namicznymi nazywamy r´o˙znice mi_, edzy wielko´_, scia danego parametru termodynamicznego w rozt-_, worze rzeczywistym i roztworze doskona lym odniesienia

∆eY = Y − YR_d . (8.44)

Zauwa˙zmy, ˙ze powy˙zszy wz´or mo˙zemy zapisa´c jako r´o˙znice okre´_, slonej wielko´sci termodynamicznej mieszania roztworu rzeczywistego i roztworu doskona lego odniesienia

∆eY = ∆mY − ∆mYR_d . (8.45)

W szczeg´olno´sci nadmiarowy potencja l chemiczny i-tego sk ladnika mieszaniny

∆eµi= µi− µi,R_d . (8.46)

Wsp´o lczynnik aktywno´sci ˜γi i-tego sk ladnika mieszaniny definiujemy poprzez wz´or

˜

γi= exp ∆_eµ_i RT



. (8.47)

W zale˙zno´sci od zestawu argument´ow opisujacych potencja l chemiczny uzyskujemy r´_, o˙zne wsp´o lczynniki aktywno´sci. Do najwa˙zniejszych nale˙za_,

– wsp´o lczynnik aktywno´sci u lamkowej γ_i odpowiadajacy zale˙zno´_, sci potencja lu chemicznego od u lamk´ow molowych poszczeg´olnych sk ladnik´ow;

– stosowany w odniesieniu do mieszanin gazowych wsp´o lczynnik aktywno´sci ci´snieniowej , zwany r´ownie˙z wsp´o lczynnikiem lotno´sci lub wsp´o lczynnikiem fugitywno´sci ϕiodpowiadajacy zale˙zno´_, sci potencja lu chemicznego od ci´snie´n parcjalnych poszczeg´olnych sk ladnik´ow.

Dyskusja innych typ´ow wsp´o lczynnik´ow aktywno´sci pozostaje domena chemii fizycznej._,

Wsp´o lczynnik aktywno´sci jest oczywi´scie w og´olno´sci funkcja temperatury, ci´_, snienia i sk ladu chemicznego mieszaniny. Jego wprowadzenie jest umotywowane wzgledami wygody rachunkowej. Zauwa˙zmy_, bowiem, ˙ze bezpo´srednio z definicji

µ_i= µ_i,Rd+ RT ln ˜γ_i . (8.48)

Rozwa˙zmy wsp´o lczynnik aktywno´sci u lamkowej. Przy wykorzystaniu wzoru (8.27) na potencja l chemiczny w roztworze odniesienia mamy

µi= µi,R_d,o+ RT ln xi+ RT ln γi= µi,R_d,o+ RT ln xiγi . (8.49) Uzyskany wz´or na potencja l chemiczny sk ladnika mieszaniny rzeczywistej ma strukture analogiczn_, a_, do wzoru na potencja l chemiczny sk ladnika mieszaniny doskona lej, przy czym w miejsce u lamka molowego wystepuje iloczyn wsp´_, o lczynnika aktywno´sci i u lamka molowego. Iloczyn ten nosi nazwe_, aktywno´sci u lamkowej i-tego sk ladnika.

Podobnie pos lugujac si_, e wsp´_, o lczynnikiem lotno´sci uzyskujemy µi = µi,R_d,o+ RT lnpi

p₀φi , (8.50)

gdzie p0 oznacza pewne ci´snienie odniesienia. Iloczyn wsp´o lczynnika lotno´sci i bezwymiarowego ci´snienia parcjalnego i-tego sk ladnika mieszaniny gazowej nosi nazwe lotno´_, sci (fugitywno´sci, akty-wno´sci ci´snieniowej).

Wzory (8.49) oraz (8.50) pokazuja, ˙ze dla roztwor´_, ow rzeczywistych mo˙zemy pos lugiwa´c sie wzo-_, rami odpowiadajacymi roztworom doskona lym o ile dokonamy zast_, apienia odpowiednich wielko´_, sci zdefiniowanymi powy˙zej aktywno´sciami.

W ramach termodynamiki fenomenologicznej nie jeste´smy w stanie wyznaczy´c zale˙zno´sci aktywno´sci od sk ladu chemicznego mieszaniny. Jest to natomiast mo˙zliwe w odniesieniu do zale˙zno´sci od temperatury i ci´snienia. Ze wzoru (8.47) zapisanego w postaci

ln γ_i= ∆_eµ_i

RT , (8.51)

uzyskujemy w wyniku zr´o˙zniczkowania po T i p odpowiednio

 ∂ ln γi

∂T



p,{x_j}^r_j=1

= −∆ehi

RT² , (8.52)

 ∂ ln γ_i

∂p



T ,{x_j}^r_j=1

= ∆_ev_i

RT . (8.53)

W´sr´od roztwor´ow rzeczywistych wyr´o˙zniamy roztwory regularne i roztwory atermiczne.

Roztworem regularnym lub roztworem prawid lowym nazywamy roztw´or, kt´ory ma entropie mieszania_, r´owna entropii mieszania roztworu doskona lego._, Roztworami regularnymi jest wiele roztwor´ow cieczy organicznych oraz wiele roztwor´ow sta lych.

Roztworem atermicznym nazywamy roztw´or majacy zerow_, a entalpi_, e mieszania. Grupa ta nie jest_, zbyt liczna. Roztworami atermicznymi sa np. roztwory niekt´_, orych substancji wielkoczasteczkowych_, w rozpuszczalnikach organicznych.

8.4. REGU LA FAZ GIBBSA 93

W dokumencie Notatki do wyk ladu z fizyki statystycznej (Stron 89-93)