Teoria maszyn i mechanizmów : analiza układow kinematycznych

Stefan Miller

TEORIA MASZYN I MECHANIZMÓW

Analiza uk³adów kinematycznych

Spis treœci

Wstêp . . . I. Struktura . . . 1. Pojêcia podstawowe . . . 1.1. Cz³on (ogniwo) . . . 1.2. Para kinematyczna (wêze³ kinematyczny) . . . 1.3. £añcuch kinematyczny . . . 1.3.1. Ruchliwoœæ ³añcucha . . . 1.4. Mechanizm, uk³ad, maszyna . . . 1.5. Wzory srtukturalne . . . 1.6. Ruchliwoœæ lokalna. . . 1.7. Ruchliwoœæ zupe³na i niezupe³na . . . 1.8. Wiêzy bierne . . . 2. Klasyfikacja mechanizmów . . . II. Kinematyka . . . 3. Metody graficzne . . . 3.1. Podzia³ki . . . 3.2. Po³o¿enia i trajektorie . . . 3.2.1. Po³o¿enia . . . 3.2.2. Trajektorie . . . 3.3. Prêdkoœci i przyspieszenia . . . 3.3.1. Œrodki obrotu . . . 3.3.2. Zwi¹zki podstawowe analizy kinematycznej . . . 3.3.3. Metoda toru ocechowanego . . . 3.3.4. Metoda planów . . . 3.3.5. Metoda wykresów kinematycznych . . . 4. Metody analityczne . . . 4.1. Metoda zapisu wektorowego . . . 4.1.1. Analiza czworoboku przegubowego . . . 4.2. Metoda klasyczna . . . 4.3. Metoda macierzowa . . . 5. Metody numeryczne . . . 5.1. Metoda przyrostów skoñczonych . . . 6. Analiza i przegl¹d wybranych grup mechanizmów . . . 6.1. Mechanizmy dŸwigniowe . . . 6.1.1. P³aski czworobok przgubowy . . . 6.1.2. Sprzêg³o Cardana . . . 6.1.3. Manipulatory . . . 6.2. Mechanizmy z parami wy¿szymi . . . 6.2.1. Mechanizmy krzywkowe . . . 6.2.2. Mechanizmy zêbate . . . 7. Analiza dok³adnoœci . . . 7.1. Okreœlanie b³êdu i tolerancji wynikowej . . . 7.2. Okreœlanie wspó³czynników wp³ywu . . . III. Dynamika . . . 8. Wprowadzenie . . . 9. Si³y i ich przegl¹d . . . 9.1. Si³y bezw³adnoœci i ich redukcja . . . 9.1.1. Metoda mas zastêpczych . . .

4

10. Kinetostatyka . . . 10.1. Grupy statycznie wyznaczalne . . . 10.1.1. Analiza si³ w grupach ststycznie wyznaczalnych . . . 10.2. Równowaga cz³onu czynnego . . . 10.3. Wyznaczanie si³ i momentów równowa¿¹cych metod¹ energetyczn¹ . . . 11. Tarcie w parach kinematycznych . . . 11.1. Tarcie w parach postêpowych . . . 11.2. Tarcie w parach obrotowych . . . 11.3. Tarcie w parach wy¿szych . . . 12. Bilans energetyczny maszyny . . . 12.1. Równanie energii . . . 12.2. Sprawnoœæ mechaniczna maszyny . . . 12.3. Okreœlanie sprawnoœci mechanizmów . . . 13. Badanie ruchu maszyn . . . 13.1. Redukcja si³ . . . 13.2. Redukcja mas . . . 13.3. Modele maszyn i równania ruchu . . . 13.4. Nierównomiernoœæ biegu maszyn . . . 13.5. Ko³a zamachowe . . . 13.5.1. Przybli¿ona metoda okreœlania momentu bezw³adnoœci ko³a zamachowego . . . 13.5.2. Kszta³towanie i osadzanie ko³a zamachowego . . . 13.6. Obci¹¿enia koryguj¹ce . . . 14. Wywa¿anie . . . 14.1. Okreœlanie œrodka ciê¿koœci mechanizmów . . . 14.2. Wywa¿anie mechanizmów dŸwigniowych . . . 14.2.1. Wywa¿anie statyczne mechanizmów dŸwigniowych . . . 14.3. Wywa¿anie mas obrotowych . . . 14.3.1. Wywa¿anie statyczne cz³onów obrotowych (wirników) . . . 14.3.2. Wywa¿anie dynamiczne cz³onów obrotowych sztywnych . . . 15. Dynamika mechanizmów z cz³onami podatnymi . . . 15.1. Dynamika mechanizmów obrotowych . . . 15.2. Dynamika p³askich mechanizmów dŸwigniowych . . . 15.3. Dynamika mechanizmu krzywkowego z podatnym popychaczem . . . 15.4. Wywa¿anie dynamiczne cz³onów obrotowych podatnych . . . Literatura

Wstêp

Wiêkszoœæ urz¹dzeñ technicznych, stosowanych we wszelkich procesach produk-cyjnych, jak równie¿ wykorzystywanych do obs³ugi podstawowych sfer ¿ycia wspó³-czesnego cz³owieka, stanowi¹ najogólniej tzw. systemy mechaniczne. Wszystkie te systemy, z³o¿one z cia³ materialnych (sta³ych, p³ynnych,...), mo¿na podzieliæ na dwie ró¿ne grupy.

Do pierwszej z nich zaliczamy systemy mechaniczne charakteryzuj¹ce siê tym, ¿e ich funkcja nie wi¹¿e siê ze wzajemnym ruchem elementów sk³adowych, czyli inaczej systemy, w których elementy sk³adowe s¹ po³¹czone ze sob¹ nieruchowo. Przyk³adami takich urz¹dzeñ s¹ wszelkie konstrukcje sztywne, jak np. obudowy, ramy, zbiorniki itp.

Drug¹ grupê tworz¹ systemy, w których elementy sk³adowe s¹ po³¹czone ze sob¹ ruchowo i w procesie wype³niania swojej funkcji wystêpuje wzajemne ich przemiesz-czanie. Do nich nale¿¹ przede wszystkim maszyny, oraz ró¿ne aparaty i narzêdzia, których budowê i dzia³anie okreœlaj¹ uk³ady kinematyczne (mechanizmy). Z t¹ grup¹ urz¹dzeñ, stanowi¹cych przedmiot rozwa¿añ, jest zwi¹zany szeroki kr¹g zagadnieñ dotycz¹cych ich analizy i syntezy. Wiêkszoœæ problemów, niezale¿nie od specyfiki i przeznaczenia urz¹dzeñ, jest wspólna. Nale¿¹ do nich miêdzy innymi: zagadnienia torów zakreœlanych przez pewne punkty zwi¹zane z elementami ruchomymi, zaga-dnienia wzajemnych po³o¿eñ elementów w kolejnych fazach ruchu, prêdkoœci i przy-spieszeñ k¹towych poszczególnych cz³onów.

Wspólne w zasadzie dla wszystkich urz¹dzeñ tego typu jest zagadnienie si³ prze-noszonych przez elementy ruchome i ich po³¹czenia, ruch okreœlonych uk³adów pod dzia³aniem si³, zjawisko tarcia i jego efekty, moc potrzebna do utrzymania urz¹dzenia w ruchu itd. Ogólne problemy i metody ich rozwi¹zywania, interesuj¹ce zarówno konstruktorów, technologów, jak i eksploatatorów systemów mechanicznych, s¹ przedmiotem nauki teoria maszyn i mechanizmów, który dzieli siê na trzy dzia³y: struktura, kinematyka, dynamika.

W pierwszym dziale, poœwiêconym strukturze, omawia siê ogólne w³aœciwoœci ruchowe uk³adów mechanicznych wi¹¿¹ce siê z pewnymi cechami ich budowy, a wiêc liczb¹ i rodzajem elementów sk³adowych oraz sposobem ich po³¹czeñ.

Dzia³ kinematyki jest poœwiêcony metodom badania wzajemnych ruchów cz³o-nów i punktów zwi¹zanych z cz³onami uk³adów mechanicznych. Nale¿y podkreœliæ, ¿e punktem wyjœcia w kinematyce jest tylko ruch elementów napêdzaj¹cych i geome-tria uk³adu, bez uwzglêdniania wp³ywu mas tych elementów i dzia³aj¹cych na nie si³.

6

W dziale poœwiêconym dynamice bada siê zwi¹zki zachodz¹ce w uk³adzie miêdzy parametrami kinematycznymi elementów sk³adowych a ich masami i dzia³aj¹cymi na nie si³ami.

Teoria maszyn i mechanizmów stanowi w du¿ej mierze ukierunkowane rozwiniê-cie mechaniki, jest wiêc na pograniczu nauk podstawowych i stosowanych. Wyjaœnia wa¿niejsze zjawiska zachodz¹ce w uk³adach kinematycznych, zarazem umo¿liwia zro-zumienia istotnych problemów budowy i dzia³ania maszyn oraz urz¹dzeñ mechanicz-nych. W tym sensie znajomoœæ tego przedmiotu powinna stanowiæ skuteczn¹ pomoc dla wszystkich, którzy zajmuj¹ siê twórcz¹ prac¹ in¿yniersk¹.

I. STRUKTURA

1. Pojêcia podstawowe

1.1. Cz³on (ogniwo)

W uk³adach kinematycznych mo¿na wyró¿niæ elementy sk³adowe wykonuj¹ce w stosunku do siebie ruchy wzglêdne. Elementy te bêdziemy nazywaæ ogólnie cz³onami lub ogniwami. Przyk³adami cz³onów s¹ elementy sk³adowe (1–3) uk³adu pompy przed-stawionej na rys.1 oraz (1–9) uk³adu wysiêgnika ³adowarki hydraulicznej z rys. 2. Cz³ony mog¹ wystêpowaæ w postaci jednoczêœciowej (rys.3a) lub, jak to czêsto bywa, mog¹ byæ zbudowane z wielu czêœci (rys. 3b). Mówimy o jednym cz³onie wówczas, gdy poszczególne czêœci (jak na rys. 3b) s¹ po³¹czone ze sob¹ sztywno. Najczêœciej mamy do czynienia z cz³onami sztywnymi, tzn. takimi, których odkszta³calnoœæ nie ma istotnego wp³ywu na przenoszony ruch; cz³onami jednak bêdziemy nazywaæ rów-nie¿ elementy podatne, jak ciêgna i sprê¿yny, a tak¿e uczestnicz¹ce w przekazywaniu ruchu okreœlone objêtoœci gazów lub cieczy. Przyk³adami tego typu cz³onów mog¹ byæ: sprê¿ysty element (4) uk³adu napêdowego m³ota (rys. 4) lub zamkniêta ciecz (3) w hydraulicznej prasie (rys. 5). W dalszym ci¹gu zajmiemy siê przede wszystkim uk³adami cz³onów sztywnych.

8

Rys. 3. Przyk³ady cz³onów dwuwêz³owych: a) cz³on prosty, b) cz³on z³o¿ony, c) schemat

Rys. 2. Uk³ad wysiêgnika ³adowarki hydraulicznej: a) widok ogólny uk³adu, b) schemat kinematyczny uk³adu

Rys. 4. Mechanizm napêdu m³ota: 4 – cz³on sprê¿ysty

Jeden z cz³onów uk³adu, wzglêdem którego badamy ruchy pozosta³ych cz³onów, bêdziemy nazywaæ podstaw¹ lub ostoj¹. Jest to zwykle cz³on nieruchomy i nietrudno go odró¿niæ. Podstaw¹ jest obudowa (1) pompy z rys. 1, rama (1) ³adowarki z rys. 2, a tak¿e korpus m³ota i prasy przedstawiony na rys. 4 i 5. Wœród pozosta³ych (poza podstaw¹) ruchomych cz³onów uk³adu bêdziemy wyró¿niaæ cz³ony czynne, do których jest przy³o¿ony napêd uk³adu, cz³ony bierne, czyli napêdzane, oraz grupê cz³onów poœrednicz¹cych w przekazywaniu ruchu i si³. Uwzglêdniaj¹c charakter ruchu, bê-dziemy cz³onom ruchomym przypisywaæ bli¿sze okreœlenia. I tak, korb¹ bêbê-dziemy nazywaæ cz³ony wykonuj¹ce pe³ny ruch obrotowy, wahaczem – cz³on o nawrotnym ruchu obrotowym w granicach k¹ta niepe³nego, suwakiem – cz³on o ruchu postêpo-wym itp.

