Złożoność Grassbergera

Pełen tekst

(1)Zeszyty Naukowe nr 780. Uniwersytetu Ekonomicznego w Krakowie. 2008. Fryderyk Falniowski Katedra Matematyki. Złożoność Grassbergera 1. Wprowadzenie ,,Archetypem” układu dynamicznego jest przestrzeń ciągów nieskończonych z przesunięciem. Uosabia on złożoność zachowań układów dynamicznych. Mimo prostoty układu można w nim zaobserwować zachowania nieregularne, chaotyczne. Ponadto wiele ciekawych, bardziej skomplikowanych do badania układów jest sprzężonych lub semisprzężonych z przestrzenią ciągów z przesunięciem. Uzasadnione jest zatem badanie złożoności tego układu. Wprowadza się entropię ciągu długości n, nazywaną też entropią częściową i oznaczaną przez Hn. Jest ona odpowiednikiem entropii Shannona dla ciągów. Zazwyczaj Hn+1 jest silnie większa od Hn. Zatem entropia ciągu nieskończonego definiowana jako granica entropii częściowych byłaby nieskończona, czyli nie rozróżniałaby dwóch ciągów o różnej złożoności. Jednym z rozwiązań tego problemu jest przeformułowanie definicji entropii tak, aby otrzymana wartość była skończona, co można np. osiągnąć, definiując entropię jako granicę przyrostów kolejnych entropii częściowych Hn. Zdarza się jednak, że dla dwóch istotnie różnych układów jest ona taka sama. Aby je rozróżnić, można badać, w jaki sposób przyrosty zmierzają do granicy. Wielkością, która charakteryzuje tę zbieżność, jest złożoność Grassbergera. Praca ma na celu zbadanie własności złożoności Grassbergera dla miar probabilistycznych zdefiniowanych na przestrzeni ciągów nieskończonych, niezmienniczych względem przesunięcia. 2. Przestrzeń ciągów nieskończonych Niech Ω = XZ będzie zbiorem wszystkich ciągów dwustronnie nieskończonych postaci x = (…, x–1, x0, x1, …), których współrzędne xi są punktami tej samej prze-.

(2) Fryderyk Falniowski. 72. strzeni mierzalnej (X, M). W Ω istnieje naturalna σ-algebra ∑ generowana przez zbiory cylindryczne, tzn. zbiory postaci: Ci1 ,..., ir (C1 ,..., Cr ) = { x = (..., x−1 , x0 , x1 ,...) ∈ Ω : xi1 ∈ C1 ,..., xir ∈ Cr }, gdzie 1 ≤ r < ∞, i1 < … < ir są liczbami całkowitymi, a C1, …, Cr ∈ M. Rodzinę wszystkich zbiorów cylindrycznych oznaczamy przez C. Zbiór {i1, …, ir} nazywamy bazą zbiorów cylindrycznych Ci1 ,..., ir (C1 ,..., Cr ). Każdy zbiór cylindryczny równy jest pewnemu zbiorowi cylindrycznemu o bazie złożonej z kolejnych liczb naturalnych od i1 do ir gdy na ,,brakujących” elementach bazy i przyjmiemy Ci = X. Prawdziwe jest następujące twierdzenie, którego dowód można znaleźć w pracy [Parthasarathy 1978]. Twierdzenie 1. Niech A będzie półalgebrą podzbiorów przestrzeni Y. Niech m: A → [0, 1] będzie σ-addytywne i m(Y) = 1. Wtedy istnieje dokładnie jedno rozszerzenie μ funkcji m na σ(A) będące miarą probabilistyczną na σ(A). Łatwo pokazać, że C jest półalgebrą. Korzystając z tego faktu oraz twierdzenia 1, otrzymujemy miarę probabilistyczną μ jednoznacznie określoną przez wartości, które przyjmuje na zbiorach cylindrycznych. Otrzymujemy zatem przestrzeń z miarą (Ω, ∑, μ), gdzie ∑ := σ(C). Wśród miar na przestrzeni ciągów nieskończonych ważną rolę odgrywają miary niezmiennicze ze względu na przesunięcie. Definicja 1. Miarę μ nazywamy niezmienniczą ze względu na przesunięcie, jeśli dla dowolnego zbioru cylindrycznego Ci1 ,..., ir (C1 ,..., Cr ) miara μ(Ci1 ,..., ir (C1 ,..., Cr )). nie zmienia się przy przesunięciu zbioru cylindrycznego w czasie, tj. jeśli θ jest przesunięciem na Ω, to dla dowolnej liczby naturalnej n zachodzi równość:. μ(Ci1 ,..., ir (C1 ,..., Cr )) = μ(θ− n (Ci1 ,..., ir (C1 , ..., Cr ))). . (1). Zbiór miar niezmienniczych na Ω oznaczamy przez M(Ω). Uwaga 1. Warunek (1) wystarczy zadać dla n = 1. Dowód. Z definicji miary niezmienniczej: ∈ • μ (Ci ,..., i (C1 , ..., Cr )) = μ (Ci + n ,..., i + n (C1 , ...,Cr )). ∈n• ∀n ∀ 1 r 1 r. Zatem zachodzi też dla n = 1. Z kolei jeśli n = 1, to dla dowolnych liczb całkowitych i1, …, ir istnieją j1, …, jr, jl = il + 1 dla l = 1, …, r, takie że:.

