Dyskretne układy dynamiczne
16 października 2017
N to zbiór wszystkich liczb całkowitych dodatnich, potocznie N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . .}.
W szególności zakładamy, że 0 nie jest liczbą naturalną.
N0to zbiór wszystkich liczb całkowitych nieujemnych, potocznie N0= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . .},
czyli zbiór liczb naturalnych N wzbogacony o liczbę 0.
Zbiory liczb całkowitych, wymiernych, rzeczywistych i zespolonych oznaczamy odpowiednio przez Z, Q, R
Układ dynamiczny
Układ dynamiczny – model matematyczny rzeczywistego zjawiska przyrody, którego ewolucja jest wyznaczona jednoznacznie przez stan początkowy.
Najczesciej jest opisany układem równań różniczkowych zwyczajnych, lub układem równań rekurencyjnych.
Model ciągły, model dyskretny
Model ciągły zależny od zmiennej czasowej t
zmienna czasowa t zmienia się w sposób ciągły i model jest opisany za pomoca równania różniczkowego.
Model dyskretny zależny od zmiennej czasowej t
zmienna czasowa t zmienia się w sposób dyskretny i model jest opisany za pomoca równania rekurencyjnego (ogólniej różnicowego).
Przykład 1, matematyka w biologii
Przykład 1
Przykład 1
Przykład 1
Biologia, dodatek
Przykład 1
Przykład 1
Przykład 1
Przykład 1
Przykład 1
Przykład 1
Przykład 2,3 matematyka w magii
Algebra liniowa, dodatek
Niech n ∈ N.
Macierz rzeczywista Pn×n to tablica, składająca się z elementów pij ∈ R.
Element pij piszemy w i −tym wierszu, j − tej kolumnie.
Inaczej macierz rzeczywista Pn×n to funkcja, która parze (i , j ), gdzie i , j ∈ {1, 2, . . . , n} przyporządkowuje wartość pij ∈ R.
P =
p11 p12 . . . p1n
p21 p22 . . . p2n
... ... . .. ... pn1 pn2 . . . pnn
.
Przykład 2
Pchła przeskakuje między pozycjami, jeden, dwa, trzy i cztery.
Każdy skok może być oddany tylko do pozycji sąsiedniej.
jeden ∆ dwa ∆ trzy ∆ cztery ∆.
Przykład 2
Pchła przeskakuje między pozycjami, jeden, dwa, trzy i cztery.
Każdy skok może być oddany tylko do pozycji sąsiedniej.
jeden ∆ dwa ∆ trzy ∆ cztery ∆.
tu
Przykład 2
Jakie jest prawdopodobieństwo, że po 21 skokach pchła z pozycji jeden przeskoczy do pozycji dwa.
jeden ∆ dwa ∆ trzy ∆ cztery ♠.
Przykład 2
Piszemy macierz A, której element aij to prawdopodobieństwo, że pchła z pozycji i przeskoczy w jednym skoku do pozycji j .
Wtedy element bij macierzy Ak, gdzie k ∈ N to prawdopodobieństwo, że pchła z pozycji i przeskoczy w k skokach do pozycji j .
Przykład 2
Przykład 2
Przykład 2
Układ dyskretny, zmienna czasowa należy do zbioru, kolejnych chwil skoków pchły, tzn. N. Rekurencja ciągu an= An macierzy, w których znajdziemy prawdopodobieństwa przejścia w określonej liczbie kroków
z zadanego stanu do innego stanu:
an= A · an−1, a1= A, dla ustalonej macierzy A.
W naszym przypadku
Przykład 2
Rachunek prawdopodobieństwa, naiwna definicja zmiennej losowej
Niektóre funkcje
przypisującezdarzeniom elementarnymliczby rzeczywiste nazywamy zmiennymi losowymi.
Rachunek prawdopodobieństwa, przykłady zmiennej losowej
1) Funkcja, która przy rzucie monetą orłu przypisuje zero, a reszce jedynkę.
2) Funkcja, która przy rzucie kostką każdej wylosowanej ściance przypisuje liczbę wylosowanych oczek.
3) Funkcja, która przypisuje wiedzy ucznia z danego materiału ocenę w skali
1 ; 1, 5 ; 2 ; 2, 5 ; 3 ; 3, 5 ; 4 ; 4, 5 ; 5 ; 5, 5 ; 6.
Przykład, wiedzmin
We wiosce znajduje się kuźnia, sklep kupca, chata szamana, karczma.
Przykład, wiedzmin
Uporządkowane pary miejsc we wiosce.
(ku ´znia, ku ´znia), (ku ´znia, sklep), (ku ´znia, chata), (ku ´znia, karczma), (sklep, ku ´znia), (sklep, sklep), (sklep, chata), (sklep, karczma), (chata, ku ´znia), (chata, sklep), (chata, chata), (chata, karczma), (karczma, ku ´znia), (karczma, sklep), (karczma, chata), (karczma, karczma).
Przykład, wiedzmin
Uporządkowana para miejsc we wiosce.
Przykład, wiedzmin
Za zmienną losową Y bierzemy funkcję, która uporządkowanej parze miejsc we wiosce, przypisuje prawdopodobieństwo przejścia wiedzmina z miejsca pierwszego pary do miejsca drugiego pary.
