Über leckverteilungen

AUG. 1976

CHEF

1. Einführung

Die Bewertung von Unterteilungen von Schiffen nach dem

von Wendel angegebenen Verfahren ti, 2] setzt Angaben über die Hiufigkeitsverteilung von Lecklängen und

Treff-stellen vor. Da es nicht möglich ist - und wohl auch nie möglich sein wird - für jedes Schiff eine objektiv

rich-tige Häufigkeitsverteilung zu finden, muß man sich damit

begnügen, eine Verteilung anzunehmen,

die möglichs

sinnvoll und zweckmäßig ist. Qber die Frage, was hier möglichst sinnvoll und zweckmäßig" ist, kann man

verschie-denèr Meinung sein. Zu welchen Ergebnissen man bisher

gekommen ist, zeigen die Arbeiten [i, 2, 3, 4, 5]. Die von der

IMCO beschlossene Sammlung von Leckdaten, die zur Zeit

durchgeführt wird, läßt weitere Beiträge erwarten.

Soweit ein Konstrukteur die Wahrscheinlichkeit für das Überstehen von Verletzungen nur dazu bestimmt, um sich

selbst ein Urteil über die Sicherheit der von ihm entworfenen

Schiffe zu bildçn, spielt es kaum eine Rolle, welche der

vor-geschlagenen Leckverteilungen er dabei zugrundelegt. Er kann

ganz nach seinem Geschmack bestimmen, was sinnvoll und zweckmäßig ist.

Soll die Wahrscheinlichkeit jedoch in einem weiteren

Rah-men - z. B. für Unterteilungsvorschriften - benutzt werden,

so wird man die Meinung einer größeren Zahl von

Fach-leuten über die beste" Leckverteilung zu berücksichtigen

haben. Es besteht dann die Gefahr, daß man, wie Wendel in

seinem Diskussionsbeitrag zu [4] sagte, in unfruchtbaren Dis-kussionen über die richtige Leckverteilung hängen bleibt.

Diese Gefahr wird nicht geringer, wenn man das Problem

ignoriert. Man sollte vielmehr anstreben, die Diskussion

mög-lichst fruchtbar zu machen, indem man sie auf wesentliche Dinge beschränkt. Im folgenden wird versucht, einige nach

Ansicht des Verfassers wesentliche Gesithtspukte aufzuzeigen

und einige Verfahren anzugeben, die bei der Ermittlung von

Verteilungsfunktionen nützlich sein können.

Gibt es objektiv richtige Leckverteilungen?

Die Idee, die Wahrscheinlichkeit für das Überstehen von

Verletzungen zur Bewertung von Unterteilungen zu benutzen, scheint so bestrickend zu sein, daß jeder, der sie kennen

lernt, zunächst nicht umhin kann, zu glauben, daß es auch objektiv richtige Leckverteilungen geben mußte (siehe z. B.

[i, 4 und 5]). Deshalb soli hier näher erläutert werden, warum man - wie oben behauptet - keine objektiv richtige Leek.

verteilung finden kann.

Die Wahrscheinlichkeit für das Überstehen von Verletzun-gen soll jeweils für ein ganz bestimmtes Schiff berechnet

wer-den. Man muß daher zu ihrer Bestimmung auch von einer

Leckverteilung ausgehen, die genau für eben dieses Schiff gilt. Man kann sich leicht überlegen, daß die Leckverteilungen für

verschiedene Schiffe im allgemeinen ebenfalls verchieden

Uber Leckverteilungen

Dr-Ing. O. Krappinger

Lab v

Scheepsbouwkie

Technische Hogeschool

Delit

sein müssen. Um etwas Konkretes vor Auge-' u ..s

wir uns hier auf die Betrachtung der Lecner

-ken. Jeder Lecklängenverteilung liegL eiT' groß

...

Leckfällen zugrunde.

In jedem einzelnen Leckfall wird die

-cklän.

durch Größe, Geschwindigkeit u -'sig. troffenen Schiffes und

durch Größe, Geschwindigkeit rid T'gk ram-menden Schiffes bzw. rammerdc" rper -

Fi-berge. Amch Grundberührungen s- .

et,

der Grund" ist dann ein Kb:ier . der '&: "

un-endlich und Geschwindigkeit nul).

Es liegt auf der Hand, daß man in z

FIìc .

nen

die Kollisionsgegner und ihr Verhalten

iig gb'

»-r '-er-schiddene Lecklängen erhält, wenn die reffene ... t

ver-schieden sind. Es kommt auf die Masse ge troc'"'.

chif-fes an. auf seine Geschwindigkeit im Augenblick

menstol3es (die wiederum vom Stoppvermögen bz' d' Um-stpuerzeit abhäneen kann) und auf die Festigkeit z. B.

ein 'dff -.'e''.rer Decks hat, die getroIer. werd . "rd die

a-.if nem kürzeren We' autgez'hrt ¿ wenn im

gerfrsr Berci h außer der Aulienhat

keine

cíle zu

zerr -.: 'i-d. E wäre unlogisch zu giauben. daß Ha allen

E. i' ce

i-tndenen Unterschiede aufgeho'---'erden

w '-., "rr.:- - - a nur genügend viele Fälle betretet.

Rhch-tig ist, daß man für zwei verschiedene Schiffe at.ic' zwei

schiedene Kollektive') von Lecks erhält, die verschieìen ver-teilt sind. Genau das gleiche gilt wenn zwar da' zetroffene

Schiff in allen Fällen das gleiche ist, die m5ichemL

Kollisions-partner jedoch eine verschieden zusamnmeegeset:te Gruppe bilden. Daß die Kollisionspartner für "ersdiedcne Schiffe verschieden zusammengesetzten Gruppen etster'' cönnen, erkennt man sofort, wenn man bederk ai einerseits

Schiffe gibt, die auf Routen verkehrt, ati dene! -.ie

haupt-sächlich kleine Schiffe antreffen, anderer.c s so'r, für die

auch große Schiffe als Kollisionspartner in Frae kommen.

Ahnliches gilt für Grundberührungen und Eberg'-.

-Vorstehende Überlegungen zeigen zwar - ',aiitat-v. ras man

vernünftigerweise zu erwarten hätte, w--- es fur Schiff

eine große Zahl von Leckfällen gäbe D;r Schwerigkeit be-steht jedoch darin, daß es diese große Zaii für t-in

bestimm-tes Schiff gar -nicht gibt. Es läßt sich deshalb auch keine

objek-tiv richtige Verteilung der Lecks feststelle:. im nächsten

Ab-schnitt sollen die Konsequenzen untersudi werden, die diese

Feststellung fur die Wahrscheinlichkeit für das Überstehen

von Verletzungen hat.

-1) Sotche }Cottektive gibt es natürlich In Wirklichkeit nicht. Als Gedankenexperirne-ir können wir ums aber vorstellen, daß das be-trachtete Schiff einschließlich seiner potentiellen Kollisionspartner

auf unzdhlig vielen genau gtechen Route,, unter genau gleichen

Verhältnissen fährt. Fdr diessr Cedcnkeninodctt gibt ce dann auch

'ctieblg viele L-cckfäl2c.