(3) Złożoność Grassbergera. 73. μ (Ci1 ,..., ir (C1 ,..., Cr )) = μ (C j1 ,..., jr (C1 ,..., Cr )). = μ (C j1 +1,..., jr +1 (C1 ,..., Cr )) = μ (Ci1 + 2,..., ir + 2 (C1 ,..., Cr )). i postępując analogicznie, otrzymujemy warunek (1) dla dowolnej liczby naturalnej n. 3. Zbieżność entropii częściowych Niech θ będzie przesunięciem na Ω, zaś μ miarą niezmienniczą ze względu na przesunięcie. Oznaczmy przez I kn zbiór {1, …, k}n dla k, n ∈ •. Niech X = ik=1 Ci, gdzie {Ci }ik=1 są zbiorami rozłącznymi. Dla ustalonej miary μ oraz ustalonego podziału zbioru X definiujemy entropię częściową. Definicja 2. Niech n ∈ •. Entropią częściową nazywamy funkcję Hn: M(Ω) → ° + zadaną wzorem: Hn := – dla μ ∈ M(Ω), n ≥ 1, gdzie:. ∑ pι(μ) ln(pι(μ)). ι ∈ I kn. pι(μ) = μ(C1, …, n (Ci1 , ..., Cin )) dla ι = {i1, …, in} ∈ I kn. Dla n = 0 zadajemy H0 := 0. Okazuje się jednak, że rozpatrywanie granicy entropii częściowych nie daje oczekiwanych wyników ze względu na następujący fakt. Uwaga 2. Niech μ ∈ M(Ω). Jeśli dla dowolnego n ∈ • μ (C1, …, n +1 (Ci1 , ..., Cin+1 )) ≠ μ (C1, …, n (Ci1 ,..., Cin )), to. lim H n = ∞.. n→∞. Rozpatrując przestrzeń ciągów nieskończonych potrzebujemy funkcji, która byłaby różna dla różnych μ ∈ M(Ω). Dlatego zdefiniowanie entropii ciągu jako granicy entropii częściowych jest nieodpowiednie. Zamiast tego rozpatruje się.