W naszych rozwa¿aniach nie bêdziemy siê interesowaæ tymi cechami cz³onów, które nie maj¹ wp³ywu na ruch i jego przenoszenie. Traktuj¹c cz³ony jako cia³a sztywne, zaakcentujemy tylko te ich wymiary, które okreœlaj¹ wzajemne po³o¿enie miejsc przy-stosowanych do wejœcia w ruchowe po³¹czenia z innymi cz³onami. Wed³ug liczby tych miejsc, zwanych dalej pó³parami lub pó³wêz³ami, mo¿na dzieliæ wszystkie cz³o-ny na 2-, 3- i n-wêz³owe. Cecha ta jest widoczna wyraŸnie przy schematyczcz³o-nym sposobie rysowania uk³adów i cz³onów (rys. 2b, 3c), z którego bêdziemy powszechnie korzystaæ.

Wêz³owoœæ cz³onów bêdziemy oznaczaæ symbolami N₂, N₃, ..., N_n, natomiast licz-by takich cz³onów w uk³adzie odpowiednio przez n₂, n₃, ..., n_n. Istotê podzia³u cz³o-nów p³askich wed³ug wêz³owoœci wyjaœniono na rys. 6, na którym wyró¿niono dodat-kowo cz³ony wystêpuj¹ce w uk³adach p³askich i przestrzennych. Czêsto jest u¿yteczne przypisywanie okreœlonym typom cz³onów charakterystycznych dla nich liczb b wszys-tkich krawêdzi, czyli odcinków, jakimi mo¿na po³¹czyæ poszczególne pó³wêz³y miê-dzy sob¹ oraz liczb b_w tych odcinków schodz¹cych siê w jednym pó³wêŸle.

10

Rys. 6. Oznaczenia p³askich i przestrzennych cz³onów wielowêz³owych

1.2. Para kinematyczna (wêze³ kinematyczny)

Istotn¹ cech¹ ka¿dego uk³adu kinematycznego s¹ ruchowe po³¹czenia cz³onów. Po³¹czenia takie, umo¿liwiaj¹ce wzajemny ruch wzglêdny dwóch cz³onów, nazywa siê powszechnie par¹ kinematyczn¹ lub wêz³em kinematycznym. Kilka przyk³adów par kinematycznych mo¿na wskazaæ ju¿ w uk³adach przedstawionych na rys. 1 i 2.

Du¿a ró¿norodnoœæ wystêpuj¹cych w praktyce par sugeruje potrzebê dokonania pewnego podzia³u i systematyki. Stosuje siê wiêc nie wymagaj¹cy wyjaœnienia podzia³ par na przestrzenne i p³askie. Powszechnie stosowanym kryterium podzia³u par jest rodzaj miejsca styku dwóch tworz¹cych parê cz³onów. Parami ni¿szymi nazywa siê pary, w których styk cz³onów jest powierzchniowny, jak np. w parze przedstawionej na rys. 7a (powierzchnia kulista), parami wy¿szymi zaœ, w których miejscem styku cz³onów pary jest linia lub punkt (rys. 7b i c).

Wœród wielu stosowanych podzia³ów tych ró¿norodnych po³¹czeñ powszechnie stosuje siê podzia³ par na klasy wed³ug liczby stopni swobody jednego cz³onu wzglê-dem drugiego cz³onu pary. Cz³on swobodny dysponuje, jak wiadomo, szeœcioma

stop-Rys. 7. Przyk³ady podzia³u par ze wzglêdu na rodzaj styku: a) styk powierzchniowy (para ni¿sza), b) styk liniowy (para wy¿sza), c) styk punktowy (para wy¿sza)

Rys. 8. Stopnie swobody i ich oznaczenia niami swobody. Najbardziej obrazowo i

do-godnie – z punktu widzenia technicznego – mo¿na je przedstawiæ jako trzy niezale¿ne od siebie ruchy postêpowe T_x, T_y, T_z (trans-lacje) wzd³u¿ trzech prostopad³ych osi uk³a-du x, y, z oraz trzy ruchy obrotowe R_x, R_y, R_z (rotacje) wokó³ tych osi (rys. 8). W ka¿-dej parze tworz¹ce j¹ cz³ony nak³adaj¹ na siebie pewne ograniczenia ruchu lub inaczej – wiêzy. Ka¿dy cz³on pary rozporz¹dza wzglê-dem drugiego odpowiednio mniejsz¹ liczb¹ stopni swobody. Kieruj¹c siê tak¹ liczb¹ posiadanych stopni swobody [1], [7], [13]

dzieli siê wszystkie pary na 5 klas, oznaczanych dalej cyframi rzymskimi I, II, III, IV i V*)_.

W tej konwencji na przyk³ad parê przedstawion¹ na rys. 7a, w której cz³on (2) mo¿e wykonywaæ wzglêdem cz³onu (1) trzy ruchy obrotowe, zaliczymy do kl. III, parê wy¿sz¹ z rys. 7c zaœ do klasy V. Przyk³ady par wszystkich klas zestawiono w tabeli 1.

Ka¿da z klas obejmuje ca³y zbiór par ró¿ni¹cych siê jednak miêdzy sob¹ nie tylko cechami konstrukcyjnymi, ale nawet kinematycznymi. Ró¿nice te mo¿na przeœledziæ na przyk³adzie, zestawionych na rys. 9 i 10, par II klasy.

W parach a i b z rysunku 9, cz³on (2) dysponuje wzglêdem cz³onu (1) mo¿liwo-œci¹ obrotu i przesuniêcia, lecz osie tych ruchów s¹ do siebie b¹dŸ równoleg³e (rys.

Rys. 9. Przyk³ady par II klasy: a) oœ ruchu obrotowego równoleg³a do kierunku ruchu postêpowego, b) oœ ruchu obrotowego prostopad³a do kierunku ruchu postêpowego

*) _{Mo¿na siê spotkaæ równie¿ z innym podzia³em na klasy [2], [9], [12], w którym o klasie decyduje}

12

9a), b¹dŸ prostopad³e (rys. 9b). W parach przedstawionych na rys. 10a i 10b cz³on (2) mo¿e wykonywaæ 2 obroty, przy czym w przypadku a) osie tych obrotów przecinaj¹ siê pod k¹tem prostym, w przypadku b) zaœ s¹ do siebie równie¿ prostopad³e, lecz wzajemnie zwichrowane. Nie zawsze te¿ stopnie swobody odnosz¹ siê do prostych ruchów postêpowych lub obrotowych. W pewnych rozwi¹zaniach jeden prosty ruch wzglêdny dwóch rozpatrywanych cz³onów wywo³uje œciœle okreœlony jeden lub kilka innych ruchów prostych. Znanym przyk³adem takiego zjawiska jest para œrubowa przed-stawiona na rys. 11a. Ruchowi obrotowemu cz³onu (2) wzglêdem cz³onu (1) towzrzy-szy œciœle okreœlony ruch postêpowy. Te ruchy T_x i R_x, dla odró¿nienia od odpowie-dnich ruchów niezale¿nych, bêdziemy sygnalizowaæ przez zapis ich symboli w jed-nym nawiasie okr¹g³ym (T_xR_x). Kolejny przyk³ad tego typu funkcyjnych powi¹zañ ruchów dwóch cz³onów pary przedstawiono na rys. 11b. Ruch postêpowy T_x cz³onu (2) wzglêdem cz³onu (1) wywo³uje jednoczeœnie przesuniêcie wzd³u¿ osi y, a wiêc T_y.

Rys. 10. Przyk³ady par kinematycznych II klasy: a) przecinaj¹ce siê osie obrotów, b) zwichrowane osie obrotów

Rys. 11. Przyk³ady par kinematycznych I klasy o funkcyjnym powi¹zaniu ruchów elementarnych: a) Tx = f(Rx), b) Tx = f(Ty)

14

Tabela 2

Zgodnie z wprowadzon¹ umow¹, tej parze przypiszemy symbol (T_xT_y). W obydwu przypadkach (rys. 11) ruch cz³onu (2) wzglêdem (1) jest œciœle okreœlony przez jeden ruch prosty, mo¿na wiêc mówiæ o jednym stopniu swobody i parze I klasy.

Ju¿ z tych kilku przyk³adów widaæ, ¿e poszczególne klasy par obejmuj¹ liczne zbiory par ró¿ni¹cych siê liczbami mo¿liwych ruchów postêpowych i obrotowych, wzajemnym usytuowaniem osi tych ruchów oraz ró¿nymi powi¹zaniami funkcyjnymi miêdzy tymi ruchami. W tej sytuacji celowy jest dalszy podzia³ par nale¿¹cych do jednej klasy na rzêdy i odmiany, wed³ug wymienionych cech kinematycznych. Istotê tego podzia³u ilustruje tabela 2, w której wszystkie mo¿liwe odmiany par I kl. zesta-wiono w rzêdy 1–6 wed³ug liczby ruchów funkcyjnych ze sob¹ zwi¹zanych.

Pary p³askie

W zdecydowanej wiêkszoœci uk³adów kinematycznych ruchy wzglêdne cz³onów odbywaj¹ siê w p³aszczyznach wzajemnie równoleg³ych. Mówimy wtedy o uk³adach p³askich.

W takich uk³adach wystêpuj¹ niektóre tylko spoœród omawianych par, zwane krót-ko parami p³askimi. Ruch cz³onu mo¿na opisaæ dwoma ruchami postêpowymi wzd³u¿ osi do siebie prostopad³ych (np. x i y), ruchem obrotowym wokó³ osi prostopad³ej do poprzednich (np. z) lub ich kombinacj¹. W tej sytuacji pary p³askie mog¹ zapewniaæ wzajemny ruch tworz¹cych je cz³onów w zakresie jednego lub dwóch stopni swobody, co oznacza, ¿e mog¹ wystêpowaæ tylko jako pary I i II klasy, i to tylko wybranych odmian. Przyk³ady najprostszych i najczêœciej spotykanych par kinematycznych ze-stawiono w tabeli 3.

1.3. £añcuch kinematyczny

£añcuchem kinematycznym nazywamy szereg cz³onów po³¹czonych ze sob¹ ru-chowo. Kilka przyk³adów ³añcuchów przedstawiono na rys. 12.

a) p³askie, przestrzenne, b) otwarte, zamkniête,

c) jednobie¿ne, niejednobie¿ne.

O ³añcuchu p³askim mówimy wtedy, gdy wszystkie jego cz³ony wykonuj¹ ruchy w p³aszczyznach równoleg³ych (rys. 12a, b, c). Gdy warunek ten nie jest spe³nionyjak to ma miejsce w przypadku ostatnim (rys. 12d) mówimy o ³añcuchu przestrzennym.

Tabela 3

16

Do ³añcuchów otwartych zaliczymy te, które zawieraj¹ cz³ony tworz¹ce pary tyl-ko z jednym cz³onem. Na rys. 12a przedstawiono ³añcuch otwarty, na rysunku 12 b, c, d natomiast ³añcuchy zamkniête.

