Koherencje kwantowe w zimnych atomach

(1)

Instytut Fizyki im. Mariana Smolu howskiego

Rozprawa doktorska

Koheren je kwantowe

w zimny h atoma h

Adam Marek Woj ie howski

prof. dr hab. Woj ie h Gawlik Promotor

prof. dr hab. Stanisªaw Chwirot Re enzent

prof. dr hab. Krzysztof Sa ha Re enzent

(2)

(3)

(4)

(5)

1 Wprowadzenie 3

1.1 Efekty koheren yjne w iepªy h atoma h . . . 3

1.2 Zimneatomy i efekty magneto-opty zne . . . 4

1.3 Motywa ja i elnaukowy rozprawy . . . 5

2 Podstawy teorety zne 7 2.1 Wªa± iwo± i opty zne o±rodkamaterialnego . . . 7

2.2 Skr enie pªasz zyzny polaryza ji . . . 8

2.3 Pomiar skr enia pªasz zyzny polaryza ji . . . 11

2.4 Rezonansowy efektFaradaya . . . 13

2.4.1 Strukturapoziomów

J

g

= 0

,

J

e

= 1

. . . 13

2.4.2 Bogatsze struktury atomowe . . . 16

2.4.3 Paramagnety zny efekt Faradaya . . . 19

2.4.4 Opis w formalizmiedrugiej kwantyza ji . . . 20

2.5 Nieliniowyefekt Faradaya . . . 20

2.5.1 Opis poprzez ma ierzgsto± i . . . 20

2.5.2 Perturba yjny opis opty zny h zjawisknieliniowy h . . . 24

2.5.3 Obli zenia NEFdlastruktury

Λ

. . . 26

2.5.4 NEFw bogatszy hstruktura h poziomów . . . 29

2.6 Nieliniowyefekt Faradaya z wi¡zk¡ modulowan¡ . . . 31

(6)

2.7 Impulsowe wytwarzanie koheren ji. . . 36

2.7.1 Sposób opisu teorety znego . . . 37

2.7.2 Podsumowanie . . . 39 3 Ukªad do±wiad zalny 41 3.1 Aparaturapró»niowa . . . 42 3.2 Lasery diodowe . . . 44 3.3 Modulatory akustoopty zne . . . 49 3.4 Polamagnety zne . . . 50

3.5 Sterowanieprzebiegiem zasowymeksperymentuorazakwizy ja da-ny h . . . 53

3.6 Detek ja skr enia pªasz zyzny polaryza ji ±wiatªa . . . 54

3.7 Ukªaddo pomiaruNEF z wi¡zk¡ modulowan¡ amplitudowo . . . . 56

3.8 Ukªadz nowymlaserem puªapkuj¡ ym. . . 57

3.9 Ukªaddo wytwarzania krótki himpulsów. . . 58

4 Wyniki i i h interpreta ja 61 4.1 Absorp ja w hmurze atomowej . . . 61

4.1.1 Pomiar sªab¡ wi¡zk¡ . . . 63

4.1.2 Pomiar typu stroboskopowego . . . 63

4.2 Widma liniowego inieliniowego efektu Faradaya . . . 68

4.2.1 Pro edura rejestra ji sygnaªów. . . 68

4.2.2 Pro edura kompensa ji pola magnety znego . . . 70

4.2.3 Sygnaªy w kongura ji skrzy»owany h polaryzatorów . . . . 71

4.2.4 Kongura ja z wi¡zk¡ odbit¡ . . . 73

4.2.5 Sygnaªy w kongura ji zrównowa»onego polarymetru . . . . 75

4.2.6 Wpªyw mo y wi¡zki próbkuj¡ ej naszeroko±¢ sygnaªów NEF 78 4.2.7 Osza owanie szybko± i relaksa ji koheren ji zeemanowski h . 81 4.2.8 Ewolu ja zasowa sygnaªów . . . 83

(7)

4.3 Sygnaªy NEF zwi¡zk¡modulowan¡ amplitudowo (AMOR) . . . 92

4.4 Porównanie zsygnaªami w iepªy h atoma h . . . 98

5 Podsumowanie i perspektywy 103

A Obserwa ja wyª¡ zania pola magnety znego puªapki MOT 107

Bibliograa 111

(8)

(9)

W pierwszej kolejno± i h iaªbym podzikowa¢ prof. Woj ie howi Gawlikowi

zazainteresowaniemniezyk¡atomow¡,mo»liwo±¢pra ywGrupieOptyki

Kwan-towej i Nieliniowej oraz zawszelk¡okazan¡ wiedz ipomo .

Pragn zªo»y¢ sz zególne podzikowania dr. hab. Jerzemu Za horowskiemu

za niezli zone radyi nieo enion¡pomo . Bezni h prowadzenie tak

skomplikowa-nego eksperymentubyªoby bardzo i»kie.

Wa»ny wkªad w przeprowadzone w rama h tej rozprawy do±wiad zenia miaª

Eri Corsini, któremu h iaªbym w tym miejs u gor¡ o podzikowa¢. Dzikuj

tak»e Szymonowi Pustelnemu za wiele owo ny h dyskusji na temat nieliniowego

efektu Faradaya oraz KrystianowiSy zowi za enne sugestie i poprawki w

manu-skryp ie.

Za wspaniaª¡ atmosfer w laboratoriumi poza nimdzikuj tak»e Mar inowi

Boberowi,KrzysztofowiBrzozowskiemu, Mi haªowiGrab owi,Leszkowi

Krzemie-niowii wszystkimtym, który hniesposób tuwymieni¢,a którzysprawili,»e zas

moi hstudiówdoktoran ki h byª przyjemno± i¡.

Dzikuj tak»e Danusi Myrek za ierpliwo±¢ i pomo w zaªatwianiu wszelki h

formalno± i oraz Józefowi Fladzei StanisªawowiPaj e, za wszelk¡ pomo w

kwe-stia hte hni zny h. Dzikujtak»epozostaªympra ownikomikolegomzZakªadu

Fotoniki oraz Zakªadu Optyki Atomowej, za sz zególn¡ atmosfer.

Ogromnie dzikuj mojej »onie Joannie, która przez ten zas byªa dla mnie

opar iem i odsko zni¡ od trudów odzienno± i. Pragn podzikowa¢ tak»e

(10)

Pra a powstaªa przy wspóªudziale ±rodków po hodz¡ y h z projektu Do tus

Maªopolskifundusz stypendialny dladoktorantów wspóªnansowanego ze

±rod-kówUniiEuropejskiej wrama hEuropejskiegoFunduszuSpoªe znegoorazgrantu

(11)

Wprowadzenie

1.1 Efekty koheren yjne w iepªy h atoma h

Efekty koheren yjne w o±rodka hatomowy h s¡badane odkilkudziesi iulat

[1℄. Jednymi zpierwszy h pra byªy badanianad skrzy»owaniem poziomóww

ze-rowympolumagnety znymzwi¡zane zefektemHanlego[2,3℄. Wrazznadej± iem

epoki laserówrozwój tejdziedziny bada« istotnie przyspieszyª[4℄.

O±rodkiprzygotowane wstaniespójnymposiadaj¡bardzointeresuj¡ e

wªa± i-wo± i opty zne. Superpozy je poziomów atomowy h objawiaj¡ si w taki h

nie-liniowy h efekta h opty zny h, jak elektromagnety znie indukowana

przezro zy-sto±¢ [5℄,koherentne uwizienie popula ji [4℄, zyte» propaga ja impulsów

±wietl-ny hzekstremalnymiprdko± iami[6,7℄. Równo ze±niemaj¡one wa»ne

zastoso-wanie prakty zne, np. nieliniowyefektFaradayajestwykorzystywany w

magneto-metrii opty znej[8,9℄,którastanowiobe nie najbardziej zuª¡ metod pomiarów

pól magnety zny h [10℄. Magnetometryopty zne potra¡dokªadnie mierzy¢pola

magnety znenietylkobliskiezeru,le zdzikizastosowaniute hnikmodula yjny h

[11, 12℄, równie» pola w zakresie geozy znym, przy niewielkim spadku zuªo± i

[13℄.

(12)

tego typu, wsz zególno± ibardzoaktywnie badanyjest nieliniowyefekt Faradaya

(NEF) [14, 15, 16, 9℄.

1.2 Zimne atomy i efekty magneto-opty zne

Rozwojowite hniklaserowy htowarzyszyªoopra owanienowy hmetod

mani-pula ji atomami,w sz zególno± ipoprzez i±nienie±wiatªa [17℄. Mo»liwestaªo si

hªodzenie laserowe i puªapkowanie neutralny h atomów [18, 19, 20, 21℄, a tak»e

osi¡gni ie stanu degenera ji kwantowej bozonów - kondensatu Bosego Einsteina

[22, 23℄.

S hªodzone i spuªapkowane atomy stanowi¡ podstaw bardzo wielu

pre yzyj-ny hpomiarów. Nietylko pozwalaj¡na dªugie zasy obserwa jipróbki atomowej,

o zwiksza zuªo±¢ bardzo wielu pomiarów, ale równie» pozwalaj¡ na

obserwa- j efektówkolektywny h, nieraz niemo»liwy h dozaobserwowania wodmienny h

warunka h.

