Formy ró»niczkowe cz.1

dr J.Kluczenko, dr K. ›yjewski Analiza matematyczna II; MAT. S-II⁰. 24 listopada 2015

Formy ró»niczkowe cz.1

1. Oblicz warto±¢ formy ró»niczkowej ω na wskazanych ukªadach wektorów:

a) ω = ydx na wektorze ξ = (1, 2, 3) ∈ T(3,2,1)R³;

b) ω = dx¹∧dx³+xdx²∧dx⁴na parze wektorów ξ1, ξ2 ∈ T(1,0,0,0)R⁴,gdzie ξ1 = (−1, 0, 1, 1), ξ2 = (0, −1, 0, 1).

2. Doprowad¹ dane formy do postaci standardowej, czyli P

1≤i1<i2<...<ik≤n

ωi1...i_k(x) dxⁱ¹∧ . . . ∧ dx^ik : a) 2dx ∧ dz ∧ dy + 4dy ∧ dx ∧ dy − dy ∧ dz ∧ dx;

b) xydx ∧ dz + ydz ∧ dx − xdy ∧ dz + zdx ∧ dx;

c) x¹dx⁵ ∧ dx⁷ ∧ dx² ∧ dx³ + x²dx¹ ∧ dx² ∧ dx⁴ ∧ dx³ + (x¹ + x²)dx¹ ∧ dx² ∧ dx³ ∧ dx⁴ +(x³− x⁵)dx²∧ dx⁷∧ dx³∧ dx⁵;

d) (2dx − 5dy + 3dz) ∧ (dx + 3dy − 7dz);

e) (xdx − xydy + zdz) ∧ (xdx − xydy + zdz);

f) (x¹dx¹∧ dx³− x¹x³dx²∧ dx⁴) ∧ (x¹dx¹∧ dx³− x¹x³dx²∧ dx⁴);

g) (x¹dx¹− x¹x²dx²+ x³dx³) ∧ (x⁵dx¹∧ dx²+ x¹x⁴dx³∧ dx⁵).

3. Obliczy ró»niczk¦ zewn¦trzn¡ form ró»niczkowych:

a) ω(x, y) = e^xydx;

b) ω(x, y, z) = xe^ydy ∧ dz + zydx ∧ dz + dx ∧ dy;

c) ω(x, y, z) = sin³x cos xdy ∧ dz + 3y cos³xdz ∧ dx − 3z cos xdx ∧ dy;

d) ω(x, y) = ^ydx−xdy_x²_+y² .

4. Zbada¢ czy nast¦puj¡ce formy s¡ dokªadne a) ω(x, y) = 2xydx + x²dy;

b) ω(x, y) = ^xdy−ydx_x2+y² ;

c) ω(x, y, z) = yzdx + xzdy + xydz;

d) ω(x, y, z) = xdx+ydy+zdz√

x²+y²+z² ;

5. Zbada¢ czy dla formy ω ∈ F²(R⁴) danej wzorem ω(x¹, x², x³, x⁴) = (x¹ + (x³)³)dx¹ ∧ dx⁴ + (x¹)²x²dx³∧ dx¹+ x⁴dx²∧ dx³ istnieje taka forma η ∈ F¹(R⁴),»e dη = ω.

6. Przenie±¢ 2-form¦ ω = 2dy¹ ∧ dy² + (e^y1 + y²)dy¹ ∧ dy³ z R³ na R² przez odwzorowanie T : R² → R³ dane wzorem T (x¹, x²) = (x¹x², sin x², (x¹)³+ x²).

7. Wyliczy¢ f^∗ω, gdy

a) f : R² → R³, f (s, t) = (s + t, t², s · t) oraz ω(z, y, z) = 3xydy ∧ dz;

b) f : R+→ R³, f (s) = (s², 2s + 5, ln s)oraz ω(x, y, z) = xy²dx + 5y²dy;

c) f : R → R, f(s) = e^s+ 5s² oraz ω(x) = sin xdx;

d) f : (0, π)×R → R⁴, f (s, t) = (cos s, sin t, sin s, cos s)oraz ω(x¹, x², x³, x⁴) = x¹dx³−x²dx⁴.

1

dr J.Kluczenko, dr K. ›yjewski Analiza matematyczna II; MAT. S-II⁰. 24 listopada 2015

Informacje pomocnicze

Denicja 1. Niech M ⊂ Rⁿ(otwarty) oraz niech Λ^k(M )b¦dzie zbiorem wektorów antysymetrycznych na przestrzeni stycznej TxM. k-form¡ ró»niczkow¡ na M nazywamy odwzorowanie ω : M → Λ^k(M ) takie, »e

ω(x) ∈ Λ^k(T_xM ), ∀_x∈M. Zbiór k-form ró»niczkowych na M oznaczamy przez F^k(M ).

Zatem ω jest form¡ ró»niczkow¡ stopnia k je»eli w ka»dym punkcie M jest k-liniow¡ form¡ antysy- metryczn¡.

Niech wektory e1(x), . . . , e_n(x) tworz¡ baz¦ przestrzeni TxM b¦d¡c¡ wektorami jednostkowymi o kierunkach osi wspóªrz¦dnych (czyli przesuni¦cie bazy standardowej e1, . . . , e_n do punktu x). Wów- czas wprowadzaj¡c oznaczenie e^∗i(x) := dx_i oraz korzystaj¡c z faktu, »e zbiór wszystkich iloczynów zewn¦trznych postaci: e^∗i1 ∧ . . . ∧ e^∗_i

1, gdzie 1 ≤ i1 < i₂ < . . . < i_k ≤ n stanow¡ baz¦ przestrzeni Λ^k(V ) mamy, »e iloczyny zewn¦trzne postaci

dxⁱ¹ ∧ . . . ∧ dx^ik, gdzie 1 ≤ i1 < i2 < . . . < ik≤ n stanowi¡ baz¦ przestrzeni k-form ró»niczkowych F^k(M ). Zatem

ω(x) = X

1≤i1<i2<...<ik≤n

ω_i1...ik(x) dxⁱ¹ ∧ . . . ∧ dx^ik, (1)

gdzie ωi1...ik(x) = ω e_i1(x), . . . , e_ik(x)
.