(4) Fryderyk Falniowski. 74. granice ciągów ( 1n H n )n ∈ • i (Hn+1 – Hn)n ∈ •. Jeśli μ jest niezmiennicza, to prawdziwe jest następujące twierdzenie, którego dowód można znaleźć w pracy [Słomczyński 2003]. Twierdzenie 2. Niech μ ∈ M(Ω) będzie miarą niezmienniczą ze względu na przesunięcie. Wtedy oba ciągi ( 1n H n )n ∈ • i (Hn+1 – Hn)n ∈ • są nieujemne, malejące i mają wspólną granicę. Definicja 3. Wspólną granicę ciągów ( 1n H n )n ∈ • i (Hn+1 – Hn)n ∈ • oznaczamy przez H i nazywamy entropią miary niezmienniczej μ: H := lim ( H n +1 − H n ) = lim. n→∞. n→∞. 1 Hn.. n. (2). Uwaga 3. Entropia zadana wzorem (2) jest równa entropii Kołmogorowa-Sinaja przesunięcia θ z miarą niezmienniczą μ. Ogólnie w przypadku entropii Kołmogorowa-Sinaja bierzemy supremum po różnych podziałach, w przypadku entropii zadanej wzorem (2) mamy do dyspozycji podział kanoniczny, jest ona zatem łatwiejsza do obliczenia. Aby uprościć notację, niech: gn := Gn − H dla n ∈ • oraz hn :=. 1 Hn − H n. dla n ≥ 1 oraz h 0 = H1. Ciągi (gn)n ∈ • oraz (hn)n ∈ • są na podstawie twierdzenia 2 malejące i nieujemne oraz zmierzają do 0 dla n → ∞. Zachowanie tych ciągów było badane w pracach [Blume 1997; 1998], [Dębowski 2005], [Falniowski 2005] oraz [Nowak 1998]. W szczególności prawdziwy jest następujący lemat. Lemat 1 [Nowak 1998]. Jeśli H1 ≠ H, to ciąg 1n H n zbiega do H nie szybciej niż n–1.. Dowód. Niech n ∈ •. Mamy 1n H n = ∑in=−01Gi ≥ 1n H 1 + n n−1 H. Stąd otrzymujemy, h że hn ≥ n1 > 0, co kończy dowód. Jest oczywiste, że ciąg Gn zbiega do H szybciej niż 1n H n, ponieważ. 1 n. H n = n1 ∑in=−01 Gi ≥ Gn dla n ∈ •..

(5) Złożoność Grassbergera. 75. 4. Efektywna miara złożoności układu dynamicznego Definicja 4. Złożonością Grassbergera nazywamy funkcję CG: M(Ω) → ° zadaną wzorem: ∞. CG = ∑gn . n=0. H1. Gn. CG. H. 1. n. Rys. 1. Złożoność Grassbergera – interpretacja geometryczna Źródło: [Falniowski 2005].. Złożoność Grassbergera często wykorzystuje się w badaniu złożoności układów dynamicznych. Osobliwą cechą tej miary jest to, że może być ona skończona zarówno dla układów chaotycznych, jak i układów regularnych. Mierzy ona tempo przyrostu entropii częściowych. Jest nieskończona dla układów z pogranicza porządku i chaosu. W teorii informacji złożoność Grassbergera (nazywana tam nadwyżką entropii – ang. excess entropy) jest interpretowana jako ilość informacji, jaką otrzymujemy, badając kolejne entropie częściowe (rys. 1). Twierdzenie 3. Zachodzi wzór: CG = lim ( H n − nH) = lim nhn . n→∞. n→∞. Dowód. Rozpiszmy sumy częściowe szeregu ∑ n = 0 gn. Niech n ∈ •. Wtedy ∞. M −1. M −1. M −1. n=0. n=0. n=0. ∑ gn =. ∑ (Gn − H) =. ∑ ( H n +1 − H n − H)..

(6) Fryderyk Falniowski. 76. Stąd mamy, że: M −1. ∑ gn = H M − H 0 − M H.. n=0. Ale H0 = 0, zatem otrzymujemy równość: M −1. ∑ gn = H M − M H = M. n=0. HM − H = MhM . M. Przechodząc z M do nieskończoności, otrzymujemy tezę. Z dowodu twierdzenia 3 wynika następujący fakt. Obserwacja 1. Ciąg (nhn)n ∈ • jest rosnący. Twierdzenie 3 oraz powyższa obserwacja pomagają nam udowodnić następujące twierdzenie. Twierdzenie 4. Zachodzą wzory: (1) CG = lim n(hn − gn −1 ), n→∞. (2) CG = ∑ ∞k = 0( gk − gk + n ), (3) CG = ∑ ∞k =1 k ( gk −1 − gk ). Dowód. Niech. ηn = nhn , θn = n(hn − gn −1 ), n −1. α n = ∑ ( gk − gk + n ) k=0. oraz. n −1. β n = ∑( gk −1 − gk ). k =1. Pokażemy, że: lim θn = lim β n = lim α n = lim ηn = CG .. n→∞. Przekształćmy θn:. n→∞. n→∞. n→∞.

