Wektory bez ukªadu wspóªrz¦dnych A. Mróz 1. Rozwa»my dwa wektory
a = * b =
Wyznacz nast¦puj¡ce wektory: (a) a + b (b) b + a (c) a − b (d) 2b − 3a
2. Sprawd¹ na przykªadzie, »e dodawanie wektorów jest ª¡czne.
3. Dany jest prostok¡t ABCD. Wektor AB jest równy 3p, za± AD jest równy 4q. Wyznacz wektory AM, AN oraz MN w zale»no±ci od wektorów p i q, wiedz¡c, »e M i N s¡ odpowiednio ±rodkami boków CD i BC.
4. Wektory AC = a i BD = b s¡ przek¡tnymi równolegªoboku ABCD. Wyra¹ boki tego równolegªoboku za pomoc¡ wektorów a, b.
5. Wektory a, b i c s¡ bokami trójk¡ta. Wyra¹ ±rodkowe tego trójk¡ta za pomoc¡ wektorów a, b i c.
6. Wyka», »e ze ±rodkowych trójk¡ta mo»na zbudowa¢ trójk¡t.
7. Wektory AB = a i AF = b s¡ s¡siednimi bokami sze±ciok¡ta foremnego ABCDEF . Wyra¹ wektory AC, AD, AE, BC oraz BD za pomoc¡ wektorów a i b.
8. W równolegªoboku ABCD punkty P i Q s¡ ±rodkami boków AB i AD. Wyznaczy¢ wektory AD i AB w zale»no±ci od wektorów CP = p i CQ = q.
9. W trapezie ABCD dane s¡: AB = a, AD = b, AC = c, przy czym AB||CD i |AB| = 3|CD|. Przedstaw wektor a za pomoc¡ wektorów b i c.
10. Na wektorach OA = a, OB = b oraz OC = c zbudowano równolegªo±cian. Punkt M jest ±rodkiem ±ciany przechodz¡cej przez punkt C i równolegªej do wektorów a i b. Wyra¹ wektor OM przy pomocy wektorów a, b i c.
11. W prostopadªo±cianie z danego wierzchoªka A poprowadzono przek¡tne ±cian AK, AP i AL oraz przek¡tn¡ prostopadªo±cianu AM. Wyka», »e pomi¦dzy tymi przek¡tnymi zachodzi nast¦puj¡cy zwi¡zek:
AK + AP + AL = 2AM .
12. W czworo±cianie ABCD wyznacz wektor AK, gdzie K jest ±rodkiem ci¦»ko±ci ±ciany BCD, w zale»no±ci od wektorów AB = a, AC = b i AD = c.
13. Dana jest ¢wiartka okr¦gu OAB o promieniu 1, gdzie O jest ±rodkiem okr¦gu. Punkt C dzieli ªuk AB w stosunku 1 : 2. Oblicz iloczyny skalarne a ◦ b, b ◦ c oraz a ◦ c, gdzie a = OA, b = OB oraz c = OC.
14. Oblicz dªugo±ci wektorów a + b oraz a −a−b
3 wiedz¡c, »e |a| = 1, |b| = 2 oraz (a, b) = π 3. 15. Znajd¹ dªugo±¢ wektora a = 6b − 8c wiedz¡c, »e b i c s¡ wektorami jednostkowymi
wzajemnie prostopadªymi.
16. Oblicz dªugo±¢ przek¡tnych równolegªoboku zbudowanego na wektorach a = 2p + q oraz b = p − 2q, gdzie p i q s¡ wektorami jednostkowymi tworz¡cymi k¡t π
3.
17. Wyznacz k¡t mi¦dzy wektorami p i q, je»eli wiadomo, »e wektory a = 2p + q oraz b = −4p + 5q s¡ wzajemnie prostopadªe oraz |p| = |q|.
2 18. Dany jest kwadrat ABCD. Oblicz k¡t mi¦dzy wektorami AK i AL, gdzie K i L s¡ ±rodkami
boków BC i CD.
19. Dla jakiej warto±ci parametru λ wektory a = 3p + λq oraz b = −p + 2q s¡ wzajemnie prostopadªe, je»eli wiadomo, »e |p| = 5, |q| = 3 oraz (p, q) = 2
3π.
20. Wyka», »e wektory p = a(b ◦ c) − b(a ◦ c) oraz c s¡ wzajemnie prostopadªe.
21. Znajd¹ k¡t mi¦dzy wektorami a i b wiedz¡c, »e wektor a + 3b jest prostopadªy do wektora 7a − 5b, a wektor a − 4b jest prostopadªy do wektora 7a − 2b.
22. W trójk¡cie prostok¡tnym równoramiennym poprowadzono ±rodkowe z wierzchoªków k¡tów ostrych. Oblicz k¡t zawarty mi¦dzy nimi.
23. Znajd¹ rzut wektora a na o± kierunku wektora b je»eli wiadomo, »e |a| = 5, |b| = 3 oraz (a, b) = π3.
24. Znajd¹ rzut wektora a = 5p − 2q na o± o kierunku wektora b = −2p je»eli wiadomo, »e p i q s¡ wektorami jednostkowymi wzajemnie prostopadªymi.
25. Znajd¹ rzut wektora a = 2p − 5q na o± o kierunku wektora b = −p + q, je»eli wiadomo, »e |p| = 2, |q| = 1 oraz (p, q) = π
3.
26. W danym punkcie przyªo»ono dwie siªy p i q dziaªaj¡ce pod k¡tem 120◦, przy czym p=7 i q = 4. Znajd¹ wielko±¢ siªy wypadkowej.
27. W danym punkcie przyªo»ono dwie siªy p i q wzajemnie prostopadªe wielko±ci 1 i 2. Znajd¹ wielko±¢ siªy wypadkowej oraz k¡ty, jakie tworzy ona z siªami p i q.