Twierdzenie 2.

e^∗_i

1 ∧ . . . ∧ e^∗_i

k(v₁, . . . , v_k) =         

e^∗_i1(v₁) e^∗_i2(v₁) . . . e^∗_i

k(v₁) e^∗_i1(v2) e^∗_i2(v2) . . . e^∗_ik(v2)

... ... . . . ...

e^∗_i1(vk) e^∗_i2(vk) . . . e^∗_ik(vk)          Denicja 3. (ró»niczka zewn¦trzna)

Je»eli f ∈ F⁰(M )b¦dzie funkcj¡ ró»niczkowaln¡, wówczas ró»niczk¡ zewn¦trzn¡ f nazywamy ró»niczk¦

df :

df =

n

X

i=1

∂f

∂xⁱdxⁱ.

Je»eli ω ∈ F^k(M ), gdzie k ≥ 1 jest postaci (1) oraz wspóªczynniki ωi1...ik(x)s¡ ró»niczkowalne, to jej ró»niczka zewn¦trzn¡ jest (k + 1)-form¡ postaci:

dω(x) = X

1≤i1<i2<...<i_k≤n n

X

j=1

∂ω_i1...ik(x)

∂x^j dx^j∧ dxⁱ¹ ∧ . . . ∧ dx^ik.

Denicja 4. Niech M ⊂ Rⁿ.Form¦ ró»niczkow¡ ω ∈ F^k(M )nazywamy zamkni¦t¡ (kocyklem) wtw.

gdy dω = 0.

Denicja 5. Form¦ ró»niczkow¡ ω ∈ F^k(M ) nazywamy dokªadn¡ (kobrzegiem) wtw. gdy istnieje η ∈ F^k−1 taka, »e ω = dη.

2

dr J.Kluczenko, dr K. ›yjewski Analiza matematyczna II; MAT. S-II⁰. 24 listopada 2015

Twierdzenie 6. (wªasno±ci ró»niczki zewn¦trznej) Zachodz¡ nast¦puj¡ce wªasno±ci form ró»niczkowych:

a) je»eli ω, η ∈ F^k(M ), to d(ω + η) = dω + dη;

b) d(dw) = 0

c) je»eli ω ∈ F^k(M ), η ∈ F^l(M ), to d(ω ∧ η) = dω ∧ η + (−1)^kω ∧ dη Denicja 7. (cofanie form ró»niczkowych)

Niech f : M1 → M₂ b¦dzie odwzorowaniem gªadkim obszaru M1 ⊂ Rⁿ¹ w obszar M2 ⊂ Rⁿ². Ponadto niech f⁰(x) : T_xM₁ → T_{f (x)}M₂ b¦dzie odpowiadaj¡cym mu przeksztaªceniem stycznym w punkcie x :

f⁰(x)(h¹, . . . , hⁿ¹) =







∂f¹(x)

∂x¹ h¹ · · · ^∂f_∂x¹_n1^(x)hⁿ¹ ... ... ...

∂fⁿ²(x)

∂x¹ h¹ · · · ^∂f_∂xⁿ²_n1^(x)hⁿ¹





 oraz ω ∈ F^k(M₂).

Okre±lamy dla formy ró»niczkowej ω k-form¦ ró»niczkow¡ f^∗ω : F^k(M₂) → F^k(M₁), która w punkcie x ∈ M1 na ukªadzie k wektorów stycznych do M1 (u₁, . . . , u_k∈ T_xM₁) wyra»a si¦ wzorem

f^∗ω(x) u₁, . . . , u_k
= ω(f (x)) f⁰(x)u₁, . . . , f⁰(x)u_k
.

Twierdzenie 8. Niech f : M1 → M2 b¦dzie odwzorowaniem gªadkim obszaru M1 ⊂ Rⁿ¹ w obszar M₂ ⊂ Rⁿ² oraz ω ∈ F^k(M₂). Wówczas

f^∗ω(x) = X

1≤i1<i2<...<ik≤n1 1≤j1<j2<...<jk≤n2

ω_i1...ik f (x)
∂ (f

j1, . . . , f^jk)

∂(x¹, . . . , x^ik)(x) dxⁱ¹ ∧ . . . ∧ dx^ik, Fakt 9. (wªasno±ci cofania form ró»niczkowych)

Niech f : M1 → M₂ b¦dzie odwzorowaniem gªadkim obszaru M1 ⊂ Rⁿ¹ w obszar M2 ⊂ Rⁿ², niech ω, η ∈ F (M₂), niech g b¦dzie funkcj¡ okre±lon¡ na M2 oraz λ ∈ R. Wówczas

a) f^∗(ω + η) = f^∗(ω) + f^∗(η);

b) f^∗(λω) = λf^∗(ω);

c) f^∗(g · ω) = (g ◦ f )f^∗(ω);

d) f^∗(ω ∧ η) = f^∗(ω) ∧ f^∗(η);

e) je»eli f1 : M₁ → M₂ oraz f2 : M₂ → M₃, to (f2◦ f₁)^∗ = f₁^∗◦ f₂^∗; f) f^∗(dω) = d(f^∗ω).

3