Zwróæmy uwagê na pewne zjawiska kinematyczne. Niech bêdzie dany p³aski ³añ-cuch kinematyczny z³o¿ony z czterech cz³onów, po³¹czonych jak na rys. 13a. Nie trze-ba wykazywaæ, ¿e w uk³adzie tym ka¿demu po³o¿eniu cz³onu (2) w p³aszczyŸnie zwi¹-zanej z cz³onem (1) odpowiadaj¹ okreœlone po³o¿enia pozosta³ych cz³onów (3) i (4). Oznacza to, ¿e zadanemu ruchowi cz³onu (2) wzglêdem dowolnego innego cz³onu odpowiadaj¹ okreœlone ruchy pozosta³ych cz³onów wzglêdem siebie. £añcuch o ta-kich w³aœciwoœciach nazywamy jednobie¿nym.

W uk³adzie piêciocz³onowym, przedstawionym na rys. 13b, ruch wzglêdny cz³onu (2) wzglêdem cz³onu (1) nie warunkuje jednoznacznych ruchów wzglêdnych pozosta-³ych cz³onów. Jest to przyk³ad ³añcucha niejednobie¿nego. Oczywiœcie i w tym ³añ-cuchu mo¿na otrzymaæ ruchy œciœle okreœlone, je¿eli jednoczeœnie bêdziemy napê-dzaæ jakikolwiek inny cz³on, np. obracaj¹c korb¹ (2) przesuwaæ wzd³u¿ prowadnicy su-wak (5).

Ju¿ z tych przyk³adów widaæ, ¿e jednobie¿noœæ wi¹¿e siê z jednej strony z liczb¹ cz³onów czynnych (napêdzaj¹cych), z drugiej zaœ z pewnymi cechami budowy uk³adu lub – jak powiedzmy inaczej – ze struktur¹ uk³adu.

1.3.1. Ruchliwoœæ ³añcucha

Ruchliwoœæ ³añcucha lub stopieñ ruchliwoœci w sensie fizycznym okreœla, przy istnieniu pewnych zastrze¿eñ, liczbê stopni swobody, jakimi dysponuj¹ cz³ony uk³adu wzglêdem jednego z nich. Ruchliwoœæ mo¿na inaczej okreœliæ liczb¹ ograniczeñ ru-chów prostych (wiêzów), które na³o¿one na ruchome cz³ony uk³adu powoduj¹, ¿e uk³ad staje siê sztywny. W p³askim ³añcuchu przegubowym ABCD (rys. 14a) cz³ony dysponuj¹ wzglêdem siebie jednym stopniem swobody (W = 1), o czym mo¿na siê przekonaæ choæby po zbudowaniu jego fizycznego modelu. Je¿eli jednak w tym mo-delu wyeliminujemy jedn¹ mo¿liwoœæ ruchu wzglêdnego cz³onów, np. w parze C (rys. 14b), bêdziemy mieli do czynienia z uk³adem sztywnym (W = 0). Takiemu uk³adowi przypiszemy wiêc ruchliwoœæ W = 1. W ten sam sposób mo¿na siê przekonaæ, ¿e

Rys. 15. Ilustracja pojêcia ruchliwoœci ³añcucha kinematycznego: a) ³añcuch o ruchliwoœci W = 2, b) uk³ad sztywny

Rys. 14. Ilustracja pojêcia ruchliwoœci ³añcucha kinematycznego: a) ³añcuch o ruchliwoœæi W = 1, b) uk³ad sztywny

uk³ad ABCDE, z rys. 15a, charakteryzuje siê ruchliwoœci¹ W = 2; do otrzymania zeñ uk³adu sztywnego potrzeba dwóch ograniczeñ ruchu, np. w parach B i E (rys. 15b). Uk³ad jest jednobie¿ny, je¿eli liczba cz³onów czynnych odpowiada jego ruchliwoœci. Ruchliwoœæ uk³adu mo¿na wiêc w prostych przypadkach oceniæ intuicyjnie, mo¿na jednak równie¿ dokonaæ tego w sposób formalny, stosuj¹c tzw. wzory strukturalne (podrozdz. 1.5).

1.4. Mechanizm, uk³ad, maszyna

1. Pojêciem mechanizm bêdziemy okreœlaæ zamkniêty ³añcuch kinematyczny z jednym cz³onem spe³niaj¹cym funkcjê podstawy, charakteryzuj¹cy siê liczb¹ cz³o-nów czynnych równ¹ jego ruchliwoœci. Bêdziemy wiêc nazywaæ mechanizmem uk³ad jednobie¿ny umo¿liwiaj¹cy przekazywanie ruchu, czêsto z jednoczesn¹ zmian¹ jego parametrów. Oczywiœcie, realizacja tego zadania jest mo¿liwa z udzia³em si³, ale isto-t¹ mechanizmu jest ruch. Kilka przyk³adów mechanizmów zestawiono na rys. 16.

Na rysunku 16a przedstawiono uk³ad umo¿liwiaj¹cy zamianê ruchu obrotowego cz³onu (2) wzglêdem podstawy (1) na ruch obrotowo-zwrotny (wahad³owy) cz³onu (4) wzglêdem podstawy. Mechanizm krzywkowy (rys. 16b) zamienia ruch obrotowy krzywki (2) na ruch postêpowy cz³onu (3), mechanizm zêbaty zaœ (rys. 16c)

umo¿li-18

wia zamianê wzglêdnego ruchu postêpowego w si³owniku hydraulicznym AB na ruch obrotowy ko³a (5).

2. Istnieje wiele urz¹dzeñ o budowie opartej na ³añcuchu kinematycznym, które nie spe³niaj¹c wszystkich w/w kryteriów – nie zas³uguj¹ na miano mechanizmu. S¹ wiêc urz¹dzenia, które s³u¿¹ do przekazywania si³, jednak bez udzia³u ruchu, a wiêc jako ³añcuchy sztywne, przynajmniej w pewnych fazach pracy. S¹ ³añcuchy kinema-tyczne niejednobie¿ne, wystêpuj¹ wreszcie ³añcuchy kinemakinema-tyczne bez wyraŸnie ak-centowanej podstawy itp. Wszystkie takie urz¹dzenia, wraz z ca³¹ grup¹ zdefiniowa-nych mechanizmów, bêdziemy obejmowaæ szerokim pojêciem uk³adów mechanicz-nych lub uk³adów kinematyczmechanicz-nych.

Przyk³adem uk³adu mechanicznego mo¿e byæ urz¹dzenie zaczepowe (rys. 17a) umo¿liwiaj¹ce przeniesienie si³y uci¹gu ci¹gnika na ramê maszyny. Uk³ad ten wyko-nuje swoje zadanie w zasadzie bez udzia³u ruchu wzglêdnego tworz¹cych go cz³o-nów. Ruch wzglêdny cz³onów, potrzebny w fazie jego ustawiania, wystêpuje w tym przypadku przed jego obci¹¿eniem.

Na rysunku 17b przedstawiono schematycznie uk³ad pewnego zawiesia do przeno-szenia ³adunków paletowych. Uk³ad ten, dziêki odpowiednio dobranym przeciwciê¿a-rom, wisi swobodnie i umo¿liwia przeniesienie elementów, zachowuj¹c potrzebne po-ziome ich po³o¿enie. Istotny jest tu wiêc nie ruch wzglêdny czy wzajemne po³o¿enie cz³onów, lecz po³o¿enie jednego cz³onu (2) wzglêdem ziemi.

3. W jêzyku potocznym pojêcie maszyny odnosi siê do wielu ró¿norakich urz¹-dzeñ i podk³ada siê pod nie ró¿ne znaczenia. Tu maszyn¹ bêdziemy nazywaæ urz¹dze-nie, w którym z udzia³em ruchu mechaniczengo zachodzi proces energetyczny pole-gaj¹cy na wykonywaniu pracy u¿ytecznej lub przekszta³ceniu energii. Stosownie do tego, maszyny dzielimy na:

1. Maszyny robocze, w których w³aœciwy efekt uzyskuje siê przez zamianê do-starczonej energii w pracê (tokarka, prasa, koparka).

Rys. 16. Przyk³ady mechanizmów: a) jarzmowy, b) krzywkowy, c) zêbaty z cz³onem czynnym w postaci si³ownika hydraulicznego

2. Silniki i generatory, w których zachodzi przekszta³canie jednego rodzaju ener-gii w drugi (silnik spalinowy, generator pr¹du elektrycznego...).

Istotn¹ cech¹ maszyny jest to, ze zawiera co najmniej jeden, a zwykle kilka odpo-wiednio ze sob¹ wspó³pracuj¹cych mechanizmów. Rozpatrzmy dla przyk³adu maszy-nê przeznaczon¹ do seryjnego wyt³aczania z taœmy (1) pó³wyrobu x (rys.18). Mo¿na w niej wyró¿niæ mechanizmy:

Rys. 17. Przyk³ady uk³adów mechanicznych: a) uk³ad zaczepu, b) uk³ad zawiesia

20

– zêbaty (z³o¿ony z cz³onów 0, 4, 5), – cierny (0, 2, 1, 3),

– maltañski (0, 7, 6), – krzywkowy (0, 9, 10, 13),

– dŸwigniowe korbowo-wodzikowe: (0, 8, 11, 12) i (0, 13, 14, 15).

Podobnie, w ka¿dym silniku spalinowym mo¿na wyró¿niæ: uk³ad korbowo-t³oko-wy, mechanizm krzywkowy rozrz¹du, mechanizmy przek³adni itd.

Na inny aspekt pojêcia maszyny zwrócimy uwagê w rozdz. 12.

1.5. Wzory strukturalne

Wszystkie cz³ony wystêpuj¹ce w uk³adach kinematycznych podzielono, ze wzglê-du na liczbê pó³par, na typy N_i (rys. 6). Je¿eli przez n_i oznaczyæ liczbê cz³onów N_i, przez n zaœ ogóln¹ liczbê cz³onów w uk³adzie, to oczywiœcie

n = n₂ + n₃ + n₄ +...+ n_w. (1)

Na ka¿d¹ parê sk³adaj¹ siê dwie pó³pary. Je¿eli przez p oznaczyæ ogóln¹ liczbê par w uk³adzie, przez m natomiast liczbê pó³par, to

m = 2 p, (2)

albo inaczej

m = 2n₂ + 3n₃ + 4n₄ +...+ n_w. (3)

Po uwzglêdnieniu wzorów (2) i (3) otrzymamy

2p = 2n₂ + 3n₃ + 4n₄ +...+ n_w. (4)

Zarówno ze wzglêdu na analizê, jak i syntezê uk³adów kinematycznych istotny jest zwi¹zek, jaki zachodzi miêdzy budow¹ uk³adu a jego ruchliwoœci¹. W celu wyprowa-dzenia tego zwi¹zku rozwa¿my dowolny ³añcuch kinematyczny (rys. 19) zbudowany z n cz³onów. Jeden z cz³onów uk³adu spe³nia rolê podstawy, a zatem liczba rucho-mych (wzglêdem podstawy) cz³onów wynosi n – 1.