Doty h zasowe badania efektów magnetoopty zny h skupiaªy si wokóª kilku

kierunków. Pierwszym z ni h jest obserwa ja liniowego, naj z± iej

paramagne-ty znego, efektu Faradaya (LEF) [24℄ w zimny h próbka h atomowy h. Takie

do±wiad zenia wykonywano w puªapka h magnetoopty zny h (MOT) [25, 26, 27,

28, 29℄, w opty zny h puªapka h dipolowy h [30, 31℄, zy te» w obu ty h

kongu-ra ja h[32℄.

Innym rozwijaj¡ ym si trendem s¡ pomiary nienisz z¡ e stanu kwantowego

(tzw. pomiary quantum nondemolition lub ba k a tion evading) [33, 34℄,

powi¡-zane jedno ze±niez badaniemstanów± ie±niony h(ang. squeezed states)[35,36℄,

a tak»e badanie nieliniowy h oddziaªywa« atom-±wiatªoi sub-heisenbergowskiego

skalowania zuªo± i [37℄.

Ostatnim kierunkiem bada« magnetoopty zny h s¡ badania prowadzone

w kwantowo zdegenerowany h gaza h atomowy h. Przykªady pomiarów pól

(13)

bozonowym studiowano równie» efekty koheren yjne. Gªówne przykªady taki h

bada« to drasty zne spowalnianie ±wiatªa w o±rodku[40, 41℄,

elektromagnety z-nie indukowana przezro zysto±¢ [42℄, zy te» zaprezentowane w ostatni h lata h

prze howywanie informa jiwpami i kwantowej przezponad sekund [43℄.

1.3 Motywa ja i el naukowy rozprawy

Celem pra y jest zbadanie nieliniowy h efektów magnetoopty zny h w

zim-ny h,spuªapkowany h atoma hrubidu, wsz zególno± i obserwa ja ibadanie

nie-liniowego efektu Faradaya wpuªap e magnetoopty znej.

Nieliniowyefekt Faradaya jest zjawiskiem zsto wykorzystywanym w para h

atomowy h,gªównie zaspraw¡ jegou»yte zno± i wmagnetometrii. Obe no±¢

w¡-ski h spektralnie rezonansów pozwalana wykorzystanie tego efektu do pomiarów

pólmagnety zny hzpre yzj¡porównywaln¡domagnetometrówtypuSQUID[10℄.

Czynnikiemdeterminuj¡ ymszeroko±¢rezonansu,azatemi zuªo±¢ukªadunapole

magnety zne, jest zas »y ia koheren ji pomidzy stanami magnety znymi stanu

podstawowego. Wkomórka hzparamiatomowymi zastenjestograni zonyprzez

depolaryzuj¡ e zderzenia atomuze ± iankami komórki iinnymi atomami,dlatego

komórki takie pokrywa si warstwami antyrelaksa yjnymi, lub wypeªnia gazem

buforowym. W przypadkuzimny hatomów wpuªap e MOT ru h termi zny

ato-mów jest zna z¡ o spowolniony i z uwagi na mniejsz¡ gsto±¢ takiego o±rodka

zderzenia atomóws¡ zna znie rzadsze. Otwiera todrog do badanianieliniowego

efektuFaradayawzimny hatoma h, oopró z walorówpoznaw zy h zwi¡zany h

zinnymime hanizmamirelaksa ji,mo»emie¢równie»zna zenieprakty zne w

po-sta i zwikszenia zuªo± i magnetometru opartego na zimny hatoma h. Ponadto

mo»liwejestdalszerozszerzeniebada«nazimneatomywsie ia hopty zny horaz

wopty zny h puªapka h dipolowy h[44, 45℄, opozwoliªobynapomiarypól

(14)

(15)

Podstawy teorety zne

2.1 Wªa± iwo± i opty zne o±rodka materialnego

Do opisu wªa± iwo± i opty zny h o±rodka u»ywa si dwó h wielko± i:

wspóª- zynnikazaªamania (refrak ji) ±wiatªa

n

oraz wspóª zynnika absorp ji

κ

. Te dwa parametry de yduj¡ o kierunku propaga ji fali, jej osªabieniu zy te» fazie,

ja-kiej nabiera po przej± iu przez o±rodek. Co wa»ne, zale»¡ one od zstotliwo± i

padaj¡ ego ±wiatªa. Dla o±rodków gazowy h ta zale»no±¢ wykazuje rezonansowy

harakter w pobli»u zstotliwo± i przej±¢ atomowy h. Wspóª zynniki absorp ji

i zaªamania ±wiatªa nie s¡ od siebie niezale»ne, le z wi¡»e je ± i±le ze sob¡

rela- ja KramersaKroniga [46℄. Wygodnie jest zatem u»ywa¢ jednego, zespolonego

wspóª zynnika zaªamania wposta i

η = n + iκ,

(2.1)

którego z±¢ rze zywista odpowiada za dyspersj a z±¢ urojona za absorp j.

Ponadto,o±rodek mo»ewykazywa¢sianizotropi¡opty zn¡ iwtedy doopisujego

wªasno± i opty zny h konie zne jestu»y ie wielko± i tensorowy h.

Na skutek oddziaªywania pola elektry znego fali ±wietlnej w o±rodku

induko-wany jestwektor polaryza ji

~

(16)

gdzie

α

jest polaryzowalno± i¡ danego o±rodka (na ogóª tensorow¡), za±

E

~

jest wektorem nat»enia pola elektry znego. Wspóª zynnik zaªamania ±wiatªa mo»na

wyrazi¢ poprzez

η =

√

_{ǫµ ≈}

√

ǫ =

p

1 + 4πχ,

(2.3)

gdzie

ǫ

i

µ

ozna zaj¡ przenikalno±¢ elektry zn¡imagnety zn¡ o±rodka,

χ

ozna za podatno±¢ elektry zn¡ oraz skorzystano z faktu, »e

µ

jest bardzo bliskie jedno± i dla materiaªów niemagnety zny h. W rozrzedzony h gaza h atomowy h

podat-no±¢ elektry znajestbardzomaªa iuzasadnionejestu»y iepierwszy hdwó h

wy-razówrozwini iapowy»szego pierwiastkawszereg. Prowadzitodonastpuj¡ ego

wyra»eniana wspóª zynnik zaªamania

η ≈ 1 + 2πχ = 1 + 2πNα = 1 + 2πN

P

_E

(2.4)

gdzie

N

ozna zagsto±¢(kon entra j)atomówwprzestrzeniiskorzystanozfaktu, »e

χ = Nα

. W tym miejs u warto zauwa»y¢, »e zespolono±¢ wspóª zynnika zaªamania jestrównozna zna ztym, »e polaryza ja o±rodkamo»e by¢ przesunita

w faziewzgldem polaelektry znego falipadaj¡ ej.

Podsumowuj¡ , makroskopowa polaryza ja odpowiada sumie pojedyn zy h

momentów dipolowy h, za± o wªa± iwo± ia h opty zny h o±rodka de yduje i h

li zba wjednost e objto± i (gsto±¢).

2.2 Skr enie pªasz zyzny polaryza ji

Rozwa»myliniowospolaryzowan¡fal±wietln¡w hodz¡ ¡doo±rodkao

okre±lo-ny hwªa± iwo± ia hdyspersyjny hiabsorp yjny h,s hematy znie przedstawion¡

na rysunku 2.1. Obieraj¡ ukªad wspóªrzdny h tak, by o±

z

byªa wspóªliniowa z wektorem falowym

k

(kierunkiem propaga ji ±wiatªa), dowoln¡ liniow¡ polary-za j fali ±wietlnejmo»na rozªo»y¢naskªadowe wzdªu» osi

{x, y}

. Alternatywnie,

(17)

Rysunek 2.1: Ilustra ja rota ji Faradaya. Liniowo spolaryzowana fala o wektorze

pola elektry znego

E

~

x

, roz hodz¡ a si wzdªu» osi

z

, mo»e by¢ traktowana jako superpozy ja dwó h spójny h fal

E

±

o polaryza ja h koªowy h

σ

±

, symboli znie zazna zony hpóªokr¡gªymi zerwonymistrzaªkami. Naskutekdi hroizmui

dwój-ªomno± io±rodka,polaryza ja falipo przej± iuprzezo±rodek staje sipolaryza j¡

elipty zn¡. Elips polaryza ji opisuje k¡t skr enia

φ

oraz stopie« elipty zno± i

ξ = arctan(b/a)

mo»na wprowadzi¢ baz polaryza ji koªowy h

{+, −}

,tak¡ »e

ˆǫ

+

=

√

−1

2 (ˆǫ

x

+ iˆǫ

y

)

ˆǫ

−

=

1 √

2 (ˆǫ

x

− iˆǫ

y

) .

(2.5)

Transforma ja odwrotna ma wtedy posta¢

ˆǫ

x

=

1 √

2 (ˆǫ

−

− ˆǫ

+

)

ˆǫ

y

=

i

√

2 (ˆǫ

−

+ ˆǫ

+

) .

