Zwi¹zki podstawowe analizy kinematycznej

Cz³ony mechanizmów p³askich realizuj¹ ruchy: postêpowe, obrotowe i p³askie z³o-¿one. Przypomnijmy podstawowe zwi¹zki i zale¿noœci dotycz¹ce prêdkoœci i przy-spieszeñ liniowych i k¹towych dla tych wymienionych ruchów.

Ruch postêpowy

Cz³on jest w ruchu postêpowym wtedy, gdy dowolny odcinek BC, zwi¹zany z tym cz³onem, zachowuje we wszystkich fazach ruchu po³o¿enie równoleg³e. Ruch taki realizuje suwak po prowadnicy

prosto-liniowej, ale te¿ np. ³¹cznik 3 równoleg³o-boku przegubowego (rys. 52).

Tory wszystkich punktów zwi¹zanych z cz³onem bêd¹cym w ruchu postêpowym s¹ jednakowe (rys. 53a), prêdkoœci v_i zaœ i przyspieszenia a_i w tym samym po³o¿e-niu identyczne (rys. 53b i c). Kierunki prêd-koœci s¹ styczne do torów, kierunki przy-spieszeñ zale¿¹ natomiast od kszta³tu toru i parametrów ruchu. Jest wiêc

Rys. 52. Przyk³ad mechanizmu z cz³onem (3) w ruchu postêpowym

v_B = v_c = v_i, w = 0, (16)

46

Ruch obrotowy

Ruch obrotowy cz³onu BC (rys. 54a) wokó³ œrodka obrotu O charakteryzuje siê tym, ¿e wszystkie punkty tego cz³onu zakreœlaj¹ tory ko³owe koncentryczne. Jak wia-domo

v_i = w r_i lub v_i = ×ω r_i , (18) przy czym: r_i – promieñ obrotu punktu

w – prêdkoœæ k¹towa cz³onu BC.

Rys. 54. Cz³on w ruchu obrotowym: a) rozk³ad prêdkoœci, b) rozk³ad przyspieszeñ Rys. 53. Tory, prêdkoœci i przyspieszenia punktów cz³onu BC w ruchu postêpowym

Wektory v_i prêdkoœci liniowej punktów cz³onu s¹ styczne do torów tych punktów, czyli prostopad³e do promieni obrotu. Wektory te s¹ widziane ze œrodka obrotu O pod tym samym k¹tem

a_B = a_C = a_i.

Na przyspieszenie a_i punktów I w ruchu obrotowym sk³adaj¹ siê: przyspieszenie normalne

aⁿ_i = ω2⋅r_i lub aⁿ_i = ω ω×

(

)

a^t_i = ⋅ε r_i lub a^t_i = ×ε r_i.

Jak wynika z zapisu wektorowego, sk³adowa a_in ma kierunek promienia obrotu i zwrot do œrodka obrotu O, sk³adowa a_it natomiast kierunek prostopad³y do promie-nia obrotu i zwrot zgodny z przyspieszeniem k¹towym e (rys. 54b).

Ca³kowite przyspieszenie a_i wyra¿a siê sum¹ wektorow¹

a_i = aⁿ_i + a^t_i ⁽¹⁹⁾

lub algebraicznie

a_i = (aⁿ_i )2+(a^t_i )2 = r_i ω4+ε2. (19a) Przy sta³ej prêdkoœci k¹towej cz³onu (w = const, e = 0) przyspieszenie ca³kowite a_i jest równe przyspieszeniu normalnemu.

Ruch z³o¿ony p³aski

1. Je¿eli dowolny odcinek BC (rys. 55) zwi¹zany na sztywno z cz³onem zajmuje w kolejnych fazach ruchu w stosunku do siebie po³o¿enie nierównoleg³e, to mówimy o ruchu p³askim z³o¿onym.

Rys. 55. Cz³on BC w ruchu p³askim z³o¿onym _{Rys. 56. Interpretacja ruchu z³o¿onego} cz³onu BC za pomoc¹ chwilowego œrodka obrotu

48

Rys. 57. Ruch z³o¿ony p³aski cz³onu BC jako

suma ruchu postêpowego i obrotowego ^{Rys. 58. Cz³on BC w ruchu z³o¿onym p³askim}i jego chwilowy œrodek przyspieszeñ Ruch ten mo¿na interpretowaæ jako ruch obrotowy wokó³ chwilowego œrodka obrotu S le¿¹cego na przeciêciu prostopad³ych do prêdkoœci liniowych punktów zwi¹zanych z cz³onem (rys. 56). Wynika z tego, ¿e prêdkoœci dowolnych punktów cz³onu bêd¹ce-go w tym ruchu widaæ z bieguna S pod tym samym k¹tem a, natomiast

ω = ^v = = SC v SB v SI C B I (20) jest prêdkoœci¹ k¹tow¹ tego cz³onu. Spostrze¿enie to mo¿na zastosowaæ do wyznacze-nia prêdkoœci dowolnego punktu I cz³onu przy danych prêdkoœciach dwóch innych punktów lub prêdkoœci jednego punktu i danym po³o¿eniu chwilowego œrodka obrotu S. Ruch z³o¿ony cz³onu interpretuje siê równie¿ jako wynik ruchu postêpowego i obrotowego jednoczeœnie (rys. 57). W interpretacji tej relacjê miêdzy prêdkoœciami dwóch punktów, np. B i C zapiszemy w postaci

v_C = v_B+v_CB lub v_B = v_C+v_BC. (21) Wektor v_CB = −v_BC reprezentuje tu prêdkoœæ wzglêdn¹ punktu C wzglêdem B. Prêdkoœæ wzglêdna v_CB ma kierunek prostopad³y do promienia BC i pozostaje z prêdkoœci¹ k¹tow¹ tego cz³onu w relacji

v_CB = w_CBl_CB.

