Warunki stabilnej interferencji fal świetlnych

Dotychczas rozważaliśmy jedynie najprostszy przypadek superpozycji dwóch monochromatycznych fal płaskich o jednakowym stanie polaryzacji i częstości kołowej. Teraz zajmiemy się dokładną analizą wpływu wielkości, takich jak czę-stość kołowa, stan polaryzacji, czy też wartość fazy początkowej na możliwość zajścia zjawiska interferencji oraz uzyskania stabilnego czasowo obrazu interfe-rencyjnego.

Jak wiadomo, wpływ stanu polaryzacji obu interferujących fal świetlnych na obraz interferencyjny związany jest z wzajemną relacją pomiędzy przestrzennymi drganiami wektorów natężenia pola elektrycznego obu nakładających się fal świetlnych. W na-szym przypadku efekt ten jest zależny od kąta pomiędzy kierunkami drgań wektorów natężenia pola elektrycznego obu fal, a dokładniej mówiąc kąta pomiędzy ich rzutami na płaszczyznę obserwacji, w której przecinają się kierunki propagacji obu fal, i jest on scharakteryzowany przez cos

[

eˆ₁

( ) ( )

r ,eˆ₂ r

]

. Załóżmy, iż obie nakładające się fal mają tą samą częstość kołową, a wektory natężenia pola elektrycznego obu fal drgają we wzajemnie prostopadłych kierunkach. Oznacza to, iż kąt pomiędzy wersorami

2 1,ˆ ˆ e

e , a tym samym ich rzutami na płaszczyznę obserwacji, jest równy 90°, czyli

(

ˆ, ˆ

)

0

cose₁ e₂ = . Widzimy zatem, iż w omawianej sytuacji, różne stany polaryzacji obu wiązek prowadzą do całkowitego wyeliminowania z równań (145) i (146) członu in-terferencyjnego tak, iż rejestrowany rozkład przestrzenny natężenia światła będzie równy:

( )

r I

( )

r I

r

I( )= ₁ + ₂ . (155)

W tym przypadku niezależnie od monochromatyzmu obu wiązek oraz wartości różni-cy faz, prążki interferenróżni-cyjne nie będą obserwowalne. Uzmysławia nam to również, że sama monochromatyczność fal świetlnych nie jest jedynym i wystarczającym warun-kiem zajścia interferencji i utworzenia stabilnego czasowo obrazu interferencyjnego. W omawianym przypadku wyrażenie (155) ogranicza się jedynie do algebraicznej sumy natężeń obu nakładających się fal świetlnych, tym samym mamy do czynienia z falami niekoherentnymi.

W ogólnym przypadku, gdy kąt γ pomiędzy wersorami eˆ e₁,ˆ₂ będzie się losowo zmieniał w czasie w przedziale od 0 do 2π, rozkład przestrzenny prążków interferen-cyjnych będzie przybierał wartości pośrednie pomiędzy wartościami:

( )

r I

( )

r I

( ) ( )

r I r

[ ( )

r

( )

r

]

I r I_max( )= ₁ + ₂ +2 _{1 2} cosϕ₁ −ϕ₂ , a

( )

r I

( )

r I

( ) ( )

r I r

[ ( )

r

( )

r

]

I r I_min( )= ₁ + ₂ −2 _{1 2} cosϕ₁ −ϕ₂ ,

chociaż w zależności od różnicy faz obu nakładających się fal graniczne wartości mogą przyjąć, jeszcze bardziej ekstremalne wartości. W sytuacji, gdy kąt )γ =γ(t

zmienia się losowo, niemożliwe będzie uzyskanie stabilnego czasowo obrazu interfe-rencyjnego opisującego zależność różnicy faz pomiędzy obiema nakładającymi się falami, gdyż człon modulacji będzie się zmieniał w sposób losowy. Tym samym ze względu na jawną zależność wartości kąta γ od czasu, możemy zastąpić wyrażenie

) ˆ , ˆ

cos(e₁ e₂ przez jego średnią czasową cos(eˆ₁,eˆ₂) _t =0, co oznacza, że równanie superpozycji fal upraszcza się do algebraicznej sumy natężeń obu wiązek, gdyż człon interferencyjny został wyeliminowany. Widzimy zatem, iż stan polaryzacji nakładających się fal jest krytycznym czynnikiem warunkującym zajście zjawiska interferencji.

