IV Ró· zniczkowalno´s´c funkcji wielu zmiennych

IV Ró· zniczkowalno´s´c funkcji wielu zmiennych

(pochodne cz ¾astkowe, kierunkowe i mocna pochodna)

Niech k > 1 b ¾edzie liczb ¾a naturaln ¾a, G R^k zbiorem otwartym, p = (p1; : : : ; pk) 2 G. Pochodn ¾a cz ¾astkow ¾a w punkcie p funkcji f : G ! R wzgl ¾edem i-tej osi nazywamy pochodn ¾a w punkcie 0 funkcji (jednej zmiennej) ' (t) = f (p + t!ei) , tzn.

f_x⁰_i(p) = @f

@xi

(p) = '⁰(0) = lim

t!0

f (p1; : : : ; pi+ t; : : : ; pk) f (p1; : : : ; pk)

t .

Je´sli f (x; y) jest funkcj ¾a dwóch zmiennych oraz p = (p₁; p₂), to mo·zemy mówi´c o dwóch pochodnych cz ¾astkowych oznaczanych symbolami f⁰_x(p) i f⁰_y(p), czyli

f⁰_x(p) = lim

t!0

f (p1+ t; p2) f (p1; p2) t

oraz

f⁰_y(p) = lim

t!0

f (p1; p2+ t) f (p1; p2) t

Interpretacja geometryczna pochodnych cz ¾astkowych: Je´sli funkcja f ma pochodne cz ¾astkowe w punkcie (x₀; y₀) oraz oznacza k ¾at nachylenia sty- cznej do krzywej otrzymanej w wyniku przekroju wykresu funkcji f p÷aszczyzn ¾a y = y0 w punkcie (x0; y0; f (x0; y0)) do p÷aszczyzny x0y za´s - k ¾at nachyle- nia stycznej do krzywej otrzymanej w wyniku przekroju wykresu funkcji f p÷aszczyzn ¾a x = x0to

@f

@x(x₀; y₀) = tg oraz @f

@y (x₀; y₀) = tg .

Uwaga: Odmiennie ni·z dla funkcji jednej zmiennej wygl ¾ada zwi ¾azek mi ¾edzy ci ¾ag÷o´sci ¾a funkcji a istnieniem pochodnych cz ¾astkowych. Funkcja dwóch zmien- nych mo·ze mie´c w punkcie obie pochodne cz ¾astkowe i nie by´c w tym punkcie ci ¾ag÷a. Jako przyk÷ad mo·ze s÷u·zy´c funkcja

f (x; y) = 8<

: 1 dla xy = 0 2 dla xy 6= 0

Pierwsz ¾a pochodn ¾a cz ¾astkow ¾a wzgl ¾edem x funkcji dwóch zmiennych f (x; y) jest funkcja dwóch zmiennych, która ka·zdemu punktowi p 2 G o wspó÷rz ¾ednych (x; y) przyporz ¾adkowuje liczb ¾e f⁰_x(x; y) = f⁰_x(p).

Gradientemfunkcji f w punkcie p nazywamy wektor z÷o·zony z pochodnych cz ¾astkowych w tym punkcie

grad f (p) = f_x⁰₁(p) ; : : : ; f_x⁰_k(p) .

1

Zatem, je´sli f (x; y) jest funkcj ¾a dwóch zmiennych oraz p = (p1; p2), to grad f (p) = f⁰_x(p) ; f⁰_y(p)

Pochodne cz ¾astkowe pochodnych cz ¾astkowych funkcji wielu zmiennych nazy- wamy pochodnymi cz ¾astkowymi drugiego rz ¾edutej funkcji. Funkcja dwóch zmiennych f (x; y) mo·ze wi ¾ec mie´c w danym punkcie p cztery pochodne cz ¾astkowe drugiego rz ¾edu oznaczane symbolami

f⁰⁰_xx(p) f⁰⁰_xy(p) f⁰⁰_yx(p) f⁰⁰_yy(p) lub

@²f

@x²(p) _@x@y^@2f (p) _@y@x^@2f (p) ^@_@y^2f2(p) .

Twierdzenie 4.1 (Schwartza o pochodnych mieszanych). Je·zeli funkcja f (x; y) okre´slona na pewnym obszarze otwartym ma w tym obszarze obie pochodne mieszane f⁰⁰_xyi f⁰⁰_yxi pochodne te s ¾a ci ¾ag÷e w pewnym punkcie P0, to f⁰⁰_xy(P0) = f⁰⁰_yx(P0)

Pochodn ¾a kierunkow ¾a w punkcie p funkcji f w kierunku wektora !v = (v₁; : : : ; v_k) 6= nazywamy pochodn ¾a funkcji g (t) = f (p + t!v ) w punkcie 0, tzn.

f_!⁰_v (p) = g⁰(0) = lim

t!0

f (p1+ tv1; : : : ; pk+ tvk) f (p1; : : : ; pk)

t .