(2.6)

(18)

Pierwotna liniowa polaryza ja mo»e by¢ przedstawiona w bazie

{+, −}

jako zªo»enie (superpozy ja) dwó hfal opolaryza ja hkoªowy h lewoiprawo-skrtnej

(

σ

±

)maj¡ y hidenty zne amplitudyipewn¡ró»ni faz. Odpowiednidobórbazy

pozwalana zapisanie polaryza ji liniowej wzdªu» jednego zwersorówbazy

{x, y}

, np

ˆǫ

x

, b¡d¹ te» naustalenie ró»ni y fazpomidzydwiema skªadowymi koªowymi, np. równej 0. Je±li na skutek propaga ji ±wiatªa wzgldna faza obu polaryza ji

koªowy hzmieni siok¡t

θ

, bdzie toozna zaªoobró enie siliniowejpolaryza ji w pªasz zy¹nie

{x, y}

ok¡t

φ = θ/2

.

Przyjmijmy za rysunkiem 2.1, »e pierwotnie fala ±wietlna jest

spolaryzo-wana wzdªu»

x

. Wtedy pole elektry zne

E

~

in

mono hromaty znej fali w hodz¡ ej doo±rodka wpunk ie

z

wyra»a siwzorem

~

E

in

(t, z) = E

0 ˆǫ

x

cos(kz − ωt) =

E

0

2 ˆǫ

x

e

i(kz−ωt)

_{+ c.c.}

1 (2.7)

gdzie

E

0

,

k

i

ω

toodpowiednioamplituda,wektor falowy oraz zsto±¢ fali ±wietl-nej, za±

t

ozna za zas. Wyraz os yluj¡ y

e

−iωt

oraz miejs e obrania po z¡tku

osi

z

odpowiadaj¡ za faz fali ±wietlnej na wej± iu do o±rodka. W analizie stanu polaryza ji fali mo»na je zaniedba¢

~

E

in

(t, z) → ~

E

in

.

(2.8)

Mo»emy teraz rozªo»y¢ wektor pola elektry znego fali propaguj¡ ej si

w o±rodku nadwie skªadowe o polaryza ja h koªowy h

~

E

in

=

E

0

2 √

2 ˆǫ

−

e

ik

−

z

_{− ˆǫ}

+

e

ik

+

z

+ c.c.,

(2.9)

gdzie

k

±

= η

±

ω/c

ozna za zespolone li zby falowedla±wiatªa oodpowiedni h po-laryza ja hkoªowy h

σ

±

. Podstawiaj¡ jawniewyra»enianali zbyfalowei

wspóª- zynnikizaªamania,mo»nawyrazi¢poleelektry znepoprzej± iufaliprzezo±rodek

o dªugo± i

l

jako

~

E

out

=

E

0 √

2 (ˆǫ

−

e

ikl(n

−

_+iκ

−

₎

− ˆǫ

+

e

ikl(n

+

_+iκ

+

₎

).

(2.10) 1

(19)

W ogólno± i, powy»sze równanie odpowiada powstaniu na wyj± iu z o±rodka fali

o polaryza ji elipty znej (rys. 2.1), którejdªuga póªo± skierowana jest pod k¡tem

φ

do osi

x

, gdzie

φ

dane jest wzorem

φ =

kl

2 (n

+

− n

−

) =

ωl

2c

(n

+

− n

−

),

(2.11) za± stopie« elipty zno± i

ξ

(

tan ξ = b/a

, gdzie

b

to póªo± wielka, za±

a

to póªo± maªa elipsy) [47℄ dany jest poprzez

sin 2ξ =

e

−2klκ

−

− e

−2klκ

+

e

−2klκ

+

+ e

−2klκ

−

.

(2.12)

Rota ja zale»y wi tylko od wªasno± i dyspersyjny h o±rodka, za± za powstanie

elipty zno± i (di hroizmu)odpowiadaj¡wyª¡ znie wªasno± i absorp yjne.

Równanie (2.11) jest ogólne i opisuje k¡t skr enia pªasz zyzny polaryza ji

zarównodlaliniowego,jak inieliniowegoefektuFaradaya. Gªównaró»ni a

pomi-dzy tymi efektami tkwi w zale»no± ia h funk yjny h wspóª zynników zaªamania

obu polaryza ji koªowy h. W przypadku liniowego efektu wynikaj¡ one wprost

ze struktury poziomów energety zny h ukªadu, za± nieliniowe efekty s¡

nastp-stwem oddziaªywania zsilnym ±wiatªem, które modykujeparametryo±rodka.

2.3 Pomiar skr enia pªasz zyzny polaryza ji

Wpoprzednimpodrozdzialepokazanoz zegowynikazmianapolaryza ji

±wia-tªapod zasprzej± iaprzezo±rodekanizotropowy. Osobn¡irównie wa»n¡kwesti¡

jestsposóbwjakimo»nadokona¢pomiarutejzmianyweksperymen ie. Poniewa»

typowedetektorymierz¡nat»enie±wiatªa,konie znejestwprowadzenienadrodze

wi¡zki elementuanalizuj¡ ego polaryza j ±wiatªa.

Zaªó»my,»e wi¡zka±wiatªaopolaryza jidanej wzorem(2.10)padanaidealny,

nieabsorbuj¡ y polaryzator(zwany równie»analizatorem)ustawiony podk¡tem

θ

do osi

x

. Aby znale¹¢ warto±¢ pola elektry znego za polaryzatorem

E

pol

nale»y obli zy¢ rzut pola wej± iowego na kierunek polaryzatora

(20)

Nastpnym etapem jestpomiarnat»enia ±wiatªa

I

zaanalizatoremprzy pomo y detektora. Nat»enie

I = (cǫ

0 /2n) |E

pol

|

2

±wiatªa rejestrowanego przez detektor

wi¡»e siz parametramibadanego o±rodka poprzez równanie

I =

cǫ

0 2n

E

2

0

4 e

−2kl(κ

−

+κ

+

)

_e

2klκ

−

_{+ e}

2klκ

+

_{+ 2e}

kl(κ

−

+κ

+

)

_{cos (2β + 2φ))}

_,

(2.14) o popodstawieniu(2.11) oraz

I

0 = (cǫ

0 /2n) |E

0 |

2

daje

I =

I

0

4 [ e

−klκ

−

_{− e}

−klκ

+

2 |

{z

}

wyrazdi hroi zny

+ 4e

−kl(κ

−

+κ

+

)

cos

2 (β + φ)

|

{z

}

wyrazdwójªomny

],

(2.15)

gdzie wyró»niono dwa przy zynki dorejestrowanego sygnaªu.

Typoweustawieniapolaryzatorato:

β = π/2

, oodpowiadakongura ji skrzy-»owany h polaryzatorów,

β = π/4

dla zrównowa»onego polarymetru oraz

β = 0

. W pierwszym przypadku sygnaª jest propor jonalny do kwadratu k¡ta skr enia

pªasz zyzny polaryza ji

I

β=π/2

=

I

0

4 h

e

−klκ

−

_{− e}

−klκ

+

2 _{+ 4e}

−kl(κ

−

+κ

+

)

_sin

2 _(φ)

i

(2.16)

zdodatkowymtªem po hodz¡ ymod przy zynku di hroi znego. Wyraz

odpowia-daj¡ y za tªo znika, gdy

κ

−

= κ

+

, o jest typowe dlarezonansowego dostrojenia ±wiatªa. Ponadto,dlamaªy hgsto± io±rodkai maªy h k¡tów

φ

powy»sze równa-nieprzyjmuje posta¢

I

β=π/2

= I

0 φ

2 .

(2.17)

W kongura jizrównowa»onego polarymetru(

β = π/4

)zale»no±¢ sygnaªu wy-gl¡da nastpuj¡ o

I

β=π/2

=

I

0

4 e

−2klκ

−

_{+ e}

−2klκ

+

− 2 sin(2φ)e

−kl(κ

−

+κ

+

)

(2.18)

Dlarozrzedzony ho±rodkówatomowy habsorp jajestmaªaimo»naw

powy»-szym równaniu przybli»y¢ eksponenty jedno± i¡. Dodatkowo, w tej kongura ji

u»ywa si dwó h detektorów mierz¡ y h nat»enia wi¡zek o ortogonalny h

(21)

detektory jako

I

+45

◦

=

I

0

2 (1 − sin(2φ))

(2.19)

I

−45

◦

=

I

0

2 (1 + sin(2φ)),

(2.20)

o dlamaªy hk¡tów

φ

daje

I

+45

◦

=

I

0

2 (1 − 2φ)

(2.21)

I

−45

◦

=

I

0

2 (1 + 2φ).

(2.22)

Z powy»szy h równa« mo»na odwikªa¢ warto±¢ k¡tskr enia pªasz zyzny

polary-za ji jako

φ =

I

−45

◦

− I

+45

◦

2 (I

−45

◦

+ I

₊₄₅

◦

)

,

(2.23)

nale»y jednak pamita¢, »e powy»sze równanie ma zakres stosowalno± i

ograni- zony domaªy h k¡tów, zwi¡zany zpo zynionymi zaªo»eniami.

2.4 Rezonansowy efekt Faradaya

2.4.1 Struktura poziomów

J

g

= 0

,

J

e

= 1

Najprostszym ukªadem, w którym mo»na obserwowa¢ liniowy, rezonansowy

efekt Faradaya [48, 49℄ jest ukªad typu

V

, którego przykªadem mo»e by¢ atom dwupoziomowy z krtem (momentem pdu)

J

g

= 0

w stanie podstawowym oraz

J

e

= 1

w stanie wzbudzonym, s hematy znie przedstawiony na rysunku 2.2 (a).

