Tom 29 2013 Zeszyt 2
DOI 10.2478/gospo-2013-0020
TOMASZ NIEDOBA*
Elementy metodologii stosowania dwu- i wielowymiarowych
rozk³adów w³aœciwoœci materia³ów uziarnionych
do opisu wzbogacania wêgli
Wprowadzenie
Problemy zwi¹zane z aproksymacj¹ ró¿nego rodzaju krzywych, tj. krzywych sk³adu ziarnowego, krzywych rozdzia³u, czy krzywych wzbogacalnoœci s¹ przedmiotem wielu ba-dañ i opracowañ naukowych, zwi¹zanych z problematyk¹ przeróbki surowców mineralnych. Jednym z podstawowych elementów oceny procesów przeróbki jest dok³adne osza-cowanie rozk³adu œredniej wartoœci badanych cech w nadawie i produktach. Do tego celu wykorzystuje siê metody rachunku prawdopodobieñstwa i statystyki matematycznej. Od dawna interesowano siê aproksymacj¹ krzywych czêstoœci badanych cech funkcjami gêstoœci rozk³adu okreœlonego typu. Dotyczy to równie¿ ich skumulowanych postaci, czyli dystrybuant. Bazowano na znanych z rachunku prawdopodobieñstwa klasach funkcji. Z uwagi na fakt, ¿e od rozk³adu wielkoœci ziaren materia³u zale¿¹ rozk³ady innych cech tych ziaren (Allen 1968; Tumidajski 1992) badania krzywych sk³adu ziarnowego cieszy³y siê szczególnym zainteresowaniem i powsta³o wiele modeli takich krzywych opartych na zna-nych z rachunku prawdopodobieñstwa rozk³adach, jak np.
— rozk³ad logarytmiczno-normalny, — rozk³ad Weibulla,
— rozk³ad Gaudina-Schuhmanna-Andreyewa.
* Dr in¿., AGH Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie, Wydzia³ Górnictwa i Geoin¿ynierii, Katedra In¿ynierii Œrodowiska i Przeróbki Surowców; e-mail: tniedoba@agh.edu.pl
Liczba modeli opisuj¹cych rozk³ady gêstoœci ziaren, zawartoœci sk³adników w ziarnach jest stosunkowo niewielka. Pocz¹tkowo zak³adano, ¿e rozk³ad gêstoœci ziaren i zawartoœci sk³adników mineralnych jest normalny. Dopiero w drugiej po³owie ubieg³ego stulecia zaczê³y pojawiaæ siê prace podwa¿aj¹ce prawid³owoœæ za³o¿enia o normalnoœci tych roz-k³adów. Szarapow (1966) oraz Gottfried (1981) zaproponowali na podstawie badañ empi-rycznych aproksymacjê krzywych rozk³adu za pomoc¹ rozk³adu logarytmiczno-normalnego lub rozk³adem wyk³adniczym.
Wymienione modele krzywych rozk³adu s¹ oparte na okreœlonych klasach funkcji, wœród których mo¿e nie istnieæ funkcja adekwatna do opisu cech badanego materia³u. Ten fakt sprowokowa³ poszukiwanie innych metod. Nieklasyczne metody statystyczne po raz pierw-szy w przeróbce surowców mineralnych zosta³y zastosowane w 2003 (Niedoba 2003), gdzie zastosowano metody bayesowskie. Ponadto z sukcesami stosowano równie¿ metody bootstrapowe, metody j¹drowe oraz metodê ortogonalnego szeregu Fouriera (Foszcz 2003; Niedoba 2007).
Oddzielnym zagadnieniem jest kwestia aproksymacji szczególnego typu krzywych, jakimi s¹ krzywe wzbogacalnoœci. Jak wiadomo ka¿dy proces wzbogacania jest œciœle zwi¹zany ze wzbogacalnoœci¹ materia³u poddawanego temu procesowi, co z kolei jest uzale¿nione od stopnia uwolnienia ziaren minera³ów. Takie uwalnianie dokonuje siê przez rozdrabnianie materia³u do wielkoœci ziaren, dla której otrzymany produkt jest mieszanin¹ wzglêdnie wolnych cz¹stek minera³u u¿ytecznego i minera³ów ska³y p³onnej (Tumidajski 2012). Mimo, ¿e g³êbszy przemia³ prowadzi do wy¿szego stopnia uwolnienia, to efekty wzbogacania mog¹ okazaæ siê gorsze i dlatego dokonuje siê oceny wzbogacalnoœci materia³u poddawanego procesowi wzbogacania. Do takiej oceny stosuje siê, miêdzy innymi, krzyw¹ wzbogacalnoœci Henry’ego, bêd¹c¹ – w przypadku wêgla – zale¿noœci¹ pomiêdzy wycho-dem i zawartoœci¹ popio³u (l = l(g )), wykreœlan¹ na podstawie wyników analiz densyme-trycznych badanego materia³u (Drzyma³a 2001; Gawlik i in. 2004; Róg 2009; Kraw-czykowski i in. 2012). Jak wynika z powy¿szych rozwa¿añ, charakter takiej krzywej jest uzale¿niony od stopnia uwolnienia ziaren, a w konsekwencji od ich wielkoœci. Dlatego w badaniach wzbogacalnoœci wydaje siê istotnym uwzglêdnienie wielkoœci ziaren. W pracy przedstawiono aproksymacje krzywej wzbogacalnoœci Henry’egol = l(r) i l = l(g) oraz powierzchni wzbogacalnoœci l = l(d,r) oraz pewne efekty ich zastosowania.