Rys. 19. Rysunek pomocniczy do wyprowadzenia wzorów strukturalnych: a) n cz³onów przygotowa-nych do po³¹czenia w ³añcuch, b) ³añcuch z³o¿ony z n cz³onów

Wszystkie cz³ony ruchome przed wejœciem w pary kinematyczne (rys. 19a) dyspo-nowa³y ³¹cznie

x = 6 (n – 1)

stopniami swobody. Wskutek po³¹czenia tycz cz³onów ze sob¹ i z podstaw¹ (rys. 19b) liczba ich stopni swobody zosta³a pomniejszona. Je¿eli w rozpatrywanym ³añcuchu przez p_i oznaczyæ liczbê par i-tej klasy, przy czym w ka¿dej parze jeden cz³on odbiera drugiemu (6 – i) stopni swobody, to ³¹cznie wszystkie ruchome cz³ony trac¹

y = ($ )  # −

∑

W tej sytuacji ruchliwoœæ W, rozumiana jako liczb¹ pozosta³ych stopni swobody ruchomych cz³onów uk³adu, wyrazi siê wzorem

W = x – y, czyli W = 6 (n – 1) – ($ )  # −

∑

Odpowiednio dla ³añcuchów p³askich

W = 3 (n – 1) – (3 )

1 2

−

∑

Po rozpisaniu wzorów (5) i (6) otrzymamy dla ³añcuchów przestrzennych

W = 6 (n –1) – 5p₁ – 4p₂ – 3p₃ – 2p₄ – 1p₅ ..., (7) dla ³añcuchów p³askich

W = 3 (n –1) – 2p₁ – 1p₂ . (8)

Na przyk³ad dla mechanizmu krzywkowego z rys. 20 otrzymamy W = 3 (5 – 1) – 2 · 5 – 1· 1 = 1.

Oznacza to, ¿e przy jednym cz³onie czynnym (krzywka 2) uk³ad jest jednobie¿ny. Tym razem wynik by³ oczywisty równie¿ intuicyjnie. Trudniej by³oby ju¿ jednak do-konaæ tego w przypadku nawet tak prostego uk³adu przestrzennego, jak przedstawio-ny na rys. 21. Stosuj¹c œrodki formalne ustalimy: n = 4, p₁ = 2, p₂ = 1, p₃ = 1, p₅ = 1 i po podstawieniu do wzoru (7) otrzymamy

W = 6 (4 – 1) – 5· 2 – 4 · 1 – 3· 1 – 2 · 0 – 1· 1 = 0.

Wynik W = 0 oznacza tu, ¿e uk³ad jest sztywny. Mimo ruchliwych po³¹czeñ nie wystêpuj¹ w tym uk³adzie ruchy wzglêdne cz³onów.

22

Rys. 20. Schematy mechanizmu jarzmowo-krzywkowego: a) kinematyczny, b) strukturalny

Rys. 21. Przyk³ady przestrzennego z³o¿onego ³añcucha kinematycznego

1.6. RuchliwoϾ lokalna

Przeanalizujmy mechanizm przedstawiony na rysunku 22. Nietrudno sie zgodziæ z tym, ¿e przy zadanej prêdkoœci k¹towej w₂ krzywki (2) popychacz (4) wykonuje ruch œciœle okreœlony. Mo¿na by z tego wysun¹æ wniosek, ¿e uk³ad jest jednobie¿ny, a zatem charakteryzuj¹cy siê ruchliwoœci¹ W = 1 (przy jednym cz³onie czynnym). Tym-czasem zastosowawszy wzór (8) otrzymamy

W = 3 (4 – 1) – 2· 3 – 1· 1 = 2.

Pozorn¹ niezgodnoœæ wyników t³umaczy siê tym, ¿e rachunek formalny, poza wspo-mnian¹ ju¿ ruchliwoiœci¹ W = 1 popychacza (4), wykaza³ bezb³êdnie równie¿ jeden stopieñ swobody kr¹¿ka (3). Kr¹¿ek ten mo¿e siê obracaæ wokó³ w³asnej osi, nie zak³ócaj¹c zreszt¹ w ¿adnym stopniu istotnego tu ruchu popychacza (4). Wi¹¿e siê to tym razem z kszta³tem cz³onu (3) i jego centrycznym u³o¿yskowaniem (por. przypa-dek ogólny na rys. 22b). Tego typu lokalne stopnie swobody cz³onu lub pewnej grupy cz³onów, nie zmieniaj¹ce ruchliwoœci pozosta³ej czêœci ³añcucha, nazywa siê ruchli-woœci¹ lokaln¹. Istotê tego zjawiska mo¿na przeœledziæ równie¿ na przyk³adzie uk³a-du przestrzennego (rys. 23). £¹cznik (3), poœrednicz¹cy tu w jednoznacznym

przeka-zywaniu ruchu z cz³onu czynnego (2) na cz³on bierny (4), mo¿e, jak widaæ z rysunku, obracaæ siê wokó³ w³asnej osi przechodz¹cej przez œrodki obu przegubów kulistych. I znów ruch ten, nieistotny ze wzglêdu na realizowany ruch cz³onu biernego, zostanie w rachunku odnotowany. Mamy tu bowiem:

W = 6 (4 – 1) – 5· 2 – 3· 2 = 2.

Z dokonanych rozwa¿añ wynika, ¿e na u¿ytek praktyczny nale¿y omówione wzory okreœlaj¹ce ruch uzupe³niæ do postaci

W = W_w + W_L, (9)

w której: W – ruchliwoœæ liczona wed³ug zale¿noœci (7) i (8), W_w – ruchliwoœæ wykorzystywana,

W_L – ruchliwoœæ lokalna cz³onu lub grupy cz³onów.

W³aœciwa interpretacja wyników otrzymanych ze wzoru okreœlaj¹cego ruchliwoœæ wymaga znajomoœci W_L. Niestety, dotychczas nie mo¿na poleciæ dostatecznie ogólnej i prostej metody okreœlania ruchliwoœci lokalnej.

Rys. 22. Ilustracja pojêcia ruchliwoœci lokalnej: a) mechanizm o ruchliwoœci W = 2 (ruchliwoœæ lokalna cz³onu 3), b) mechanizm o ruchliwoœci W = 2 (brak ruchliwoœæi lokalnej)

24

1.7. Ruchliwoœæ zupe³na i niezupe³na

Rozpatruj¹c ruchliwoœæ uk³adów nale¿y pamiêtaæ, ¿e uzyskanego za pomoc¹ wzo-rów strukturalnych wyniku nie mo¿na interpretowaæ jednoznacznie. W pewnych przy-padkach wynik okreœla liczbê stopni swobody wszystkich cz³onów wzglêdem podsta-wy. Takie zjawisko wystêpuje w prostych uk³adach charakteryzuj¹cych siê ruchliwoœci¹ W = 1, np. w uk³adzie przedstawionym na rys. 14a. Ka¿dy z cz³onów (2, 3 i 4) ma wzglêdem podstawy jeden stopieñ swobody. Innym razem ruchliwoœæ W okreœla licz-bê stopni swobody cz³onu najbardziej „ruchliwego”. Z takim przypadkiem spotykamy siê w uk³adzie przedstawionym na rys. 24. Ruchliwoœæ W = 3 odpowiada tu trzem stopniom swobody (f = 3) cz³onu (4) wzglêdem podstawy. Z pozosta³ych cz³onów, (3) i (5) maj¹ po dwa (f = 2), (2) i (6) zaœ po jednym stopniu swobody (f = 1) wzglêdem podstawy.

Kolejny przypadek zilustrowano na rys. 25. Obliczona wed³ug wzoru (8) ruchlio-woœæ daje W = 0. Nietrudno zauwa¿yæ, ¿e na ten wynik z³o¿y³y siê: ruchliruchlio-woœæ W₂₄ = 1 (lewej strony) i W₅₉ = –1 (prawej strony uk³adu). W tym przypadku wynik W = 0 nie odpowiada sytuacji ruchowej ¿adnego cz³onu.

Jest jeszcze inny aspekt pojêcia ruchliwoœæ [7]. Na rysunku 26 przedstawiono dwa uk³ady zbudowanej z tej samej liczby takich samych cz³onów i par. Oczywiœcie, rów-nie¿ ruchliwoœæ obydwu uk³adów, obliczona za pomoc¹ wzoru (8), jest identyczna i wynosi W = 1. Jak nietrudno zauwa¿yæ, w uk³adzie z rys. 26a cz³ony 1, 4, 5, 6 i 7 tworz¹ sztywn¹ figurê, ruchliwoœæ W = 1 zaœ dotyczy tylko cz³onów (2) i (3), nato-miast w uk³adzie z rys. 26b mo¿liwoœci¹ ruchu dysponuj¹ jednoczeœnie wszystkie cz³ony wzglêdem podstawy.

Przytoczone przyk³ady sugeruj¹ potrzebê wprowadzenia nowych okreœleñ umo¿li-wiaj¹cych bli¿szy opis omawianych tu cech uk³adów ruchomych. Gdy ruchliwoœæ W = 1, tzn. wszystkie cz³ony uk³adu wykonuj¹ ruchy wzglêdem siebie, wówczas mówi-my o tzw. ruchliwoœci zupe³nej, gdy zaœ dodatkowo wszysktie ruchome cz³ony dys-ponuj¹ wzglêdem podstawy tak¹ sam¹ liczb¹ stopni swobody f, mówimy o

ruchli-Rys. 24. Schemat uk³adu kinematycznego z podanymi stopniami

swobody poszczególnych cz³onów

Rys. 25. Przyk³ad uk³adu kinematycznego o ruchliwoœci niezupe³nej

woœci jednorodnej. Stosownie do tego, ruchliwoœæ uk³adu z rys. 24 okreœlilibyœmy jako zupe³n¹, lecz niejednorodn¹, ruchliwoœæ uk³adu z rys. 25 jako niezupe³n¹, uk³a-dowi z rys. 26b zaœ przypisywalibyœmy ruchliwoœæ zupe³n¹ i jednorodn¹.

1.8. Wiêzy bierne

W uk³adzie przedstawionym na rysunku 27a zachodz¹ nastêpuj¹ce zwi¹zki: AB = CD = EF oraz AC = BD i CE = DF. Przy takim wykonaniu uk³adu mo¿e byæ wykorzystany do jednoznacznego przekazywania ruchu obrotowego (w okreœlonych granicach) z cz³onu AB na EF. Sugerowa³oby to, ¿e przy jednym cz³onie czynnym nale¿y siê spodziewaæ ruchliwoœæi uk³adu W = 1. Tak¹ ruchliwoœæ mo¿na stwierdziæ w praktyce, np. na wykonanym modelu. Jednoczeœnie, po zastosowaniu wzoru (8) otrzymamy

W = 3 (5 – 1) – 2· 6 = 0.

Wynik obliczeñ wskazuje na to, ¿e mamy do czynienia z uk³adem sztywnym. Tak te¿ jest w istocie w przypadku ogólnym (rys. 27b). Fizyczn¹ ruchliwoœæ W = 1 mo¿-na przypisaæ omawianemu uk³adowi tylko wtedy, gdy bêd¹ spe³nione podane równo-œci. Wtedy bowiem pewne wiêzy, jako powtórzenia ju¿ istniej¹cych, nie daj¹ o sobie znaæ. Takie dodatkowe i zbêdne kinematycznie ograniczenia bêdziemy nazywaæ wiê-zami biernymi. Liczbê wiêzów biernych R_b w ³añcuchu mo¿na okreœliæ, je¿eli s¹ znane ruchliwoœæ rzeczywista W_rz (realizowana) oraz ruchliwoœæ teoretyczna W (obli-czona ze wzoru (6):

R_b = W_rz – W. (10)

W przyk³adowym uk³adzie (rys. 27a) W_rz = 1, W = 0, czyli R_b = 1. Do uk³adów kinematycznych z liczb¹ wiêzów biernych R_b ¹ 0 stosuje siê, nie bez racji, okreœlenie nieracjonalne. Okreœlenie to wydaje siê trafne, zw³aszcza je¿eli uzmys³owiæ sobie, jak

Rys. 26. Przyk³ady ³añcuchów kinematycznych o W = 1: a) ruchliwoœæ niezupe³na, b) ruchliwoœæ zupe³na i jednorodna

26

Rys. 27. Ilustracja pojêcia wiêzów biernych

nie³atwo w praktyce spe³niæ wi¹¿¹ce siê z wiêzami biernymi wymagania dok³adno-œciowe.