Zuwagi nareguªy wyboru dlaprzej±¢ opty zny hdipolowy h [50℄absorp ja

±wia-tªa o polaryza ji koªowej

σ

+

mo»e powodowa¢ przej± ie do stanu

|m

′

_{= 1i}

(stanu

wzbudzonego o warto± i rzutu krtu na o±kwantyza ji

m

′

_{= 1}

),za± ±wiatªao

po-laryza ji

σ

−

dostanu

|m

′

_{= −1i}

.

Zgodnie zklasy zn¡ teori¡wspóª zynnik zaªamania±wiatªadlaatomu

(22)

a)

-

3 -

2 -

1

0

1

2

3 ∆

G

1 n

bL

Rysunek2.2: a)S hematpoziomówenergety zny hatomudwupoziomowegoz

kr-tem

J

g

= 0

w stanie podstawowym oraz

J

e

= 1

w stanie wzbudzonym w polu

B 6= 0

. (b) Krzywe wspóª zynników zaªamania ±wiatªa dla polaryza ji

σ

+

i

σ

−

bez pola(linie przerywane) iz polem magnety znym (linie i¡gªe).

[51℄:

n = 1 + A

(ω − ω

0 )

(ω − ω

0 )

2 + Γ

2 /4

,

(2.24) gdzie

A =

N ||d||

2¯

hǫ

0

ozna za amplitud,

||d||

ozna za warto±¢ momentu dipolowego,

ω

0

jest zstotliwo± i¡rezonansow¡,za±

Γ

toszeroko±¢ przej± ia(odwrotno±¢ zasu

»y iastanuwzbudzonego). Zaªo»enietoozna zawprakty e,»ezaniedbujemyru h

atomuoraz jego pozostaª¡struktur poziomówenergety zny h.

W obe no± i pola magnety znego podpoziomy zeemanowskie stanu górnego

zmieniaj¡ swoj¡ energi o

∆E

B

= m¯hω

L

= m¯hgµ

B

B,

(2.25)

gdzie

m

jestwarto± i¡rzutukrtu nao±kwantyza ji,

ω

L

ozna za zsto±¢ pre esji Larmora,

g

to zynnik Landégo, za±

B

ozna za warto±¢ induk ji pola magne-ty znego. Powoduje to zmian zstotliwo± i przej±¢ indukowany h przez ±wiatªo

o polaryza ja h

σ

±

odpowiednio na

ω

±

0 = ω

0 ± ω

L

, gdzie

ω

0

to zsto±¢ rezo-nansowa przy braku pola magnety znego. Zniesienie degenera ji zeemanowskiej

spowoduje zatem rozsuni ie krzywy h rezonansowy h wspóª zynnika zaªamania

(23)

-

3 -

2 -

1

0

1

2

3 ∆

G

0 n

+

-

n

-2 G

1 G

0.5 G

Ω

L

=

0.1 G

Rysunek 2.3: Ró»ni a wspóª zynników zaªamania ±wiatªa w funk ji odstrojenia

lasera dlaró»ny h warto± i zsto± i Larmora

ω

L

-

3 -

2 -

1

0

1

2

3 Ω

_L

G

0 n

+

-

n

-2 G

1 G

0.5 G

∆ =

0

Rysunek 2.4: Ró»ni a wspóª zynników zaªamania ±wiatªa w funk ji pola

(24)

Mo»na teraz obli zy¢ ró»ni wspóª zynników zaªamania dla obu polaryza ji,

któranapodstawie wzoru(2.11) odpowiada k¡towi skr eniapªasz zyzny

polary-za ji ±wiatªa

n

+

− n

−

=

AΓ

2 (δ − ω

L

)

(δ − ω

L

)

2 + Γ

2 /4

−

(δ + ω

L

)

(δ + ω

L

)

2 + Γ

2 /4

,

(2.26)

gdzie

δ = ω − ω

0

. Na kolejny h wykresa h przedstawiono dwie harakterysty zne zale»no± i k¡ta magnetorota ji. Rysunek (2.3) pokazuje zale»no±¢ k¡ta

magneto-rota ji ododstrojenia±wiatªa

δ

przy staªym polu magnety znym (staªej zsto± i Larmora

ω

L

). Rysunek 2.4pokazuje zale»no±¢odpolamagnety znegodla±wiatªa rezonansowegodlaró»ny hwarto± iodstrojenia

δ

. rodkowa z±¢wykresu2.4dla

δ = 0

przedstawiazale»no±¢zbli»on¡doliniowej, ojestbardzoprzydatnew

zasto-sowania hmagnetometry zny h. Liniowo±¢

n

+

−n

−

wfunk jipolamagnety znego

B

, zyliliniowo±¢

φ(B)

niemani wspólnegoznazwamiliniowy i nieliniowyefekt

Faradaya. Nazwa liniowyefektFaradayasymbolizujejedyniebrak zale»no± ik¡ta

magnetorota jiodnat»enia ±wiatªa, awi tzw. liniowezjawiskoopty zne.

Równieprost¡jak

V

jeststrukturatypu

Λ

. Poniewa»jednakzazwy zajjestona spotykanawukªada hz

J

g

= 1

i

J

e

= 0

,konie zne jestuwzgldnienie emisji spon-tani znejdowszystki hpodpoziomówstanu

|J

g

= 1i

,wtymstanu

|J

g

= 1, m = 0i

, który nieoddziaªuje ze ±wiatªem.

2.4.2 Bogatsze struktury atomowe

Rze zywiste ukªadyatomowemaj¡ zstostruktury poziomówenergety zny h

bardziejzªo»oneni»struktura

V

zaªo»onawpodrozdziale2.4.1. Itak,stan podsta-wowy

5

2 _S

1/2

atomów

85

Rbdzielisinadwastanynadsubtelneokrta h

F

g

= 2, 3

. W przeprowadzony h do±wiad zenia h badano rota j Faradaya dla ±wiatªa

do-strojonego do przej± ia

5

2 _S

1/2

, F

g

= 3 → 5

2 P

3/2

, F

e

= 4

[52℄, bd¡ ego jedno ze-±nie przej± iem, na którym pra uje puªapka MOT. Jest to przej± ie nadsubtelne

o najbardziej zªo»onej strukturze, na któr¡ skªada si

2F

g

+ 1 = 7

podpoziomów zeemanowski h w stanie podstawowym i

2F

e

+ 1 = 9

w stanie wzbudzonym.

(25)

Ko-nie zne jest zatem rozszerzenie przedstawionego w ze±niej sposobu opisu liniowej

rota ji Faradaya na taki, który umo»liwi uwzgldnienie wszystki h dozwolony h

skªadowy h zªo»ony h przej±¢ opty zny h. Równo ze±nie jest to tzw. przej± ie

ykli zne, wi w pierwszym przybli»eniu mo»na zaniedba¢ obe no±¢ stanu

nad-subtelnego

|F

g

= 2i

wopisie oddziaªywania ze ±wiatªem.

Efektywny wspóª zynnik zaªamania mo»na wyrazi¢ poprzez sumowanie

przy- zynków odró»ny h mo»liwy h przej±¢ atomowy h

n − 1 =

X

i

(n

(i)

_{− 1)Π}

i

=

X

i

A

i

Γ

i

2 δ

i

δ

2 i

+ Γ

2 i

Π

i

,

(2.27)

gdzieindeks

i

numerujekolejneprzej± iaatomowe,za±

Π

i

ozna zaznormalizowane (

P

i

Π

i

= 1

)prawdopodobie«stwoznalezieniaatomuwstaniepodstawowym przej-± ia

i

. Je»eli ograni zymy si do jednego przej± ia nadsubtelnego, w powy»szym wzorze mo»na przyj¡¢ równe szeroko± i linii

Γ

i

= Γ

, oraz wyrazi¢ amplitudy

A

i

poprzez warto±¢ momentudipolowego iwspóª zynniki Clebs ha-Gordana

n − 1 =

A

₂

1 Γ

X

i

C

_i

2 Π

i

δ

i

δ

2 i

+ Γ

2 ,

(2.28)

gdzie

C

i

ozna za wspóª zynnikClebs ha-Gordanaodpowiedniegoprzej± ia,za±

A

1

to nowaamplituda, w i¡» zale»naod li zby atomów.

Uwzgldnieniereguª wyboru dlaodpowiedni hpolaryza jipozwalajawnie

wy-razi¢ wspóª zynniki zaªamania jako

n

±

_{− 1 =}

A

2 Γ

2 |hJ

e

| |d| |J

g

i|

2 F

g

X

m=−F

g

(hF

e

, m ± 1|1, ±1, F

g

, mi)

2 Π

m

δ

±

m

δ

±2

m

+ Γ

2 ,

(2.29)

gdzie wyra»enie przed sum¡ ozna za zredukowany element ma ierzowy, pierwszy

element za sum¡ to kwadraty wspóª zynnika Clebs ha-Gordana, za±

δ

±

m

odna za odstrojenie±wiatªa odprzej± ia

|F

g

, mi → |F

e

, m ± 1i

,które wynosi

δ

±

_m

_{= ω − [ω}

0 + (m ± 1)g

e

µ

B

B − mg

g

µ

B

B] ,

(2.30)

gdzie

g

i

g

e

ozna zaj¡odpowiednio zynnikiLandégostanupodstawowego i wzbu-dzonego. Na wykresie 2.5przedstawionomodelow¡ krzyw¡liniowego efektu F

(26)

-

30 -

20 -

10

0

10

20

30 B @GD

0 n

+

-

n

--

13 MHz

-

6 MHz

∆ =

0

Rysunek 2.5: Ró»ni a wspóª zynników zaªamania ±wiatªa w funk ji pola

magne-ty znego dlaprzej± ia puªapkuj¡ ego w

85

Rb.

przej± ia ykli znego,dlakilkuodstroje«wi¡zkipróbkuj¡ ej. Jako± iowouzyskane

krzywe przypominaj¡ te z wykresu 2.4, niemniej dla du»y h odstroje« wido zne

s¡ przy zynki od przej±¢ zwi¡zany h z kolejnymi,rozsz zepionymi podpoziomami

zeemanowskimi. Przy zynki zwi¡zane z polaryza j¡ koªow¡ ±wiatªa

σ

+

zostaªy

zosobnapokazanenawykresie 2.6. Analogi znywykres dlapolaryza ji

σ

−

skªada

siz krzywy h symetry zny h wzgldem po z¡tku ukªadu wspóªrzdny h.

