Dyskretne układy dynamiczne

Dyskretne układy dynamiczne

11 grudnia 2017

Teoria ergodyczna

Przypomnienie

Definicja 1

Niech X to przestrzeń, meryczna, T to zbór indeksów, oraz S : T × X → X .

(S , X , T ) nazywamy układem dynamicznym, gdy S (t, ·) = S_t spełnia warunki:

a) S0(x ) = x ,

b) ∀s,t∈T St+s(x ) = St(Ss(x )).

Dla układów dyskretnych T ∈ {Z, N}.

Inaczej: układy dynamiczne to (pół)grupy (działanie w półgrupie jest łączne )przekształceń na przestrzeni (topologicznej, metrycznej, mierzalnej...) X .

Tu będzie to półgrupa generowana przez jedno przekształcenie, S : X → X , przy czym S_t = S^(t)= S ◦ S ◦ . . . S , t razy.

Zatem półgrupa izomorficzna z N.

Elementy teorii miary i całki

Ciało i σ-ciało

Ciało i σ-ciało

Ciało i σ-ciało

Ciało i σ-ciało

Ciało i σ-ciało

B(Rⁿ) to σ−ciało zbiorów borelowskich w Rⁿ.

Miara zewnętrzna

Własność (1) nazywa się przeliczalną podaddytywnością miary zewnętrznej, oznaczaną dalej przez ”podadd” .

Miara

Własność (1) nazywa się przeliczalną addytywnością miary, oznaczaną dalej przez ”add” .

Miara

Miara

Miara

Miara

Miara

Miara Lebesgue’a w R

Miara Lebesgue’a w R

Miara Lebesgue’a w R

Miara Lebesgue’a w R

Miara Lebesgue’a w R

Miara Lebesgue’a w R

Miara Lebesgue’a w R

Miara Lebesgue’a w R

Miara Lebesgue’a w R

Miara Lebesgue’a w R

Miara Lebesgue’a, vademecum

Zbiór niemierzalny

Zbiór niemierzalny, definicja

Zbiór niemierzalny

Zbiór niemierzalny

Funkcje mierzalne

Funkcje mierzalne

Funkcje mierzalne

Funkcje mierzalne

Funkcje mierzalne

Funkcje mierzalne

Metoda Monte Carlo, motywacja do zajmowania się teorią ergodyczną

Jeśli wylosujemy niezależnie z określonym rozkładem µ ciąg punktów x0, x1, . . . , ze zbioru X . Wtedy dla funkcji całkowalnej f : X → R ciąg

1 n

n−1

X

i =0

f (xi)

zbiega prawie na pewno ( zbieżny punktowo poza zbiorem miary zero, zbieżność prawie wszędzie, zbieżność z prawdopodobieństwem 1) do

Z fd µ.

Wynika to z Mocnego Prawa Wielkich Liczb Kołogomorowa.

Możemy tę zbieżność interpretować jako ” równomierne ” wypełnienie ciągiem (xi)^∞_{i =0} przestrzeni X .

Będziemy chcieli pozbyć się losowości i za

ciąg (xi)^∞_{i =0} wybrać trajektorię (Sⁱ(x ))^∞_{i =0} dla ustalonych x ∈ X , S : X → X .

MPWL Kołogomorowa

Przykład, obroty na okręgu

Niech X = S¹ będzie okręgiem jednostkowym.

Przez Rα: S¹→ S¹ oznaczamy obrót okręgu o kąt 2πα dla α ∈ [0, 1].

Fakty:

1 Jeśli α jest niewymierna, to trajektoria dowolnego punktu ma okręgu jest gęsta.

2 Trajektoria jest ” równomiernie rozłożona ” w następującym sensie

(1) lim

n→∞

1 n

n−1

X

i =0

φ(R_αⁱ(x )) = Z

φd µ

gdzie µ to unormowana miara Lebesgue’a zaś φ jest funkcją całkowalną.

Ergodyczność

Definicja 2 Niech (X , F , µ) przestrzeń probabilistyczna.

Odwzorowanie mierzalne F : X → X zachowuje miarę, jeśli µ(F⁻¹(A)) = µ(A)

dla każdego A ∈ F .

Ergodyczność

Definicja 3 Niech (X , F , µ) przestrzeń probabilistyczna.

Odwzorowanie mierzalne F : X → X zachowujące miarę jest ergodyczne jeśli spełniony jest warunek:

Dla każdego A ∈ F z tego, że

F⁻¹(A) = A wynika

µ(A) = 0 lub µ(A) = 1.

Miarę µ nazywamy wówczas miarą ergodynczą dla F .

Twierdzenia ergodyczne: twierdzenie Birkhoffa

Niech (X , F , µ) to przestrzeń probabilistyczna.

Jeśli F jest ergodyczne

(zacjowuje miarę µ, czyli µ jest miarą niezmienniczą ze względu na F ), ponadto , f : X → R, f ∈ L¹(µ) (tzn. f jest całkowalne względem miary µ) to

lim

N→∞

1 N

N−1

X

i =0

f (Fⁱ(x )) = Z

X

fd µ dla prawie wszystkich x ∈ X .

Granica z lewej strony, o ile istnieje, jest nazywana średnią wzdłuż trajektorii.

Podobnie całka z prawej strony nazywana jest średnią przestrzenną.