Metoda Rayleigha-Ritza, przykad Nr2

(1)

ORIGIN := 1

Metoda Rayleigha-Ritza wyznaczenia przybliżonego rozwiązania problemu pręta rozciąganego

E := 10GPa - moduł Younga

c 10 kN m2 := P := 5kN L := 4m A := 10cm2 ξ x L = κ c L 2 × P = 32 := R P 0 L x q x( ) ó ô õ d + = R P c 0 L 2 x x ó ô ô õ d × + c L 2 L x L - x ( ) ó ô ô õ d × + = 45×kN :=

Energia odkształconego pręta w położeniu równowagi dąży do minimum

Φ 1 V 2 ε T × × εE×

æ

ç

è

ö

÷

ø

ó ô ô õ d 0 L x c x× u× ó ô õ d - - P u L× ( ) = ---> minimum ε_x x u d d =

(2)

Φ E A× 2 0 L x x u d d

æ

ç

è

ö

÷

ø

2 ó ô ô ô õ d × 0 L x c x× u× ó ô õ d - - P u L× ( ) = = ... ... E A× 2L 0 1 ξ ξu d d

æ

ç

è

ö

÷

ø

2 ó ô ô ô õ d × 0 1 ξ L2× ξc× u× ó ô õ d - - P u 1× ( ) =

Rozwiązania przybliżonego poszukujemy w postaci wielomianu, który spełnia warunki brzegowe:

u( )ξ = a₀ + a₁×ξ + a₂×ξ2 + a₃×ξ3 u 0( ) = 0 ---> a₀ = 0 xu d d 1 L a1 + 2a2×ξ 3×a3 ξ 2 × +

(

)

= Φ E A× 2×L

( )

a1 2 2a₁×a₂ + + 2 a₁×a₃ 4 3

( )

a2 2 × + + 3 a₂×a₃ 9 5

( )

a3 2 × +

é

ê

ë

ù

ú

û

× + = c L× 2 1 8 a1 7 96 a2 + 3 64 a3 +

æ

ç

è

ö

÷

ø

× - P a×

(

₁ + a₂ + a₃

)

é

ê

ë

ù

ú

û

(3)

Wartości stałych a₁, a₂ i a₃wyliczamy z warunku minimum energii, otrzymując układ równań: a₁Φ d d = 0 ---> E A× 2L ×

(

2a1 + 2 a2 + 2a3

)

P 1 κ 8 +

æ

ç

è

ö

÷

ø

× = a₂Φ d d = 0 ---> E A× 2L 2 a1 8 3 a2 + + 3a₃

æ

ç

è

ö

÷

ø

× P 1 7κ 96 +

æ

ç

è

ö

÷

ø

× = a₃Φ d d = 0 ---> E A× 2L 2 a1 + 3a2 18 5 a3 +

æ

ç

è

ö

÷

ø

× P 1 3κ 64 +

æ

ç

è

ö

÷

ø

× =

Układ równań w postaci macierzowej: _{M a}× = _r gdzie:

M 1 1 1 1 4 3 3 2 1 3 2 9 5

æ

ç

è

ö

÷

ø

:= a a₁ a₂ a₃

æ

ç

è

ö

÷

ø

= _r P L× E A× 1 κ 8 + 1 7κ 96 + 1 3κ 64 +

æç

ç

çè

ö÷

÷

÷ø

× 10.000 6.667 5.000

æç

ç

è

ö÷

÷

ø

mm × = :=

(4)

a := lsolve M r( , ) aT = (2.000 -1.000 0.000 ) cm× u( )ξ := a₁×ξ + a₂×ξ2 + a₃×ξ3 - rozwiązanie przybliżone _u 1 2

æ

ç

è

ö

÷

ø

= 0.750×cm

- rozwiązanie dokładne w przedziale <0,1/2> v1( )ξ P L× ξ× E A× 1 κ 1 4 ξ2 6

-æ

ç

è

ö

÷

ø

× +

é

ê

ë

ù

ú

û

× := v5 := v1 0.5( ) = 0.767cm d v5 P L× 2E A× 1 7κ 24 +

æ

ç

è

ö

÷

ø

× - = -0.267cm := v2( )ζ P L× ζ× E A× 1 κ 2 1 - ζ ζ2 3 +

æ

ç

è

ö

÷

ø

× +

é

ê

ë

ù

ú

û

× + d

:= - rozwiązanie dokładne w przedziale <1/2, 1> i := 1 .. 10 X_i := 0.05×i V_i := v1 X

( )

_i

(5)

i := 1 .. 20 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0.2 0.4 0.6 0.8 1 u( )ξ 1cm V_i 1cm ξ X, _i