Typowo, dla gazów atomowy h w temperatura h pokojowy h (

∼ 300

K), umiesz zony h w sªaby h pola h magnety zny h (

<< 1

T), rozkªad popula ji jest równowagowy, tzn.

Π

m

= 1/F

g

. Sumowanie w równaniu (2.29) daje wtedy identy zne przy zynki dlaobu polaryza ji koªowy h, o wynikaz symetrii

wspóª- zynników Clebs ha-Gordana. Aby pojawiªo siskr enie pªasz zyzny polaryza ji

±wiatªa,zgodnie zrównaniem(2.11) konie zna jest obe no±¢polamagnety znego,

(27)

Rysunek 2.6: Krzywe wspóª zynnika zaªamania ±wiatªa

n

+

(B) − 1

dla ±wiatªa

o polaryza ji

σ

+

, odstrojonego o

−6

MHz, zwi¡zane z przej± iamiz ró»ny h pod-poziomówzeemanowski h w

85

Rb.

2.4.3 Paramagnety zny efekt Faradaya

W przypadku, gdyrozkªad popula jiniejestrównowagowy, mo»liwejest

poja-wienie si niezerowego skr enia pªasz zyzny polaryza ji nawet, gdy

B = 0

. Taki efektnazywasiparamagnety znymefektemFaradaya[33,30,32,31℄. W

sz zegól-no± i, o±rodki przepompowane opty znie do stanu roz i¡gnitego, ang. stret hed

state,tzn. takie, wktóry h aªapopula jaatomówznajdujesiwstanieo

maksy-malnym mo»liwym rzu ie krtu

|F, m = F i

, wykazuj¡ silne skr enie polaryza ji ±wiatªa, wynikaj¡ e z paramagnety znego efektuFaradaya.

(28)

2.4.4 Opis w formalizmie drugiej kwantyza ji

Szybkirozwójstosunkowomªodejdziedziny,jak¡jestinforma ja(informatyka)

kwantowa spowodowaª du»e zainteresowanie eksperymentami, w który h bada

si oddziaªywanie atomów z fotonami (odpowiednik komputerowego interfejsu).

Zuwaginasªabe sprz»eniepomidzypojedyn zym atomemi pojedyn zym

foto-nem, obierane s¡ dwie strategie. Pierwsza z ni h polega na wprowadzeniu atomu

do wnki rezonansowej, w której mo»liwe jest zna z¡ e zwikszenie sprz»enia

atom-±wiatªo. Druga, alternatywna, polega na traktowaniu ukªadu

wieloatomo-wego jako jeden sztu zny atom zpewnym efektywnym pseudospinem.

W takimopisie, opró z wypadkowego spinuatomowego, wprowadza si

kwan-towe operatory Stokesa dla±wiatªa

S

0 . . . S

3

. S¡one odpowiednikamiklasy zny h operatorów odpowiadaj¡ y h nat»eniom ±wiatªa [33, 53, 34, 37℄. Rota j F

a-radaya obli za si wów zas jako warto±¢ o zekiwan¡ odpowiedniego kwantowego

operatora. Zpunktuwidzenia niniejszej pra ywystar zaj¡ y jestjednakopis

póª-klasy zny, w którym ±wiatªotraktowane jest jako klasy zna falapªaska.

2.5 Nieliniowy efekt Faradaya

2.5.1 Opis poprzez ma ierz gsto± i

Rozpatrzmy najpierw struktur typu

Λ

, która pozwala na przeprowadzenie ra hunków wsposób stosunkowo prosty iªatwy dointerpreta ji, przy tym nie

po-woduj¡ y zbytniej straty ogólno± iponi»szy h rozwa»a«.

Deniujemy dla stanu zystego operator gsto± i ukªadu jako

ρ = |Ψ >< Ψ|

, gdzie

Ψ

ozna za funk j falow¡ opisuj¡ ¡ ukªad. Dla struktury typu

Λ

z

J

g

=

1

i

J

e

= 0

, przy ustalonej osi kwantyza ji równolegªej do pola magnety znego,

(29)

Rysunek 2.7: Najprostszastruktura poziomówenergety zny h (typu

Λ

), wktórej mo»na obserwowa¢ koheren je zeemanowskie wstanie podstawowym.

przyjmuje posta¢

ρ =







ρ

−−

ρ

−g

ρ

−+

ρ

−0

ρ

g−

ρ

gg

ρ

g+

ρ

g0

ρ

+−

ρ

+g

ρ

++

ρ

+0

ρ

0−

ρ

0g

ρ

0+

ρ

00 





,

(2.31)

gdzie wska¹niki

i, j ∈ {0, g, +, −}

odpowiadaj¡ ozna zeniom stanów na rysunku 2.7.

Oddziaªywanie atomuz polem fali ±wietlnej,która propagujewkierunku

rów-nolegªym dopolamagnety znego, mo»naopisa¢ wprzybli»eniu dipolowym

nast-puj¡ ¡ poprawk¡ dohamiltonianu:

H

′

_{= − ~}

_{D · ~}

E,

(2.32)

gdzie

E

~

ozna za wektor pola elektry znego fali ±wietlnej spolaryzowanej wzdªu» osi

X

, za±

D

~

jest operatorem momentu dipolowego, którego ma ierz w przyjtej powy»ej baziemaposta¢

D =







0

0 d

−0

0

0 d

+0

d

0−

0 d

0+

0 





.

(2.33)

(30)

Posta¢ ma ierzy momentu dipolowego zale»y zarówno od wyboru bazy, w której

opisujemy ukªad, jak i kierunku polaryza ji ±wiatªa. Tak¡ ma ierzzawsze e huj¡

pewne symetrie, które odpowiadaj¡ reguªom wyboru przej±¢ opty zny h

dipolo-wy h.

Ewolu j zasow¡ ma ierzy gsto± imo»na obli zy¢ korzystaj¡ z równania

˙ρ = −

_¯h

i

[H, ρ].

(2.34)

Wstawiaj¡ dopowy»szejformuªyposta¢hamiltonianu

H = H

0 +H

′

,otrzymujemy

˙ρ

nm

= −iω

nk

ρ

km

−

i

¯h

[H

′

nk

ρ

km

− ρ

nk

H

km

′

],

(2.35)

gdzie

ω

nm

jest ró»ni ¡ energii stanów

n

i

m

w jednostka h zsto± i, tzn.

ω

nm

=

(E

n

− E

m

)/¯h

, za± wska¹niki

n, m, k

przebiegaj¡ po wszystki h dostpny h

sta-na h. Dostajemy zatem ukªad sprz»ony h równa« ró»ni zkowy h, które

pozwa-laj¡ naobli zenie popula ji

ρ

nn

i koheren ji 2

ρ

nm

(n 6= m)

w atoma h

oddziaªuj¡- y h z polem elektry znym fali ±wietlnej.

Wprowadzonepowy»ejrównaniaru huniewystar zaj¡ jednakdoodtworzenia

obserwowany h pro esów, gdy» nie uwzgldniaj¡ wa»ny h pro esów

relaksa yj-ny h, jak ho¢by emisja spontani zna. W przypadku symulowania rze zywisty h

zjawiskpowy»szerównaniawymagaj¡wi pewnejmodyka ji. Fenomenologi zny

sposób takiejkorekty poleganadodaniudoprawej strony równo± i(2.35)

wyra»e-nia

Γ

ρ

odpowiadaj¡ ego za relaksa j ukªadu. Tak zmodykowane równanienosi nazw równania gªównego,ang. master equation

3

˙ρ = −

_¯h

i

[H, ρ] − Γ

ρ

,

(2.36)

a równaniaru hu przybieraj¡ wtedy form:

˙ρ

nm

= −iω

nk

ρ

km

−

i

¯h

[H

′

nk

ρ

km

− ρ

nk

H

km

′

] − γ

nk

ρ − ρ

(0)

km

,

(2.37) 2

koheren jamibd¡nazywanepozadiagonalneelementyma ierzygsto± i

3

(31)

gdzie

γ

nk

ozna zaj¡ szybko±¢ relaksa ji elementu

ρ

km

ma ierzy gsto± i do jego warto± i sta jonarnej

ρ

(0)

km

. Równania w takiej formie daj¡ na ogóª zadowalaj¡ y opis oddziaªywania atom-pole ±wietlne, gdy w miejs u

γ

nk

uwzgldni si odpo-wiednie zasy relaksa ji. Wa»n¡konsekwen j¡ wª¡ zenia pro esów relaksa yjny h

doopisuukªadujestzmianadynamikinaniekoherentn¡ (nieunitarn¡)ipojawienie

sistanówmieszany hukªadu. Wogólno± i,pro esyrelaksa yjnemo»naopisywa¢

równaniem Lindblada. Jest to najbardziej ogólna posta¢ równania jednorodnego

w zasie i markowowskiego, która mo»e by¢ u»yta do opisu nieunitarnej

ewolu- ji ukªadu przy jedno zesnym za howaniu ±ladu ma ierzy gsto± i i jej dodatniej

okre±lono± i.