3. Uher %Vahrselieirtlichkeitsaussagen

Es sei zunächst angenommen, daß eine ,,richtige"

Leckver-teilung vorliegt und daß die AbLeckver-teilungen bzw. AliLeckver-teilungs-

Aliteilungs-gruppen eines Schiffes eindeutig in sichere und unsichere

ein-geteilt werden können. Man kann dann die

Wahrscheinlich-keit für das Überstehen von Verletzungen berechnen (siehe [2]).

Was bedeutet nun diese Wahrscheinlichkeit? Urn diese

Frage zu beantworten, wollen wir etwas weiter ausholen: Die

Mehrzahl der néueren Autoren auf dem Gebiet der Statistik

definieren die Wahrscheinlichkeit axiomatisch auf Grund der

Maßtheorie der modernen Mengenlehre (z. B. [6, 7, 8). Fur alle Fragen der Anwendung verweisen sie auf die

Häufig-keitsinterprtation (1er Wahrscheinlichkeit, die y. Mises (siehe z. B. [9]) gegeben hat. Wir wollen sie an Hand des bekannten Beispiels von Wiirfen mit einer Münze erläutern. Es wird

da-bei nach der Wahrscheinlichkeit gefragt, daß die Münze so fällt, daß der ,,Kopf nach oben zeigt. Diese Wahrscheinlich-keit \V ist definiert als der Grenzwert der relativen HäufigWahrscheinlich-keit:

Wiirfe, die ,,Kopf" ergeben k

Wlim

=

Gesamtzahl der Würfe n

Sie ist eine Eigenschaft der Miinze, o wie z. B. der

Durch-ser oder die M asse der M unze d iese ken nzeidinençle Eigen-st-haften sind. W ic Durchmesser eder Masse hann audi die

\Vahrscheinlidìkeit ,.geniesse1i werdeti auch wird in allen Fällen das Meßergebnis uni so genauer, je mehr Aufwand man bei der Messung treibt (im Fall der Münze heißt dies, je mehr Würfe man macht). Die Wahrscheinlichkeit steht also neben anderen Eigenschaften oder auch Zustände kennzeich-nenden physikalischen Größen und y. Mises spricht deshalb

von einer ,,naturwissenschaftlichen Theorie der Wahrschein-lichkeit".

Kann man die eben angedeuteten flberlegungen auch auf

die Sicherheit von Schiffen anwenden? Diese Frage muß wohl

verneiut werden. Wenn man y. Mises [9] folgen würde, wäre

es sogar unsinnig, in diesem Zusamnienhang von einer Wahr-sdieinliv-hkeit zu sprechen. Denn man kann sie 1. nicht

,,mes-sen ein Schiff kann nur einmal untergehen und 2. ist sie audi keine Eigenschaft des Schiffes in dem Sinn wie die Wahrscheinlichkeit für Kopf" eine Eigenschaft der Münze war. Sie hängt nicht nur von der Unterteilung des Schiffes, sondern auch von der ihrer Berechnung zugrundegelegten

Leckverteilung ab. Kürzliche Untersuchungen [10] haben ge-zeigt, däß z. B.. die Verti1ungen von Lecklängen für Schiffe,

die in Küstennähe verkehren, stark von denen jener Schiffe abweichen, die meist auf tiefem Wasser fahren. Wenn zwei

völlig gleiche Schiffe verschieden eingesetzt werden, können

für sie verschiedene Leckverteilungen gelten, was wiederum

zu recht verschiedenen Wahrscheinlichkeiten führen kann.

Der Versuch, diese Schwierigkeiten dadurch zu umgehen,

daß man ein fiktives Kollektiv von sehr vielen genau gleichen, unter ganz gleichen Bedingungen fahrenden Schiffen annimmt und die Wahrscheinlichkeit fur das Überstehen von

Verletzun-gen als das Verhältnis: Zahl der Kollisionen, die nicht zum Sinken führen zur Gesamtzahl der Kollisionen zu definieren, ist nicht recht befriedigend [14]. Es ist zwar denkbar, daß ab und zu auch in den Naturwissenschaften phantastische Ge-dankenmodelle nützlich sein können, als Grundlage für kon-krete physikalische Aussagen scheinen sie aher nicht ge-eignet.

Um weiterzukommen, müssen wir also für unser Problem die naturwissenschaftliche Theorieb der Wahrsdieinlichkeit nach y. Mises fallen lassen und uns nach einer anderen Inter-pretation umsehen.

Carnap [11] hat gezeigt, daß dermathematisehe

Formalis-mus der Wahrscheinlichkeitsrechnung nicht nur zur Beschrei-bung gewisser physikalischer Eigenschaften von Dingen oder

physikalischen Systemen verwendbar ist (so wie es oben für das Beispiel der Würfe mit einer Münze angedeutet worden ist), sondern daß man damit audi logische Relationen aus-drücken kann2). Er spricht in diesem Zusammenhang von

induktiver Wahrscheinlichkeit.

Eine induktive Wahrscheinliclikeitsaussage hat folgende Forni: ,Die Wahrscheinlichkeit (das Wort wird hier etwa im Sinne von ,,Bestätigungsgrad" gebraucht) der Hypothese h auf Grund der Erfahrungsdaten e ist so und so groß". Damit wird keine physikalische Tatsache ausgedrückt, sondern nur

eine logische Relation zwischen li und e. Die induktive Wahr-scheinlidikeitsaussage ist entweder logisch wahr oder logisch faisdi - und zwar unabhängig davon, oh die Erfahrungs-daten e falsch oder richtig sind.

Die Übertragbarkeit dieser hier nur ganz kurz angedeute-ten.Zusammenhänge auf unser Problem liegt auf der Hand:

Die Hypothese, daß das Schiff nach einer Kollision oder

Grundberührung sdiwimmen bleibt (oder genauer, daß

be-stimmte Schwimmiagen nicht eintreten und bebe-stimmte

Stabili-tätskennwerte nicht unterschritten werden). hat auf Grund einer bestimmten Leckverteilung die Wahrsdieinlidtkeit 1V

( ebei 1V na di .1 u leredi tieti ist \ - I a ni it i n gesagt Lt-inc phvsìLaliscbt

litsathe ausgedrii. l)

lI Wert bezieht sich auch nit-lit auf das Schiff. sondern aul die

Beziehung zwischen obengenannter Hypothese und den

Leek-daten. Er ist deshalb audi - unter der Voraussetzung

natür-lidi, daß er richtig berechnet worden ist - immer objektiv

richtig, unabhängig davon wie weit die Leckverteilung rich-tig" ist. Damit haben wir die am Ende des letzten Abschnitts gestellte Frage zumindest soweit beantwortet, als es eine

ob-jektive Antwort darauf gibt.

Für die praktische Anwendung der Wahrscheinlichkeit fur das Überstehen von Verletzungen interessiert nun die Frage, wie man eine Zahl, die nicht physikalische Eigenschaften,

sondern eine logische Relation kennzeichnet, im Rahmen einer technischen Aufgabenstellung benutzen soll3). Auf diese Frage gibt es keine eindeutige, zwingende Antwort. Mati kann aber

wohl sagen, daß es sinnvoll ist, ein Schiff, für das man einen

großen W-Wert berechnet hat, als sicherer anzusehen als eines, fur das man einen kleinen W-Wert erhält.

