2. Układy dyskretne o wielu stopniach swobody   - wersja poprawiona

EI

EI

EI

EI

m

m

m

m

6

3

6

m

6

3

6

6

m

6

3

m

m

6

m

6

3

m

1,5

m

3

3

m

1,5

m

m

3

m

3

m

3

Wyznaczanie częstotliwości własnych dla układów dyskretnych o wielu

stopniach swobody

Zadanie:

Zdyskretyzuj układ oszczędnie i wyznacz częstotliwości drgań własnych, jeżeli E=205GPa,

I=490,9cm

4

_{, =61,654kg/mb.}

Dyskretyzacja układu:

- wyznaczenie mas poszczególnych prętów między węzłami:

6

3

6

m

1,5

m=

₄

m

m=

₃

7,5

m

6

m=

₂

m

3

m=

₁

m

₄

m

₃

m

₂

m

₁

u*

₁

u*

₂

u*

₃

u

₄

*

u

₅

*

u

₆

*

m

₄

m

₃

m

₂

m

₁

u

₁

*

u

₂

*

u

₃

*

u

4

*

u

₅

*

u

*

₆

=u

=u

₂

=u

1

=u

₁ 2

=u

₂

=u

₃

- oznaczenie mas węzłowych (pod uwagę bierzemy tylko masy doznające przemieszczeń):

kg

481

,

92

654

,

61

5

,

1

m

5

,

1

m

kg

405

,

462

654

,

61

5

,

7

m

5

,

7

m

kg

924

,

369

654

,

61

6

m

6

m

kg

96

,

184

654

,

61

3

m

3

m

4 3 2 1









































- określenie możliwych przemieszczeń dla poszczególnych mas:

Wektor przemieszczeń węzłowych mas:











































6 5 4 3 2 1

*

u

*

u

*

u

*

u

*

u

*

u

*

u

- ustalenie przemieszczeń niezależnych w układzie – na podstawie założenia o braku zmiany długości poszczególnych prętów ramy:

Wektor przemieszczeń niezależnych w układzie:























3 2 1

u

u

u

u

                    33 32 31 23 22 21 13 12 11 F

1

₁

1

1

6

6

6

1

M

1

1

2

M

1

1

Aby wyznaczyć częstotliwości własne układu dyskretnego o wielu stopniach swobody, korzystamy z równania:

0

)

FM

I

det(

_

_

2

_

, gdzie: - I – macierz jednostkowa, -

_

2 _{- wartości własne}

- F – macierz podatności w bazie przemieszczeń niezależnych, - M – macierz mas w bazie przemieszczeń niezależnych.

Macierz mas – na głównej przekątnej zawiera masy odpowiadające poszczególnym przemieszczeniom niezależnym zgodnie z wektorem

u,

pozostałe elementy są zerami

:

                         92,481 0 0 0 924,806 0 0 0 554,884 m 0 0 0 m m m 0 0 0 m m M 4 4 3 2 2 1 Macierz podatności :

- dla układu o trzech przemieszczeniach niezależnych macierz F ma postać:

Wyznaczenie współczynników macierzy podatności:

- stawiamy jednostkowe obciążenie na kierunkach kolejnych stopni swobody i wyznaczamy wykresy momentów:

1

1

0,5

3

3

3

M

1

0,5

               45 36 72 36 72 72 72 72 216 EI 1 F                                               3 4 4 3 4 4 3 4 5 10 4,162 10 3,329 10 3,995 -10 3,329 10 6,659 10 3,995 -10 6,659 -10 6,659 -10 1,199 EI 1 92,481 0 0 0 924,806 0 0 0 554,884 45 36 72 36 72 72 72 72 216 EI 1 FM

- współczynniki macierzy podatności:

EI 216 6 3 2 6 6 2 1 6 3 2 6 6 2 1 6 3 2 6 6 2 1 EI 1 dL EI M M L 1 1 11       _{             }    



21 L 2 1 12 _EI 72 6 3 2 6 6 2 1 EI 1 dL EI M M          _{    }    



31 L 3 1 13 EI 72 3 3 2 6 6 2 1 3 3 2 6 6 2 1 EI 1 dL EI M M _{ }      _{         }    



EI 72 6 3 2 6 6 2 1 EI 1 dL EI M M L 2 2 22       _{   }    

_

32 L 3 2 23 EI 36 3 3 2 6 6 2 1 EI 1 dL EI M M          _{   }    



EI 45 3 3 2 3 3 2 1 3 3 2 6 3 2 1 3 3 2 6 3 2 1 EI 1 dL EI M M L 3 3 33       _{             }    

_

Macierz podatności:

6975

2752902491

0,00061085

3





Podstawiając do równania:

0

10

4,162

10

3,329

10

3,995

-10

3,329

10

6,659

10

3,995

-10

6,659

-10

6,659

-10

1,199

EI

1

0

0

0

1

0

0

0

1

det

)

FM

I

det(

3 4 4 3 4 4 3 4 5 2 2

_

























































































i wprowadzając założenie

EI

2







, otrzymujemy:

0

10

4,162

-1

10

3,329

-10

3,995

10

3,329

-10

6,659

-1

10

3,995

10

6,659

10

6,659

10

1,199

-1

3 4 4 3 4 4 3 4 5







































Obliczenie wyznacznika daje wielomian trzeciego stopnia w postaci:

0

=

1,0

+

1382421062

190602,586

-10

6

1496157975

5,71947673

+

10

2

1836438756

8,85668371

-

_

12

_

_

3

_

9

_

_

2

_

_

Rozwiązaniem wielomianu są trzy pierwiastki: 550854 5550444126 0,00002842 2  

Wyznaczenie kolejnych częstotliwości drgań własnych:

I

E

EI

2



















s

/

rad

558

,

2

10

9

,

490

10

205

0945535

2546188791

0,00000650

I

E

9 8 1 1

























s

/

rad

348

,

5

10

9

,

490

10

205

550854

5550444126

0,00002842

I

E

9 8 2 2























 s / rad 793 , 24 10 9 , 490 10 205 6975 2752902491 0,00061085 I E 9 8 3 3             0945535 2546188791 0,00000650 1  