Dyskretne układy dynamiczne

Dyskretne układy dynamiczne

16 listopada 2017

Rachunek Różnicowy

Różnice

Operator różnicowy:

Definicja 0

Różnicą ∆f (x ) funkcji f : X → Y , X , Y ⊆ R w punkcie x nazywamy

∆f (x ) = f (x + 1) − f (x ).

Różnice

∆²f (x ) = ∆f (x + 1) − ∆f (x ) =

= (f (x + 2) − f (x + 1)) − (f (x + 1) − f (x )) =

= f (x + 2) − 2f (x + 1) + f (x ).

Różnice

∆³f (x ) = f (x + 3) − 3f (x + 2) + 3f (x + 1) − f (x ).

∆⁴f (x ) = f (x + 4) − 4f (x + 3) + 6f (x + 2) − 4f (x + 1) + f (x ).

∆⁵f (x ) = f (x +5)−5f (x +4)+10f (x +3)−10f (x +2)+5f (x +1)−f (x ).

Różnice

Ogólnie:

(∗) ∆ⁿf (x ) =

n

X

k=0

n k



(−1)^n−kf (x + k), gdzie n ≥ 0 całkowite.

Różnice

Operator przesunięcia dla funkcji funkcji f : X → Y , X , Y ⊆ R w punkcie x nazywamy

Ef (x ) = f (x + 1).

Zauważmy, że:

Operator ∆ równa się E − 1, gdzie 1 zwany też I jest operatorem identycznościowym (If (x ) = f (x ), patrz też dalej).

Ze wzoru dwumianowego Newtona dla operatorów (w którym mnożenie operatorów jest ich składaniem) mamy:

∆ⁿ= (E − 1)ⁿ=

n

X

k=0

n k



(−1)^n−kE^k.

Ponieważ E^kf (x ) = f (x + k), więc dostajemy (*).

Różnice, ciekawe wzory

Jeśli dla całkowitego k i rzeczywistego x zdefiniujemy:

x

k
=x (x −1)·...·(x −k+1)

k(k−1)·...·2·1 dla k ≥ 0 oraz

x

k
= 0 dla k < 0 to

∆(x k

 ) =

 x k − 1

 . Szereg Newtona dla f : X → Y

f (x ) = ∆ⁿf (0)x n



+ ∆ⁿ⁻¹f (0)

 x n − 1



+ . . . + ∆f (0)x 1



+ f (0)x 0

 .

Szereg Newtona dla f (x ) = x⁴

f (0) = 0, f (1) = 1, f (2) = 16, f (3) = 81, f (4) = 256,

∆f (0) = f (1) − f (0) = 1, ∆f (1) = f (2) − f (1) = 15,

∆f (2) = f (3) − f (2) = 65, ∆f (3) = f (4) − f (3) = 175

∆²f (0) = 14, ∆²f (1) = 50, ∆²f (2) = 110,

∆³f (0) = 36, ∆³f (1) = 60,

∆⁴f (0) = 24.

Zatem

x⁴= 24x 4



+ 36x 3



+ 14x 2

 +x

1

 + 0x

0

 .