(7) Złożoność Grassbergera. 77 n −1 n −1 1 n −1 gk − gn −1 = ∑gk − ngn −1 = ∑ ( gk − gn −1 ) = ∑ n k=0 k=0 k=0. θn = n(hn − gn −1 ) = n n −1 n −1. =∑. ∑. n −1. ( g j −1 − g j ) = ∑k ( gk −1 − gk ) = β n . k =1. k = 0 j = k +1. Zauważmy, że: n. n −1. k =1. k =1. θn +1 = ∑k ( gk −1 − gk ) ≥ ∑k ( gk −1 − gk ) = θn . Zatem (θn)n ∈ • jest ciągiem rosnącym. Wyrazy ciągu (gn)n ∈ • są nieujemne, więc θn ≤ ηn. Pokażemy, że:. dla. n ∈ •.. lim θn = CG .. n→∞. Dla m > n definiujemy: ηn, m = H n − nGm −1 . Zauważmy, że:. lim ηn, m = ηn .. m→∞. Przekształcając ηn, m otrzymujemy, że: ηn, m = H n − nGn −1 + n(Gn −1 − Gm −1 ) = θn + n(Gn −1 − Gm −1 ) = n −1. m −1. k =1. k=n. = ∑k (Gk −1 − Gk ) + ∑ (n − 1)(Gk −1 − Gk ). Stąd wynika, że: ηn, m ≤ ηn, m+1 oraz ηn, m ≤ θm ≤ ηm. dla. m ≥ n..

(8) Fryderyk Falniowski. 78. Granica lim θ m istnieje, ponieważ (θn)n ∈ • jest ciągiem rosnącym i ograniczonym. Zatem. m →∞. ηn = lim ηn, m ≤ lim θ m ≤ lim ηm = CG . m→∞. m→∞. m→∞. Z faktu, że CG = lim ηn wynika, że: n→∞. lim θn = lim β n = CG .. n→∞. n→∞. Przekształćmy teraz ciąg αn: n −1. n −1. 2 n −1. n−2. 2 n −1. k=0. k=0. k=n. k=0. k=n. α n = ∑ ( gk − gk + n ) = ∑ gk −. ∑ gk = ∑gk − (n − 1)gn −1 + ngn −1 − ∑ gk .. Zauważmy, że: n−2. n −1. k=0. k=0. ∑gk − (n − 1)gn −1 = ∑ (gk − gn −1 ) = θn. oraz ngn −1 −. 2 n −1. 2 n −1. k=n. k=n. ∑ gk =. ∑ (2n − k )(gk −1 − gk ).. Zatem α n = θn +. 2 n −1. ∑ (2n − k )(gk −1 − gk ),. k=n. czyli θn ≤ αn. dla. n ∈ •.. Ale 2 n −1. 2 n −1. k=n. k=n. ∑ (2n − k )(gk −1 − gk ) ≤ ∑ k (gk −1 − gk ).. Zatem θn ≤ αn ≤ θ2n. dla. n ∈ •..

(9) Złożoność Grassbergera. 79. Stąd wynika, że: lim α n = lim θn = CG ,. n→∞. n→∞. co kończy dowód. Z twierdzenia 4 wynikają następujące fakty. Obserwacja 2 (1) Jeśli CG < ∞, to lim ngn −1 = 0. n→∞. (2) Jeśli CG = ∞, to lim n(hn − gn ) = ∞. n→∞. (3) Ciąg α n = ∑nk =−10 gk − ∑2k n=−n1gk jest rosnący. Dowód. Niech CG = c < ∞. Wtedy lim nhn = lim n(hn − gn −1 ) = c.. n→∞. n→∞. Stąd wynika (1). Jeśli CG = ∞, to lim nhn = ∞. Zauważmy, że hn = n1 ∑nk =−10 gk . Zatem n→ ∞. n(hn − gn −1 ) = n. n −1 1 n −1 g − g = ∑ k n −1 ∑ (gk − gn −1 ). n k=0 k=0. Stąd. n −1. ∞. k=0. k=0. lim n(hn − gn −1 ) = lim ∑ ( gk − gn −1 ) = ∑gk = ∞.. n→∞. n→∞. Punkt (3) wynika z porównania kolejnych wyrazów ciągu αn i faktu, że: g2 n + g2 n +1 ≤ 2 gn , który wynika z tego, że ciąg (gn)n ∈ • jest malejący. Możemy również sformułować warunek na skończoność CG. Niech zapis an ~ bn a a oznacza, że 0 < lim inf bn ≤ lim sup bn < ∞, gdzie (an)n ∈ • i (bn)n ∈ • są ciągami nien→∞. n. ujemnych liczb rzeczywistych.. n→∞. n. Twierdzenie 5. Następujące warunki są równoważne: 1) hn ~ 1n ; 2) CG ∈ (0, ∞)..