Nieco odmienna sytuacja ma miejsce w przypadku ustalonego w czasie kąta γ po-między wersorami eˆ e₁,ˆ₂, gdyż wówczas wpływ różnych stanów polaryzacji interfe-rujących fal świetlnych prowadzić będzie do zmiany amplitudy modulacji widma in-terferencyjnego ±2 I₁

( )

r I₂(r)cos(eˆ₁,eˆ₂) , jednakże nie spowoduje to całkowitego zaniku prążków interferencyjnych. Należy jednak zauważyć, będzie to skutkowało znacznym obniżeniem kontrastu prążków interferencyjnych w zależności od wartości kąta γ (patrz rys. 3.25).Wraz wzrostem kąta γ w przedziale (0, π/2) mamy do czynienia ze spadkiem kontrastu prążków interferencyjnych dla amplitudy modulacji równej

) ˆ , ˆ cos(

2 I₁I₂ e₁ e₂ , która wraz z wyrażeniem cos(eˆ₁,eˆ₂) przyjmuje coraz mniejsze wartości.

Ten sam efekt pojawia się, gdy omawiany kąt rośnie w przedziale

(

π,3π 2

)

, chociaż wówczas mamy do czynienia z odwróceniem kontrastu prążków (tzn. poprzednio ja-sne prążki są teraz prążkami ciemnymi), o czym świadczy zmiana znaku amplitudy modulacji, ponieważ w tym przypadku ma ona postać −2 I₁I₂cos(eˆ₁,eˆ₂).

Z kolei wraz ze wzrostem wartości kąta

γ

w przedziałach

(

π 2,π

)

oraz

(

3π 2,2π

)

w obu przypadkach następuje zwiększenie kontrastu prążków interferencyjnych, czyli wzrost ich widzialności. Oczywiście będzie to miało miejsce jedynie dla pośrednich, stałych w czasie, wartości kąta

γ

z przedziału

(

0,2π

)

, gdyż w granicznych

przypad-kach dla γ = (2m + 1)π/2 (m = 0, 1, …) mamy do czynienia z całkowitym wyelimino-waniem członu interferencyjnego i rejestracją jedynie sumy natężeń obu nakładają-cych się wiązek.

Rys. 3.25. Związek pomiędzy widmem interferencyjnym a zmianą wartości kąta pomiędzy wektorami natężenia pola elektrycznego obu interferujących wiązek (lina przerywana – spadek kontrastu prążków, linia ciągła – wzrost kontrastu prążków)

Ważnym czynnikiem wpływającym na zjawisko interferencji fal świetlnych jest również wartość częstości kołowej nakładających się fal świetlnych. Rozważmy zatem przypadek, gdy obie nakładające się fale świetlne są jednakowo spolaryzowane

(

ˆ,ˆ

)

1

cose₁ e₂ = , lecz ich częstości nie są sobie równe tzn. ω1 ≠ ω2, czyli ω₁−ω₂ ≠0. Wówczas wzór opisujący superpozycję tych fal przybiera następującą postać:

( )

r I

( )

r I

( ) ( )

r I r

[ ( )

r

( ) (

r

)

t

]

I

t r

I( , )= ₁ + ₂ +2 _{1 2} cosϕ₁ −ϕ₂ + ω₂−ω₁ . (156)

W wyrażeniu tym występuje jawna zależność od czasu, zatem w tej sytuacji różne wartości częstości kołowej prowadzą do czasowych oscylacji harmonicznych natęże-nia obu nakładających się fal. Natężenie I( tr, )jest zatem modulowane czasowo przez

człon kosinusoidalny i zmienia się z różnicą częstości kołowych (ω1 – ω2) oraz stałą w czasie różnicą faz Δϕ