Wenn man dies tut, madit man nichts anderes als bei vielen

Entscheidungen im Alltag auch: Wenn nian morgens nach dm Wetter sieht, schätzt man auf Grund von Erfahrungen qualitativ die induktive Wahrscheinlichkeit dafür, daß es im Laufe des Tages regnen wird. Schätzt man sie groß, nimmt nian einen Schirm mit, hält mati sie für klein, huIt man den

Schirm daheim, d. h. man richtet sich nat-it der

Wahrscheinlich-keit für die Hypothese es wird regnen" auf Grund von Er-fahrungen über das Wetter. Dabei spielt (lie Tatsache, daß

die Erfahrungsdaten in diesem Fall recht unsicher sind, keine

sehr große Rolle. Es ließen, sich beliebig viele ähnliche Bei-spiele an fuhren.

Fur unser Problem können wir daraus folgern, daß der W. Wert eine sinnvolle Grundlage für Entscheidungen über die Unterteilung von Sdiifferi ist. Voraussetzung ist natürlich, daß wir bei der Berechnung des W-Wertes von sinnvollen

Er-Andere Autoren - z. B. Keynes und Jeff reys - sind der Ansicht, daß Wahrscheinlichkeitsaussagen ausschließlich logischer Art sind

und nicht empirisch feststellbare Tatsachen ausdrücken können.

Sie lehnen deshalb die von Misessche Auffassung der Wahrschein-lichkeit als unrichtig ab.

Diese Frage ist insofern von besonderem Interesse als

y. Mises und andere die Brauchbarkeit einer Wahrscheintickkeit

im Sinne der induktiven Wahrscheinlichkeit bestreiten,

-fab rttngsdate.n (d. h. hier Lcckverteilungen) ausgehen. DaLl man keine objektiv richtige Leckverteilung feststellen kann.

scheint kein alizugroßer Mangel zu sein, weil es ja audi keinen

objektiv richtigen quantitativen Zusammenhang zwischen Wahrscheinlichkeit und Sicherheit gibt.

Welche Forderung soll man nun an eine Leckverteilung stellen? Eingangs war gesagt worden, sie sollte zweckmäßig

und sinnvoll sein. Dic Forderung nach Zweckmäßigkeit wird

sicher erfüllt, wenn die Leckvertcilung in einfacher analy-tischer Forni gegeben ist und audi alle notwendigen Rcdi-nungen ohne große Schwierigkeiten und ohne besonderen

Aufwand durdigefulirt werden können.

Weniger einfach ist es, zu präzisieren, was in diesem Zu-sammenhang sinnvoll ist. Man könnte sich vielleicht auf fol-gende Forderungen einigen: Das Verteilungsgesetz soll die

vorliegenden Erfahrungen heriicksiehtigen. Insbesondere

sol-len unmögliche Fälle (z.B. Lecks, die länger sind als die

Schiuislänge) die Wahrscheinlichkeit Null haben. Möglidic Fälle - audi wenn sie nur selten auftreten - sollen dagegen

eine Wahrscheinlichkeit größer als Null haben. D. h. daß man

nicht willkiirlich eine größte Lecklänge' (die kleiner ist als

die Sdiillslänge) vorgeben sollte, da dann ja immer noch eine etwas größere Leeklänge denkbar wäre.

U her Leeklängen 0(1er Trellstellen, (lie an einem u. U. nodi

zu bauenden Sdiill auftreten können, wissen' wir natiirlidi nichts. Wir können aber erwarten, dall sie in derselben

Grö-ßenordnung liegen werden wie bei äbnliçhen SchiITen, die in.

Unfälle verwickelt waren. Die Sammlung von soldien Leek-daten wird allerdings nicht sehr ergiebig sein, weil es relativ wenige Unfälle gibt und es häufig audi nicht möglich ist, die

benötigten Daten festzustellen. Es scheint daher sinnvoll, zur

Aufstellung von Verteilungsgese.tzen audi theoretische O

ber-'legungen anzustellen.

4. Was

kann man von einer Leckstatjstik erwarten?

Wieviel Informationen man einer Statistik entnehmen

kann, hängt weitgehend von ihrem Umfang, d. h. der Zahl der Fälle, (lie sie enthält, ab. Man kann hierüber audi einige

quantitative Aussagen maclien.

v sei eine zufällige Variable, die verschiedene Werte größer Null mit verschiedener Häufigkeit annehmen kann. Die Wahr-scheinlichkeit W, daß il kleiner y ist, ist gleich dem Wert der

Vertcilungsfunktion F (y):

W(ii '1 y) = F (y)

Die Veric-ilungsfunktion kann auf Grund beobaditeter Werte von i näherungsweise hestinimt werden.

Dazu ordnen wir dic beobachteten Werte von i (wir bezeidi-nen sie mit y) der Größe nach. Wenn wir n Werte beobachtet

haben, erhalten wir also

Y3 Y

Die Verteilungsfunktion wird bei endlicher Anzahl von Beobachtungen eine Treppenfunktion, die, für die einzelnen Yj folgende Werte annimmt (es sei z. B. Yi 0):

F1(0)=0; F(y1)-- ; F(y)=

2

- .

- F'1(y1)=- ;

_{. .}

. F5(y11)=---=1

(Wir bezeichnen hier die Verteilungsfunktion mit F5, um an-zudeuten, daß sie aus n Beobachtungen ermittelt wurde).

5 10 15 20 25 30 35_U 40

Bild i

Bild i zeigt ein Beispiel für n

=

20. Wir wissen, dall F5 (y)

gegen '(y) strebt, wenn n gegen unendlich geht (Theorem vön Bernoulli). Wie weit kann nun für eine bestimmte Zahl von Beobachtungen n die Funktion F (y) von F (y) abwei-chen? Um hierüber etwas aussagen zu können, konstruieren

wir einen Konfldenzstreifen4) zu F5 (y). Dieser Streifen über-deckt mit vorgegebener Wahrsdieinlidikeit (3 ((3 heißt Konf'i-denzkoeífizient) die richtige" Verteilungsfunktion F (y).

5 . 10 15 20 25 30 35 40

Bild 3

4) Näheres hierüber siehe z. B. [6, 7, 8). Hier wird der

Konfidenz-bereich nach KoLmogoroff berechnet (12).

T

I.

4..

KontIdenzrcnzen für 9 nach 0,99 (n Kotrno..orcf( 50e)

r-

., t

J

Konfidenzeronzen für n nach Kolmocoroff 0,99 (n = 1200) - 89 Schiffstechnik Bd. 11 - 1964 - Heft 57 5 10 15 20 25 30 35 40

-Bild 2 r Konftdcnzrnnzca ch Koinooroff

J

für 0,09 (n 20) 5.0 0,8 Fn(y) 0,2 o 0, t y ¶0, o' 1,0 0,8 0,4 0,2

Bild 1 zeigt, daß für n

=

20 der Konuidenzstreifcn sehr breit

ist. Auf Grund von 20 Beobachtungen kann man also nur wenig über die richtige" Verteilungsfunktion aussagen. Zum Vergleich sind in Bild 2 und Bild 3 Beispiele für empirische

Verteilungsfunktionen F11 und die entsprechenden Konfìdenz-bereiche eingezeichnet. Wir sehen, daß erst ab etwa n = 1200 die Verteilungsfunktion F (y) einigermaßen eng eingegrenzt wird.