(10) Fryderyk Falniowski. 80. Dowód. Jeśli hn ~ 1n , to istnieje taka stała M > 0, że: n −1. 0 < ∑gi = nhn ≤ M i=0. dla n ∈ • . Zatem 0 < CG = ∑∞i = 0 gi ≤ M < ∞ . Niech CG będzie skończona, większa od zera. Wtedy hn =. 1 n −1 1 gi ≤ CG . ∑ n i=0 n. Z dodatniości CG wynika, że H 1 > H i na podstawie lematu 1 otrzymujemy, że hn ~ 1n . Jeśli (an)n ∈ • i (bn)n ∈ • są ciągami nieujemnych liczb rzeczywistych, to zapis an � bn a będzie oznaczał, że lim bn = 1. Z twierdzenia 5 wynika następujący wniosek. n→∞. n. Wniosek 1. W powyższej sytuacji: hn ≈. CG . n. Dowód. Niech CG będzie skończona, większa od zera. Z twierdzenia 3 C CG = lim nhn . Zatem hn ≈ nG . n →∞. Można też sformułować twierdzenie dotyczące przypadku, gdy złożoność Grassbergera jest równa zero. Twierdzenie 6. Następujące warunki są równoważne: (1) CG = 0, (2) ∀n ∈ • H n = nH, (3) ∀n ∈ • hn = 0, (4) h1 = 0, (5) g0 = 0, (6) ∀n ∈ • gn = 0. Dowód. Twierdzenie wykażemy, dowodząc kolejnych implikacji prowadzących od (1) do (6) i kończąc dowód implikacją z (6) do (1). Niech CG = 0. Z definicji mamy więc równość:.

(11) Złożoność Grassbergera. 81 ∞. ∑ ( H n +1 − H n − H) = 0.. n=0. Wszystkie wyrazy szeregu są nieujemne, zatem: ∀M ∈ •. M −1. ∑ ( H n +1 − H n − H) = 0. n=0. i stąd otrzymujemy, że dla dowolnego M będącego liczbą naturalną: H M = M H. Z warunku (2) wynika, że dla n ∈ • hn = n1 H n − H = 0. Implikacja z (3) do (4) jest oczywista. Z warunku (4) dostajemy, że H 1 = H i g0 = H 1 − H = 0.. Ciąg (gn)n ∈ • jest malejący i nieujemny. Warunek (5) stwierdza, że jego pierwszy wyraz jest równy 0, a zatem ciąg ten jest stale równy 0 i stąd otrzymujemy warunek (6). Implikacja z (6) do (1) wynika wprost z definicji złożoności Grassbergera, co kończy dowód. Istnieje też naturalne ograniczenie CG od dołu pochodzące z pracy [Shalizi 2001]. Twierdzenie 7. Zachodzi nierówność: h1 ≤ CG . Dowód. Zauważmy, że: H 1 − Gn −1 = G0 − Gn −1 = G0 − G1 + G1 − G2 + ... + Gn − 2 − Gn −1 = n −1. = ∑(Gk −1 − Gk ). k =1. Przechodząc z n do ∞ otrzymujemy: ∞. ∞. k =1. k =1. h1 = g0 = H 1 − H = ∑(Gk −1 − Gk ) ≤ ∑k (Gk −1 − Gk ) = ∞. = ∑k ( gk −1 − gk ) = CG . k =1.

