Tarcie w parach obrotowych

Linia dzia³ania wypadkowej nacisków w parze obrotowej w warunkach teoretycz-nych przebiega bez tarcia przez punkt styku i wzd³u¿ normalnej, czyli przez œrodek czopa. W rzeczywistoœci w miejscu styku (rys.177) wystêpuje si³a tarcia T₂₁= −T₁₂, która dzia³aj¹c na ramieniu r daje moment tarcia M21^T = −M12^T. Je¿eli przez P₁₂T

Rys. 176. Si³y oddzia³ywania w parach kinematycznych: a) schemat mechanizmu z naniesionymi si³ami, b) plan si³ (bez tarcia), c) plan si³ (z tarciem)

oznaczyæ wypadkow¹ sk³adowej si³y normalnej N₂₁ i si³y tarcia T₂₁ (P = +N T), to wystêpuj¹cy moment tarcia mo¿na ogólnie wyraziæ

MT = T· r = N· m· r = P· h, (112)

gdzie: r – promieñ czopa,

m – wspó³czynnik tarcia œlizgowego w parze obrotowej, h – promieñ ko³a tarcia.

Jak wiadomo z mechaniki m' = 1, 57m dla czopa niedotartego, m' = 1,27m dla czopa dotartego. Po uwzglêdnieniu, ¿e P = N2+T2 = N + 2 1 µ' , otrzymamy po podstawieniu do (112) MT = ^Pr P h + ^{= ⋅} µ µ ' _, 1 ² st¹d h = ^r r + ^≅ µ µ ^µ ' _'. 1 ² (113)

Jak z tego wynika, linia dzia³ania si³y oddzia³ywania P₂₁T wskutek tarcia nie prze-chodzi przez œrodek czopa, lecz w odleg³oœci h, która zale¿y od promienia czopa r oraz wspó³czynnika m' tarcia œlizgowego w parze obrotowej. Poniewa¿ kierunek si³y P mo¿e byæ dowolny, dogodnie jest operowaæ pojêciem tzw. ko³a tarcia

171 go wspó³œrodkowo promieniem h. Pos³uguj¹c siê tym pojciem mo¿na powiedzieæ, ¿e podczas tarcia rozwiniêtego si³a oddzia³ywania P w parze obrotowej przebiega stycznie do ko³a tarcia. Ostatnie spostrze¿enie jest prawdziwe, lecz ma³o precyzyjne, gdy¿ nie okreœla w ogóle punktu stycznoœci. Ten ostatni ustalaj¹ jednoznacznie kierunek i zwrot si³y oddzia³ywania oraz k¹tow¹ prêdkoœæ wzglêdn¹ rozpatrywanych cz³onów tworz¹-cych omawian¹ parê.

Zagadnienie to, bardzo istotne w analizie si³, zostanie wyjaœnione na przyk³adzie. Nale¿y okreœliæ si³ê S równowa¿¹c¹ si³ê ciê¿koœci Q dŸwigni (2) obrotowo osadzo-nej na nieruchomym sworzniu (1) – rys. 178.

Bez uwzglêdniania tarcia szukan¹ si³ê S okreœlono by jak na rys. 178a. Wypadko-wa P₂₁ przechodzi wtedy przez punkt H i œrodek czopa O.

W rzeczywistych warunkach tarcia w parze obrotowej si³a S_T ¹ S, o czym mo¿na wnosiæ, na tej podstawie, ¿e w stosunku do pierwotnego bêdzie inny kierunek wypad-kowej P₂₁T. Linia jej dzia³ania, przechodz¹c przez ten sam punkt H, bedzie jednoczeœ-nie styczn¹ do ko³a tarcia (rys. 178b), zakreœlonego wyznaczonym promiejednoczeœ-niem h ze œrodka czopa O. W tym przypadku jednak dwa kierunku, a mianowicie kierunki a i b, spe³niaj¹ ten sam warunek. W³aœciwy z nich mo¿na okreœliæ po ustaleniu kierunku ruchu wzglêdnego. Je¿eli za³o¿yæ, ze u nas k¹t w₂₁ ma zwrot zgodny z ruchem wskazówek zegara, to nietrudno ustaliæ, ¿e w³aœciwym kierunkiem jest kierunek b, gdy¿ wtedy tylko wypadkowa si³ zewnêtrznych P₂₁T, dzia³aj¹c na ramieniu h, daje moment M₂₁T zgodny z ruchem.