Oddziaªywanie ze sªabym polem magnety znym, mo»na opisa¢ w niniejszym

formalizmiepoprzezhamiltonian

H

′′

_{= −~µ · ~}

B,

(2.38)

gdzie

~µ

ozna za moment magnety zny, za±

B

~

ozna za wektor induk ji pola ma-gnety znego. Dla polamagnety znego skierowanegowzdªu» osikwantyza ji

z

ha-miltonianten przybiera posta¢

H

′′

_{= −m}

J

g

J

µ

B

z

,

(2.39)

gdzie

m

J

ozna za warto±¢ rzutu momentupdu nao±

z

,

g

J

ozna za zynnik Lan-dégo stanu

|Ji

, za±

µ

B

ozna za magneton Bohra. Oddziaªywanie z takim polem magnety znymmo»nazatemsprowadzi¢dopoprawekdoenergiipoziomów

zeema-nowski h i wª¡ zy¢do hamiltonianu

H

0

.

Rozwi¡zanie ukªadu równa« (2.37) dla pola elektry znego zadanego

równa-niem (2.7) jest niemo»liwe w sposób ± isªy. Mo»na natomiast zastosowa¢ tzw.

przybli»enie faliwiruj¡ ej(rotating waveapproximation),wktórymprze hodzimy

do ukªadu wspóªrzdny h wiruj¡ egoz zsto± i¡

ω

izaniedbujemy szybkie os y-la je pola elektry znego

4

. Poniewa» koheren je opty zne dla±wiatªa bliskiego

re-4

jesttorównozna znezzaªo»eniemzespolonejposta ipolaelektry znego

E = Eˆ

~

ǫ

x

e

(32)

zonansu (

ω ≈ ω

0

) os yluj¡ na zsto± i ±wiatªa, naturalnym krokiem jest wy i¡-gni ie i hwolno zmiennejobwiedni

σ

ρ

ij

= σ

ij

e

−iωt

, i 6= j

(2.40)

i zaniedbanie szybkozmienny h wyrazów

∝ e

±2iωt

. Otrzymujemy wtedy ukªad

równa«

˙ρ

−−

= −iΩ (σ

−0

− σ

0−

) − γ(ρ

−−

− 1/3)

˙ρ

++

= −iΩ (σ

+0

− σ

0+

) − γ(ρ

++

− 1/3)

˙ρ

00 = iΩ (σ

−0

+ σ

+0

− σ

0−

− σ

0+

) − Γρ

00 ˙σ

0−

= −iΩ (ρ

00 − ρ

−−

− ρ

+−

) − iA

−

σ

0−

˙σ

0+

= −iΩ (ρ

00 − ρ

++

− ρ

−+

) − iA

+

σ

0+

˙ρ

−+

= −iΩ (σ

−0

− σ

0+

) + i(2ω

L

+ iγ)ρ

−+

,

(2.41)

gdzie

Ω = Ed/¯h

ozna za zsto±¢ Rabiego, za±

A

±

= ∆ω ∓ ω

L

− iΓ/2

. Mo»na nastpnie zaªo»y¢ osi¡ganie stanu sta jonarnego przez ukªad, tzn. poªo»y¢ lew¡

stronrówn¡0. Odpowiadatosytua ji,wktórejukªaddoszedªdostanurównowagi

po wª¡ zeniu oddziaªywania z polem ±wietlnym.

Powy»szy ukªad równa« jest ukªadem równa« sprz»ony h ze sob¡ i mo»na

go rozwi¡za¢ metod¡ perturba yjn¡ lub metodami numery znymi. Rozwini ie

perturba yjne jest opisane w dalszej z± i tej pra y, ale jego stosowalno±¢ jest

ograni zonadooddziaªywaniazniezbytsiln¡i/lubodstrojon¡odrezonansuwi¡zk¡

±wiatªa. W prze iwnym razie konie zne staje si uwzgldnianie poprawek oraz

wy»szy h rzdów.

2.5.2 Perturba yjny opis opty zny h zjawisk nieliniowy h

Opty zne zjawiska nieliniowe za zynaj¡ odgrywa¢ rol, gdy ±wiatªo

oddziaªu-j¡ ezo±rodkiemjestnatylesilne,i»modykujejegowªas iwo± i opty zne.

(33)

pola elektry znego fali ±wietlnej. Rozpiszemy zatemma ierz gsto± iw podej± iu perturba yjnym jako

ρ =

∞

X

j=0

ρ

(j)

(E

j

_),

(2.42)

przy zymma ierzgsto± iwposz zególny hrzda hjestpowi¡zanapoprzez

rów-nanie rekuren yjne:

˙ρ

(j)

_nm

_{= − (iω}

nk

+ γ

nk

) ρ

(j)

km

−

i

¯h

[H

′

nk

ρ

(j−1)

km

− ρ

(j−1)

nk

H

′

km

] − Γρ

(j)

nm

.

(2.43)

Znajomo±¢ ma ierzy gsto± i w posz zególny h rzda h pozwala na obli zenie

warto± i ±redniej momentu dipolowego, zyli makroskopowej polaryza ji o±rodka

poprzez rela j:

P = T r(ρD).

(2.44)

Z drugiej strony nieliniowapolaryza ja o±rodka dana jest zale»no± i¡:

P = χE + χ

(2)

E

2 + χ

(3)

E

3 + . . . ,

(2.45)

gdzie

χ

(j)

ozna za polaryzowalno±¢ (podatno±¢ dielektry zn¡) j-tegorzdu.

Przy-równuj¡ równanie (2.45) z równaniem (2.42) mo»na wyrazi¢ warto± i kolejny h

rzdów podatno± i dielektry znej poprzez odpowiednie zªony rozwini ia

ma ie-rzy gsto± i (2.44).

W przypadkuo±rodków entrosymetry zny h, jaknp. paryatomowe,symetria

ukªadu powoduje, »e zeruj¡ si wyra»enia stoj¡ e przy parzysty h potga h

am-plitudy polaelektry znego

E

,zatem powy»sze równaniemo»nasprowadzi¢do po-sta i:

P = ˜

_{χ(I) · E,}

(2.46)

gdzienieliniowapodatno±¢dielektry zna

χ

˜

zwi¡zanajestznat»eniempadaj¡ ego ±wiatªa wzorem:

˜

χ = χ + χ

3 (2n/cǫ

0 )I + χ

5 (2n/cǫ

0 )

2 I

2 + . . .

(2.47)

Istnienie wyrazów nieliniowy h podatno± i implikuje nieliniowo±¢ wspóª zynnika

(34)

i powoduj¡ powstanie szeregu interesuj¡ y h efektów, m.in. nieliniowego efektu

Faradaya, nieliniowej uores en ji, EIT, zynieliniowego efektuHanlego.

2.5.3 Obli zenia NEF dla struktury

Λ

Popodstawieniurównania(2.42)doukªadu równa«(2.41)iprzyrównaniu

wy-ra»e« stoj¡ y h przy odpowiedni hpotga hpolaelektry znego otrzymujemy

na-stpuj¡ y ukªad równa«

ρ

(n)

₋₋

=

1

3 − i

Ω

γ

σ

(n−1)

₋₀

_{− σ}

₀₋

(n−1)

ρ

(n)

++

=

1

3 − i

Ω

γ

σ

(n−1)

+0

− σ

(n−1)

0+

ρ

(n)

₀₀

= i

Ω

Γ

σ

₋₀

(n−1)

+ σ

₊₀

(n−1)

_{− σ}

₀₋

(n−1)

_{− σ}

₀₊

(n−1)

σ

(n)

₀₋

_{= −}

Ω

A

−

ρ

(n−1)

₀₀

_{− ρ}

(n−1)

₋₋

_{− ρ}

(n−1)

₊₋

σ

(n)

₀₊

_{= −}

Ω

A

+

ρ

(n−1)

₀₀

_{− ρ}

(n−1)

++

− ρ

(n−1)

−+

ρ

(n)

−+

=

Ω

2ω

L

+ iγ

σ

(n−1)

−0

− σ

(n−1)

0+

,

(2.48)

który wi¡»e rozwi¡zania w

n

-tym rzdzie rozwini ia perturba yjnego z rozwi¡-zaniami z

(n − 1)

-szego rzdu. Zakªadaj¡ w hwili po z¡tkowej równowagowy rozkªad

ρ

−−

= ρ

gg

= ρ

++

= 1/3

przy brakujaki hkolwiek koheren ji, mo»naju»ªatwoobli zy¢ wszystkieelementy

ma ierzygsto± iwwy»szy hrzda hrozwini ia. Zestawienieelementówz

pierw-szy h ztere h rzdów zostaªoprzedstawione w tabeli2.1[9℄.

