Rachunek Prawdopodobie´nstwa 8. Wektory losowe - zadania na ´cwiczenia

Rachunek Prawdopodobie´ nstwa

8. Wektory losowe - zadania na ´ cwiczenia

Zad. 8.1 Zmienne losowe skokowe X oraz Y maj¸a nast¸epuj¸acy l¸aczny rozk lad:

Y \X -1 0 1

0 0,1 0,2 0

1 0,2 0,3 0,2

a) Znale´z´c rozk lady brzegowe X, Y .

b) Czy zmienne te s¸a niezale˙zne? Czy s¸a nieskorelowane?

d) Znale´z´c warto´s´c oczekiwan¸a oraz macierz kowariancji wektora (X, Y ).

Zad. 8.2 Wektor (X, Y ) ma rozk lad o g¸esto´sci g(x, y) = ⁵₂e^−x−2y· 1_(0,2x](y) · 1_(0,∞)(x). Znajd´z g¸esto´sci zmiennych X oraz Y i sprawd´z, czy s¸a one niezale˙zne. Oblicz

P ((X, Y ) ∈ (1, 3] × R).

Zad. 8.3 Niech f (x, y) = ae^−2x−y1_(0,∞)(x)1_(0,2)(y) dla pewnego a > 0 b¸edzie g¸esto´sci¸a wektora losowego (X, Y ). Oblicz dystrybuant¸e tego wektora.

Zad. 8.4 Wiadomo, ˙ze E(X) = E(Y ) = 0 oraz Cov(X, Y ) = ¹₂, V ar(X) = V ar(Y ) = 1.

Obliczy´c E(2X + 3Y )².

Zad. 8.5 G¸esto´s´c dwuwymiarowej zmiennej losowej (X, Y ) dana jest wzorem:

f (x, y) = αx(1 − y) · 1_U(x, y),

gdzie U jest tr´ojk¸atem o wierzcho lkach w punktach (0,0); (0,1); (1,0). Wyznacz parametr α oraz rozklady brzegowe zmiennych X, Y .

Zad. 8.6 Niech zmienne S oraz T b¸ed¸a niezale˙zne o rozk ladach: S ∼ U (−1, 1), T ∼ E(1).

Jakie jest prawdopodobie´nstwo, ˙ze r´ownanie x²+ 2T x + S = 0 nie posiada rozwi¸aza´n?

Zad. 8.7 Niech (X, Y ) b¸edzie wektorem o g¸esto´sci f (x, y) = αxy1_A(x, y), α > 0, gdzie A jest obszarem ograniczonym prostymi x = 0, y = 3 oraz y = x. Oblicz P(Y − ²₃X ≥ 1).

Rachunek Prawdopodobie´ nstwa 8. Wektory losowe - zadania domowe

Zad. 8.1 Zmienne losowe skokowe X oraz Y maj¸a nast¸epuj¸acy l¸aczny rozk lad:

Y \X 0 1 -1 0 ¹₈ 1 ¹₂ ³₈ Znale´z´c:

a) Rozk lady brzegowe X, Y . Czy zmienne te s¸a niezale˙zne?

b) Cov(X, Y). Czy zmienne te s¸a nieskorelowane?

d) Warto´s´c oczekiwan¸a oraz macierz kowariancji wektora (X, Y ).

Zad. 8.2 Zmienna losowa dwuwymiarowa (X, Y ) ma rozk lad o g¸esto´sci

f (x, y) =

 ₁

πR²; x²+ y² ≤ R², 0; x²+ y² > R². Wyznacz rozk lady brzegowe X, Y .

Zad. 8.3 Zmienna losowa Z = (X, Y ) ma g¸esto´s´c

f (x, y) = x + y, x, y ∈ (0, 1), 0, w p.p.

a) Oblicz P (¹₄ < X < ¹₂) i P (X² > Y ).

b) Podaj rozk lady brzegowe.

c) Zbadaj niezale˙zno´s´c X i Y .

Zad. 8.4 Dla jakich warto´sci c funkcja f (x, y) = cxe^−x2−y dla x ≥ 0, y ≥ 0 i f (x, y) = 0 w pozosta lej cz¸e´sci R² jest g¸esto´sci¸a pewnej zmiennej losowej dwuwymiarowej? Oblicz P (−1 < X ≤ 2, 3 < Y ≤ 6).

Zad. 8.5 (X, Y ) jest wektorem losowym o g¸esto´sci f (x, y) = c(x + y)²· 1_U(x, y), gdzie U jest zbiorem ograniczonym prostymi y = 1, x = 2, x + y = 2. Wyznacz parametr c oraz rozk lad brzegowy zmiennej X.

Zad. 8.6 Funkcja

f (x, y) =

 1

2√

xy, 0 ≤ x < ∞, x ≤ y < ∞, 0, w p.p.

okre´sla rozk lad wektora (X, Y ). Znajd´z dystrybuant¸e wektora (X, Y ) oraz g¸esto´sci rozk lad´ow brzegowych.

Zad. 8.7 Wiadomo, ˙ze E(X) = E(Y ) = 0 oraz Cov(X, Y ) = −¹₄, V ar(X) = 1, V ar(Y ) = 2.

Obliczy´c E(X − 4Y )².

Zad. 8.8 Niech (X, Y ) b¸edzie wektorem o g¸esto´sci f (x, y) = αxy1_A(x, y), gdzie A jest tr´ojk¸atem o wierzcho lkach (0, 0), (3, 0), (3, 3). Wyznacz parametr α, g¸esto´sci brzegowe, oraz oblicz P(X + 2Y > 3).

Zad. 8.9 Niech R ∼ E(1) oraz S ∼ E(2) b¸ed¸a niezale˙znymi zmiennymi losowymi. Oblicz prawdopodobie´nstwo, ˙ze pole ko la o promieniu R jest mniejsze ni˙z pole prostok¸ata o bokach πS oraz R + 2S.