Poniewa¿ uzyskanie absolutnej dok³adnoœci jest zwykle niemo¿liwe, istnienie wiê-zów biernych oznacza jednoczeœnie:

– trudnoœci monta¿owe,

– pojawienie siê dodatkowych naprê¿eñ wewnêtrznych w cz³onach uk³adu, – przyspieszone zu¿ycie elementów wêz³ów kinematycznych,

– inne ujemne skutki.

Z tego te¿ wzglêdu rozwi¹zañ takich ogólnie nale¿y unikaæ. W omawianym przy-padku mo¿na tego dokonaæ, np. przez rezygnacjê z cz³onu dodatkowego DC (rys. 27c) lub zast¹pienie jednego cz³onu BDF dwoma cz³onami BD i DF (rys. 27d).

Z uk³adami zawieraj¹cymi wiêzy bierne mo¿na siê spotkaæ w praktyce niestety bardzo czêsto, przy czym s¹ one czêœciej wynikiem nieœwiadomoœci projektuj¹cego ni¿ z przemyœlanej decyzji. Przyk³adem takiego uk³adu z wiêzami biernymi z przeko-nuj¹cym uzasadnienniem mo¿e byæ przek³adnia obiegowa (rys. 28). Do jednoznacz-nego przeniesienia ruchu, np. z ko³a (1) na jarzmo J (rys. 28a) wystarczy jedno ko³o satelitarne (2), instaluje siê jednak zwykle wiêksz¹ liczbê satelitów (rys. 28b) w celu uzyskania roz³o¿enia nacisków miêdzyzêbnych.

Niezamierzone zapewne, bo niczym nie usprawiedliwione, wydaje siê rozwi¹zanie pewnego klinowego uk³adu zaciskowego (rys. 29a). Na podstawie wzoru struktural-nego (7) dla uk³adów przestrzennych otrzymamy

Uk³ad jest przesztywniony. Potrzebne przeniesienie ruchu cz³onu (2) na ruch cz³o-nu (3) mo¿na uzyskaæ i przy tym rozwi¹zaniu, lecz wymaga to zachowania pewnych warunków dok³adnoœci. Bez tego typu ograniczeñ bêdzie dzia³aæ niezawodnie rozwi¹-zanie przedstawione na rys. 29b, w którym, w wyniku podwy¿szenia klasy par 1–2 i 1–3, cz³ony (2) i (3) bêd¹ oddzia³ywaæ na siebie ca³ymi p³aszczyznami klinowymi niezale¿nie od wartoœci k¹tów ich œciêcia.

W ogólnym przypadku w ³añcuchach kinematycznych mog¹ wystêpowaæ zarówno wiêzy bierne, jak i ruchliwoœæ lokalna. Wtedy ruchliwoœæ rzeczywist¹ okreœlonego cz³onu lub grupy cz³onów biernych mo¿na wyznaczyæ z nastêpuj¹cej zale¿noœci

W_rz = W – W_L – R_b. (11)

Rys. 28. Przyk³ady przek³adni obiegowej: a) bez wiêzów biernych, b) z wiêzami biernymi

28

Omówione zagadnienia ruchliwoœci, ruchliwoœci lokalnej, zupe³nej, jednorodnej oraz wiêzów biernych umo¿liwiaj¹, za pomoc¹ wzorów strukturalnych (5)–(11), okreœ-lenie rzeczywistej sytuacji ruchowej w ³añcuchu kinematycznym. Tym samym wzory te umo¿liwiaj¹ analizê i kontrolê poprawnoœci intuicyjnych za³o¿eñ dokonanych pod-czas projektowania uk³adów kinematycznych.

Wyprowadzone zwi¹zki (5)–(11) wraz z (1)–(4) mog¹ byæ równie¿ stosowane sku-tecznie w procesie wyczerpywania mo¿liwych form strukturalnych uk³adów spe³nia-j¹cych z góry za³o¿one wymagania. Postêpowanie takie, le¿¹ce u podstaw tzw. synte-zy strukturalnej, nie bêdzie przedmiotem dalssynte-zych rozwa¿añ.

2. Klasyfikacja mechanizmów

Bogactwo i ró¿norodnoœæ mechanizmów spotykanych w budowie maszyn stwarza potrzebê okreœlonego ich uporz¹dkowania i systematycznego uszeregowania lub wrêcz pewnego podzia³u wed³ug okreœlonych zasad i kryteriów. W³aœciwie opracowana kla-syfikacja mog³aby z jednej strony u³atwiæ i inspirowaæ dobór mechanizmów do okreœ-lonych zastosowañ, z drugiej zaœ umo¿liwiæ opracowanie w miarê ogólnych metod analizy kinematycznej i dynamicznej oraz ogólnych podstaw i metod syntezy nowych mechanizmów. Niestety, nie istnieje dotychczas taka w pe³ni zadowalaj¹ca klasyfika-cja, która by³aby jednoczeœnie naukowo uzasadniona,metodologicznie racjonalna i u¿yteczna w praktyce in¿ynierskiej. Licznie podejmowane od wielu lat prace w tym zakresie posz³y w zasadzie w dwu odmiennych kierunkach, a ich wynikiem s¹ ró¿ne wersje tzw. klasyfikacji funkcjonalnych i kolejne propozycje klasyfikacji strukturalnej. 1. Klasyfikacja funkcjonalna otwiera historyczny ju¿ (rok 1875) podzia³ mecha-nizmów zasugerowany przez Reuleaux. Istotê tego podzia³u, przewijaj¹c¹ siê zreszt¹ przez kolejne propozycje, mo¿na przedstawiæ na przyk³adzie jednej z ostatnich klasy-fikacji [2] (rys. 30). Klasyfikacja ta, jak zreszt¹ inne tego typu, nie spe³nia podstawo-wych kryteriów ka¿dej klasyfikacji naukowej, a mianowicie:

a) kryterium podzia³u wed³ug jednej zasady, b) kryterium wy³¹cznoœci,

c) kryterium zupe³noœci.

Nie rozwijaj¹c bli¿ej tych kryteriów, zwrócimy tylko uwagê, ¿e pozostaj¹c przy tej klasyfikacji, mielibyœmy sporo k³opotu z zakwalifikowaniem ogromnej liczby mecha-nizmów bardziej z³o¿onej. Taki podzia³ mechamecha-nizmów nie sugeruje równie¿ odpowe-idniego podzia³u metod ich analizy.

2. Klasyfikacja strukturalna. Niedoskona³ym próbom klasyfikacji funkcjonalnych mo¿na przciwstawiæ klasyfikacjê, sugeruj¹c¹ mo¿liwoœæ podzia³u wszystkich mecha-nizmów wed³ug cech strukturalnych. Klasyfikacja ta zosta³a zapocz¹tkowana przez Assura (rok 1914), i by³a kolejno uzupe³niana. Podstawowe jej zasady przeœledzimy pobie¿nie na przyk³adzie opracowania Artobolewskiego. Wszystkie mechanizmy dzieli siê na rodziny (rys. 31), przy czym kryterium takiego podzia³u jest liczba ogólnych wiêzów na³o¿onych na cz³ony mechanizmu. Istotê tego podzia³u wyjaœniaj¹ przyk³a-dy mechanizmów reprezentuj¹cych poszczególne rodziny (rys. 32). Do rodziny 0. nale¿¹ wiêc wszystkie mechanizmy przestrzenne, na które nie na³o¿ono ¿adnych ogra-niczeñ (rys. 32a). Rodzinê 1. tworz¹ mechanizmy, których cz³ony nie mog¹ korzystaæ z jednego (tego samego) stopnia swobody. Na przyk³ad w mechanizmie z rys. 32b

30

Rys. 30. Przyk³ad klasyfikacji funkcjonalnej

Rys. 31. Ilustracja klasyfikacji strukturalnej

¿aden z cz³onów nie mo¿e wykonywaæ obrotu wokó³ osi prostopad³ej do p³aszczy-zny rysunku. Do rodziny 3. nale¿¹ miêdzy innymi mechanizmy p³askie (rys. 32d), gdy¿ cz³onom takich mechanizmów ode-brano generalnie 3 stopnie swobody itd.

W ramach ka¿dej rodziny dzieli siê chanizmy na klasy, przy czym o klasie me-chanizmu decyduje najwy¿sza klasa gru-py. Pojêciem grupy okreœla siê ³añcuch ki-nematyczny, w którym ruchowe po³¹cze-nie wolnych cz³onów z podstaw¹ zamienia go w uk³ad sztywny. Oznacza to, ¿e dla grup, zwanych dalej grupami Assura, obo-wi¹zuje równanie strukturalne w postaci

3k – 2p₁ – p₂ = 0 (12) lub w razie uwzglêdnienia istnienia tylko par I klasy

3k = 2p₁, (13)

gdzie: k – liczba cz³onów grupy,

p₁ – liczba par kinematycznych I klasy.

Rys. 32. Przyk³ady mechanizmów z podzia³em na rodziny

Rys. 33. Przyk³ad grupy Assura: a) grupa ABC, b) grupa przy³¹czona do podstawy jest uk³adem sztywnym

32

Rys. 34. Dwucz³onowa grupa Assura: a) schemat strukturalny, b) schematy kinematyczne Na podstawie warunku (13) mo¿na okreœlaæ formy strukturalne grup Assura kolej-nych klas. Najprostsz¹ grupê, tzw. grupê II klasy, charakteryzuj¹ liczby k = 2, p₁ = 3. Schemat strukturalny tej grupy przedstawiono na rys. 33a, przy czym parê B bêdzie-my nazywaæ par¹ wewnêtrzn¹, pary A i C zaœ parami zewnêtrznymi. Nietrudno spraw-dziæ, ¿e po pod³¹czeniu tego dwucz³onu parami zewnêtrznymi do podstawy (rys. 33b) otrzymamy uk³ad sztywny. Schemat strukturalny omawianej grupy II klasy obejmuje ca³¹ rodzinê grup kolejnej postaci. Otrzymamy je przypisuj¹c parom I klasy A, B, C (rys. 34a) postacie par obrotowych lub postêpowych (rys. 34b).

Rys. 35. Przyk³ad czterocz³onowej grupy Assura: a) schemat strukturalny, b) schematy kinematyczne

Rys. 36. Przyk³ad podzia³u mechanizmu na grupy Assura: a) schemat kruszarki, b) cz³on czynny, c) grupa dwucz³onowa

34

Kolejne liczby k = 4, p₁ = 6, spe³niaj¹ce warunek (13), odnosz¹ siê do grupy III klasy (rys. 35a). Rzeczywiste postacie tej grupy (rys. 35b) otrzymamy rozpatruj¹c wszystkie mo¿liwe kombinacje par obrotowych i postêpowych. Omówione najprost-sze grupy II i III klasy (rys. 34 i 35) mo¿na wyró¿niæ i wydzieliæ z ogromnej wiêkszo-œci spotykanych w praktyce mechanizmów dŸwigniowych.

Na rysunku 36a przedstawiono schemat opartego na czworoboku mechanizmu kru-szarki do ska³. Po wydzieleniu cz³onu czynnego (2), stanowi¹cego tzw. mechanizm I klasy, pozosta³y dwucz³on (3–4) jest typow¹ grup¹ II klasy pierwszej postaci (rys. 34b). Z tego powodu mechanizm ten zaliczymy do II klasy.

Mechanizm no¿yc do ciêcia blachy, przedstawiony na rysunku 37a, jest mechaniz-mem III klasy. Decyduje o tym grupa III klasy (cz³ony (4), (3), (5), (6)) (rys. 37c), jaka pozostaje po wydzieleniu cz³onu czynnego (2) (rys. 37b).