2. Za³o¿enia metodologii
W wiêkszoœci procesów przeróbczych wp³yw na rozdzia³ ziaren ma wiêcej ni¿ jedna ich w³aœciwoœæ, tj. np. wielkoœæ ziaren, ich gêstoœæ, zawartoœæ okreœlonego sk³adnika itp. W konsekwencji, do opisu tych procesów nale¿y zastosowaæ zarówno dwu-, jak i wielo-wymiarowe rozk³ady zmiennych losowych. W pracy przedstawiony zosta³ opis procesu wzbogacania wêgla, przy uwzglêdnieniu wielkoœci ziaren, ich gêstoœci oraz zawartoœci popio³u.
Podczas realizacji pracy przyjêto nastêpuj¹ce za³o¿enia i zasady opisu:
1. Ca³oœæ badanego materia³u rozdzielono na k frakcji, ze wzglêdu na gêstoœæ ziaren. Przyjêto, ¿egi(i = 1, ..., k) oznacza procentowy udzia³ i-tej frakcji w ca³oœci materia³u.
2. Przezli(i = 1, ..., k) oznaczono procentow¹ zawartoœæ popio³u w i-tej frakcji.
3. Jako podstawow¹ krzyw¹ stosowan¹ przy opisie procesu wzbogacania przyjêto krzyw¹ Henry’egol = l(g), gdzie l oznacza zawartoœæ popio³u we frakcji, której udzia³ pro-centowy wynosi g.
Przy takich za³o¿eniach otrzymuje siê, ¿e œrednia zawartoœæ popio³u w badanym ma-teriale wynosi (Stêpiñski 1964; Tumidajski 1997)
a=
ò
l g g( )d0
100 (1)
Je¿eli ustali siê, ¿e g0 oznacza wychód koncentratu, a (100 – g0) wychód odpadów
to otrzymuje siê, ¿e œrednia zawartoœæ popio³u w koncentracie wynosi J g l g g g = 1
ò
0 0 0 ( )d (2)Natomiast œrednia zawartoœæ popio³u b w odpadach zadana jest wzorem b g g l g g = -
ò
1 100 0 100 0 ( )d (3)Przedstawiono analityczny opis funkcji l oraz jej uogólnienie w przestrzeni trójwy-miarowej.
3. Eksperyment
Czêœæ doœwiadczalna zosta³a podzielona na dwie czêœci: dwuwymiarow¹ aproksymacjê krzywej wzbogacalnoœci Henry’ego na podstawie wêgla oraz trójwymiarow¹ powierzchniê wzbogacalnoœci.
3.1. J e d n o w y m i a r o w a k r z y w a w z b o g a c a l n o œ c i H e n r y ’e g o Przyjêto, ¿e zale¿noœæ procentowej zawartoœci popio³u w materiale od jego gêstoœci przedstawia funkcja l0 =l r0( ), oraz ¿e funkcja g = F(r) przedstawia zale¿noœæ wy-chodu frakcji od jej gêstoœci. Poniewa¿ funkcja F(g) jest funkcj¹ rosn¹c¹, wiêc posiada funkcjê odwrotn¹r = F–1(g). Wobec tego krzywa wzbogacalnoœci Henry’ego przyjmuje
l l= 0(F-1( ))g (4) Funkcjê F(r) najczêœciej aproksymuje siê za pomoc¹ funkcji opisuj¹cych dystrybuanty rozk³adów zmiennych losowych (Dobosz 2001). Najczêœciej stosowanymi dystrybuantami rozk³adów s¹:
— rozk³ad Weibulla (zwany równie¿ rozk³adem RRB):
F x( )= -1 e-(x a)b (5a) — rozk³ad logistyczny: F x fe cx ( )= + -1 1 (5b) — rozk³ad logistyczny-uciêty: F x be gx xo x ( )= + - -æ è çç öø÷÷ 1 1 (5c) — rozk³ad logarytmiczno-normalny: F x( )= ælnx m -è ç ö ø ÷ F s (5d)
— rozk³ad GSA o funkcji gêstoœci:
F x( )=hxa (5e)
gdzie:
a, b, c, f, g, h, a – parametry rozk³adów,
F(×) – dystrybuanta rozk³adu normalnego N(0,1).
Funkcjê l0(r) wyznaczono jako krzyw¹ regresji drugiego rodzaju dla zale¿noœci
za-wartoœci popio³u od gêstoœci materia³u r.
W celu przeprowadzenia przedstawionego opisu dokonano rozdzia³u wêgla typu 31, pobranego z jednej kopalñ Górnoœl¹skiego Okrêgu Przemys³owego i podzielono na frakcje wed³ug gêstoœci (1,3; 1,4; 1,5; 1,6; 1,7; 1,8; 1,9).
