Zestaw 6 / dwuwymiarowa zmienna losowa :
1. Pewna fabryka produkuje prostokatne p lytki ceramiczne. Zgodnie z przyjι etymiι
zalo˙zeniami technicznymi, p lytki maja mie´ι c d lugo´s´c w granicach 100 mm do 105 mm, a szeroko´s´c w granicach 40 mm do 45 mm. Zmierzono 150 p lytek i otrzymano nastepujι ace wyniki.ι
d lugo´s´c
dobra wadliwa og´o lem
dobra 90 10 100
wadliwa 30 20 50
szeroko´s´c
og´o lem 120 30 150
Czy dane te wskazuja na to, ˙ze d lugo´ι s´c produkowanych p lytek jest niezale˙zna od szeroko´sci? Jakie powinny by´c liczby p lytek dla ka˙zdej z czterech klas przyjmujac,ι
˙ze wymiary szeroko´sci i d lugo´sci sa niezale˙zne.ι
2. (RN 3.3.3) Dwuwymiarowa dyskretna zmienna losowa (k,m) opisana jest rozk ladem zadanym w tabeli. Znajd´z rozk lady brzegowe obu zmiennych losowych oraz ich warto´sci oczekiwane i dyspersje. Ile wynosi wsp´o lczynnik korelacji miedzy zmien-ι nymi k oraz m? Podaj postacie rozk lad´ow warunkowych i znajd´z dla tych rozk lad´ow warto´sci oczekiwane i dyspersje. Oblicz tak˙ze warto´s´c oczekiwana i dyspersjι e zmi-ι ennej losowej n=2m+k2. Podaj posta´c rozk ladu tej zmiennej.
Pmk k
−1 0 1
0 0.1 0.2 0.0
m 1 0.2 0.3 0.2
3. Zmienna losowa Z ma rozk lad jednostajny w kwadracie o wierzcho lkach w punk- tach: (0,1), (1,0), (-1,0), (0,-1). Wyznaczy´c gesto´ι s´c zmiennej losowej Z. Obliczy´c:
a) P (X + Y < 0.5), b) rozk lady brzegowe zmiennych X i Y , c) kowariancjeι
cov(X, Y ), d) wsp´o lczynnik korelacji; czy zmienne X i Y sa niezale˙zne?ι 4. (RN 3.3.5) Para zmiennych losowych X oraz Y podlega rozk ladowi:
f(x, y) ∝ x + y 0 ≤ x ≤ 1 0 ≤ y ≤ 1
Znajd´z wsp´o lczynnik korelacji miedzy nimi. Jak zmieni siι e odpowied´ι z, je´sli zakres obu zmiennych rozciagniemy na przedzia l [−1, 1]?ι
5. W uk ladzie kartezja´nskim mierzony jest punkt o wsp´o lrzednych x i y, przy czymι b lad (niepewno´ι s´c) wsp´o lrzednej y jest n = 3 razy wiι ekszy ni˙z wsp´ι o lrzednej x. Po-ι miary obu wsp´o lrzednych sι a niezale˙zne. Oblicz macierz kowariancji wsp´ι o lrzednychι
biegunowych r i φ.
6. O dw´och statystycznie skorelowanych zmiennych losowych X i Y wiadomo, ˙ze:
E[x] = 1, E[y] = 2, V [x] = 1, V [y] = 4 oraz ρ(x, y) = 0.5. Znajd´z warto´s´c oczekiwana wyra˙zenia: xι 2 + 2y2−xy −4x + y + 4.