Ogólnie nale¿y stwierdziæ, ¿e taka mo¿liwoœæ dokonania podzia³u ka¿dego mecha-nizmu dŸwigniowego na cz³on lub cz³ony czynne (napêdzaj¹ce) oraz grupy Assura okreœlonych klas ma istotne znaczenie. Stwarza szansê uogólnienia metod analizy i syntezy strukturalnej, kinematycznej i dynamicznej. Jednoczeœnie jednak trzeba uprze-dziæ Czytelnika, ¿e problem ten nie jest do koñca rozwi¹zany. Zaproponowana klasy-fikacja strukturalna dotyczy tylko mechanizmów dŸwigniowych, a jej zasady budz¹ wci¹¿ wiele w¹tpliwoœci merytorycznych.

3. Mechanizmy w pewnych przypadkach mo¿na równie¿ podzieliæ na dwie grupy: a) z parami ni¿szymi,

b) z parami wy¿szymi.

Do grupy pierwszej (a) nale¿¹ popularne mechanizmy dŸwigniowe, typowymi zaœ przedstawicielami drugiej grupy (b) s¹ mechanizmy krzywkowe i zêbate. Do takiego podzia³u odwo³amy siê przy omawianiu metod analizy kinematycznej.

Rys. 37. Przyk³ad podzia³u mechanizmu na grupy Assura: a) schemat no¿yc do blachy, b) cz³on czynny, c) grupa czterocz³onowa

II. KINEMATYKA

Kinematyka obejmuje zagadnienia zwi¹zane z badaniem ruchu mechanizmów, przy za³o¿eniu, ¿e cz³ony mechanizmów s¹ sztywne i nie uwzglêdnia siê ani wp³ywu ich mas, ani dzia³aj¹cych si³. Przedmiotem rozwa¿añ s¹ wiêc:

– po³o¿enia cz³onów, – trajektorie punktów, – prêdkoœci liniowe i k¹towe, – przyspieszenia liniowe i k¹towe.

Do okreœlenia tych parametrów mo¿na korzystaæ z ró¿norakich metod, np.: – graficznych,

– analitycznych, – numerycznych, – kombinowanych.

O wyborze metody decyduj¹: rodzaj badanego problemu, potrzeby dotycz¹ce szyb-koœci otrzymanych wyników i ich dok³adnoœci.

Rozwój wspó³czesnych œrodków obliczeniowych (komputery, kalkulatory progra-mowane) nobilituje przede wszystkim metody analityczne i numeryczne, w obecnej dobie jednak stosowane s¹ wci¹¿ jeszcze i metody graficzne.

36

3. Metody graficzne

Metody graficzne, dziœ ju¿ klasyczne, umo¿liwiaj¹ w pewnych przypadkach okreœ-lenie parametrów ruchu mechanizmów w sposób prosty i bardzo pogl¹dowy. Maj¹ niezaprzeczalny aspekt dydaktyczny, ³atwiej te¿ z ich pomoc¹ wyjaœniæ pewne pojê-cia kinematyczne. Znajomoœæ metod graficznych u³atwia zwykle dokonanie zapisu analitycznego. Stanowi¹ one cenne uzupe³nienie pozosta³ych metod przez to równie¿, ¿e umo¿liwiaj¹ sprawdzenie poprawnoœci wyników uzyskanych na innej drodze. Pod-stawow¹ wad¹ metod graficznych jest to, ¿e uzyskane wyniki dotycz¹ zwykle jednego po³o¿enia mechanizmu i charakteryzuj¹ siê okreœlon¹ dok³adnoœci¹.

3.1. Podzia³ki

Stosuj¹c graficzne metody analizy kinematycznej przedstawiamy wystêpuj¹ce wiel-koœci, np. przemieszczenie, czas, prêdkoœæ, przyspieszenie, w postaci odcinka linii prostej. Aby to przedstawienie by³o jednoznaczne, wprowadza siê pojêcie podzia³ki.

Podzia³k¹ bêdziemy nazywaæ stosunek wartoœci wielkoœci rzeczywistej do warto-œci wielkowarto-œci rysunkowej

Podzia³ka = wielkoœæ wartoœci rzeczywistej_{wielkoœæ wartoœci rysunkowej} Okreœlenie to zapiszemy w postaci

κ_x x

x =

( ). (14)

Podzia³kom nale¿y przypisaæ wymiar zale¿ny zarówno od wymiaru wielkoœci rze-czywistej, jak i wymiaru wielkoœci rysunkowej. Zazwyczaj wymiarami czasu t, prze-mieszczenia l, prêdkoœci v,..., bêd¹ odpowiednio sekunda, metr, metr na sekundê, ... Wielkoœæ rysunkowa jest przedstawiana najczêsciej w milimetrach. Przy takich za³o-¿eniach bêdzie κt = t_t     ( ) , s mm κ_l l l =     ( ) , m mm

κ_v v v = ⋅     ( ) . m s mm

Podzia³ki mo¿na przyjmowaæ dowolnie, nale¿y tylko pamiêtaæ o tym, ¿e wartoœæ podzia³ki ma istotny wp³yw na dok³adnoœæ uzyskanego wyniku. Oczywiœcie im mniejsza wartoœæ podzia³ki k, tym wiêksza dok³adnoœæ odczytu.

3.2. Po³o¿enia i trajektorie

Okreœlanie po³o¿eñ cz³onów w poszczególnych fazach ruchu mechanizmu oraz trajektorii (torów), jakie zakreœlaj¹ pewne charakterystyczne punkty zwi¹zane z cz³o-nami ruchomymi, nale¿y do najprostszych zadañ analizy kinematycznej. Czynnoœci takie, niezbêdne np. w fazie projektowania uk³adów ruchliwych, przy korzystaniu z metod graficznych s¹ zwykle elementarne.

3.2.1. Po³o¿enia

Jak zaznaczono w podrozdziale 2.2, ka¿dy mechanizm mo¿na roz³o¿yæ na grupy cz³onów, z których ka¿da po przy³¹czeniu wolnymi pó³parami do podstawy tworzy uk³ad sztywny. Taki podzia³ mechanizmu umo¿liwia badanie jego paramterów po-przez analizê poszczególnych grup. Jest to pewne udogodnienie, gdy¿ pozwala zarów-no na uogólnienie metod badania, jak równie¿ ograniczenie rodzajów omawianych mechanizmów. Jednymi z prostszych (wed³ug klasyfikacji strukturalnej) s¹ mechaniz-my II klasy, najelementarniejszymi zaœ grupami s¹ grupy II klasy, tzn. grupy sk³adaj¹-ce siê z dwóch cz³onów typu N₂ oraz trzech par I klasy postaci obrotowej lub postê-powej.

Rozwa¿my na pocz¹tek przypadek dwucz³onu ABC (rys. 38a). Za³ó¿my, ¿e po pewnym czasie Dt punkty A i C przyjm¹ po³o¿enia A₁ i C₁ (rys. 38b). Wtedy punkt B -- przejdzie w po³o¿enie B₁, które znajdziemy na przeciêciu ³uków k'_B i k"_B zakreœlonych z A₁ i C₁ promieniami równymi d³ugoœci AB i CB.

38

Rys. 39. Konstrukcja nowego po³o¿enia cz³onów grupy II klasy z zewnêtrzn¹ par¹ postêpow¹

Rys. 40. Konstrukcja nowego po³o¿enia cz³onów II klasy z wewnêtrzn¹ par¹ postêpow¹

Rys. 41. Konstrukcja nowego po³o¿enia cz³onów grupy II klasy z zewnêtrzn¹ i wewnêtrzn¹ par¹ postêpow¹

Rys. 43. Konstrukcja nowego po³o¿enia cz³onów grupy III klasy

Rys. 42. Konstrukcja nowego po³o¿enia cz³onów grupy II klasy z zewnêtrznymi parami postêpowymi Je¿eli para zewnêtrzna dwucz³onu ABC jest par¹ postêpow¹ (rys. 39a), to po okreœ³onym czasie Dt znane jest nowe po³o¿enie A₁ punktu A oraz nowe po³o¿enie c₁ prowadnicy c. Nowe po³o¿enie cz³onu (1) i (2) znajdziemy okreœlaj¹c po³o¿enie B₁ punktu B na przeciêciu ³uku k'_B i prostej k"_B (rys. 39b).

Podobnie, równie elementarnie, mo¿na okreœlaæ nowe po³o¿enia pozosta³ych grup i ich mo¿liwych odmian. Dla æwiczenia proponujemy przeœledziæ samodzielnie kon-strukcje nowych po³o¿eñ cz³onów kolejnych odmian dwucz³onu (rys. 40–42) oraz grupy III klasy z parami obrotowymi (rys. 43).

Korzystaj¹c z omówionej metody rozwi¹zywania poszczególnych grup mo¿na ju¿ bez trudu okreœlaæ nowe po³o¿enia wszystkich cz³onów mechanizmów. Przyk³ady

wyz-40

Rys. 44. Przyk³ad konstrukcji nowego po³o¿enia mechanizmu

Rys. 45. Przyk³ad konstrukcji nowego po³o¿enia mechanizmu (wytrz¹sacza do s³omy) z grup¹ III klasy

naczania nowych po³o¿eñ mechanizmów p³askich napêdu listwy no¿owej kosiarki i uk³adu wytrz¹sacza s³omy w kombajnie przedstawiono na rys. 44 i 45.

3.2.2. Trajektorie

Trajektori¹ lub torem punktu nazywamy miejsce geometryczne jego kolejnych po³o¿eñ w przyjêtym uk³adzie odniesienia. Trajektoriê mo¿na wyznaczyæ metod¹ ge-ometryczn¹, okreœlaj¹c kolejne po³o¿enia cz³onu, do którego rozpatrywany punkt na-le¿y (rys. 46), lub metod¹ wzornikow¹ (rys. 47). Je¿eli na wykreœlonej drodze punktu M nanieœæ kolejne jego po³o¿enia wyznaczaj¹ce odcinki drogi przebyte w jednako-wych odstêpach czasu, to otrzymamy tzw. tor ocechowany (rys. 48). Wykreœlanie

jego jest u³atwione, gdy, jak to zwykle bywa, cz³on napêdzaj¹cy pozostaje w ruchu obrotowym jednostajnym. W mechanizmie z rysunku 48 tak jest, i wtedy jednako-wym przedzia³om czasu mo¿na przyporz¹dkowaæ takie same drogi k¹towe korby AB lub odcinka toru punktu B.

Znajomoœæ kszta³tu trajektorii niektórych punktów mechanizmu jest czasem niez-bêdna do okreœlania kolejnych po³o¿eñ mechanizmu (rys. 45). Czêsto kszta³t wykreœ-lanej trajektorii decyduje o istocie dzia³ania ca³ego mechanizmu (rys. 88, 89). Tor ocechowany mo¿e byæ wykorzystany do okreœlania parametrów ruchu

rozpatrywane-Rys. 46. Wykreœlanie trajektorii kM metod¹ geometryczn¹

42

go punktu, np. prêdkoœci i przyspieszenia. Mamy tu na myœli np. metodê toru ocecho-wanego lub metodê wykresów czasowych (patrz p. 3.3.5.).

3.3. Prêdkoœci i przyspieszenia

3.3.1. Œrodki obrotu

Rozpatrzmy dwa cz³ony k oraz l realizuj¹ce wzglêdem siebie ruch wzglêdny p³aski (rys. 49.). Za³ó¿my, ¿e z tymi cz³onami s¹ zwi¹zane sztywno odpowiednie p³aszczy-zny p_l i p_k. Na p³aszczyznach tych zawsze mo¿na zanleŸæ takie dwa punkty S_l oraz S_k, które pokrywaj¹ siê ze sob¹ i maj¹ identyczne prêdkoœci liniowe (v_Sl = v_Sk).