Do aproksymacji funkcjil r0( ) zastosowane zosta³y funkcje logistyczne (równanie 5b), osobno dla frakcji o gêstoœci mniejszej ni¿ 1,4 [g/cm3] oraz frakcji o gêstoœci wiêkszej ni¿ 1,41 [g/cm3], które po³¹czono na odcinku (1,4–1,41) funkcj¹ liniow¹. Dla frakcji o gêstoœci mniejszej ni¿ 1,3 wyznaczono zawartoœæ popio³u w punktach o wartoœci ich wspó³rzêdnej gêstoœci równych 0,5; 0,8 oraz 1,0 (wielkoœci czysto teoretyczne, które nie wystêpuj¹ w praktyce), stosuj¹c metodê krigingu zwyczajnego, a nastêpnie dokonano aproksymacji.
Funkcja l r0( ) ma wiêc postaæ
l r r r r r 0 3 792 1 1 5167 27 1 4 0 9327 11748 ( ) , , , , , = + £ -e dla dla Î + ³ ì í ï ï ïï î ï ï ï ï -( ) r r 1 4 1 41 1 1 971 25 3 592 , ; , , e , dla 1,41 (6)
Do wyznaczenia funkcji F(r) u¿yto rozk³adu logistycznego (równanie 5b) oraz rozk³adu GSA (równanie 5e), dla frakcji o gêstoœci mniejszej ni¿ 1,3 [g/cm3] wykorzystano punkty otrzymane za pomoc¹ metody krigingu zwyczajnego (Niedoba, Tumidajski 2012).
Otrzymana funkcja F(r) przedstawia siê nastêpuj¹co
F e ( ) , , , , , r r r r = < + -0 -0-082 1 32 1 1 272 3427 16 5464 3 5815 dla dla r ³1,32 ì í ï î ï (7) TABELA 1 Rozdzia³ wêgla na frakcje gêstoœciowe
TABLE 1 Coal separation into density fractions
rj–1–rj
[g/cm3]
Œrednia gêstoœær0i [g/cm3] Udzia³ procentowygi [%] Udzia³ skumulowany gi[%] Zawartoœæ popio³ul [%] < 1,3 0,65 62,47 62,47 2,61 1,3–1,4 1,35 23,99 86,46 3,77 1,4–1,5 1,45 6,18 92,64 1 732 1,5–1,6 1,55 2,29 94,93 26,08 1,6–1,7 1,65 0,66 96,59 32,48 1,7–1,8 1,75 2,75 98,34 38,34 1,8–1,9 1,85 1,66 100,00 48,32
Do oceny jakoœci aproksymacji zastosowano b³¹d œredniokwadratowy (zwany równie¿ odchyleniem resztowym) sr s f f k r i i z i k = -=
å
1(~(r ) (r )) 2 (8)gdzie~f(r oznacza wartoœæ teoretyczn¹, a fi) (r wartoœæ eksperymentaln¹; k – 2 jest iloœci¹i)
pomiarów, pomniejszon¹ o iloœæ badanych zmiennych, czyli w tym przypadku 2. Dla funkcjil0(r) sr= 1,14%, a dla funkcji F(r) sr= 0,78%. Mo¿na wiêc uznaæ, ¿e funkcje
te s¹ dobrymi aproksymantami badanych zale¿noœci.
Wyniki aproksymacji zamieszczono w tabeli 2 oraz na rysunkach 1 i 2. Po przekszta³ceniu wzoru 5b otrzymano dla x = r, F(x) = g
r=F- g = g- -g
c b
1 1
1
( ) (ln ln ( )) (9)
A nastêpnie, stosuj¹c powy¿szy wynik we wzorze (7), po przekszta³ceniach uzyskano poni¿sz¹ zale¿noœæ r g g g = = æ è ç ö ø ÷ -F 1 0 0604 0 0082 0 1868 2 ( ) , , [ln ( , dla < 0,8107 72 342, g) ln (- 1-g)] g ì í ï ïï î ï ï ï dla > 0,8107 (10) TABELA 2 Wyniki doœwiadczalne i teoretyczne dla funkcjil0(r) i F(r)
TABLE 2 Experimental and theoretical results for functionl0(r) and F(r)
Gêstoœær [g/cm3] F0(r) doœwiadczalna F(r) teoretyczna Zawartoœæ popio³u l(r) [%] doœwiadczalna Zawartoœæ popio³u l0(r) [%] teoretyczna 1,3 62,47 63,00 2,61 2,60 1,4 86,46 86,82 3,77 3,78 1,5 92,64 91,84 17,32 18,40 1,6 94,93 95,95 26,08 24,42 1,7 96,59 97,04 32,48 31,63 1,8 98,34 98,25 38,34 39,96 1,9 98,96 98,96 48,32 48,70
Ostatecznie funkcjal1(g) = lo(F–1(g)) ma postaæ l1(g) = 1 1 5167 27 1 1 5167 27 5 0698 0 0 0604 + + -, , , , , e e g dla g> 0,8107 7085 1 5 607 0 1742 (ln ln( ) , , (l g- - +g dla gÎ[0,8107; 0,8682] n ln( )) , , , g- -g - gÎ + -1 0 198 1 1 971 25 0 dla (0,8682; 0,8742) e 6712(lng-ln(1- +g) 5 607, g ì í ï ï ï ï ïï î ï ï ï ï ï ï dla > 0,8742 (11)
Rys. 1. Wykres aproksymowanej funkcji F(r) Fig. 1. Plot of approximated function F(r)
Rys. 2. Wykres aproksymowanej funkcjil0(r)
Wartoœcil1(g) przedstawiono w tabeli 3 oraz na rysunku 3.