(12) Fryderyk Falniowski. 82. Na podstawie definicji złożoności Grassbergera prawdziwe są zależności podane poniżej: gn. hn. CG. (ln n) –β. (ln n) –β. ∞. n. –α. n. –1. n. –α. n ln n –1. n–α. n –1. n. –α. n. –1. c. –n. n. –1. β>0. ∞. 0<α<1. <∞. 1<α<2. <∞. c>1. ∞. <∞. 2<α. Złożoność Grassbergera w teorii układów dynamicznych wprowadził P. Grassberger [1986]. Równolegle w teorii informacji zajęli się nią J.P. Crutchfield i N.H. Packard [1982 a,b; 1983], gdzie analizowali zbieżność entropii dla pewnych nieliniowych odwzorowań z szumem, z czasem dyskretnym. P. Szépfalusy i G. Györgyi [1986] pokazali numerycznie, że dla odwzorowania f ( x ) = 1 − | 1 − 2 x | ciąg gn ~ 12 . Formalny dowód tego faktu podali M. Misiurewicz i K. Ziemian [1987]. n P. Grassberger [1986] i R. Shaw [1984] zaproponowali interpretację geometryczną złożoności Grassbergera. W pracy [Grassberger 1986] rozpatruje się tę wielkość dla automatów komórkowych. J.P. Crutchfield i D.P. Feldman [1997] zastosowali ją do badania układów spinowych. Warunek na zbieżność CG podał M.A. Nowak [1998]. Interesujące wyniki dotyczące ciągu otrzymali również F. Blume [1997; 1998]. Twierdzenie 3 pochodzi z pracy [Falniowski 2005]. Literatura Blume F. [1997], Possible Rates of Entropy Convergence, ,,Ergodic Theory and Dynamical Systems”, vol. 17. Blume F. [1998], Minimal Rates of Entropy Convergence for Completely Ergodic Systems, ,,Israel Journal of Mathematics”, vol. 108. Crutchfield J.P., Feldman D.P. [1997], Statistical Complexity of Simple One-dimensional Spin Systems, ,,Physical Review E”, vol. 55. Crutchfield J.P., Feldman D.P. [2003], Regularities Unseen, Randomness Observed: Levels of Entropy Convergence, ,,Chaos”, vol. 15. Crutchfield J.P., Packard N.H. [1982a], Noise Scaling of Symbolic Dynamics Entropies, ,,Evolution of Order and Chaos”, ed. H. Haken, Springer-Verlag, Berlin. Crutchfield J.P., Packard N.H. [1982b], Symbolic Dynamics of One-dimensional Maps: Entropies, Finite Precision, and Noise, ,,International Journal of Theoretical Physics”, vol. 21..

(13) Złożoność Grassbergera. 83. Crutchfield J.P., Packard N.H. [1983], Symbolic Dynamics of Noisy Chaos, ,,Physica D”, vol. 7. Dębowski L. [2005], Własności entropii nadwyżkowej dla procesów stochastycznych nad różnymi alfabetami, Rozprawa doktorska, IMPAN, Warszawa. Falniowski F. [2005], Zbieżność entropii, Praca magisterska, Uniwersytet Jagielloński, Kraków (maszynopis). Grassberger P. [1986], Toward a Quantitative Theory of Self-generated Complexity, ,,International Journal of Theoretical Physics”, vol. 25. Misiurewicz M., Ziemian K. [1987], Rate of Convergence for Computing Entropy of Some One-dimensional Maps, ,,Proceedings of Conference Ergodic Theory and Related Topics II”, Leipzig. Nowak M.A. [1998], Szybkość zbieżności entropii warunkowych i częściowych w definicji entropii Kołmogorowa-Sinaja, Praca magisterska, Uniwersytet Jagielloński, Kraków (maszynopis). Parthasarathy K.R. [1978], Introduction to Probability and Measure, Springer-Verlag, New York. Shalizi C.R. [2001], Causal Architecture, Complexity and Self-organization for Time Series and Cellular Automata, Rozprawa doktorska, University of Wisconsin-Madison. Shaw R. [1984], The Dripping Faucet as a Model Chaotic System, Aerial Press, Santa Cruz, California. Słomczyński W. [2003], Dynamical Entropy, Markov Operators and Iterated Function Systems, Wydawnictwo Uniwersytetu Jagiellońskiego, Kraków. Szépfalusy P., Györgyi G. [1986], Entropy Decay as a Measure of Stochasticity in Chaotic Systems, ,,Physical Review A”, vol. 33. Grassberger’s Complexity The problem of defining and studying the complexity of a given system has interested people for years. In the context of dynamical systems, Grassberger has suggested that a slow approach of entropy to its extensive asymptotic limit is a sign of complexity. He has introduced a measure of complexity called Effective Measure Complexity (EMC). Crutchfield and Packard have developed this idea in the field of information theory. This paper introduces their results in the field of ergodic theory and gives some new results for invariant measures defined on the full-shift and new formulas for EMC..

(14)