Przykład, wiedzmin
Y (ku ´znia, ku ´znia) = 14, Y (ku ´znia, sklep) = 14, Y (ku ´znia, chata) = 14, Y (ku ´znia, karczma) = 14, Y (sklep, ku ´znia) = 14, Y (sklep, sklep) = 14, Y (sklep, chata) = 14, Y (sklep, karczma) = 14, Y (chata, ku ´znia) = 14, Y (chata, sklep) = 14, Y (chata, chata) = 14, Y (chata, karczma) = 14, Y (karczma, ku ´znia) = 14, Y (karczma, sklep) = 14, Y (karczma, chata) = 14, Y (karczma, karczma) = 14.
Przykład 3
Przykład 3
Przykład 3
Przykład 4, grafika żółwia i fraktale
Teoria miary, naiwna definicja fraktala
Fraktale to wielokrotnie powtarzane motywy w postaci krzywych.
Charakteryzują się tym, że ich części składowe są pomniejszonym obrazem całości.
Program logo, procedura
Płatek Kocha
Przykład 4
Program logo, procedura
Pełny płatek Kocha (gwiazdę Kocha)
otrzymamy powtarzając rysowanie pojedynczego płatka.
Gwiazdka
Program logo, procedura
Drzewo
Przykład 5, ciągi w filozofii nauki
Problem 5
Oznaczenia 2
Teoria liczb i teoria mnogości, dodatek
Teoria liczb, dodatek
Największy wspólny dzielnik liczb całkowitych a1, a2, . . . , an
oznaczamy przez NWD(a1, a2, . . . , an) lub w przypadkach gdy to nie prowadzi do nieporozumienia (a1, a2, . . . , an).
Przykład:
(1, 1) = 1, (−2, 3, 4) = 1, (6, 10, 15) = 1, (221, 143) = 13.
Teoria liczb, dodatek
Najmniejsza wspólna wielokrotność liczb całkowitych a1, a2, . . . , an oznaczamy przez NWW (a1, a2, . . . , an) lub [a1, a2, . . . , an].
Przykład:
[1, 1] = 1, [−2, 3, 4] = 12, (6, 10, 15) = 30, (221, 143) = 2431.
Teoria liczb, dodatek
Zapis a|b oznacza, że liczba a dzieli liczbę b.
Piszemy a 6 |b w przypadku, gdy a nie dzieli b.
Część całkowitą liczby rzeczywistej x oznaczamy przez bx c.
Teoria liczb, dodatek
Mówimy, że n = p1α1p2α2· . . . · psαs jest rozkładem kanonicznym liczby naturalnej n ≥ 2, jeśli p1, . . . , ps są parami różnymi liczbami pierwszymi oraz α1, . . . , αs są liczbami naturalnymi.
Teoria liczb, dodatek
Jeśli n jest liczbą naturalną, to ϕ(n) jest liczbą wszystkich liczb naturalnych mniejszych lub równych n i względnie pierwszych z liczbą n.
Teoria mnogości, dodatek
Liczbę elementów skończonego zbioru A oznaczamy przez |A|.
Wykład 1
Przykłady wprowadzające: ciągi rekurencyjne, twierdzenie Banacha o punkcie stałym, łańcuchy Markowa.
Przypomnienie potrzebnych definicji.
Przestrzeń topologiczna
Przekształcenie ciągłe
Przestrzeń mierzalna
Przestrzeń probabilistyczna
Przestrzeń unormowana
Przestrzeń metryczna
Dyfeomorfizm
Rozmaitość gładka
Definicja układu dynamicznego
Układ dynamiczny
Układ dynamiczny
Układ dynamiczny
Przypomnienie potrzebnych definicji, ciąg dalszy.
Ciąg Cauch’ego
Ciąg Cauch’ego
Twierdzenie Banacha o punkcie stałym.
twierdzenie Banacha o punkcie stałym
Twierdzenie Szarkowskiego.
Ciągi rekurencyjne
Łańcuchy Markowa
Łancuch Markowa, podsumowanie
Macierz przejścia
Przykład, notacja muzyczna
KONIEC
Funkcje tworzące i równania różnicowe.
Iterowanie odwzorowan. Dyskretne uklady dynamiczne i pojecia sluzace do ich opisywania: trajektoria, punkt
staly, punkt okresowy, zbiór niezmienniczy, stabilnosc, atraktor, repeler itp. Zwiazki z algebra i równaniami
róznicowymi.
Podstawowe przyklady: odwzorowanie logistyczne, uklad H´enona, przeksztalcenie piekarza, funkcje kwadratowe
zmiennej zespolonej, automaty komórkowe.
Porzadek Szarkowskiego. Twierdzenia Szarkowskiego oraz Li-Yorke’a.
Chaos w sensie Devaneya.
Zastosowania w modelowaniu zjawisk biologicznych i spolecznych (dyskretny model Malthusa,
dynamika migracji, efekt Alleego, macierze Lesliego).
Zastosowania w modelowaniu zjawisk ekonomicznych (wiecej o lancuchach Markowa, model Tamariego).
Wprowadzenie do geometrii fraktalnej. Uklady iterowanych przeksztalcen (IFS-y). Klasyczne przyklady: zbiór
Cantora, dywan Sierpinskiego, krzywa Kocha.
Zbiory Julii. Zbiór Mandelbrota. Dziwne atraktory.