TABELA 3 Wartoœci funkcji wzbogacalnoœcil1(g)
TABLE 3 Values of beneficiation functionl1(g)
g [%] l1(g) [%] 62,47 2,59 86,46 3,63 92,64 19,51 94,93 23,76 96,59 29,35 98,34 40,72 100,00 49,24
Funkcjêl(g) mo¿na aproksymowaæ równie¿ w inny sposób, a mianowicie korzystaj¹c z faktu, ¿e g Î [0, 1] oraz wartoœci skumulowanego g stanowi¹ ci¹g rosn¹cy, mo¿na aproksymowaæ funkcjêg = F(l) funkcjami opisuj¹cymi dystrybuanty zmiennej losowej, a nastêpnie wyznaczaj¹c funkcjê odwrotn¹ g = F–1(l) uzyskuje siê poszukiwan¹
za-le¿noœæ.
Do aproksymacji funkcjig(l) zastosowano po³¹czenie dwóch funkcji typu logistycznego (równanie 5b) (wartoœæ w punkciel = 0,1 zosta³a wyznaczona za pomoc¹ metody krigingu zwyczajnego) otrzymano:
Rys. 3. Funkcja wzbogacalnoœci Henry’egol1(g)
g l l l l ( ) , , , , = + + -1 1 0 9955 1 1 0 5750 13 794 8 2088 e e dla < 0,1 dla l> 0,1 ì í ï ï î ï ï (12) Je¿eli funkcja g l l ( )= + -1 1 be c
to funkcja do niej odwrotna jest postaci
l g( )=1(lng-ln (1- +g) ln )
c b
(13)
Stosuj¹c powy¿szy zwi¹zek dla równania (12) otrzymuje siê nastêpuj¹c¹ postaæ szukanej funkcji l g g 0,07258 g g 2( ) , (ln ln ( ) , ) = - -0 -0257 1 0 0045 dla < 0,51 dla (0,51; 0 ) dla (0, g 0,218 g g g Î - - - Î , (ln ln ( ) , ) 7993 1 1 0 5533 7993 0 4923 ; 0,99) dla (0,99; 1) , g Î ì í ï ïï î ï ï ï (14)
Wyniki aproksymacji powy¿sz¹ funkcj¹ zaprezentowano w tabeli 4 oraz na rysunku 4. Wartoœæ œrednia l zawartoœci popio³u w ca³oœci materia³u jest wówczas zadana wzo-rem (15).
TABELA 4 Wartoœci funkcji wzbogacalnoœcil2(g)
TABLE 4 Values of beneficiation functionl2(g)
l doœwiadczalne g(l) (równanie 12) g [%] (doœwiadczalne) l2(g) [%] (równanie 14) 2,61 59,00 62,47 3,60 3,77 62,82 86,46 15,84 17,32 87,82 92,64 24,10 26,08 93,67 94,93 28,95 32,48 96,16 96,59 33,99 38,35 97,59 98,34 42,97 48,32 98,92 100,00 49,23
l=
ò
l g g0 1
( )d (15)
Natomiast je¿eli lt oznacza œredni¹ zawartoœæ procentow¹ popio³u w i-tej frakcji w stosunku do ca³oœci materia³u to lt jest zadana wzorem
lt l g g g g =
-ò
i i d 1 ( ) (16)gdzie gi–1 oznacza skumulowany wychód frakcji (i–1)-ej, a i to skumulowany wychód
frakcji i-tej.
Na podstawie wzorów (14) i (15) otrzymuje siê, ¿e œrednia zawartoœæ popio³u w ca³ym badanym materiale wynosi
l=
ò
l g g= g + g g+ -g -g 0 1 0 0 51 0 0257 0 07258 1 1 ( )d , , , [ ln ( ) ln ( )-0 0045, g] 0 510 7993,, +0 1218, [ lng g+ -(1 g) ln (1- -g) 0 5533, g] 0 79930 99,, +0 492, 3g10 99, =7 4, %Natomiast je¿eli obliczyl siê na podstawie wyników doœwiadczalnych, czyli l = Si if l ,i gdzie li oznacza procentow¹ zawartoœæ popio³u w i-tej frakcji, a fi wychód tej frakcji,
to otrzymuje siê, ¿e l = 6,2%.
Rys. 4. Funkcja wzbogacalnoœci Henry’egol2(g)
Obliczaj¹c na podstawie wzoru (16) œredni¹ zawartoœæ popio³u w i-tej frakcji w stosunku do ca³oœci materia³u otrzymuje siê wyniki, które przedstawiono w tabeli 5.
Je¿eli do oceny jakoœci przybli¿enia zastosuje siê b³¹d œredniokwadratowy srdla li,
to otrzymuje siê, ¿e sr= 0,2%.