Do tego samego wyniku mo¿na dojœæ równie¿ na podstawie tzw. zasady naj-mniejszego skutku u¿ytecznego, która podaje, ¿e spoœród wszystkich mo¿liwych

Rys. 178. Przyk³ad okreœlania si³y równowa¿¹cej S dzia³aj¹cej na dŸwigniê obrotow¹: a) bez uwzglêdnienia tarcia, b) z uwzglêdnieniem tarcia w parze obrotowej

uk³adów kierunków stycznych do kó³ tarcia realizuje siê ten, przy którym skutek u¿y-teczny jest najmniejszy. W naszym przypadku oczywiœcie zachodzi to dla b, gdy¿ wtedy skutek u¿yteczny – si³a ST'' – jest najmniejsza (ST''< ST'). Zasada najmniejszego skutku u¿ytecznego mo¿e okazaæ siê czasem k³opotliwa w stosowaniu, zw³aszcza dla wiêkszej liczby mo¿liwych kombinacji kierunków, dlatego zaleca siê przede wszyst-kim, omówion¹ ju¿ na przyk³adzie, zasadê zgodnoœci momentu od si³y oddzia³ywania z prêdkoœci¹ k¹tow¹ ruchu wzglêdnego.

Stosuj¹c omówione zasady rozwi¹¿emy dwa przyk³ady.

1. W mechanizmie ABCD (rys. 179a) obci¹¿onym znanym momentem czynnym M_c okreœliæ si³y oddzia³ywania w parach kinematycznych oraz moment bierny M_bT, uwzglêdniaj¹c tarcie w parach obrotowych. W pierwszej kolejnoœci rozwi¹¿emy za-danie bez uwzglêdnienia tarcia. W naszym przypadku, przy œciskanym tylko cz³onie (3), znane s¹ kierunki si³ P₂₃ i P₄₃ (wzd³u¿ cz³onu BC), a wiêc z równowagi cz³onu (2) i (4) równie¿ ich modu³y

M_c = P₂₃· h₂, M_b = P₄₃· h₄. Oczywiœcie

P21 = −P12 = P32 = −P23, P41 = −P14 = P34 = −P43.

Po uwzglêdnieniu tarcia w parach obrotowych, obliczamy wed³ug zale¿noœci (113) promienie kó³ tarcia (zak³adamy znajomoœæ promieni czopów i wystêpuj¹cych w pa-rach wspó³czynników tarcia m’) i wrysowujemy ko³a tarcia (rys. 179b). W wyniku analizy kinematycznej okreœlamy przy za³o¿eniu zwrotu k¹ta w₂₁, zwroty wzglêd-nych prêdkoœci k¹towych. Zwroty tych prêdkoœci, wraz ze znanymi ju¿ zwrotami si³ oddzia³ywania (bez tarcia), umo¿liwi¹ okreœlenie w³aœciwych kierunków linii dzia³a-nia si³ w warunkach rzeczywistych. Zastosujemy w tym celu omówion¹ zasadê zgod-noœci momentów si³ czynnych w parze ze zwrotem wzglêdnej prêdkoœci k¹towej. Zi-lustrujemy tê zasadê na przyk³adzie pary C. Otó¿ ruch cz³onu (3) wzglêdem cz³onu (4) pokazany na rysunku strza³k¹ w₃₄, powstaje na skutek dzia³ania si³y P₃₄T. Ozna-cza to, ¿e linia dzia³ania tej si³y musi przebiegaæ stycznie do ko³a tarcia. Okreœlone w podobny sposób miejsca stycznoœci nna pozosta³ych ko³ach tarcia umo¿liwi¹ osta-tecznie dok³¹dne ju¿ przeprowadzenie poszukiwanych linii dzia³ania si³. Po znalezie-niu w ten sposób nowych ramion h₂T i h₄T znajdziemy bez trudu modu³y si³. Oczywi-œcie

M_bT = P₄₃T· h₄T.