( )

r =ϕ₁

( )

r −ϕ₂

( )

r dla każdego punktu przestrzeni. Niemożliwe zatem staje się zarejestrowanie stabilnego czasowo widma interferencyjnego, gdyż wartość natężenia oscyluje wokół wartości I₁

( ) ( )

r +I₂ r z częstością ω1 – ω2, i mamy do czynienia z tzw. optycznym dudnieniem. Widzimy zatem, iż również w tym przy-padku po uśrednieniu czasowym wypadkowego natężenia obu fal w płaszczyźnie ob-serwacji otrzymujemy superpozycję jedynie natężeń obu fal świetlnych. Tym samym również warunek jednakowej polaryzacji obu fal nie jest wystarczający do utworzenia stabilnego czasowo rozkładu prążków interferencyjnych, bez spełnienia dodatkowych warunków odnośnie częstości kołowych, lub też długości fali, obu nakładających się fal świetlnych.

Ważnym, aczkolwiek nieanalizowanym dotychczas czynnikiem, który ma również wpływ na warunki stabilnej interferencji, jest wartość faz początkowych dwóch nakła-dających się fal świetlnych. Do tej pory zakładaliśmy, iż ϕ_i

( )

r,t =k_i⋅r+ϕ_oi, jednak w powyższych wzorach nie przedstawialiśmy jawnej zależności równania interferen-cyjnego od wartości faz początkowych fal świetlnych. W najogólniejszym przypadku równanie (146) możemy napisać w następującej postaci:

( ) ( )

( ) ( )

cos

[

( ) ( )

( )]

cos

[

ˆ

( ) ( )

,ˆ

]

. 2 ) ( 2 1 1 2 02 01 2 1 2 1 2 1 r e r e t ns ns k r I r I r I r I r I ω ω ϕ ϕ − + − + − + + = (157) W przypadku, gdy fale te są emitowane przez to samo punktowe źródło światła, wówczas fazy początkowe są stałe w czasie, a tym samym wpływ ich wartości na obserwowalne widmo interferencyjne jest pomijalny. Jednakże, w sytuacji, gdy obie fale świetlne pochodzą z dwóch całkowicie niezależnych źródeł światła lub źródła rozciągłego przestrzennie, wówczas są one emitowane w postaci szeregu ciągów falowych o skończonych długościach i losowo zmieniających się fazach początkowych. Tym samym różnica faz początkowych przybiera losowe wartości z całego przedziału kątowego 0,2π i należy uwzględnić wpływ tego zjawiska na zachodzącą interferencję fal świetlnych. Uwzględniając losową zmianę wartości faz początkowych, średnia czasowa kosinusa ich różnicy wynosi cos(ϕ₀₁−ϕ₀₂) _t =0, zatem również w tym przypadku wzór interferencyjny (157) zostanie ograniczony jedynie do algebraicznej sumy natężeń obu fal świetlnych, a tym samym nie zaob-serwujemy zjawiska interferencji, gdyż człon modulujący zostanie wyeliminowa-ny. Z tego też powodu niezwykle trudno jest uzyskać widmo interferencyjne po-wstałe w wyniku nakładania się fal świetlnych pochodzących od dwóch różnych źródeł światła. Zastosowanie punktowego źródła światła poprzez ograniczenie jego rozmiarów przestrzennych sprawia, że fazy początkowe generowanych cią-gów falowych są stałe w czasie a kontrast powstających prążków interferencyj-nych wzrasta.

Ostatecznie widzimy zatem, iż interferencja fal świetlnych zależy od tego, czy są one monochromatyczne, mają taką samą częstość kołową, od ich stanów polaryzacji oraz faz początkowych, które związane są z źródłem światła emitującym te fale. Ża-den warunek z osobna nie gwarantuje zajścia zjawiska interferencji oraz obserwacji prążków interferencyjnych o wysokim kontraście. Fale świetlne zdolne do utworzenia stabilnego w czasie widma interferencyjnego przyjęło się określać mianem fal kohe-rentnych (spójnych).