Porównuj¹c wyniki na zawartoœæ œredni¹ popio³u w ca³ym materiale (ró¿nica wynosi 1,2%) oraz badaj¹c ró¿nicê miêdzy zawartoœciami popio³u w poszczególnych frakcjach w stosunku do ca³ego materia³u, uzyskanymi na podstawie wyników doœwiadczalnych a wynikami uzyskanymi poprzez aproksymacjê (b³¹d sr= 0,2%) mo¿na przyj¹æ, ¿e krzywa
wzbogacalnoœci Henry’ego dobrze opisuje przebieg tego procesu.
3.2. P o w i e r z c h n i a w z b o g a c a l n o œ c i H e n r y ’e g o
Mo¿na przyj¹æ, ¿e materia³ wêglowy zosta³ rozdzielony na N frakcji ze wzglêdu na dwie cechy, a mianowicie gêstoœæ i wielkoœæ ziaren, czyli ¿e
Xi ={( , );d r dÎ(di-1,di),rÎ(ri-1,ri)} (17) gdzie:
d – wielkoœæ ziarna, r – gêstoœæ ziarna.
Przyjmijmy te¿, ¿egioznacza procentowy udzia³ masy frakcji Xiw badanym materiale.
Dla ka¿dej frakcji oszacowano procentow¹ zawartoœæ popio³u li, i = 1, …, N. TABELA 5 Œrednie zawartoœci popio³u w i-tej frakcji
TABLE 5 Mean ash contents in ith fraction
r gêstoœæ frakcji li zawartoœæ popio³u we frakcjil Wychód frakcji fi lt = fi il doœwiadczalne lt teoretyczne 1,3 0,0261 0,6247 0,0163 0,0153 1,4 0,0377 0,2399 0,0090 0,0190 1,5 0,1732 0,0618 0,0107 0,0120 1,6 0,2608 0,0229 0,0060 0,0060 1,7 0,3248 0,0166 0,0053 0,0052 1,8 0,3834 0,0175 0,0067 0,0066 1,9 0,4832 0,0166 0,0080 0,0079
Je¿eli rozwa¿aæ siê bêdzie trójwymiarowy wektor losowy (D, R, L), gdzie D jest zmienn¹ losow¹ opisuj¹c¹ wielkoœæ ziarna, R – jego gêstoœæ, a L zawartoœæ popio³u, to znaj¹c funkcjê gêstoœci rozk³adu tego wektora, czyli funkcjê f(d, r, l) mo¿na wyz-naczyæ funkcjêl = l(d, r), która jest funkcj¹ regresji pierwszego rodzaju (Tumidajski 1997), czyli l(d, r) = E D d d d f d f ( , ) ( , , ) ( , ) max L = R=r =
ò
l r l l r l 0 1 (18)gdzie f1(d,r) jest gêstoœci¹ rozk³adu wektora (D, R).
Aby wyznaczyæ funkcjêl(d, r) nale¿y najpierw wyznaczyæ funkcjê gêstoœci f(d, r, l) oraz f1(d, r).
Jednym ze sposobów aproksymacji tych gêstoœci jest zastosowanie rozk³adów Morgen-sterna (Kotz i in. 2000; Tumidajski 1997) dla ich dystrybuant, jak poni¿ej
F d( , , )r l =F d F1( ) 2( )r F3( ) (l 1+a12(1-F d1( )) (1-F2( ))r + +a13(1-F d1( )) (1-F3( ))l +a 23(1-F2( )) (r 1-F3( ))l (19) oraz F d( , )r =F d F1( ) 2( )r
(
1+a(1-F d1( ))(
1-F2( )r)
)
(20) Wówczas f d F d ( , , )r l ¶ ¶ ¶r¶l = 2 oraz f d F d ( , )r ¶ ¶ ¶r = 2gdzie F1(d) oznacza dystrybuantê zmiennej losowej D, F2(r) – dystrybuantê zmiennej
losowejR, a F3(l) – dystrybuantê zmiennej losowej L, natomiast a, a12,a13,a23spe³niaj¹ warunki |a| £ 1, |aij| £ 1. W niektórych przypadkach mo¿na zastosowaæ aproksymacjê
Farlie-Gumbela-Morgensterna (Kotz i in. 2000), a mianowicie
gdzie g1(d), g2(r) oznaczaj¹ funkcje spe³niaj¹ce warunki g d1( ) [ , ]Î 0 1, g2( ) [ , ]r Î 0 1
aa jest dobranym parametrem z przedzia³u [–1,1].
Dla aproksymacji funkcji F(d, r) mo¿na równie¿ zastosowaæ rozk³ad dwuwymiarowy logistyczny (Tumidajski 1997) o postaci
F(d,r) = [1+a e1 -b d1 +a e2 -b2r]-1 (22) gdzie a1, a2, b1, b2 > 0
lub dwuwymiarowy rozk³ad Gumbela (Tumidajski 1997)
F(d,r) = 1-e-a d1 -e-a2r+e-a d a1 - 2r- rcd (23) gdzie a1, a2, c > 0.