28. W danym punkcie przyªo»ono trzy siªy o tej samej wielko±ci tworz¡ce wzajemnie k¡ty równe π
3. Znajd¹ wielko±¢ siªy wypadkowej.
29. Czy w rozkªadzie wektora c = αp + βq wedªug dwóch wektorów niekolinearnych p i q mog¡ obydwa wspóªczynniki rozkªadu α i β lub jeden z nich równa¢ si¦ zeru?
30. Rozwa»my trzy wektory a, b i c, przy czym b i c s¡ kolinearne. Uzasadnij, »e a, b i c s¡ komplanarne.
31. Dane s¡ rozkªady wektorów p i q wedªug trzech wektorów niekomplanarnych a, b i c: p = α1a + β1b + γ1c, q = α2a + β2b + γ2c.
Znajd¹ warunek konieczny i dostateczny na to, by p = q. Wska» przykªad na to, »e znaleziony warunek nie jest konieczny, gdy a, b i c s¡ komplanarne.
32. Co mo»na powiedzie¢ o wzajemnym poªo»eniu czterech wektorów w przestrzeni, je±li s¡ zwi¡zane zale»no±ci¡ liniow¡ αa + βb + γc + δd = 0, przy czym:
(a) α = 0, β = 0, γ = 0, δ 6= 0; (b) α = 0, β = 0, γ 6= 0, δ 6= 0; (c) α = 0, β 6= 0, γ 6= 0, δ 6= 0; (d) α 6= 0, β 6= 0, γ 6= 0, δ 6= 0?
33. Dany jest wektor a = 2p + 4q, gdzie p i q s¡ wektorami jednostkowymi wzajemnie prostopadªymi. Wyznacz wektor b o dªugo±ci √5 prostopadªy do wektora a i le»¡cy w pªaszczy¹nie wektorów p i q.
34. Dane s¡ trzy wektory niekomplanarne a, b i c. Sprawd¹, czy wektory p, q, i r s¡ kompla-narne, gdy
(a) p = a + b + c, q = b + c, r = −a + c; (b) p = a − b − c, q = c, r = a − b + c.
3 35. Wyznacz iloczyny wektorowe a × b, b × c, c × a, b × a, c × b, a × c wiedz¡c, »e a, b i c
s¡ wersorami wzajemnie prostopadªymi tworz¡cymi ukªad prawoskr¦tny. 36. Upro±¢ wyra»enia:
(a) (a − c) × (a + b − c),
(b) a × (2b − c + a) + (2c + b) × (a − 2c),
gdzie a, b i c s¡ wersorami wzajemnie prostopadªymi tworz¡cymi ukªad prawoskr¦tny. 37. Oblicz |a × b|, gdzie a i b s¡ wektorami takimi, »e |a| = 2, |b| = 5 oraz a ◦ b = 6.
38. Wyka», »e a × b = b × c = c × a, dla dowolnych wektorów a, b i c takich, »e a + b + c = 0. 39. Dla dowolnych wektorów a, b oblicz skalar (a × b)2+ (a ◦ b)2.
40. Uzasadnij, »e dla dowolnych wektorów a, p, q, r, wektory a × p, a × q oraz a × r s¡ kom-planarne.
41. Wektory a, b, c maj¡ wspólny pocz¡tek, gdzie a i b s¡ bokami trójk¡ta, za± c jego ±rodkow¡. Wyka», »e a × b + b × c + c × a = 0.
42. Oblicz pole równolegªoboku zbudowanego na wektorach p = 2a + 3b i q = a − 4b, gdzie ai b s¡ dwoma wzajemnie prostopadªymi wersorami.
43. Oblicz pole równolegªoboku ABCD, gdzie AB = a+2b, AD = a−3b, za± |a| = 5, |b| = 4 oraz (a, b) = π
6.
44. Wiedz¡c, »e pole równolegªoboku zbudowanego na wektorach p i q jest równe 2 oblicz pole równolegªoboku zbudowanego na wektorach a = 2p − q i b = 2p + 3q.
45. Oblicz pole równolegªoboku zbudowanego na wektorach p i q wiedz¡c, »e pole równolegªoboku zbudowanego na wektorach a = 2p + 4q i b = p − q jest równe 12.
46. Oblicz obj¦to±¢ równolegªo±cianu zbudowanego na wektorach:
(a) a = p − 3q + r, b = 2p + q − 3r, c = p + 2q + r, gdzie p, q i r s¡ wersorami wzajemnie prostopadªymi;
(b) a = 3p + 5q, b = p − 2q, c = 2p + 7q, gdzie |p| = 1
2, |q| = 3 i (p, q) = 3 4π.
47. Wykorzystuj¡c wªasno±ci iloczynu mieszanego, sprawd¹, czy wektory a, b i c s¡ kompla-narne, je»eli p, q i r nie s¡ komplanarne:
(a) a = −3p + 2q − 2r, b = p − 4q + r, c = 4p + 2q − 6r; (b) a = p + 2q − r, b = 2p + 2q + 2r, c = 3p + 8q − 7r.
48. Obj¦to±¢ równolegªo±cianu zbudowanego na wektorach p, q i r jest równa 3. Oblicz obj¦to±¢ czworo±cianu zbudowanego na wektorach
a = p + q − r, b = 2p − q + r, c = p + 2q − 3r.
49. Oblicz obj¦to±¢ równolegªo±cianu zbudowanego na wektorach p, q i r, je»eli wiadomo, »e obj¦to±¢ równolegªo±cianu zbudowanego na wektorach
a = p + q + r, b = 2p − q − r, c = p + q − 3r jest równa 48.