W zerowym rzdzie zaburzenia mamy do zynienia jedynie z równowagowym

obsadzeniem poziomów zeemanowski h. Ukªad pozostaje w równowadze i niema

»adny h koheren ji, aniopty zny h, ani zeemanowski h.

Wª¡ zenie sªabego polaelektry znego fali ±wietlnej powoduje powstanie

(35)

wªa-P o dsta wy teoret y zne 0

ρ

(0)

++

= ρ

(0)

−−

= ρ

(0)

gg

=

1 ₃

Równowagowyrozkªad popula ji

1

σ

(1)

0±

=

3A

Ω

±

Liniowa absorp ja, LEF

ρ

(0)

±±

+ ρ

(2)

±±

=

1 ₃

h

1 −

iΩ

γ

2

1 A

∗

±

−

1 A

±

i

Fluores en ja 2

ρ

(2)

00 =

iΩ

2 3Γ

1 A

∗

−

1 A

−

+

1 A

∗

+

−

1 A

+

Efekty skrzy»owany h poziomów

ρ

(2)

−+

=

Ω

2 3(2ω

L

+iγ)

1 A

∗

−

1 A

+

(np. efekt Hanlego) 3

σ

(1)

0±

+ σ

(3)

0±

=

3A

Ω

±

h

1 −

iΩ

2 γ

1 A

∗

±

−

1 A

±

−

iΩ

2 Γ

1 A

∗

−

+

1 A

∗

+

−

1 A

−

1 A

+

Nieliniowa absorp ja, NEF

+

Ω

2 2ω

L

+iγ

1 A

∗

∓

−

1 A

±

i

spowolnienie ±wiatªa,EIT, CPT

Tabli a2.1: Zestawienieelementówma ierzygsto± iwpierwszy htrze hrzda hrozwini iaperturba yjnegow

Ω

.

(36)

sno± i opty zne o±rodka, do który h nale»¡ liniowa absorp ja, liniowa dyspersja,

zy te» liniowy efektFaradaya.

W drugim rzdzie zaburzenia pojawiaj¡ si wyrazy propor jonalne do

Ω

2

.

Mo»najeinterpretowa¢jakotezwi¡zanezabsorp j¡pojedyn zegofotonu. Opró z

zjawisk typu uores en ja, pojawia si równie» wyra»enie na koheren j

zeema-nowsk¡

ρ

−+

. Jej obe no±¢mo»nawykrywa¢ metodamiopty znymi wnieliniowym efek ieFaradaya.

Najbardziejinteresuj¡ e zpunktuwidzeniatejpra ys¡wyrazy pojawiaj¡ esi

po raz pierwszy w trze im rzdzie, propor jonalnedo

Ω

3

. Dodatkowe wyra»enia,

którepojawiaj¡sijakopoprawkidokoheren jiopty zny h

σ

0±

sprawiaj¡,»e o±ro-dekprzestajeby¢liniowy. Zpunktuwidzeniatejpra y,najwa»niejszajestostatnia

poprawka,propor jonalnado

Ω

3 _/(2ω

L

+ iγ)

. Wfunk ji zsto± i Larmoramaona harakter rezonansowy, o szeroko± i

γ

, zwi¡zanejz zasem »y ia(albo szybko± i¡ relaksa ji) stanupodstawowego. Dla dªugi h zasów relaksa ji i w maªy h pola h

magnety zny h (

ω

L

, γ << Γ

) przejawia si ona w posta i zale»nego od nat»enia skr enia pªasz zyzny polaryza ji ±wiatªa.

Aby zobrazowa¢ wpªyw nieliniowy h zªonów w wyra»enia h na koheren je

opty zne, mo»na powi¡za¢ te elementy ma ierzy gsto± i z wªasno± iami

opty z-nymi o±rodka. Wspóª zynnik zaªamania ±wiatªa, zgodnie ze wzorem (2.4) mo»na

wyrazi¢ przez

η = 1 + 2πN

P

E

= 1 + 2πN

Tr

(ρD)

E

.

(2.49)

Po wstawieniuwyra»enia nama ierz gsto± ii obli zeniu ±ladu dostajemy

n

±

− 1 =

2π

E

Re

(d

∓0

ρ

∓0

).

(2.50)

Ró»ni a wspóª zynników zaªamania dla obu polaryza ji koªowy h przybiera za±

posta¢

n

+

− n

−

=

2πd

E

Re

(ρ

−0

− ρ

+0

).

(2.51) Maj¡ danerozwi¡zanianaelementyma ierzygsto± iwpierwszy htrze h

(37)

magnetoro-ta ji. Na wykresie 2.8przedstawiono modelow¡krzyw¡ rota jiwfunk ji zsto± i

Larmora

ω

L

, przy zaªo»eniu, »e szybko±¢ relaksa ji

γ

jest równa 1/1000 szero-ko± i naturalnej

Γ

przej± ia. rodkowy, w¡ski rezonans odpowiada nieliniowemu efektowi Faradaya i maszeroko±¢

γ

. Szeroka struktura jest zwi¡zana z liniowym efektemFaradayaiodpowiadaszeroko± inaturalnejprzej± ia. Obe no±¢struktury

NEFmaj¡ ejszeroko±¢ zna zniemniejsz¡ odszeroko± i naturalnejprzej± ia

ozna- za, »e jest ona zwi¡zana z przej± iamipomidzy poziomami, które maj¡ dªu»szy

zas »y ia ani»eli stan wzbudzony. Mo»na je interpretowa¢ jako przej± ia

rama-nowskie pomidzy poziomamizeemanowskimi.

2.5.4 NEF w bogatszy h struktura h poziomów

Doty h zasowy opisNEFwstrukturzetypu

Λ

jestogólnyimo»ezosta¢ rozsze-rzonynastrukturyodowolny h,wikszy hwarto± ia hkrtu. Zwikszasiwtedy

stopie« skomplikowania otrzymywany h równa«, niemniej me hanizmy zy zne

pozostaj¡podobne. Uogólnionewyra»enie nawspóª zynnik zaªamania±wiatªadla

odpowiedniejpolaryza ji koªowej przyjmuje posta¢

n

±

− 1 ∝

X

ij

Re

(d

ij

ρ

ji

),

(2.52)

gdzie indeksy

j, k

przebiegaj¡ odpowiednio po wszystki h stana h podstawowy h i wzbudzony h, za±

d

ij

ozna za warto±¢ momentu dipolowego pomidzy stanami

|ii

i

|ji

. Zewzgldu nareguªywyboru wikszo±¢elementów

d

ij

przyjmujewarto±¢

zero a sumowanie efektywnie przebiegapodozwolony h przej± ia h opty zny h.

Koheren je opty zne mo»na wyrazi¢ poprzez koheren je zeemanowskie w

na-stpuj¡ ej formie

ρ

±

ij

∝

X

k

Ω

±

ik

ρ

kl

− ρ

ik

Ω

±

kl

,

(2.53)

przy zym jest to przybli»enie wynikaj¡ e z równa« (2.48), poprawne jedynie

(38)

-

1 -

0.5

0

0.5

1 Ω

L

G

0 Φ

-

0.02 -

0.01

0

0.01

0.02 Ω

L

G

0 Φ

Rysunek 2.8: Symula jaksztaªtusygnaªu rota ji Faradayadlaustalonego

nat»e-nia±wiatªaw szerokim(górny wykres) i w¡skim(dolny wykres) zakresie zsto± i

(39)

Jednym z pojawiaj¡ y h si nowy h efektów przy zwikszaniu nat»enia fali

±wietlnej jest tworzenie si koheren ji zeemanowski h pomidzy stanami z

∆

m

=

4, 6, . . .

, a» do rozpity h pomidzy stanami o magnety znej li zbie kwantowej

m = ±F

. Takiepro esy pojawiaj¡ si w oraz wy»szy h rzda h ra hunku

zabu-rze«, a zatem mo»na je powi¡za¢ z pro esami wielofotonowymi. Przekonuj¡ ym

argumentem za takim stwierdzeniem s¡ do±wiad zalne zale»no± i amplitud

kohe-ren jiodnat»enia±wiatªa,np. opisanewpra y[54,55℄. Wzakresienajmniejszy h

zaburze«,koheren je z

∆

m

= 2

maj¡amplitudypropor jonalnedonat»enia ±wia-tªa

I ∝ Ω

2

, koheren je z

∆

m

= 4

do

I

2

, za± koheren je z

∆

m

= 6

do

I

3

(pro es trójfotonowy).

Innym interesuj¡ ym efektem jest przekaz koheren ji poprzez emisj

sponta-ni zn¡. Je»eli w stanie wzbudzonym istnieje niezerowa koheren ja zeemanowska,

to mo»liwe jest jej przeniesienie do stanu podstawowego w trak ie deeks yta ji.

W opisywanym w ze±niej ukªadzie

Λ

pro es ten nie jest mo»liwy, ze wzgldu na brak struktury stanu wzbudzonego. Uwzgldnienie taki h pro esów w

opi-sieteorety znym wymagazmodykowania równa«odpowiedzialny hzarelaksa j

ukªadu i wykra za poza zaªo»enia niniejszej pra y.