Oznacza to, ¿e wzglêdna prêdkoœæ tych punktów jest równa zeru (v_SkSl = 0) . Punkt oznaczony dalej symbolem S_kl, bêdziemy nazywaæ œrodkiem obrotu cz³onu k wzglê-dem l. Je¿eli we wzajemnym p³askim ruchu wzglêdnym bêdzie siê znajdowaæ n cz³o-nów, to liczba i œrodków obrotu wyrazi siê zale¿noœci¹

Rys. 49. Ilustracja chwilowego œrodka obrotu cz³onów k i l Rys. 48. Przyk³ad toru ocechowanego

i = n n n 

₂_ = (_{1 2⋅}−1) . (15)

W liczbie tej mog¹ wyst¹piæ tzw. œrodki obrotu sta³e, trwa³e i chwilowe. Pojêcia te wyjaœnimy na przyk³adzie czworoboku przegubowego (rys. 50). W uk³adzie tym cz³ony (1), (2), (3) wykonuj¹ ruchy wzglêdem siebie oraz wzglêdem podstawy (4). Liczba i mo¿liwych œrodków obrotu wynosi tu

i =   4_ = _⋅⋅ = 2 3 4 1 2 6

Wypiszmy je w sposób uporz¹dkowany:

S₁₂ S₁₃ S₁₄

S₂₃ S₂₄ S₃₄

Wœród nich œrodki obrotu S₁₄ i S₃₄ nale¿¹ do sta³ych, S₁₂ i S₂₃ zaœ do trwa³ych œrodków obrotu. Chwilowymi œrodkami obrotu s¹ S₁₃ oraz S₂₄.

W uk³adach kinematycznych po³o¿enie sta³ych i trwa³ych œrodków obrotu jest za-dane przez po³o¿enie odpowiednich par kinematycznych. Chwilowe œrodki obrotu mo¿-na wyzmo¿-naczyæ korzystaj¹c z tego, ¿e le¿¹ mo¿-na liniach prostopad³ych do prêdkoœci wzglêd-nych punktów jednego wzglêdem drugiego rozpatrywanego cz³onu, lub z twierdzenia o trzech œrodkach obrotu. Mówi ono, ¿e

przy 3 cz³onach k, l, m, bêd¹cych wzglêdem siebie w ruchu p³askim, œrodki obrotu S_kl, S_km, S_lm le¿¹ na jednej prostej.

Przydatnoœæ tego twierdzenia mo¿na przeœledziæ na przyk³adzie rozpatrywanego czworoboku z rys. 50. Na jednej linii prostej le¿¹ tu odpowiednie œrodki obrotu S₁₂, S₂₃ i S₁₃ cz³onów (1), (2), (3), a tak¿e nastêpne kombinacje. Zauwa¿my przy tym, ¿e istnieje pewna regularnoœæ dotycz¹ca samych indeksów. Przejawia siê ona w tym, ¿e

44

indeks dowolnego œrodka obrotu mo¿na zestawiæ z nie powtarzaj¹cych siê znaków pozosta³ych œrodków. Fakt, ¿e w ka¿dym œrodku obrotu przecina siê ze sob¹ kilka linii (co najmniej 2) mo¿na wykorzystaæ do ich znalezienia. W œrodku S₁₃ przecinaj¹ siê linie b (S₂₃, S₁₂, S₁₃) oraz d (S₃₄, S₁₄, S₁₃), co mo¿na odnotowaæ skrótowo

S₁₂ — S₂₃ S₁₃

S₁₄ — S₃₄

Podobnie, w poszukiwanym œrodku S₂₄, przecinaj¹ siê proste a i c, czyli S₁₄ — S₁₂

S₂₄

S₃₄ — S₂₃

W przypadku okreœlania chwilowych œrodków obrotu w mechanizmach wielocz³o-nowych, pewne k³opoty mo¿e sprawiaæ ustalenie w³aœciwej kolejnoœci okreœlania œrod-ków. Mo¿na wtedy skorzystaæ z metody opartej na przedstawieniu mechanizmu w postaci grafu struktury [14]. Metodê tê wyjaœnimy na przyk³adzie. W mechanizmie szeœciocz³onowym (rys. 51a) nale¿y okreœliæ po³o¿enia wszystkich œrodków obrotu. Ze wzoru (15) wynika, ¿e jest ich 15. Wypiszmy je w sposób uporz¹dkowany, obwo-dz¹c kó³kiem te, które s¹ wyznaczone przez pary I klasy

S₁₂ S₁₃ S₁₄ S₁₅ S₁₆

S₂₃ S₂₄ S₂₅ S₂₆

S₃₄ S₃₅ S₃₆

S₄₅ S₄₆ S₅₆

Po³o¿enie pozosta³ych nie oznaczonych (chwilowych) œrodków obrotu nale¿y okreœ-liæ. W tym celu narysujmy pomocniczo graf struktury tego mechanizmu (rys. 51b), na którym punkty zaczernione oznaczaj¹ cz³ony, ³¹cz¹ce zaœ je linie pary kinematyczne, rozumiane równie¿ jako œrodki obrotu. Jak siê wykazuje [14], mo¿na bez trudu zna-leŸæ te œrodki obrotu, których symbol graficzny (odcinek) dzieli ju¿ istniej¹cy czwo-robok, wyznaczony przez znane œrodki obrotu, na dwa trójk¹ty. W naszym przypadku znane ju¿ œrodki obrotu wyznaczaj¹ dwa czworoboki 1 2 3 4 1 i 1 4 5 6 1 (rys. 51b). Ka¿dy z nich mo¿na podzieliæ na dwa trójk¹ty, ³¹cz¹c w nich punkty 1–3, 2–4, 1–5 i 4–6. Okreœlmy dla przyk³adu S₂₄.

Sposób najprostszy podpowiadaj¹ dwa trójk¹ty 1 2 4 oraz 2 3 4, czyli S₂₃ — S₃₄

S₂₄

S₁₂ — S₁₄

Inaczej œrodek chwilowy S₂₄ znajdziemy na przeciêciu linii a, przechodz¹cej prze œrodki S₂₃ i S₃₄, oraz linii b, przechodz¹cej przez S₁₂ i S₁₄. Podobnie mo¿na wyznaczyæ pozosta³e chwilowe œrodki obrotu.

Nale¿y tu przypomnieæ, ¿e znajomoœæ po³o¿eñ chwilowych œrodków obrotu u³a-twia okre¿lanie kierunków prêdkoœci, prze³o¿eñ itd.

3.3.2. Zwi¹zki podstawowe analizy kinematycznej

Cz³ony mechanizmów p³askich realizuj¹ ruchy: postêpowe, obrotowe i p³askie z³o-¿one. Przypomnijmy podstawowe zwi¹zki i zale¿noœci dotycz¹ce prêdkoœci i przy-spieszeñ liniowych i k¹towych dla tych wymienionych ruchów.

Ruch postêpowy

Cz³on jest w ruchu postêpowym wtedy, gdy dowolny odcinek BC, zwi¹zany z tym cz³onem, zachowuje we wszystkich fazach ruchu po³o¿enie równoleg³e. Ruch taki realizuje suwak po prowadnicy

prosto-liniowej, ale te¿ np. ³¹cznik 3 równoleg³o-boku przegubowego (rys. 52).

Tory wszystkich punktów zwi¹zanych z cz³onem bêd¹cym w ruchu postêpowym s¹ jednakowe (rys. 53a), prêdkoœci v_i zaœ i przyspieszenia a_i w tym samym po³o¿e-niu identyczne (rys. 53b i c). Kierunki prêd-koœci s¹ styczne do torów, kierunki przy-spieszeñ zale¿¹ natomiast od kszta³tu toru i parametrów ruchu. Jest wiêc

Rys. 52. Przyk³ad mechanizmu z cz³onem (3) w ruchu postêpowym

v_B = v_c = v_i, w = 0, (16)

46

Ruch obrotowy

Ruch obrotowy cz³onu BC (rys. 54a) wokó³ œrodka obrotu O charakteryzuje siê tym, ¿e wszystkie punkty tego cz³onu zakreœlaj¹ tory ko³owe koncentryczne. Jak wia-domo

v_i = w r_i lub v_i = ×ω r_i , (18) przy czym: r_i – promieñ obrotu punktu

w – prêdkoœæ k¹towa cz³onu BC.

Rys. 54. Cz³on w ruchu obrotowym: a) rozk³ad prêdkoœci, b) rozk³ad przyspieszeñ Rys. 53. Tory, prêdkoœci i przyspieszenia punktów cz³onu BC w ruchu postêpowym

Wektory v_i prêdkoœci liniowej punktów cz³onu s¹ styczne do torów tych punktów, czyli prostopad³e do promieni obrotu. Wektory te s¹ widziane ze œrodka obrotu O pod tym samym k¹tem

a_B = a_C = a_i.

Na przyspieszenie a_i punktów I w ruchu obrotowym sk³adaj¹ siê: przyspieszenie normalne

ani = ω2⋅ri lub ani = ω ω×

(

)

oraz przyspieszenie styczne

at_i = ⋅ε r_i lub ati = ×ε r_i.

Jak wynika z zapisu wektorowego, sk³adowa a_in _{ma kierunek promienia obrotu i} zwrot do œrodka obrotu O, sk³adowa a_it _{natomiast kierunek prostopad³y do} promie-nia obrotu i zwrot zgodny z przyspieszeniem k¹towym e (rys. 54b).

Ca³kowite przyspieszenie a_i wyra¿a siê sum¹ wektorow¹

a_i = ani + ati (19)

lub algebraicznie

ai = (ani )2+(ati )2 = r_i ω4+ε2. (19a) Przy sta³ej prêdkoœci k¹towej cz³onu (w = const, e = 0) przyspieszenie ca³kowite a_i jest równe przyspieszeniu normalnemu.

Ruch z³o¿ony p³aski

1. Je¿eli dowolny odcinek BC (rys. 55) zwi¹zany na sztywno z cz³onem zajmuje w kolejnych fazach ruchu w stosunku do siebie po³o¿enie nierównoleg³e, to mówimy o ruchu p³askim z³o¿onym.

Rys. 55. Cz³on BC w ruchu p³askim z³o¿onym Rys. 56. Interpretacja ruchu z³o¿onego cz³onu BC za pomoc¹ chwilowego œrodka obrotu

48

Rys. 57. Ruch z³o¿ony p³aski cz³onu BC jako

suma ruchu postêpowego i obrotowego Rys. 58. Cz³on BC w ruchu z³o¿onym p³askimi jego chwilowy œrodek przyspieszeñ Ruch ten mo¿na interpretowaæ jako ruch obrotowy wokó³ chwilowego œrodka obrotu S le¿¹cego na przeciêciu prostopad³ych do prêdkoœci liniowych punktów zwi¹zanych z cz³onem (rys. 56). Wynika z tego, ¿e prêdkoœci dowolnych punktów cz³onu bêd¹ce-go w tym ruchu widaæ z bieguna S pod tym samym k¹tem a, natomiast

ω = v = = SC v SB v SI C B I ₍₂₀₎

jest prêdkoœci¹ k¹tow¹ tego cz³onu. Spostrze¿enie to mo¿na zastosowaæ do wyznacze-nia prêdkoœci dowolnego punktu I cz³onu przy danych prêdkoœciach dwóch innych punktów lub prêdkoœci jednego punktu i danym po³o¿eniu chwilowego œrodka obrotu S. Ruch z³o¿ony cz³onu interpretuje siê równie¿ jako wynik ruchu postêpowego i obrotowego jednoczeœnie (rys. 57). W interpretacji tej relacjê miêdzy prêdkoœciami dwóch punktów, np. B i C zapiszemy w postaci

vC = vB+vCB lub vB = vC+vBC. (21)

Wektor vCB = −vBC reprezentuje tu prêdkoœæ wzglêdn¹ punktu C wzglêdem

B. Prêdkoœæ wzglêdna v_CB ma kierunek prostopad³y do promienia BC i pozostaje z prêdkoœci¹ k¹tow¹ tego cz³onu w relacji

v_CB = w_CBl_CB.