Przez analogiê do chwilowego œrodka obrotu S mo¿na operowaæ pojêciem chwi-lowego œrodka przyspieszeñ P, tj. takiego punktu zwi¹zanego z rozpatrywanym cz³o-nem, którego przyspieszenie jest równe zeru (a_p = 0), rys. 58.

Po³o¿enie punktu P jest zazwyczaj ró¿ne od po³o¿enia œrodka obrotu S. Wektory przyspieszeñ np. a_B i a_C (rys. 58), tworz¹c z odcinakmi PB i PC jednakowe k¹ty j, s¹ widoczne z punktu P pod tym samym k¹tem y.

W niektórych wypadkach dogodniej jest, rozpatruj¹c przyspieszenie poszczegól-nych punktów cz³onu w ruchu z³o¿onym, interpretowaæ ten ruch jako sumê ruchu postêpowego i obrotowego (rys. 59). Miêdzy przyspieszeniami dowolnych dwóch punk-tów, np. B i C, tego cz³onu zachodzi zwi¹zek

a_C = a_B+a_CB, (22)

w którym

a_CB = a_CBⁿ + a_CB^t . Sk³adowa normalna przyspieszenia wzglêdnego

a l ^v

l

CBⁿ CB ^CB CB

= ω2⋅ = ² ,

ma kierunek CB i zwrot od C do B, sk³adowa zaœ styczna przyspieszenia wzglêd-nego

a_CB^t = ε ×l_CB

jest wektorem o kierunku prostopad³ym do CB i zwrocie zgodnym z przyspiesze-niem k¹towym.

Jest wiêc

a_C = a_B+a_CBⁿ +a_CB^t . ⁽²³⁾

Rys. 60. Graficzny obraz zwi¹zków miêdzy prêdkoœciami wybranych punktów B i C

nale¿¹cych do ró¿nych cz³onów Rys. 59. Interpretacja przyspieszenia wzglêdnego

50

Zwi¹zek ten pozwala na graficzne lub grafoanalityczne okreœlenie przyspieszenia dowolnego punktu, je¿eli znane jest np. przyspieszenie innego punktu oraz w, e i odleg³oœæ tych punktów.

Rozwa¿my z kolei przypadek ruchu suwaka (2) (rys. 60) wspó³pracuj¹cego z ru-chom¹ prowadnic¹ (1). Przez B oznaczono punkt zwi¹zany z cz³onem (1), przez C natomiast punkt pokrywaj¹cy sie z punktem B, lecz nale¿¹cy do cz³onu (2). w wyni-ku ruchu cz³onu (1) zwi¹zany z nim punkt B ma prêdkoœæ v_B, punkt C natomiast przemieszca siê dodatkowo wzglêdem cz³onu (1) z prêdkoœci¹ v_CB. Wynikow¹ prêd-koœæ punktu C rozpatrywan¹ w uk³adzie odniesienia mo¿na wyraziæ

v_C = v_B+v_CB, gdzie v_CB – prêdkoœæ wzglêdna punktu C wzglêdem B.

Kierunek tej prêdkoœci okreœla oczywiœcie aktualne po³o¿enie prowadnicy. Przyspieszenie punktu C (rys. 61) mo¿na wyraziæ równaniem wektorowym

a_C = a_B+a_CB, (24)

w którym a_CB jest wzglêdnym przyspieszeniem sk³adaj¹cym siê z przyspieszeñ: normalnego, stycznego i Coriolisa,

a_CB = a_CBⁿ +a_CB^t +a_CB^c , ⁽²⁵⁾

Sk³adowe przyspieszenia wzglêdnego s¹ okreslone nastêpuj¹co a_CBⁿ = ^vCB²

ρ ^,

gdzie r – promieñ krzywizny prowadnicy dla miejsca wspó³pracy z suwakiem (w punkcie B).

Przyspieszenie to wystêpuje tylko przy prowadnicach krzywoliniowych. w przy-padku stosowania prowadnicy prostolinio-wej (r = ¥) jest wiêc

a_CB^{n v}CB

= ∞² = 0.

Kierunek tego wektora pokrywa siê z kierunkiem promienia r, skierowany zaœ jest do œrodka krzywizny. Sk³adowa stycz-na przyspieszenia ma kierunek równoleg³y do prêdkoœci wzglêdnej v_CB, modu³ zaœ okreœla zale¿noœæ

Rys. 61. Sk³adowe przyspieszenia wzglêdnego wybranych punktów B i C nale¿¹cych

a ^v t

CB^t = d ^CB

d ^.

Kierunek i zwrot przyspieszenia Coriolisa wynikaj¹ z zapisu wektorowego a_CB^c = 2ω×v_CB,

mo¿na je ustaliæ równie¿ obracaj¹c wektor prêdkoœci wzglêdnej v_CB o 90°, zgodnie z prêdkoœci¹ k¹tow¹ unoszenia. Ostatecznie wiêc

a_C = a_B+ a_CBⁿ + a_CB^t + a_CB^c . (26)

Podstawowe zwi¹zki, które przytoczono, mog¹ byæ stosowane w ró¿nych meto-dach okreœlania parametrów ruchu cz³onów mechanizmów i zwi¹zanych z nimi punk-tów.