Aus dem Gesagtén können wir abschätzen, welche

Informa-tionen wir aus einer Leckstatistik, die z. B. 1200 Leckfülle umfaßt, entnehmen können. Einer solchen Statistik 'werden Leckfälle von Schiffen verschiedener Größe - z. B. zwischen 50 ni und 200 ni Länge zugrundeliegen. Wenn wir die Ver-teilungsfunktionen der Lecklängen von Schiffen bestimmter

Längenbereiche (z. B. 50 m 'L <75m; 75 m L< 100m

175 ni <L <200 m) haben wollen, so müssen wir das

1.200 Fälle umfassende Kollektiv auf teilen. Betenfalls

erhal-ten wir fur jeden der sechs Längenbereidie 200 Schiffe. Die Verteilungsfunktionen gelten aber fur die Lecks, die an be. liehigen Stellen von Schiffen der jeweiligen Längengruppe auftreten. Wenn wir also nodi einen Schritt weitergehen und

die Verteilungsfunktionen für verschiedene Treifstellen (z. B.

auf 0,1; 0,2; 0,8; 0,9 der Schiffslänge) haben wol-len, so erhalten wir wieder Teilkollektive, die im Mittel je etwa 20 Lecks umfassen.

Wenn wir in Bild 1 bis 3 annehmen, daß y, die Lecklänge bedeutet, dann zeigen diese Bilder für unser Beispiel wie der Konildenabereidi immer größer wird (d. h. wie die jeweilige Verteilungsfunktion immer weniger, eng ein'gegrenzt wird), *enn wir auch über ihre Abhängigkeit von Schiffslänge und

Treftstelle etwas wissen wollen.

Bisher veröffentlichte Leckstatistiken umfassen nicht viel mehr als ein Zehntel des in obigem Beispiel angenommenen Wertes. Viel mehr als den öben angenommenen Wert von

n 1200 wird man. aber auch in Zukunft kaum zusammen-bringen. (Es ist hier zu bedenken, daß die Lecklängenvertei.

lung auch von der Zeit abhängig ist, und man die Statistik des.

halb nicht liber einen beliebig langen Zeitraum erstrecken

sollte. Mit der Zeit ändern sich nämlich die Bauweise - Festig-keit, ausfallender Vorsteven -, die Maschinenanlage, die

Navigationshilfen - Radar usw., was sicher die Leckgrößen

beeinflußt). Wir müssen uns also überlegen, wie wir die rela-tiv wenigen Informationen möglichst gut ausnutzen können.

Wenn wir die Verteilung der Lecklängen von allen Schiffen.

bestimmen würden, so könnten wir sie zwar einigermaßen

eng eingrenzen. Wir würden aller - wenn wir sie zur Be-rechnung der Wahrscheinlichkeit für das Oberstehen von

Ver-letzungen benutzen - zu unsinnigen Ergebnissen kommen:

Beispielsweise könnte es sich ergeben, daß eine gewisse \Vahr-scheinlichkeit besteht, daß bei einem 50-rn-Schiff ein Leek von 80 m Länge auftritt. (Dieses Leek könnte z. B. von einem 200-m-Schiff in die Verteilung hineingekommen sein). Es scheint daher sinnvoll, die Verteilungen für bestimmte, nicht zu große Bereiche von Sehiffslängen zu bestimmen.

Wenn wir nun noch weiter nach TreTstellen unterteilen würden, kämen wir zu sehr weiten Konfldenzbereidien. Es gäbe eine große Mannigfaltigkeit von Funktionen, die alle in diese Bereiche hineinpassen wurden. Wegen der großen Vielfalt wäre eine Einigung auf bestimmte Verteilungsfunk-tionen, die innerhalb der Bereiche mehr oder weniger

wiilil-bar wären, sicher sehr schwierig.

Daher scheint ein anderes Vorgehen zweckmäßiger, bei dem

man der Statistik weniger, dafür aber genauere Angaben

ent-nimmt und die fehlenden Angaben durch vernünftige

Annah-SchtfTstec-hnik Bd. 11 -1964 Heft 57 ₉₀

-men ersetzt. Ein solches Vorgehen wird in den folgenden Ab-schnitten beschrieben: Zunächst wird gezeigt, wie bei Fest-legung der 'Randverteilungen5) der Lecklängen die stati-stischen Angaben durch theoretische Überlegungen ergänzt werden können (Abschnitt 5). Als nächstes wird für ein

Bei-spiel gezeigt, wie man von der Bandverteilung zur eigentlichen Leckverteilung kommt' (Abschnitt 6). Schließlich werden noch die sich für das gewählte Beispiel ergebenden Wahrscheinlich-keiten für Teilgebiete (vgl. [2]) berechnet.

'. Theoretisches Verteilungsgesetz

fur die Leckliingen

Man kann damit rechnen, dali man zur Bestimmung der

Lecklängenverteilung für Schiffe, deren Länge innerhalb

eines bestimmten, nicht zu großen Bereiches liegt, nicht viel mehr als jeweils 100 bis 200 Beobachtungen haben wird; hiiuflg werden es auch noch weniger sein. Als lolge davon erhält man einen verhältnisniäßig breiten Konfidenzstreifen.

Man kann immer eine Menge Funktionen angeben, die in

die-sem Streifen liegen. Die Funktionen können sich ihrem Auf-bau nadi unterscheiden, clic Unterschiede können aber auch

bei 'gleichem Aufbau durch verschiedene Wahl von

Koeffizien-ten kommen (ihre Wahl muß natürlich immer so erfolgen,

daß die Funktion innerhalb des Koníidenzbereiches bleibt).

Diese Vielfalt könnte eingeschränkt werden, wenn es ge. lingt, durch theoretische Überlegungen einige Angaben über den zu erwartenden Funktionstyp zu erhalten. Es wird sich

zeigen, daß schon recht grobe und einfache Betrachtungen ein brauchbares Ergebnis liefern.

Die sidi bei Kollisionen abspielenden Vorgänge sind von Minorsky bereits in einem anderen Zusammenhang

unter-sticht worden [13]. Er hat festgestellt, daß sich die Schiffe da-bei wie unelastisdie Körper verhalten. Beim zentrischen Stoß

unelastischer Körper mit den Massen m1 und m2 und den

Geschwindigkeiteo y1 und y.) (Bild 4) wird die kinetisdie

Energie6)

m1 m.

E1

=

(v1v.,)2 m1 + rn,

in bei Verformung bzw. Zerstörung von Bauteilen zu leistende

Arbeit E., verwandelt. Minorsky hat gezeigt, daß beim Stoß

Bild 4

Die Bedeutung der Randverteitung wird im Abschnitt 6 näher erklärt.

Wir begnügen uns hier mit dem einfachen Fall des zentri-schen Stoßes. Eine weitere Verfeinerung ist für unsere

n Schiffen diese Arbeit etwa proportional dem Volumen der rstörtcn Bauteile ist:

E. = A ± B (Vol)..

Für das zerstörte Volumen setzen wir

Vo1kytd,

'obei y die Lecklänge, t die Eindringtiefe, d die Summe

er Dicken gewisser zerstörter Bauteile bei den Schiffen (siehe

3J, S. 2) und k ein Faktor ist, der die Forni des zerstörten

ereiches berücksichtigt (Bild 5).