Ze wzglêdu na trudnoœci rachunkowe przy wyznaczaniu funkcji F(d, r, l), czêsto zamiast regresji pierwszego rodzaju wyznacza siê regresjê drugiego rodzaju zawartoœci popio³u od gêstoœci i wielkoœci ziarna. Œrednia zawartoœæ popio³u w badanym materiale wyra¿a siê wzorem (Tumidajski 1997)
l=
òò
l r( , ) ( , )d f d r dddrD
(24)
gdzie:
D={( , ):d r dÎ[ ,0 dmax],rÎ[ ,0rmax]}
Najczêstszymi funkcjami wykorzystywanymi do tego celu s¹ (Dobosz 2001): — funkcja multiplikatywna f x y( , )=b0xb1yb2 — funkcja wyk³adnicza f x y( , )=eb b0+ 1x+b2y — funkcja logistyczna f x y b b e c x b e c y ( , )= + - + -0 1 2 1 1 2
— funkcja liniowa
f x y( , )=a0+a x a y1 + 2
Funkcjê f(d,r) mo¿na równie¿ wyznaczyæ korzystaj¹c z metod aproksymacji j¹drowej (Scott 1992; Niedoba 2005), a mianowicie
f(d,r) = 1 1 1 1 1 2 1 1 2 2 N h h k d d h k h n i k j l i j = =
å å
æèçç - öø÷÷ æèççr r- ø÷÷ö ij (25) gdzie:k1(x) i k2(y) s¹ jednowymiarowymi funkcjami j¹drowymi, spe³niaj¹cymi warunki
a) 0£k1( )x <c1 < +¥ £,0 k2( )y <c2 < +¥; b) k1( )x dx=1 -¥ +¥
ò
, k2( )y dy=1 -¥ +¥ò
; c) k x1( )=k1(- , k yx) 2( )=k2(- .y)h1, h2oznaczaj¹ d³ugoœæ pasm, N= Sij ijn , nijoznacza liczebnoœæ klasy (i,j).
Najczêœciej stosowanymi funkcjami j¹drowymi s¹ (Niedoba 2005, 2012): a) funkcja Epanechnikova o postaci
K x x x x ( )= -æ è ç ö ø ÷ £ ì í ï ï î ï ï 3 4 5 1 1 5 2 dla | | 5 0 dla | | > 5 (26)
b) funkcja Gaussa o postaci
K x( )= 1 e- x 2
1 2 2
p dla xÎ -¥ +¥( , )
(27)
D³ugoœci pasm h1 i h2s¹ wówczas zadane wzorami
a) dla funkcji Epanechnikova
h1 =1 056, k-1 5s1, h2 =1 056, l-1 5s2 (28) b) dla funkcji Gaussa
gdzie k oznacza liczbê klas dla zmiennej D, a l oznacza liczbê frakcji dla zmiennej R, natomiast s1i s2oznaczaj¹ odchylenia standardowe tych zmiennych.
Je¿eli za funkcjê j¹drow¹ dla obu zmiennych przyjmie siê funkcjê Gaussa (25), to funkcja f(d,r) jest zadana wówczas wzorem:
f d Nh h n e e i k ij j l d d zh i j ( , ) ( ) ( ) r p r r = = = - -
-å -å
1 2 1 2 1 1 2 1 2 2 zh2 2 (30)Natomiast œrednia zawartoœæ popio³u w ca³ym materiale mo¿na obliczyæ z poni¿szej zale¿noœci l p l r r = = =
-å
å
ò
ò
1 2 1 2 1 1 0 0 2 Nh h i n d e k ij d j l d di max max ( , ) ( ) zh zh j d dd 12 2 22 - -æ è ç ç ö ø ÷ ÷ (r r ) r (31)Praktyczne zastosowanie wy¿ej opisanej metody wraz z przyk³adami bêdzie przed-miotem dalszych badañ w tym zakresie.
Podsumowanie
1. Otrzymane wyniki aproksymacji dwuwymiarowej pozwalaj¹ stwierdziæ, ¿e zaprezento-wana metodyka mo¿e byæ z powodzeniem stosozaprezento-wana do aproksymacji podstawowych krzywych wzbogacalnoœci Henry’ego, co potwierdza fakt, ¿e œrednia zawartoœæ popio³u obliczona na podstawie wyników doœwiadczalnych nie ró¿ni siê w znacz¹cy sposób od wartoœci wyliczonej na podstawie teoretycznej krzywej Henry’ego (ró¿nica o 1,2%). Ponadto ró¿nica miêdzy œrednimi zawartoœciami popio³u w poszczególnych frakcjach w stosunku do ca³ego materia³u uzyskanymi na podstawie wyników doœwiadczalnych a wynikami teoretycznymi dlal2(g) (krzywej otrzymanej na drodze obliczenia funkcji
odwrotnejg = F–1(l)) nie jest du¿a (s
r= 0,2%), co œwiadczy o prawid³owoœci stosowanej
metody aproksymacyjnej. Mo¿na przyj¹æ, ¿e uzyskana krzywa teoretyczna l2(g) jest
dobr¹ aproksymacj¹ krzywej wzbogacalnoœci Henry’egol = l(g).
2. Przedstawienie w postaci analitycznej krzywej Henry’ego pozwala oszacowaæ zawartoœæ badanego sk³adnika (w dowolnej frakcji badanego materia³u, tzn. w dowolnym zakresie gêstoœci). Aproksymacja krzyw¹ l1(g) (otrzyman¹ na drodze kompilacji rozk³adów
logistycznego i GSA), ze wzglêdu na bardziej skomplikowan¹ postaæ jest mniej u¿y-teczna praktycznie.