to samo zadanie mo¿na rozwi¹zaæ równie¿ metod¹ najmniejszego skutku u¿yteczne-go. Wrysowujemy okreœlone poprzednio ko³o tarcia i kieruj¹c sie rozwi¹zaniem zada-nia bez uwzglêdniezada-nia tarcia (rys. 179a) wykreœlamy wszystkie formalnie mo¿liwe

173

Rys. 179. Analiza si³ oddzia³ywania w czworoboku przegubowym: a) si³y oddzia³ywania bez tarcia, b) si³y oddzia³ywania z tarciem okreœlone metod¹ zgodnoœci momentu czynnego w parze

z k¹tow¹ prêdkoœci¹ wzglêdn¹, c) si³y oddzia³ywania z tarciem okreœlone z zasady najmniejszego skutku u¿ytecznego

Rys. 180. Czworobok przegubowy ABCD obci¹¿ony znanymi si³ami P₃ i P₄ oraz momentem równowa¿¹cym M_c

kierunki (a, b, c i d) si³y P₂₃T (rys. 179c) oraz odpowiadaj¹ce im mo¿liwe linie dzia³a-nia si³ P₂₁T i P₄₁T.

Rzeczywiœcie realizujace siê w uk³adzie kierunki rozpatrywanych si³ ustalimy pa-miêtaj¹c, ¿e „skutek” M_bT dzia³ania momentu M_c musi byæ najmniejszy spoœród wszy-stkich teoretycznie mo¿liwych. Oznacza to w naszym przypadku, ¿e ramiê h₂T momen-tu czynnego M_c musi byæ najwiêksze (wtedy P₂₃^T = P₃₄^T = minimum), ramiê h₄T zaœ najmniejsze. Prowadzi to do rozwiazania przedstawionego na rys. 179c.

2. W zadanym mechanizmie (rys. 180) o znanych si³ach zewnêtrznych P₃ i P₄ okreœliæ si³y oddzia³ywania w parach kinematycznych oraz moment czynny M_cT, uwzglêdniaj¹c tarcie w parach kinematycznych obrotowych.

Jak w zadaniach poprzednich, rozpoczniemy i tym razem od rozwiazania zaga-dniennia bez uwzglednienia tarcia. Wydzielaj¹c z uk³adu dwucz³on (3) i (4), o zna-nych obci¹¿eniach zewnêtrzzna-nych, stwierdzamy, ¿e jest to grupa statycznie wyznaczal-na (spe³niony warunek (113)).P odobnie jak w punkcie 10.1.1 wersja 2.3.0, postaæ A, okreœlamy si³y oddzia³ywania P₂₃, P₃₄ i P₁₄ w parach kinematycznych B, C i D. Na rysunku 181a przedstawiono wydzielon¹ grupê statycznie wyznaczaln¹, na rys. 181b plan si³.

Równowagê cz³onu czynnego (2) (rys. 181c i d) mo¿na zapisaæ nastêpuj¹co P12+P32 = ,0

M_c = P₂₃· h₂.

Zak³adajac kierunek ruchu cz³onu (2), zgodny z momentem czynnym M_c, mo¿na okreœliæ zwroty k¹towych prêdkoœci wzglêdnych, pokazanych na rys. 182a.

175 Obecnie mo¿na ju¿ przyst¹piæ do rozwi¹zania zadania z uwzglêdnieniem tarcia. Przede wszystkim obliczamy promienie kó³ tarcia wed³ug zale¿noœci (113) oraz – po uwzglêdnieniu podzia³ki rysunku – wykreœlamy ko³a tarcia w poszczególnych parach. Linie si³ oddzia³ywania, przechodz¹ce dotychczas przez œrodki przegubów, bêd¹ teraz przebiegaæ stycznie do wrysowanych kó³ tarcia. Aby ustaliæ w³aœciwy kierunek, wy-korzystamy zwroty si³ (z planu si³ bez tarcia) oraz zwroty wzglêdnych prêdkoœci k¹to-wych. Pogrubione na rysunku 182a odcinki kó³ tarcia pokazuj¹ mo¿liwe miejsca stycz-noœci linii dzia³ania si³ oddzia³ywania po uwzglêdnieniu tarcia w parach kinematycz-nych.