Aus E1 = E., erhalten wir:

i

_-

i 111

(v1v.,)- -

--2 m1+rn--2

- B k t -2 Bild 5 -1,5 -L .-0, s 05

fl

_{- + 2 log (v1v) +}

2 m1+m2

+.log 1 log + log

+

iog-_L.

log (y + a) = log.

Dabei ist

A

Bk-td

Die auf der rechten Seite von Gleichung (5.1) stehenden

Größen sind zufällig. Für die ersten beiden Sumnianden liegt dies auf der Hand: E5 hängt vom Zufall ab, wie groß die

Massen (einschließlich der hydrodynamischen Massen) und Geschwindigkeiten der beteiligten Schiffe in den einzelnen Fällen sind. Auch die anderen Größen werden je nach den

Verh ältnissen in den Einzelfällen streuen.

Wir erinnern uns nun an den zentralen Grenzwertsatz der Wahrsdleinlidlkeitsrechnung, der besagt, daß unter sehr all-gemeinen Bedingungen die Summe von Variablen mit belie-biger Verteilung asymptotisch normalverteilt ist. Eine gute Näherung an eine Normalverteilung erhält man aber auch

schon für die Summe von einer verhältnismäßig kleinen Zahl

von Summanden (siehe das Beispiel in Bild 6). Wir können also damit rechnen, daß die Verteilung von log (y + u) nähe-rungsweise normal und die (y + u) nähenähe-rungsweise

log-nor-mal ist.

a ist eine zufällige Größe. Wir wollen sie durch ihren

Mit-telwert a ersetzen. Vorausgesetzt, daß die Streuung von u nicht allzu groß ist, wird die Verteilung von (y ± a) sich nicht

allzusehr von der.von (y + u) unterscheiden. Wir haben also guten Grund anzunehmen, daß die Summe aus Lecklängen

plus einer Konstanten eine Verteilung hat, (lie einer Log-Nor-malverteilung sehr ähnlich sieht.

(5.1) _{Bild 7 zeigt ein Koordinatennetz, in 'dem die Abszisse}

loga-rithmisch und die Ordinate nach dem Gaußsdìen Fehlerinte-gral geteilt ist. In das Diagramm ist die ummenhäufigkeit

22

1,6

i

xVx2;x3; z

Bild 6

Die Variablen x1, x, und x.1 haben die Verteilungsdichten Ij (x1), L, (x.,) und 1. (x). Das Bild zeigt, daß die Verteilungsdichte f (x) der Summe x = x1 + X., + x1 recht gut durch die

Dichte-funktion der Normalverteilung angenähert werden kann. Wären x1, x und x.1 normal

ver-teilt, so ware auch ihre Summe exakt normai verteilt. Da man es in Geichung (5.2) mit einer

Summe von mehr als drei Variablen zu tun hat und ihre Verteilungen wahrscheinlich nicht so stark vor der Normalverteilung abweichen wie die im Bild gezeigten Verteilungen, kann man annehmen, daß die Verteilung der Summe noch besser durch eine Normalverteilung

angenähert wird, als es in dem hier gezeigten Beispiel der Fall Ist.

(5.2) - 91 - Schilistechnik Bd. 11 - 1954 - Heft 57 Of(x)-f(x ix x )

_3(X3)

: 2 2.5 a 35

y + u =

der auch

3

k.

a

y BIld 7

(empirische Verteilungsfunktion) von 129 Lecklängen7), zu denen zuvor je 2 in zugezählt worden sind, eingetragen. Die Punkte lassen sich recht gut durch eine Gerade annähern. D. h.

daß das oben theoretisch abgeleitete Verteilungsgesetz f iir

(y + a) mit a = 2 m durch das vorliegende'Material recht gut

bestätigt wird.

Bild 7 zeigt eine wenn auch sehr geringe Wahrscheinlichkeit für negative Lecklängen. Dies läßt sich damit erklären, da$, es

Kollisionsfälle gibt, bei denen die linke Seite der Gleichung (5.1) kleinär als a wird. Dies ist z. B der Fall, wenn die Ge-schwindigkeit der beiden Schiffe im Augenblid des

Zusam-menstoßes sehr klein ist. In einem solchen Fall tritt bei einem oder bei beiden Schiffen kein Leck auf, y ist also Null. Da wir

aber statt der zufälligen Variablen u die Konstante a gesetzt

haben, ergibt sich in diesem Fall zwañgsläufìg 'i <O für (L <a. Im folgenden wollen wir statt mit F (y) mit einer etwas

mo-difizierten theoretischen Verteilungsfunktion F (y) rechnen.

'Für sie soll gelten:

im Bereich y < O Fa (y) = O

(5.3)

imBereicliv>O F.,(y)

(F(y)F (0))

1F(0)

7) Sie stammen von 99 SchIff en mit einer Länge zwischen 70 und

150 m und von 30 -ober 150in tangen Schiffen und sind durchweg

mf ut ge KotUslon entstanden 110].

Mit dem der Wirklichkeit ebenfalls nicht ganz entsprechen-den Verlauf von F.. (y) für Lecklängen, die größer sind als dic Sthiflslängen, wollen wir uns später noch beschäftigen.

Prak-tisch ist dies immer ohne Bedeutung, weil mari für L > 70 m

immer F., (L) gleich i setzen kann.

6. Bestimmung der Verteilungsdidite von Leeks

aus Randverteilungen

Im Abschnitt 4 ist gezeigt worden, daß es mangels

aus-reichenden statistischen Materials kaum möglich ist, hei

Schif-fen, die in einem bestimmten nicht zu weiten Größenhereich

liegen, die Verteilung der Lecklängen fur verschiedene 'frei1-stellen zu berechnen. Bestenfalls kànn man die Verteilung der

Lecklängen unabhängig von den Trefistellen und die

Vertei-lung der Treflsteilen unabhängig von den Leckliingen einiger. nial3en sicher bestimmen. Diese Verteilungen heißen Randoer. teilungen.

Uni diesen Begriff zu erläutern, föhn-ti wir ein rechtwinkli-ges Koordinatensystem ein. Auf der Abszisse x tragen wir die Treffstellen5), auf der Ordinate die Lecklängen y auf (Bild 8). Jedem möglidien Leek entspridit ein Wertepaar (x, y), da jedes Leck eine Länge y hat und an einer Stelle x der SchiiTslänge

liegt. Man kann sich leicht überlegen, dal] die \Vertepaare

(z, y) für alle möglichen Lecks innerhalb des in Bild 8 cinge.

zeichneten Bereichs liegen müssen.

z

Him S

Die Verteilungsdichte f (x, y) ist ein Maß für die

Wahr-scheinlichkeit, daß Lecks zwischen x und x + dx mit einer Länge zwischen y und y + dy auftreten. Diese Wahrsdrein. lichkeit ist

4W = f (x, y) dxdv.