3. Zastosowanie metody krigingu zwyczajnego do wyznaczenia szukanych wartoœci inte-resuj¹cych parametrów badanego materia³u (jak np. gêstoœæ, czy zawartoœæ popio³u)
potwierdza mo¿liwoœæ stosowania tej metody w przypadku braku mo¿liwoœci uzyskania danych eksperymentalnych.
4. W przypadku dwuwymiarowej aproksymacji zaproponowano sposoby okreœlenia rów-nania teoretycznej powierzchnil = l(d,r), z tym ¿e w tym przypadku zbadanie dok³ad-noœci aproksymacji bêdzie wymagaæ zastosowania ca³kowania numerycznego.
Artyku³ jest wynikiem realizacji projektu badawczego nr 3390/B/T02/2011/40
LITERATURA A l l e n T., 1968 – Particle size measurement. London Chapman and Hall. D o b o s z M., 2001 – Statystyczna analiza wyników badañ. Wyd. Exit, Warszawa.
D r z y m a ³ a J., 2009 – Podstawy mineralurgii, Oficyna Wydawnicza Politechniki Wroc³awskiej, Wroc³aw. F o s z c z D., 2003 – Zastosowanie metod bootstrapowych do bilansowania produkcji na przyk³adzie O/ZWR
KGHM ,,Polska MiedŸ” S.A. In¿ynieria Mineralna vol. 3, pp. 64–69.
Gawlik i in. 2004 – G a w l i k L., M i r o w s k i T., M o k r z y c k i E., O l k u s k i T., S z u r l e j A., 2004 – Coal preparation versus losses of chemical energy in combustion processes. Gospodarka Surowcami Mineralnymi t. 20, z. 4, s. 81–88.
G o t t f r i e d B.S., 1981 – Statistical representation of generalised distribution data for floatsink coal-cleaning devices: sand cones. Int. J. Min. Processing no 8, pp. 89–91.
Kotz i in. 2000 – K o t z S., B a l a k r i s h a n N., J o h n s o n N.L., 2000 – Continuous multivariate distributions. John Wiley, New York.
Krawczykowski i in. 2012 – K r a w c z y k o w s k i D., K r a w c z y k o w s k a A., T r y b a l s k i K., 2012 – Laser particle size analysis – the influence of density and particle shape on measurement results. Gospodarka Surowcami Mineralnymi t. 28, z. 4, s. 101–112.
N i e d o b a T., 2003 – Ocena jakoœci produktu przy pomocy metod bayesowskich na przyk³adzie z³o¿a ,,Rudna”. In¿ynieria Mineralna no 3, pp. 134–141.
N i e d o b a T., 2007 – Ocena zawartoœci popio³u w pok³adach wêgla za pomoc¹ nieparametrycznych metod statystycznych. Górnictwo i Geoin¿ynieria vol. 4, pp. 39–50.
N i e d o b a T., 2012 – Modern statistical methods in description of raw materials in context of natural environment. Polish Journal of Environmental Studies vol. 21, no 5A, pp. 321–325.
N i e d o b a T., T u m i d a j s k i T., 2012 – Application of Ordinary Kriging in Purpose of Determination of Ash Contents in Coal Dependably on Density and Particle Size of Comminuted Material, in Proceedings of XXVI International Mineral Processing Congress. New Delhi, India, pp. 3835–3843.
N i e d o b a T., T u m i d a j s k i T., 2012 – Determination of Ash Contents in Coal by Means of Ordinary Kriging Method. Journal of Earth Science and Engineering vol. 2, iss. 10, pp. 571–576.
Olejnik i in. 2010 – O l e j n i k T., S u r o w i a k A., G a w e n d a T., N i e d o b a T., T u m i d a j s k i T., 2010 – Wielowymiarowe charakterystyki wêgli jako podstawa do oceny i korekty technologii ich wzbogacania. Górnictwo i Geoin¿ynieria vol. 4/1, pp. 207–216.
R ó g L., 2009 – Mo¿liwoœci wykorzystania zespo³ów krzywych wzbogacalnoœci do oceny w³aœciwoœci fizyko-chemicznych koncentratów wêgli kamiennych. Przegl¹d Górniczy vol. 65, no 7–8, pp. 96–109.
S c o t t D.W., 1992 – Multivariate Density Estimation. John Wiley, New York. S t ê p i ñ s k i W., 1964 – Wzbogacanie grawitacyjne. PWN, Warszawa.
S z a r a p o w I.P., 1966 – O statisticzieskom rasriedelenii i³otnosti rudosoder¿aszczich gornych porad. Fizika Ziemli.
T u m i d a j s k i T., 1992 – Wybrane problemy stochastycznej analizy w³asnoœci materia³ów uziarnionych i pro-cesów przeróbki surowców mineralnych. Zeszyty Naukowe AGH, Górnictwo vol. 159, Kraków.
T u m i d a j s k i T., 1997 – Stochastyczna analiza w³asnoœci materia³ów uziarnionych i procesów ich rozdzia³ów. Wydawnictwo AGH, Kraków.
