Dyskretne układy dynamiczne

Dyskretne układy dynamiczne

11 grudnia 2017

Stabilność równań rekurencyjnych w dyskretnych modelach jednej populacji

Opis dyskretny jest dobry dla populacji dla których nie ma zachodzenia pokoleń na siebie.

Będziemy analizować między innymi modele opisywane równaniami różnicowymi typu:

x_n+1= f (x_n), w szczególności

xn+1= xng (xn).

Dla określonych funkcji f : R → R, g : R → R (czasem też f : C → C).

Asymptotyczna stabilność stanu stacjonarnego

Niech ¯x ∈ R taki, że ¯x = f (¯x ) (stan stacjonarny).

Jeśli

∃ε>0∀_{x ∈R}|x − ¯x | <  ⇒ lim

n→∞|fⁿ(x ) − ¯x | = 0 to punkt ¯x jest asymptotycznie stabilny (atraktor, zlew).

asymptotyczna stabilność

Pajęczynki - graficzna metoda badania równań różnicowych

Stany stacjonarne

Niech f : [0, 1] → [0, 1], f (x ) = xg (x ),gdzie g : [0, 1] → R.

Badamy układ xn+1= xng (xn).

Zatem ¯x = f (¯x ) gdy ¯x = 0 lub g (¯x ) = 1, w tym przypadku stany stacjonarne można znaleźć graficznie.

Zachowanie w pobliżu punktu stacjonarnego zależy od sposobu przeciecia się wykresów y = x , y = f (x ).

Ponieważ prosta y = x ma stały kąt nachylenia wystarczy rozważyć lokalne nachylenie krzywej y = f (x )

w punkcie stacjonarnym ¯x . Czyli pochodną y = f⁰(¯x ).

Rozważmy odwzorowanie logistyczne f (x ) = ax (1 − x ), f : R → R, a ∈ R\{0}.

i układ dynamiczny

x_n+1= ax_n(1 − x_n), gdzie x_n∈ R dla n ∈ N0.

W tym przypadku punkt stacjonarny ¯x ∈ {0, 1 −¹_a}.

Na wykresie rysujemy parabolę y = ax (1 − x ) i prostą y = x . Wtedy wyliczenie kolejnych iteracji x₀, x₁, x₂, . . .

polega na rzutowaniu punktów na prostą (poziomo) i parabole (pionowo).

Kolejne otrzymywane punkty mają współrzędne (xn, xn+1) dla n ∈ N⁰. Zobaczmy jak wygląda przykładowa orbita kilku punktów startowych dla parametru a = 3.55.

Dla parametru a = 3.55

orbita periodyczna o okresie 8

Dla parametru a = 3.569

orbita periodyczna o okresie 20

Dla parametru a = 3.7

brak orbit skończonych

Asymptotyczna stabilność analitycznie

Równanie logistyczne bifurkacja

Rozważmy odwzorowanie logistyczne

(∗) f (x ) = rx (1 − x ) gdzie f : R → R, r ∈ R\{0}.

i układ dynamiczny

xn+1= rxn(1 − xn), gdzie xn∈ R dla n ∈ N0.

Znajdziemy stany stacjonarne dla odwzorowania f²(x ) = r (rx (1 − x ))(1 − rx (1 − x )).

Charakterystyka ruchu chaotycznego

Wykładnik Lapunowa

Definicja Dla odwzorowania

xn+1= f (xn)

wykładnikiem Lapunowa dla układu dynamicznego nazywamy liczbę λ(x0) = lim

n→∞

1 nlog

dfⁿ(x ) dx |x =x₀

  . Czyli inaczej

λ(x0) = lim

n→∞lim

ε→0 1 nlog

fⁿ(x0+ε)−fⁿ(x0) ε

Wykładniki Lapunowa

Współczynnik Lapunowa układu dynamicznego jest miarą,

która charakteryzuje tempo separacji bliskich trajektorii. Podstawy matematycznej teorii stabilności ruchu stworzył A.M.Lapunow, który rozpatrywał, jak szybko wzrasta w czasie ewolucji odleglość pomiędzy dwiema bliskimi trajektoriami. Jeżeli uklad dynamiczny jest chaotyczny, odległość rośnie w czasie n wykładniczo e^nλ, gdzie współczynnik λ zwany wykładnikiem Lapunowa jest dodatni.