Die Verteilungsdichte f (x, y) kann man sich als Fläche über der x-y-Ebene vorstellen. Die Verteilungsdidmte der Leeklän-gen y, unabhängig von Ort x ist

f0*(y) _{= f f (z, y) dx} g., y)

Entsprechend findet man für die Verteilungsdichte aller

Treff-'stellen, unabhängig von der Lecklänge y

f1* (x) _{= f f (z, y) dy}

g1 (y)

f und f.,* werden als Randverteilungen bezeichnet. In der

Wahrscheinlichkeitstheorie ist es iiblich, die Integrale zur

Be-rechnung der Randverteilung von minus Unendlich bis plus 8) Als Treifst elle wird die Mitte des Lecks angenonunen.

1 2 4 6 8

10,,,

30 30 IV

_

A,-,/4rIçtdenzgrenzen

tur r6r S 099 Koio8ororf

U

noch .P0(y)

r (yyÇ41

FMI

!u1

.

r

'

I

Schiffstechnik Bd, 11 - 1964 - Heft 57

-92-o 18 28 38 58 78

(y

99 98 95 90 80 70 60 50 40 '30 20 10

1,0 0,4 0,2 o 0,4 o 1,6 0,4 o

t(t)

t ¡ 0 02 0,4 06 0.6 Bild 9b 1,0

- was sicher nicht der Fall sein kann -, dann muß die \Ter.

teilungsdidìte der Trefistellen für die Schiffsenden (x= O und

x

=

L) gleich Null sein: f1* (0) f1* (L) _{0. Daß die Enden}

der in Bild 9 gezeichneten Verteilungsfunktion anders aus-sehen, muß also in der zu kleinen Zahl von Daten begründet sein. Weiter lçann man sich überlegen, daß - wenn die

Leck-längen nicht proportional der Schiffslänge sind, was nicht der

Fall tu sein scheint -, die Verteilung der mit der Schiffslänge dimensionslos gemachten Treffstellen f ihr verschiedene Schiffs.

längen verschieden sein muß.

Es folgt dies daraus, daß f (x, y) nur in einem dreieckigen

Gebiet Werte größer Null annimmt. Der wellige" Verlauf der Verteilungsfunktion bzw. das Springen der Häufìgkeitsdichte für die Klassen von Treffstellen in Bild 9a bzw. 9b kann - 93 - Schiffstechnik Bd. 11 1964 Heft 57

t

/.

h on f idenz ren zen

nACh Kolmogoroff

fUr p=0,99 (ni26)

pr4p

t' + t *

X

Jnendlidi zu erstrecken. Hier sind die Integrationsgrenen

(x) bzw. g. (y) aus Zweckmälligkeitsgründen eingeführt:

(x, y) muß außerhalb des in Bild 8 eingezeichneten Dreiecks ;leieh Null sein. Die Näherungsfunktionen, die wir für f (x, y)

'erwenden werden, haben dort aber endliche Werte. Statt sie

Elort Null zu setzen, d. h. in verschiedenen Bereichen mit ver-thiedenen Funktionen zu rechnen, begrenzen wir den Integra-ionsbercich entsprechend, wodurch wir zum gleichen Ergebnis

ommen. Wie man aus Bild 8 leicht ablesen kann, gilt für

g1 (x)

Oy2x

fürOxL/2

Oy2(Lx)

fürL/2xL

g2 (y)

y!2 <X Ly/2.

Wir wollen nun annehmen, daß die Verteilungsdichten f (x)

md f.,*(y) oder - was auf das gleiche hinausläuft die

Ver-eilungsfunktionen

F1 (x) = .1 f *(x) dx

O F2(y)

iuf Grund von Leckstatistiken für Schiffe bestimmter Längen-ereithe aufgestellt worden sind. Es ist dies zur Zeit zwar noch

iitht der Fall. Dies soll uns aber nicht hindern, an einem

Bei-;piel zu zeigen, wie man von den als gegeben angenommenen 'unktionen F1 (z) und F (y) zu einer sinnvollen Annahme für

- (x, y) und damit zu Teilgebietswahrscheinlichkeiten AW

vgl. 121) kommen kann.

Zweck der folgenden Ausführungen ist also nicht, eine neue

i.eckverteilung vorzuschlagen, sondern nur, gewisse

Zusam-nenhänge bzw. Möglichkeiten aufzuzeigen. An dieser Stelle sei turz auf den Nutzen solcher Überlegungen hingewiesen. Es ist .icher richtig, daß für manche Zwecke eine ziemlich willkürlich

ewähite Verteilung durchaus genügt. Welche der unendlich fielen möglichen willkürlichen Verteilungen soil man aber

ählen? Die Diskussion dieser Frage wäre sicher unfruchtbar,

venn man sie nur mit persönlichen Ansichten führen würde; lagegen kann eine bessere Kenntnis der Zusammenhänge besser" braucht dabei noch nicht gut" zu sein) nur niitzlich

;ein. Im Hinblick auf die Sammlung von Leckdaten durch die IMCO besteht auch ein gewisses aktuelles Interesse an solchen -'ragen. Man sollte danach streben, aus dem gesammelten

Ma-erial möglichst viel Nutzen zu ziehen. Darum scheinen

Über-egungen, die über die bisher angestellten hinausgehen, not-wendig zu sein.

Für unser Beispiel wollen wir von der am Ende des

Ab-ichnitts 5 erwähnten Verteilungsfunktion F2 (y) für die

Leek-lingea und der in Bild 9 á bis c gezeigten Funktion F (x) )zw. f(x) für die Treifstellen [101 ausgehen. Auf Grund der

Jberlegungen in Abschnitt 5 sowie von Bild 7 und von frühe--en Untersuchungen [41 scheint es zicmlidi sicher, daß die

ecklängenverteilung recht gut durch eine Log-Normalvertei-ung angenähert werden kann. Fur Lecklängen gleich dr

3chiffslänge muß die Verteilungsfunktion der Lecklängen

leich i sein. (Die Verteilungsfunktion der Log-Normalvertei-ung geht erst für y gegen Unendlich gegen Eins.)

Ihre Ableitung an dieser Stelle (d. ist f2*(L)) muß Null sein;

ä11c sie einen endlichen Wert, so würde das bedeuten, daß Ehe Randverteilung der Treffstellen auf L12 (d. istf1*(L12))

egcn Unendlich geht, was in Wirklichkeit bestimmt nicht der ier Fall ist.

Ober die ,richtige" Verteilungsfunktion der Treifstellen

(x) (Bild 9) wissen wir wesentlich weniger als über die der

,ecklängen. Wenn die Verteilungsdichte der Lecklängen für

ie Lecklänge Null (d. ist f.,*(0)) nicht unendlich werden soll

0 02 0,4 06 0,8

io

'-t

Bild Sa o 02 04 06 08 t 1,0 Bild Sc

also darin begriindet sein, daß die dem Bild zugrundeliegende Treffstellenstatistik voll Schiffen mit sehr versdìiedener Länge stammt. Aus Bild 9 sowie aus friiheren Untersuchungen ([1, 4]) kann man folgern, daß die Treffer im Vorschifl

hiiufi-ger sind als im 1-linterschiff.

oder audi fj*(x) fi (x) i f (y) dy g1 ix) f*(y) = f2 (y) $ f1 (x) dx g2 (y) f *(x) f.,*(y) f(x,y) = fi (x) f1(y) =

$f2(y)dyjf1 (x) dx

g1 (X) g9 (y) (6.3) (6.3a)

Damit ist f (x, y) bzw. audi f1 (x) und L (y) eindeutig

fest-gelegt. Eine gewisse Schwierigkeit besteht allerdings darin,

daß kein Verfahren zur Lösung von Gleichung (6.3a) bekannt ist. Wir müssen also versuchen, durch Probieren zu einer Lö-sung zu kommen. Dabei wird wie folgt vorgegangen:

Zunächst suchen wir eine Funktion, die einerseits die

Randverteilung der Leddängen, die wir ja ziemlich genau kennen, möglichst gut annähert und insbesondere auch die oben genannten Bedingungen für y = L erfüllt. Andererseits soll diese Funktion aber so besdialten sein,

daß sie einfach und geschlossen zu integrieren ist. Die Log.Normalyerteilung erfüllt weder die Bedingungen fur y = L noch kann sie geschlossen integriert werden.