Opieraj¹c siê dalej na grupie statycznie wyznaczalnej, z³o¿onej z cz³onów (3) i (4), mo¿emy zapisaæ równowagê cz³onu (3)

P23^T + P3+ P43^T = ,0 ₍₁₁₄₎

oraz cz³onu (4)

P14^T + P4+ P34^T = .0 ₍₁₁₅₎

Rys. 181. Okreœlenie si³ oddzia³ywania w parach czworoboku ABCD z rys. 180 bez tarcia: a) grupa statycznie wyznaczalna BCD, b) plan si³, c) cz³on czynny, d) rozk³ad si³ w parach cz³onu czynnego

Si³y P₁₄T i P₂₃T nie mo¿na, jak poprzednio, roz³o¿yæ na sk³adowe styczne i normal-ne, poniewa¿ nie s¹ znane ich punkty przy³o¿enia. W tej sytuacji zastosujemy pewien specjalny graficzny sposób postêpowania.

Na cz³on (3) w równowadze dzia³aj¹ trzy si³y zewnêtrzne, których linie dzia³ania przecinaj¹ siê w jednym punkcie. Za³ó¿my, ¿e dla cz³onu (3) bêdzie to punkt K'. Z kierunku si³y P₄₃T wynika punkt L' przeciêcia linii dzia³ania si³ zewnêtrznych dzia³a-j¹cych na cz³on (4). Na rysunku 182b wykreœlono plan si³. Jak wynika z planu si³, grupa nie jest w równowadze, poniewa¿ P43^T + P34^T ≠ 0 . Sile P₄₃T' odpowiada w podzia³ce odcinek OM_b, sile P₃₄T' zaœ odcinek M_aO. W tej sytuacji za³o¿ymy nowy punkt K'' przeciêcia linii dzia³ania si³ zewnêtrznych dzia³aj¹cych na cz³on (3). Dla cz³onu (4) otrzymamy wtedy odpowiedni punkt L'' i kolejne rozwi¹zanie (nie pokazane na rysunku). Je¿eli zabiegi te powtórzymy wielokrotnie, to koñce M_b si³y P₄₃T wyznacz¹ krzyw¹ b, natomiast pocz¹tki M_a si³y P₃₄T krzyw¹ a. Punkt M przeciêcia obydwu krzywych spe³nia warunek P43^T + P34^T = 0. £¹cz¹c punkt M z punktem O otrzymamy kierunek, modu³ i zwrot si³y oddzia³ywania P₄₃T, natomiast z poczatkiem si³y P₃ – kierunek, modu³ i zwrot si³y P₂₃. Po³¹czenie punktu M z koñcem si³y P₄

Rys. 182. Okreœlenie si³ oddzia³ywania w parach czworoboku ABCD z rys. 180 z uwzglêdnieniem tarcia: a) grupa statycznie wyznaczalna BCD, b) plan si³,

177 wyznacza kierunek, modu³ i zwrot si³y P₁₄T. Tym samym wyznaczono wszystkie si³y oddzia³ywania w parach kinematycznych grupy z uwzglêdnieniem tarcia.

Równowagê cz³onu czynnego zapiszemy nastêpuj¹co (rys. 182d) P32^T + P12^T = ,0

M_cT = P₂₃T· h₂T . Wartoœæ h₂T mo¿na odczytaæ z rysunku 182c.

Omawiaj¹c metodê uwzglêdnienia tarcia w parach obrotowych za pomoc¹ kó³ tar-cia nale¿y zaznaczyæ, ¿e zjawisko tartar-cia w analizie dynamicznej mo¿na w niektórych przypadkach pomin¹æ po dokonaniu wstêpnej oceny jego wp³ywu na wynik poszuki-wañ.

W wielu przypadkach, zw³aszcza w mechanizmach o zwartej budowie pracuj¹cych w pobli¿u po³o¿eñ zwrotnych, wp³yw tarcia w parach kinematycznych obrotowych na wartoœæ wystêpuj¹cych si³ mo¿e byæ znaczny. W szczególnoœci tarcie w parach obro-towych mo¿e byæ powodem pojawienia siê niedopuszczalnych przeci¹¿eñ, a nawet mo¿e doprowadziæ do unieruchomienia uk³adu (po³o¿enie martwe).