Okazuje się, że dla szerokiej klasy odwzorowań f granica

n→∞lim

1 nlog

dfⁿ(x ) dx |_{x =x0}

 . nie zależe od x0dla prawie wszystkich x0. Czyli nie zależy od warunku początkowego.

Wówczas λ jest miarą zmian warunków początkowych i jeśli błąd określenia warunków początkowych wyniósł ∆(x₀) , to po n-tej iteracji będzie on wynosił

∆(x_n) ≈ e^λn∆(x₀).

Chaos deterministyczny

Zgodnie z zasada Maxa Bohra, każdy stan realnego układu fizycznego może być wyznaczony jedynie z pewną dokładnością i określa się raczej poprzez rozkład prawdopodobieństwa zamiast przez liczbę. Jeśli rozpatrywana trajektoria jest stabilna to błąd początkowy z czasem maleje, natomiast jeśli jest niestabilna, to narasta on ze wzrostem iteracji powodując nieprzewidywalność jej zachowania, tj. chaotycznosc w układzie zdeterminowanym.

Wykładnik Lapunowa

Korzystając z różniczkowania funkcji złożonej:

d

dxf (x )|_{x =x0}= f⁰(x₀)

d

dxf²(x )|x =x₀= f⁰(f (x0))f⁰(x0) = f⁰(x1)f⁰(x0)

d

dxf³(x )|x =x₀ = f⁰(f²(x0))f⁰(f (x0))f⁰(x0) = f⁰(x2)f⁰(x1)f⁰(x0)...

możemy napisać

λ(x0) = lim

n→∞

1 n

n−1

X

i =0

log |f⁰(xi)|.

Wykładnik Lapunowa

Przykład Niech a ∈ R ustalone.

Rozważmy odwzorowanie logistyczne f (x ) = ax (1 − x ), f : R → R.

i układ dynamiczny

xn+1= axn(1 − xn), gdzie xn∈ R dla n ∈ N0.

W tej sytuacji f⁰(x ) = a − 2ax .

Wykładnikiem Lapunowa dla powyższego układu dynamicznego jest

λ(x0) = lim

n→∞

1 n

n−1

X

i =1

log |a − 2axi|.

Wykładnik Lapunowa dla odwzorowania

logistycznego

Wykładnik Lapunowa

Przykład Dla odwzorowania

x_n+1= x_n, gdzie x_n∈ R dla n ∈ N0.

W tej sytuacji f : R → R, f (x) = x, _dx^dfⁿ(x ) =_dx^dx = 1.

Wykładnikiem Lapunowa dla powyższego układu dynamicznego jest λ(x0) = lim

n→∞

1 nlog

dfⁿ(x ) dx |x =x₀

  =

n→∞lim

1

nlog 1 = 0.

Współczynnik ten jest również miarą utraty informacji o układzie w jednym przekształceniu.

Mogą zaistnieć trzy możliwości:

a) λ(x0) < 0 Orbita zmierza do stabilnego punktu lub staje sie orbitą periodyczną.

b) λ(x₀) = 0 Orbita zmierza do stałego punktu.

b) λ(x0) > 0 Orbita jest niestabilna i chaotyczna. Dwa bliskie stany początkowe oddalają się wykładniczo od siebie z upływem czasu.

Czas Lapunowa

Przedział czasu (u nas zmienna n), w granicach którego możliwe jest precyzyjne przewidywanie trajektorii specyficznego procesu

(fizycznego, mechanicznego, kwantowego czy biologicznego).

Po tym okresie proces staje sie chaotyczny.

Jest to odwrotność wykładnika Lapunowa.

Uwaga: Porównaj z równaniem ∆(xn) ≈ e^λn∆(x0).