Wir niadien versuchsweise einen Ansatz für f1 () ) und berechnen damit L (y) nach der zweiten der Gleichungen

(6.3) unter Benutzung von f,* (y) nach a). Mit f () und

f., (y) können wir nach der ersten der Gleichungen (6.3)

f*

_{() berechnen. Stinimt diese Funktion mit der ihr}

entsprechenden Funktion

f, ()

überein, haben wir unsere Aufgabe, f (x, y) = f1 (x) . f. ('') näherungsweise

so zu berechnen, daß sie vorgegebene Randverteilungen hat, gelöst. Wenn dies nicht der Fall ist, müssen wir den Versuch mit einem anderen Ansatz fur f1 () wiederholen.

9) Es ist = x/L. Wegen f,, (z) Lf1 (La) = j,, () sind f (X) Und f,, (t) gleichwertig. Wir benutzen beide Verteituncjsdichten. kissen ¿label aber, wenn kein Irrtum möglich Ist, den Querst rich bei

₍₎

weg.

Zu a) Bestimmung einer Funktion für f,* (y) bzw. F., (y):

Zunächst machen wir einen Ansatz für: f,* (y):

Aus der Bedingung

F (y)

J!f*

(y) dv = i folgt für k: (L u k

/1

2\

2

1 2 1

(+ie" +

+

a Lu5/ La2 (1 La u (6.5)

Für F., (y) erhalten wir damit:

F2(y) =Sf*y)dy=

/2

\/

l\

2 L

----L)( y +

) + y2 euY____+

-\a

J\

u)

ct u

IL

2\

2 L + -

eaI_

u können wir nun aus der Bedingung bestimmen, daß für

irgendeine Lecklänge

₌

F., (ii) nach Gleichung (6.6) gleich sein soll wie dei- für dieses i aus Gleichung (5.3)U) bestimmte

Wert. Man erhält folgende Iterationsformel, die sehr rasch

konvergiert: i

.,

i

(.ti = In ii

1F(1)

/

hi 1 (11+1 = --f* (y) = k - (L y) eY (6.4)

±-U (f2J CL

(L-(Y+.1 )_

dL/\ cl L 2' CL (l IO) e" (6.6) Schiffstechnik Bd. 11 1964 Heft 57 ₉₄

-f1*(x) und f.,*(v) sind Randverteilungen. Die Gleidrnngen d F (x) = f *(x) = S f (x, y) (ly dx g1 (6.1) = f*(y) = Ç f (x,y) dx dv g.,

reichen nicht aus, unì f (x,v) festzulegen. Es sei.daran erinnert, daß der Grund. warum wir aus der Leckstatistik die Randvér. teilungen und nicht gleich f (x, y) bestimmen, die zu kleine Zahl

verfügbarer Daten ist. Den Mangel an Information ersetzen

wir nun durch eine Annahme, die sich später als sehr zweck-nìäßig erweisen wird:

f(x,y) f1 (x) -fo(y). (6.2)

Die Freiheit zu dieser willkürlichen Festsetzung folgt daraus, daß wir zu wenig Informationen haben. Man kann weder die Richtigkeit noch die Unrichtigkeit von Gleichung

(6.2) beweisen.

Mit Gleichung (6.2) kann man für die Gleichungen (6.1) auch schreiben

11 2

L-ÇLj

In Bild 10 ist die nach Gleichung (6.6) fur Schiffe mit

L = 70 ni und L = 150 m berechnete Function der

entspre-diend Cl. (5.3) modifizierten Log-Normalverteilung gegeniiber-gestellt. Man stellt fest, daß die Annäherung sehr gut ist. Be-rherkenswert ist, daß der Aufwand für diese gute.Anniiherung

nicht größer ist, als wenn man nut einer linear abfallenden Leckverteilung nach [2] arbeitet. Der Iterationsformel (6.7)

entspricht dort die Lösung einer kubischen Gleichung, und audi

Gleichung (6.6) ist nicht aufwendiger als die entsprechende

bei der Lincarverteilung.

10) Wie später noch gezeigt wird, ist größer als 0,2. Die kleinste L,inge der Schiffe, deren Lecks der Vertelln,gsfunktion in Bild 7 zugrunde gelegt wurden, Ist 70 m. Damit wird

(1

_{±L-) eL= 5,7 e ". Dies ist gegen}

--vernachlässigbar. Für numerische Rechnungen genügt es also.

nach dem rectten Ausdruck in Gleichung (6.5) zu rechnen.

JI) Praktisch ist so vorzugehen: Man bestimmt aus Gleichung

VT

Man kann leitht feststellen, daß F., (y) nach Gleithung (6.6) icht nur die Leckverteilung nadi der Statistik gut wiedergibt,

ondern daß auth für y

=

L

F(L)

=

i und f* (L)

=

O

s t.

Es sei hier nodI bemerkt, daß der etwas allgemeinere Ansatz

/

\

f,*(y)

₌

_{k(j (L_y)? e'Y}

\L/

ticht viel mehr Rechenaufwand erfordert als der Ansatz (6.4).

s andererseits aber gestattet, auch etwas andere statistidi

efundene Verteilungen gut anzunähern.

Zu b) Bestimmung von f1 () bzw. f* ():

Wir probieren zunächst den Ansatz

i + aL

= i + uL/2

f *()

=

f1() $f(y) dy

=

L(1±aL)

(1 + a L/2) ((L + 2/«) e' + L-2/ct)

L(i+aL)

(1 +uL/2) (L-2/u)

-

-L(i +«L)

-

- . (i (i + 2

a L (1 )) e'(1))

(1 + (Z L/2) ((L + 2/a) e'1 + L-2/a.)'

L (1± aL

(i (i + .2 aL (1 -e)) e.2at(1))

für

1.

(6.10)

(1 + uL/2) (L-2tci)

eÏndrter Ord inatnnaalntab

Damit ergibt sich aus der zweiten der Gleichungen (6.3):

f2*(y)

(y)

-$f1 ()d

g2(y) -ÇLW

fL

2\

L

2ye.