Przez analogiê do chwilowego œrodka obrotu S mo¿na operowaæ pojêciem chwi-lowego œrodka przyspieszeñ P, tj. takiego punktu zwi¹zanego z rozpatrywanym cz³o-nem, którego przyspieszenie jest równe zeru (a_p = 0), rys. 58.

Po³o¿enie punktu P jest zazwyczaj ró¿ne od po³o¿enia œrodka obrotu S. Wektory przyspieszeñ np. aB i aC (rys. 58), tworz¹c z odcinakmi PB i PC jednakowe k¹ty j, s¹ widoczne z punktu P pod tym samym k¹tem y.

W niektórych wypadkach dogodniej jest, rozpatruj¹c przyspieszenie poszczegól-nych punktów cz³onu w ruchu z³o¿onym, interpretowaæ ten ruch jako sumê ruchu postêpowego i obrotowego (rys. 59). Miêdzy przyspieszeniami dowolnych dwóch punk-tów, np. B i C, tego cz³onu zachodzi zwi¹zek

aC = aB+aCB, (22)

w którym

aCB = aCBn + aCBt .

Sk³adowa normalna przyspieszenia wzglêdnego

a l v

l

CBn CB CB CB

= ω2⋅ = 2 _,

ma kierunek CB i zwrot od C do B, sk³adowa zaœ styczna przyspieszenia wzglêd-nego

aCBt = ε ×lCB

jest wektorem o kierunku prostopad³ym do CB i zwrocie zgodnym z przyspiesze-niem k¹towym.

Jest wiêc

aC = aB+aCBn +aCBt . (23)

Rys. 60. Graficzny obraz zwi¹zków miêdzy prêdkoœciami wybranych punktów B i C

nale¿¹cych do ró¿nych cz³onów Rys. 59. Interpretacja przyspieszenia wzglêdnego

50

Zwi¹zek ten pozwala na graficzne lub grafoanalityczne okreœlenie przyspieszenia dowolnego punktu, je¿eli znane jest np. przyspieszenie innego punktu oraz w, e i odleg³oœæ tych punktów.

Rozwa¿my z kolei przypadek ruchu suwaka (2) (rys. 60) wspó³pracuj¹cego z ru-chom¹ prowadnic¹ (1). Przez B oznaczono punkt zwi¹zany z cz³onem (1), przez C natomiast punkt pokrywaj¹cy sie z punktem B, lecz nale¿¹cy do cz³onu (2). w wyni-ku ruchu cz³onu (1) zwi¹zany z nim punkt B ma prêdkoœæ v_B, punkt C natomiast przemieszca siê dodatkowo wzglêdem cz³onu (1) z prêdkoœci¹ v_CB. Wynikow¹ prêd-koœæ punktu C rozpatrywan¹ w uk³adzie odniesienia mo¿na wyraziæ

vC = vB+vCB,

gdzie v_CB – prêdkoœæ wzglêdna punktu C wzglêdem B.

Kierunek tej prêdkoœci okreœla oczywiœcie aktualne po³o¿enie prowadnicy. Przyspieszenie punktu C (rys. 61) mo¿na wyraziæ równaniem wektorowym

aC = aB+aCB, (24)

w którym a_CB jest wzglêdnym przyspieszeniem sk³adaj¹cym siê z przyspieszeñ: normalnego, stycznego i Coriolisa,

aCB = aCBn +aCBt +aCBc , (25)

Sk³adowe przyspieszenia wzglêdnego s¹ okreslone nastêpuj¹co a_CBn ₌ vCB2

ρ ,

gdzie r – promieñ krzywizny prowadnicy dla miejsca wspó³pracy z suwakiem (w punkcie B).

Przyspieszenie to wystêpuje tylko przy prowadnicach krzywoliniowych. w przy-padku stosowania prowadnicy prostolinio-wej (r = ¥) jest wiêc

aCBn = ∞vCB 2

= 0.

Kierunek tego wektora pokrywa siê z kierunkiem promienia r, skierowany zaœ jest do œrodka krzywizny. Sk³adowa stycz-na przyspieszenia ma kierunek równoleg³y do prêdkoœci wzglêdnej v_CB, modu³ zaœ okreœla zale¿noœæ

Rys. 61. Sk³adowe przyspieszenia wzglêdnego wybranych punktów B i C nale¿¹cych

a v t

CBt = d_dCB.

Kierunek i zwrot przyspieszenia Coriolisa wynikaj¹ z zapisu wektorowego aCBc = 2ω×vCB,

mo¿na je ustaliæ równie¿ obracaj¹c wektor prêdkoœci wzglêdnej v_CB o 90°, zgodnie z prêdkoœci¹ k¹tow¹ unoszenia. Ostatecznie wiêc

aC = aB+ aCBn + aCBt + aCBc . (26)

Podstawowe zwi¹zki, które przytoczono, mog¹ byæ stosowane w ró¿nych meto-dach okreœlania parametrów ruchu cz³onów mechanizmów i zwi¹zanych z nimi punk-tów.

3.3.3. Metoda toru ocechowanego

Niech bêdzie dana trajektoria k_i punktu I (rys. 62a), nale¿¹cego do cz³onu mecha-nizmu. Trajektoriê tê ocechowano tak, ¿e przemieszczenia po jej fragmentach p i q, pomiêdzy punktami K – 1, K oraz K, K + 1, odpowiadaj¹ równym przedzia³om czasowym Dt. Po zast¹pieniu rzeczywistych przemieszczeñ p i q odpowiednio we-ktorami a i b (rys. 62b), œredni¹ prêdkoœæ punktu I w po³o¿eniu K mo¿na wyraziæ zale¿noœci¹

vK ≅ va+₂vb,

52 czyli v a b t K ≅ ₂+_∆ (27) lub v c t K ≅ _2∆ , (27a)

Po uwzglêdnieniu podzia³ki przemieszczeñ k_l uzyskano

v (c)

t

K ≅ _2∆κl. (28)

Œrednie przyspieszenie punktu I w po³o¿eniu K mo¿na wyraziæ wzorem

a v v t K ≅ b_∆− a , co prowadzi do a b a t K ≅ − ∆ 2 (29) lub a d t K ≅ ∆ 2.

Po uwzglêdnieniu podzia³ki przemieszczeñ

a (d)

t

K ≅ κ₂l

∆ , (30)

Jak wiadomo, mechanizmy charakteryzuj¹ siê cyklicznoœci¹ ruchu, to znaczy po pewnym okresie T powtarza siê po³o¿enie, prêdkoœæ oraz przyspieszenie. Za³ó¿my, ¿e liczba okresów T wynosi n w czasie jednej minuty. Cechowanie toru przeprowadzono w ten sposób, ¿e okres T podzielono na m równych przedzia³ów Dt. Jest wiêc

T = mDt oraz T n = 60. Ostatecznie wiêc, ze wzoru (28) i (30)

v_{K ≅} (c)κl⋅ ⋅m n

120 , (31)

a_{K ≅} (d)κl⋅m n2⋅ 2

Rys. 63. Plan prêdkoœci: a) cz³on BCM w ruchu z³o¿onym p³askim, b) plan prêdkoœci cz³onu BCM Dla porz¹dku nale¿y odnotowaæ, ¿e wraz ze wzrostem m przedzia³ów wzrasta do-k³adnoœæ uzyskanych wyników. Jednak wraz ze wzrostem liczby przedzia³ów m ro-œnie wp³yw b³êdów rysunkowych. Zalecane jest [11] nastêpuj¹ce przyjêcie liczby przedzia³ów:

m = 18 – je¿eli wyznaczona trajektoria mieœci siê w formacie A6, m = 24 – je¿eli wyznaczona trajektoria mieœci siê w formacie A4.

Orientacyjne b³êdy w wyznaczeniu prêdkoœci wynosz¹ wtedy 6–4%, a w wypadku przyspieszeñ 12–8%. W liczbach tych nie jest zawarty b³¹d zwi¹zany z dok³adnoœci¹ wyznaczenia punktów toru ocechowanego.

3.3.4. Metoda planów

Niech bêdzie dany cz³on BCM w ruchu z³o¿onym p³askim (rys. 63a) i niech v_B, v_C, v_M bêd¹ prêdkoœciami punktów B, C i M tego cz³onu. Je¿eli wektory prêdkoœci narysowaæ w dowolnej podzia³ce k_v, rozpoczynaj¹c z dowolnego punktu p_v, to koñce ich, oznaczone odpowiednimi symbolami b, c i m, wyznacz¹ pewn¹ figurê bcm (rys. 63b). Figura taka, jako miejsce geometryczne koñców wektorów prêdkoœci punk-tów tego samego cz³onu, nosi nazwê planu prêdkoœci cz³onu, a punkt p_v bieguna planu prêdkoœci. Pos³uguj¹c siê odpowiednimi zwi¹zkami miêdzy prêdkoœciami punk-tów B, C i M, np.

vC= vB+vCB,

v_M = v_B +v_MB, vM = vC+vMC

(rys. 64a) od³o¿ione w tej samej podzia³ce z jednego bieguna p_a tworz¹ koñcami b, c i m figurê bcm (rys. 64b). Przez analogiê do planu prêdkoœci, figurê tak¹ bêdziemy nazywaæ planem przyspieszeñ cz³onu. Plan bcm jest podobny do cz³onu BCM i obrócony wzglêdem niego o k¹t (180 – j), zgodnie z przyspieszeniem k¹towym e, przy czym

ϕ ε

ω = arctg ₂.

Odcinki ³¹cz¹ce odpowiednie koñce wektorów okreœlaj¹ przyspieszenie wzglêdne poszczególnych punktów, np.

mc aMC

a

= κ , gdzie k_a [m/s2_{·mm] jest podzia³k¹ planu przyspieszeñ.}

Na ogó³ przyspieszenie wzglêdne ca³kowite jest sum¹ wektorow¹ sk³adowej nor-malnej i stycznej, co przyk³adowo pokazano dla przyspieszenia a_MC

aMC = aMCn + aMCt

lub

cm = cn + nm.

Wektor a_MCn ma kierunek MC, zwrot od M do C, a modu³

a v

l

NCn MC MC

= .

Przyspieszenie wzglêdne styczne aMCt = εlMC ma kierunek prostopad³y do MC.

Plany przyspieszeñ kolejnych cz³onów mechanizmu wykreœlone z jednego bieguna p_a tworz¹ plan przyspieszeñ mechanizmu, za którego pomoc¹ mo¿na okreœlaæ dowolne przyspieszenia liniowe i k¹towe.

W dalszym ci¹gu przedstawiono sposoby wyznaczania prêdkoœci i przyspieszeñ dla wybranych grup Assura.

Grupa dwucz³onowa drugiej klasy z trzema parami obrotowymi

Grupê tê pokazano schematycznie na rysunku 65a. Za³ó¿my, ¿e w wyniku wstêp-nych obliczeñ kinematyczwstêp-nych okreœlono:

– prêdkoœæ v_A oraz przyspieszenie a_A punktu A, – prêdkoœæ v_C oraz przyspieszenie a_C punktu C. Analizuj¹c ruch punktu B napiszemy:

– dla cz³onu AB