2.6 Nieliniowy efekt Faradaya z wi¡zk¡

modulo-wan¡

Koheren je zeemanowskie kreowane przez ±wiatªo metod¡ opisan¡w rozdziale

2.5.1 s¡ nisz zone, gdy o±rodek zostanie umiesz zony w du»ym polu

magnety z-nym, tzn. kiedy zsto±¢ pre esji Larmorazna z¡ o przewy»sza szybko±¢

relaksa- ji w ukªadzie,

ω

L

>> γ

. Konsekwen j¡ tego jestmo»liwo±¢ obserwa ji rezonansu wokóª

B = 0

mimo,i» jego entrum wypada w miejs u gdzie niema pola magne-ty znego,podobniejak wpra y [56℄.

Na po z¡tku lat 60-ty h ubiegªego wieku zaobserwowano pojawienie si

(40)

zsto-± i¡ blisk¡ zsto± i pre esji [57℄. Zjawisko to mo»nainterpretowa¢w harakterze

podwójnego rezonansu [58℄ mimo, i» jest efektem zysto opty znym. Kilka lat

pó¹niej, wpra y [59℄ opisano zwi¡zek modula ji polaryza ji ±wiatªa emitowanego

we uores en ji z pre esj¡ wpolu magnety znym.

Popularyza jairozwój laserównapdzaªyszybkirozwój magnetometrów

pom-powany h opty znie [60℄. Zaobserwowanie bardzo w¡ski h rezonansów NEF

(

∼ 1

Hz) [61℄ zwikszyªo zainteresowanie u»y iem NEF do pre yzyjny h pomia-rów pól magnety zny h. Dwa latapó¹niej wprowadzono do ty h pomiarów

te h-nik modula ji zstotliwo± iowej wi¡zki ±wiatªa [11, 62℄, nazywaj¡ aª¡ metod

frequen y-modulatednolinear magneto-opti alrotation (FM NMOR).Analogi zna

metoda amplitude-modulated nonlinear magneto-opti al roation (AMOR), która

wykorzystuje modula j amplitudow¡, zostaªa wprowadzona i opisana w pra y

[12℄. W dalszej z± i tej pra y zostaªy opisane jejpodstawy teorety zne.

2.6.1 Modula ja amplitudowa

Ch ¡ opisa¢ oddziaªywanie ze ±wiatªem zmodulowanym amplitudowo

na-le»y zmodykowa¢ w równaniu (2.32) wyra»enie na posta¢ pola elektry znego.

Dlauprosz zenia ra hunkówmo»nazaªo»y¢sinusoidaln¡posta¢ modula ji,

ampli-tudy polaelektry znego. Wtedy wektor pola elektry znego wyra»a sipoprzez

~

E = E

0 (ˆǫ

−

− ˆǫ

+

)e

−iωt

[1 + cos(ω

m

t)] ,

(2.54)

gdzie zaªo»ono peªn¡ modula j amplitudy z zsto± i¡

ω

m

. Powy»sze równanie mo»na te» zapisa¢w posta i odpowiadaj¡ ejprzybli»eniu fali wiruj¡ ej

~

E = E

0 (ˆǫ

−

− ˆǫ

+

)

e

−iωt

₊

1

2 e

−i(ω+ω

m

t)

₊

1

2 e

−i(ω−ω

m

t)

,

(2.55)

którajestwygodnapod zasrozwi¡zywaniaukªadurówna«ró»ni zkowy h. Opró z

os yla ji pola elektry znego na zsto± i no±nej

ω

, w powy»szym równaniu wi-do zne s¡ równie»os yla je polao zsto± ia h

ω ± ω

m

,tzw. pasma bo zne.

(41)

Nale»y teraz rozwi¡za¢ równanie master z posta i¡ pola elektry znego dan¡

równaniem (2.54), przy zym nie mo»na ju» skorzysta¢ z przybli»enia stanu

sta- jonarnego. Skute znametodarozwi¡zaniaotrzymanegoukªadurówna«polegana

rozkªadzie ma ierzy gsto± i na skªadowe fourierowskie, tzn. zapisaniu jej w

po-sta i szeregu

ρ =

∞

X

j=−∞

ρ

[j]

e

ijω

m

t

_,

(2.56)

gdzie indeks

j

numeruje harmoni zne zsto± i modula ji. Zgrupowanie wyrazów os yluj¡ y h na ty h samy h harmoni zny h zsto± i modula ji pozwala

otrzy-ma¢, analogi znie do rozwini ia perturba yjnego (2.48), ukªad samosprz»ony h

równa« dla ka»dej z ni h. Równania na posz zególne elementy ma ierzy gsto± i

przyjmuj¡ wtedy posta¢ [9℄

ρ

[j]

−−

=

1

3 δ

0,j

− i

Ω

_γ

σ

₋₀

[j]

_{− σ}

₀₋

[j]

+

1

2 σ

[j−1]

₋₀

_{− σ}

₀₋

[j−1]

+ σ

₋₀

[j+1]

_{− σ}

[j+1]

₀₋

ρ

[j]

++

=

1

3 δ

0,j

− i

Ω

_γ

σ

₊₀

[j]

_{− σ}

₀₊

[j]

+

1

2 σ

[j−1]

₊₀

_{− σ}

₀₊

[j−1]

+ σ

₊₀

[j+1]

_{− σ}

[j+1]

₀₊

ρ

[j]

₀₀

= i

Ω

Γ

σ

₋₀

[j]

+ σ

[j]

₊₀

_{− σ}

₀₋

[j]

_{− σ}

₀₊

[j]

+

1

2 σ

₋₀

[j−1]

+ σ

₊₀

[j−1]

_{− σ}

[j−1]

₀₋

_{− σ}

₀₊

[j−1]

+ σ

₋₀

[j+1]

+ σ

₊₀

[j+1]

_{− σ}

₀₋

[j+1]

_{− σ}

₀₊

[j+1]

i

σ

[j]

₀₋

=

−Ω

A

−

ρ

[j]

₀₀

_{− ρ}

[j]

−−

− ρ

[j]

+−

+

1

2 ρ

[j−1]

₀₀

_{− ρ}

[j−1]

−−

− ρ

[j−1]

+−

+ ρ

[j+1]

00 − ρ

[j+1]

−−

− ρ

[j+1]

+−

σ

[j]

₀₊

=

−Ω

A

+

ρ

[j]

₀₀

_{− ρ}

[j]

++

− ρ

[j]

−+

+

1

2 ρ

[j−1]

₀₀

_{− ρ}

[j−1]

++

− ρ

[j−1]

−+

+ ρ

[j+1]

00 − ρ

[j+1]

++

− ρ

[j+1]

−+

ρ

[j]

−+

=

Ω

2ω

L

+ iγ

σ

₋₀

[j]

_{− σ}

₀₊

[j]

+

1

2 σ

[j−1]

₋₀

_{− σ}

₀₊

[j−1]

+ σ

₋₀

[j+1]

_{− σ}

[j+1]

₀₊

,

(2.57) gdzie symbol

δ

0,j

ozna za delt Krone kera.

Rozwi¡zanie niesko« zonego szeregu ukªadów równa« (2.57) jest mo»liwe

ze wzgldu na ograni zone sprz»enie pomidzy kolejnymi rzdami. W prakty e,

wystar zaj¡ ejestuwzgldnienietylkokilkupierwszy hrzdówwszereguFouriera

i poªo»enie

ρ

[j]

_{= 0}

(42)

Maj¡ rozwi¡zanianama ierzgsto± imo»naju» obli zy¢warto±¢

magnetoro-ta jiposªuguj¡ si równaniem (2.49) irozwini iem (2.56) jako

η

±

= 1 + 2πN

T r(

P

∞

_j=−∞

ρ

[j]

_e

ijω

m

t

D

±

)

E(t)

(2.58)

Poniewa» warto±¢ k¡ta os yluje w zasie, wygodnie jest obli zy¢ skªadowe

pro-por jonalnedo sinusa i kosinusa ka»dej harmoni znej zsto± i modula ji (w fazie

i przesunit¡ o

90 ◦

)

η

(jω

m

)

±,sin

− 1 =

Z

2π/jω

m

0 (η

±

− 1) sin(jω

m

t)dt

(2.59)

η

(jω

m

)

±,cos

− 1 =

Z

2π/jω

m

0 (η

±

− 1) cos(jω

m

t)dt.

(2.60)

Dla ka»dej zstotliwo± i demodula ji

ω

dm

= jω

m

mo»liwa jest niezale»na obser-wa ja sygnaªu zu»y iem wzma nia za fazo zuªego.

Rysunek 2.9przedstawia modelow¡krzyw¡obrazuj¡ ¡k¡trota jidla zsto± i

modula ji

ω

m

= ω

dm

= Γ/5

. W miejs u gdzie speªniony jest warunek

ω

mod

= ±2ω

L

(2.61)

pojawiaj¡ si dodatkowe rezonanse, które nazywa si rezonansami

wysokopolo-wymi, dla odró»nienia od rezonansu w zerowym polu magnety znym. W

typo-wy h eksperymenta h modula yjny h zwykorzystaniem pompowania opty znego

koªowospolaryzowan¡ wi¡zk¡ wpowy»szej rela jiniema zynnika2. Jego

poja-wieniesimo»nawytªuma zy¢ faktem,i»os yluj¡ epoleelektry znenieindukuje