T u m i d a j s k i T., 2012 – Heurystyczne modele procesów rozdrabniania jako podstawa symulacyjnej opty-malizacji ich przebieg. Gospodarka Surowcami Mineralnymi t. 28, z. 3, s. 127–137.
ELEMENTY METODOLOGII STOSOWANIA DWU- I WIELOWYMIAROWYCH ROZK£ADÓW W£AŒCIWOŒCI MATERIA£ÓW UZIARNIONYCH DO OPISU WZBOGACANIA WÊGLI
S ³ o w a k l u c z o w e
Krzywe wzbogacalnoœci Henry’ego, wêgiel, aproksymacja, rozk³ady zmiennych losowych, wielowymiarowe metody aproksymacji
S t r e s z c z e n i e
Procesy wzbogacania s¹ g³ównym elementem sk³adowym ca³oœci procesu przeróbczego surowców mine-ralnych. Efektywnoœæ procesu i potencjaln¹ wzbogacalnoœæ surowca okreœla siê za pomoc¹ krzywych wzboga-calnoœci. Istnieje wiele rodzajów krzywych wzbogacalnoœci, spoœród których jedn¹ z najczêœciej stosowanych jest krzywa Henry’ego. W pracy przedstawiono metody jej aproksymacji.
Artyku³ zosta³ podzielony na dwie czêœci. W czêœci pierwszej przedstawiono aproksymacjê krzywej wzboga-calnoœci Henry’egol = l(g) dla wêgla typu 31 (wykorzystano dane z jednej z kopalñ Górnoœl¹skiego Okrêgu Przemys³owego) za pomoc¹ dwóch metod. Pierwszy sposób polega³ na wyznaczeniu zale¿noœci funkcyjnej pomiêdzy zawartoœci¹ popio³u a gêstoœci¹l = l0(r) oraz miêdzy wychodem i gêstoœci¹ g = F(r). Nastêpnie poprzez okreœlenie funkcji odwrotnejr = F–1(g) i z³o¿enie z pierwsz¹ funkcj¹ uzyskano szukan¹ zale¿noœæ dla l(g). Druga metoda polega³a na aproksymacji funkcjig = F(l) za pomoc¹ po³¹czenia (sklejenia) dwóch funkcji logistycznych (punkt sklejenia wyznaczono metod¹ krigingu zwyczajnego). Nastêpnie poprzez funkcjê odwrotn¹ otrzymano szukan¹ funkcjê dlal(g). Dok³adnoœæ przybli¿enia okreœlono poprzez porównanie zawartoœci popio³u w poszcze-gólnych frakcjach oraz w ca³ym materiale.
W czêœci drugiej pracy zaproponowano sposoby okreœlenia powierzchnil = l(d,r) za pomoc¹ regresji pierwszego rodzaju z zastosowaniem dwu- i trójwymiarowych rozk³adów Morgensterna oraz regresji drugiego rodzaju z zastosowaniem znanych rozk³adów dwuwymiarowych lub przy pomocy metod dwuwymiarowej apro-ksymacji j¹drowej, bêd¹cej jedn¹ z coraz czêœciej stosowanych w praktyce nieparametrycznych metod sta-tystycznych. Podano równie¿ wzory na œredni¹ zawartoœæ popio³u w ca³ym badanym materiale.
METHODOLOGICAL ELEMENTS OF APPLYING TWO- AND MULTI-DIMENSIONAL DISTRIBUTIONS OF GRAINED MATERIALS PROPERTIES TO COAL BENEFICIATION
K e y w o r d s
Basic Henry’s beneficiation curve, Coal, Approximation, Random variables distribution functions, Multi-dimensional methods of approximation.
A b s t r a c t
Processes of beneficiation are a primary component of mineral processing operations. The efficiency of the process and potential beneficiation of the material are evaluated by means of beneficiation curves. There are many varieties of beneficiation curves, among which one of the most often applied is a group called Henry’s beneficiation curves. Of these, the basic curve for ash content in feed is the most often used. This paper presents the methods of ash content curve approximation.
This paper is divided into two parts. Part one contains the approximation of the basic Henry’s beneficiation curvel = l(g) for energetic coal of type 31 (data from one of the Upper Silesian coal mines were applied for this purpose) conducted by means of two varying methods. The first method was based on a determination of the functional relation between ash content and densityl = l0(r) as well as between yield and density g = F(r). Then, by determination of the reverse functionr = F–1(g) and its combination with the first function, the searched relation forl(g) was obtained. The second method was based on approximation of the function g = F(l) by means of combining two logistical functions (the combining point was determined by means of the ordinary kriging method). Then, using the reverse function, the searched function l(g) was obtained. The adequacy of ap-proximation was evaluated by comparison of the ash content both in individual fractions and throughout the whole material.
The second part of the paper proposes ways of determining the surfacel = l(d,r) by means of regression of the first type by applying two- and three-dimensional Morgenstern distribution functions and by means of regression of the second type by applying known two-dimensional distribution functions or two-dimensional kernel approximation. The latter function is the nonparametric statistical method increasingly used. Furthermore, the paper provides formulas for mean ash content as a component of the whole investigated material.