Za÷ó·zmy, ·ze V i W s ¾a przestrzeniami wektorowymi. Przypomnijmy, ·ze odw- zorowanie ' : V ! W nazywamy liniowym je´sli dla dowolnych elementów!h i!k przestrzeni wektorowej V oraz dowolnych liczb i

' !h + !k = ' !h + ' !k .

W przypadku, gdy V = W = R dowolne odwzorowanie liniowe jest postaci ' (x) = ax

Zauwa·zmy, ·ze ró·zniczka funkcji jednej zmiennej w dowolnym punkcie jest odw- zorowaniem liniowym.

W przypadku, gdy V = R² oraz W = R dowolne odwzorowanie liniowe jest postaci

' (x; y) = ax + by

Mówimy, ·ze funkcja dwóch zmiennych f okre´slona na pewnym obszarze D R² jest ró·zniczkowalnaw punkcie a = (a₁; a₂) nale·z ¾acym do wn ¾etrza obszaru D, gdy istnieje takie odwzorowanie liniowe A : R²! R, ·ze

lim

(h1;h2)!(0;0)

f (a + h) f (a) A(h) ph²₁+ h²₂ = 0 .

2

Odwzorowanie A nazywamy ró·zniczk ¾a zupe÷n ¾a funkcji f w punkcie a (albo pochodn ¾a mocn ¾a lub Frécheta funkcji f w punkcie p) i oznaczamy f⁰(p).

Je·zeli funkcja ma pochodn ¾a mocn ¾a w punkcie p, to mówimy, ·ze jest ró·zniczkowalna w tym punkcie.

Analogicznie de…niuje si ¾e ró·zniczkowalno´s´c funkcji wielu zmiennych dla n >

2.

Twierdzenie 4.2. Je´sli f jest funkcj ¾a ró·zniczkowalna w punkcie a, to ist- niej ¾a wszystkie pochodne cz ¾astkowe w punkcie a oraz pochodne kierunkowe w punkcie a w kierunku dowolnego wektora.

Je´sli wszystkie pochodne cz ¾astkowe funkcji f istniej ¾a w pewnym otoczeniu punkty a i s ¾a w tym punkcie ci ¾ag÷e , to jest f jest ró·zniczkowalnaw punkcie a.

Twierdzenie 4.3. O pochodnej funkcji z÷o·zonej Je´sli funkcja f : U 7!

R gdzie U Rⁿ ma ci ¾ag÷e pochodne cz ¾astkowe _@x^@f

i dla i = 1; :::; n za´s funkcje xi= xi(t) gdzie t 2 ( ; ) s ¾a ró·zniczkowalne na ( ; ) dla i = 1; :::n oraz punkty postaci (x₁(t); :::; x_n(t)) 2 U dla t 2 ( ; ),to funkcja z÷o·zona f (x₁(t); :::; x_n(t)) jest te·z ró·zniczkowalna na ( ; ), przy czym

d

dtf x₁(t⁰); :::; x_n(t⁰) = Xn i=1

@f

@x_i x₁(t⁰); :::; x_n(t⁰) dx_i dt (t⁰) gdzie t⁰2 ( ; )

Twierdzenie 4.4. O pochodnych cz ¾astkowych funkcji z÷o·zonej Je´sli funkcja f : U 7! R gdzie U Rⁿ ma ci ¾ag÷e pochodne cz ¾astkowe _@x^@f

i dla i = 1; :::; n w U oraz funkcje xi = xi(t1; :::; tm) te·z maj ¾a ci ¾ag÷e pochodne cz ¾astkowe w pewnym obszarze D R^m i punkty (x1(t1; :::; tm); :::; xn(t1; :::; tm)) 2 U dla (t1; :::; tm) 2 D równe

@f x₁(t⁰); :::; x_n(t⁰)

@tj

= Xn k=1

@f

@xk

x₁(t⁰); :::; x_n(t⁰) @x_k

@tj

(t⁰))

dla j = 1; :::; m.

Twierdzenie 4.5. Je´sli funkcja f : Rⁿ 7! R ma w punkcie p⁰ 2 Rⁿ ci ¾ag÷e pochodne cz ¾astkowe, to jej pierwsza ró·zniczka (df )_p0 : Rⁿ 7! R jest funkcj ¾a liniow ¾a i wyra·za si ¾e wzorem:

(df )_p0 ~h = @f

@x1

(p₀) h₁+ ::: + @f

@xn

(p₀) h_n

gdzie ~h = [h1; :::; hn] Zauwa·zmy, ·ze ró·zniczk¾e (df )p0 mo·zna wyrazi´c jeszcze inaczej. W tym celu rozpatrzmy funkcj ¾e gi(x1; :::; xn) = xi dla i = 1; :::; n.

3

Ró·zniczka tej funkcj (dgi)p w ka·zdym punkcie p jest taka sama i oznaczamy j ¾a przez dxi. Poniewa·z

@g_i

@xj

= 1 dla i = j 0 dla i 6= j

to dx_i(h₁; :::; h_n) = h_i dla i = 1; :::; n dowolnego punktu p oraz wektora ~h = [h₁; :::; h_n]. Zatem

(df )p0 = @f

@x1

(p0) dx1+ ::: + @f

@xn

(p0) dxn.

4