Gdy wzajemny kierunek drgań wektorów natężeń pola elektrycznego nakładają-cych się fal jest prostopadły lub też zmienia się on w sposób całkowicie przypadkowy, wówczas rozkład przestrzenny natężenia światła jest w tym przypadku równy sumie natężeń obu fal. Wyjątkiem jest sytuacja, gdy kierunek jest ustalony i stały w czasie, wówczas możemy obserwować różnego rodzaju efekty związane ze spadkiem kontra-stu prążków interferencyjnych lub też odwróceniem ich kontrakontra-stu. Niemonochroma-tyczność lub też zmienne w czasie wartości faz początkowych, również uniemożli-wiają rejestrację stabilnego widma interferencyjnego, a tym samym zajścia zjawiska interferencji fal świetlnych.

W przypadku fal koherentnych obserwowalne widmo interferencyjne zależy od różnicy faz pomiędzy nakładającymi się falami świetlnymi oraz ich amplitud. W za-leżności od tej różnicy faz możemy obserwować interferencję konstruktywną, de-struktywną lub też przypadki pośrednie. Koherencja fal świetlnych oznacza zatem, iż muszą mieć one taką samą częstość kołową (długość fali)- być monochromatyczne, różnica faz początkowych nie może zmieniać się w czasie, a płaszczyzna polaryzacji powinna być taka sama. Tym samym za fale koherentne możemy uważać monochro-matyczne i spolaryzowane fale wyemitowane przez to samo punktowe źródło światła, które są w stanie utworzyć stabilny rozkład prążków interferencyjnych. Z tego też powodu wszystkie interferencyjne metody pomiarowe polegają na uzyskaniu dwóch wiązek świetlnych poprzez podział amplitudy lub też czoła fali świetlnej wygenero-wanej przez to samo źródło.

W pierwszym przypadku wykorzystywane są zjawiska odbicia i załamania światła na granicy dwóch ośrodków o różnych współczynnikach załamania, gdyż w tym przy-padku zawsze część światła ulega odbiciu a część jest transmitowana, czyli mamy do czynienia z podziałem amplitudy fal. Z kolei podział czoła fali możemy uzyskać w wyniku oświetlenia np. nieprzeźroczystego ekranu zawierającego dwa punktowe otwory. Techniki podziału amplitudy lub czoła fali świetlnej są powszechnie stosowa-ne w pomiarach optycznych. Przykładem w przypadku podziału amplitudy fali mogą być metody uzyskiwania prążków jednakowej grubości oraz nachylenia, a w przypad-ku podziału czoła fali – doświadczenie Younga, bipryzmat Fresnela lub też zwiercia-dło Lloyda. Z uwagi na charakter niniejszej pracy zagadnienia te nie zostaną tu w wy-czerpujący sposób przeanalizowane, jednakże z uwagi na duży potencjał aplikacyjny technik interferometrycznych polecamy Czytelnikom dokładniejsze zapoznanie się z tym tematem [1, 3, 4, 6, 8].

Koherencja (spójność) fal świetlnych oznacza, zdolność obu nakładających się fal do interferencji. Fale te muszą być monochromatyczne, mieć stałą w czasie różnicę faz oraz taką samą płaszczyznę polaryzacji.

W przypadku fal koherentnych widmo interferencyjne zależy od różnicy faz pomiędzy nakładającymi się falami świetlnymi oraz ich natężenia.

Dla fal koherentnych w zależności od różnicy faz możemy obserwować interfe-rencję konstruktywną, destruktywną lub też przypadki pośrednie.

Fale niekoherentne nie tworzą widm interferencyjnych, rozkład natężenia wy-padkowego jest równy sumie natężeń obu fal.

W dokumencie Optyka biomedyczna : wybrane zagadnienia (Stron 109-114)