+

ie

--\a

«-/

a u2 a

(6.8) Mit den Beziehungen (6.3), (6.8) und (6.9) finden wir:

Sehifistechnik Bd. 11 1964 -1-left 57

.7

0,96

/

F.,(y) für L - 70 al

0F2(y) (Ir L = 150 .f nach Gleichung (6/6)

F2(y) nach GleIchung (5/3)

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 4'. 48 Bild 10 a y (6.9) L 2

-

«2 t'o 0,5 F2(y) 6 0,'. 0,2 0

1,6 1,2 0,8 0,4 o 0 0 2 0,4 0,6 0,8

t

1,0 Bild 11

Bild 11 zeigt f () für L = 70m und verschiedene Werte von a. Bild 12 zeigt 11* () für die Schiffslängen L = 70 m und

150 m für a 0. Der Einfluß der Schifislänge ist hier erheb-lidi.

Da die Bild 9a bis 9c zugrundeliegenden Leckfälle von

SchiiTen von recht verschiedener Länge stammen (vort 70 rn bis fiber 150 rn) haben wir damit nur eine ziemlich grobe Ab-schätzung deiS Trefistellenverteilung von Schiffen bestimmter

Länge. Wir können also erwarten, daß der Ansatz (6.8) in

unserem Fall schon zu einer solchen Verteilungsdicbte f * ()

fiihrt. die im Hinblick auf das spärliche statistische Material

genau genug ist.

Bild 13 zeigt die aus der Statistik bestimmte und die nach

Gleichung (6.10) berechnete Verteilungsdiclite der Treifstellen für 70 rn und für 150 m lange Schiffe.

Damit haben wir die Aufgabe, die Verteilungsdiclite der Lecks f (x, y) = f (x) f (y) zu finden, deren Randverteilungen

möglichst gut mit den statistischen Randverteilungen überein-stimmen, gelöst. Für die Treifstellen gilt z. B.

fj () = 0,74 + 0,52 für L 70 rn

f1 () 0,72 + 0,56 für L = 150 m.

Die Verteilungsdichten f (y) und f* (y) für Schiffslängen

von 70 no und 150 rn sind in Bild 14 und 15 dargestellt.

7. Berechnung der Teilgebietswnlirsclieinliehkeit

Zum Schluß sei noch gezeigt, daß mil Hilfe der in Abschnitt 6

bestimmten Funktionen für die Verteilungsdidìte der

Leek-lüngen und Treifstellen sehr leicht die Teilgebietswahrschein-lichkeiten AW (vgl. t2]) berechnet werden können.

Es ist (vgl. Bild 16): AT y LAI

AW (,A) =

_J S

f1()f2(y)ddy

o A y 2L

Setzt man f1 () nach Gleichung (6.8) und f. (y) nach Glei.

diung (6.9) ein und berechnet das Integral, so erhält man

1+aL

1

(LA_2

(1 + aL/2? (L_-_) \

f-t Schifrstechnik Bd. 11 1964 Heft 57 96 -0,8 O 0014 f 5))') 1), 4

+

(L

-

-t--)

e'].

Bild 12 r2(y) fUr t. 70 m f.,(y) fUr L 150 . (7.1) i + aL/2

(

+_2_-)e

+ L

a!,

LA +

-)

e0tT]

o 0 0,2 0,4 0,0 OS 1,0 t Bild 13 o lo 20 30 40 50 60 Bild 14 0,0010 0,0008 0,0006 O 0004 0,0002 o

4(y) Bild 15 a) L 70 m

AAAA4AAÀ

0,716 nach G1eichuig (711) 0,700 nach Gleichung (7/3) 0,705 nach [2] AW = 0,719 nach Abell ) C) L = 150 m 0,999 nach Gleichung (7/1) AW 1,000 nach [2] AW = 0,937 nach Abeil ) Bild 18 0,8 0, für L 4(Y) 70 4(y) fur L = 150 0,4 0,2 0 10 20 30 40 50 60 b) L = 130 m - y o 0,05 01 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 At. Bild 17 - 97 - Schilistechnik Bd. 11 - 1904 - Heft 57

AAAAÁ

= 0,509 nach Gleichung (7/1) W= 0,505 nach Gleichung (7/3) 0,507 nach (2] = 0,50 nach Abell )

Die Teilgebietswahrscheinlichkeit ergibt sich also als Pro-dukt aus eineni von unabhängigen Term und einem von

L\ unal)hängigen Term

= f1 () AW1 (Aa) (7.2)

f1 () wird gleich Eins, wenn die Treflstellen symmetrisch zur Schiffsmitte verteilt sind.

lii Bild 17 ist

\\V r L

±

2L

a

a)

L---

₍₇₃₎

für die Schiffslänge L = 70 m und L 150m aufgetragen.

Der die Lage des Teilgebiets berücksichtigende Term ist

f

1+ aL/2

Für das 70-m-Schiff ergibt sich für das vorliegende Beispiel: f1 () = 0.74 + 0.52

-Für das 150-m-Schiff erhält man: f1 () = 0.72 + 0.56 ..

In Bild 18 sind für einige Schiffe die nach Gleichung (7.1),

(73) und unter Voraussetzung linear abfallenderVerteilung

(Zentraiwert vj = 7 m) berechneten Wahrscheinlichkeiten

an-gegeben.

Die Unterschiede zwischen den unter Voraussetzung

verschie-dener Verteilungen berechneten Wahrscheinlichkeiten sind ge.

ring - ein Ergebnis, das nach den Untersuchungen von Wen-del !2j nicht anders zu erwarten war. Obwohl der

zahlen-mäßige Unterschied in dem in Bild 18e dargestellten Fall sehr

gering ist, kommt ihm hier größere Bedeutung zu als in den anderen Fällen: Man erhält dort für die linearabfallende Ver-(7.4)

SCBIFFSTECHNIK

Forschungshefte für Schiffbau und Schiffsmaschinenbau

Verlag: Schlffahrts-Verlag,,Hansa'C.Schroedter & Co., Hamburg 11,Stubbenhuk 10. Tel, Sa.-Nr. 364981. - Schriftleituñg:

Prof. Dr-Ing. Kurt Wendel, Hamburg. - Alle Zuschriften sind an den obigenVerlag zu richten. Unaufgefordert eingesandte Manuskripte werden nur auf ausdrücklichen Wunsch zurückgesandt. Nachdruck, auch auszugsweise, nur mit Genehmigung des Verlages. - Einzelpreis DM 7,50; Jahres-Abonnement DM 32,50 zuzüglich Postzustellgebühr, Abonnements-Kündigun-gen müssen bis spätestens einen Monat vor Ablauf des Jahres-Abonnements beim Verlag vorlieAbonnements-Kündigun-gen. - AnzeiAbonnements-Kündigun-genleitung: Irmgard Dahl, Hamburg. - Anzeigenpreisliste Nr. 2. Bankkonto: Vereinsbank, Abteilung Hafen. Postscheckkonto: Hamburg Nr. 141 87 Höhere Gewalt entbindet den Verlag von jeder Lieferungsverpâichtung. - Erfüllungsort und Gerichtsstand Hamburg.

Druck: Schrocdter & Hauer, Hamburg 1.

teilung eine Wahrscheinlichkeit von 100O/ Dies heißt jedoch

nicht, daß dieses Schiff absolut unsinkbar ist. Es besteht eine

zwar geringe, jedoch durch die Erfahrung belegte Wahrschein-lichkeit für ,,Sinken".

(Eingegangen am 19. 3. 1964)

Schrifttum

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I