Wybrane własności funkcji addytywnych

Pełen tekst

(1)w. Danuta. Węg rzyn. KCltedra M.tematykl. Wybrane własności. ftrnnk~iadd~ych 1. Wprowadzenie R ozwiązanie równań funkcyj nych jest j ednym z najstarszych te matów anali zy matematycznej. Jest d z i edz i ną matematyki , która ma ponad 200 lat. Szczegól nym rodzaj em tyc h rów n ań są równania wprowadzone przez A.L. Cauc hy'cgo, a mianowicie. J(x + y) =f(x) + f(y), f(x + y) = f(x) . J(y), f(x . y) = J(x) + J(y), J(x . y) =J(x) . fu)·. (I). (2) (3) (4). Zostaly one nazwa ne jego nazwiskiem. Niniej szy artyk uł poświęco n y jest wybranym w ł asnościom rozwiqzan równan ia ( 1), czyli funkcj i addytywnych i ich szczególnemu zastosowaniu w matematyce finansowej. Po ni żej omów iono podstawowe w ła snośc i funkcj i addytyw nyc h. Wykazano m .in ., że dowo ln ą funkcj ę addy t yw n ą o kreś l oną w RN można roz łożyć na s um ę N addytyw nych funkcj i okreś l on ych w zbiorze liczb rzeczyw istych [4]. Tra ktuj ąc funkcje addytywne jako ho momorfi zmy prze· strzeni liniowych nad ciajem liczb wy miernych Q i wykorzystując poj ęcia bazy Hame la. stwierdza my. że kai da addytywna funk cj a o kreślo n a w RH j est roz· szerzeniem pew nej fun kcj i g o kreś l o n ej w bazie Hame la przestrzen i RH. Wyprowad zamy ogó ln ą post a ć c ią g ł yc h fun kcj i addytywnyc h. Udowadniono rów ni eż kilka warunków wys t arczaj ącyc h ciąg ł ości funkcji addytywnych okreś l o n yc h w zbiorze liczb rzeczywistych. Nal eżą do nich: mie· rza ln ość funkcj i addytywnej [3], ograni czo n ość funkcj i addytywnej na pewnym zbiorze dodatniej miary [5] , og rani czon ość od dolu (lub od góry) na pewnym przedziale [2] oraz ni e uje mn ość dla dodatn ich liczb rzeczywistych..

(2) Danuta. Ostatni z warunków wystarczających wykorzystujemy do rozw i ązam a Cauchy'ego ( I) i (2) . R ozw i ązan i em tego układu jest zasad a procentu składan ego [1]. uk ładu rów nań. 2 . Ogólne Funk cję. wlasnoścl. f: RN ~ R o. jeżel i s pe łnia. funkcil addytywnych. warto śc ia c h. rzeczyw istych nazywamy. addy t y wną ,. równanie Cauc hy'ego: j(x + y). =j(x) + J(y) ,. (5). dla dowolnych x,)' nal eżącyc h do RN. Z defini cj i otrzy mujemy, że wartość, którą addytywna funkcja przyjmuje dla sumy dowolnej s k oń czon ej liczby punktów z RNjest równa sumie wartości, które przyjmuje w poszczególnych punktach RN. Mamy w ię c nas tępujące twierdzenie.. Twierdzenie I . Je ś li funk cj a f: RN ~ R jest addytywna, to dla dowolnego /I naturalnego oraz dla dowo ln yc h x l' ... , x n nale żącyc h do RN prawdziwa jest rów ność:. (6) Z defi nicji wynika równi eż, że jeśli dwie funk cjefl.fz: RN ~ R są addytywne . to dla dowolnyc h liczb rzeczywistych a, b funkcjaf = af l + bfzjesl także funkcją addytywną. Udowodnimy teraz jed n o rodno ść funk cji s pełniającej równanie (5) z dowolną li czbą wymierną A i w dowolnym punkc ie x nale żący m do RN.. Twierdzenie 2. J eśłi funkcjaf:RN ~ R jest addytywna, to dla dowolnej liczby A nal eżącej do zbioru li czb wymiernych oraz dowolnego x n ależącego do RN otrzymujemy j(),x) = Aj(x). Dowód. Niech x. =y = O. Z definicji otrzymujemy j(0 + O) = j(0) + J(O),. czy li. j(0) = 2j(0), to znaczy,. żef(O). = O. Teraz ni ech)' = - x.. Pon i eważ. 0= j(0) = j(x - x) = j(x) + J(- x) , zatem j(- x). =-j(x).. Warunek ten oznacza, że funkcja addytywna jest nieparzysla. Ustalamy XI =xn =x i z twierdzenia l :. =... =.

(3) w/asnośc;. ji lI,. d la dowolnej liczby naturalnej mujemy. I. x). II.. =J(IIX) =IIf(x),. Korzystamy teraz z punktów I oraz 3 i otrzy-. 0= J(!..x -!..x) = J(!..x) + J(-!..x) , dla A natura lnego, czyli. -f(!..x). =J(-Ą' x),. -Ąf(x). =J(-!..x),. tak więc funkcjafjes t jednorodna z dowolną li czbą ca łkowitą . J eśl i Ajest l iczbą. wymierną, to możemy ją przedstawić w postaci uł amka A=i.-, gdzie k jest liczm bą ca łkowitą ,. natomiast III. liczbą n at ural n ą w i ększą. kx. od zera. Zatem. =AlIIX =IIIAX. i otrzymujemy. kJ(x). =J(kx) = f(m!..x) = mJ(!..x) I: m k Iii J(x) = J(!..x).. Ponieważ A = ~, to dochodzimy do równości m l. J(x). =f(!..x),. dla dowolnej liczby wymiernej A.. Uwaga J. J eśl i w twierdzeniu 2 przyjmiemy N = l , to dla addytywnej funkcji f:R --+ R otrzymamy dla x = l i dowo lnej liczby wymiernej A. że. = ĄJ( I ), J(Ą) = c)., dla c =f(l). f(Ą). czy li. Z twierdzenia 2 otrzymujemy wniosek.. W" iosek J. Funkcjaf:R --+ R j est addytywna i ciąg ła wtedy i tylko wtedy gdy f(x). = c . x, d la dowolnego x E R .. Dowód. Zakładamy, że funkcjafjesl addytywna i c i ągła. Z addytywności funkcji f przez twierdzenie 2 wynika , żeflA) = c· A, z wymiernym A. Z za ł oże nia wiemy, że funkcja f jest ciąg ł a. Weź m y dowolne A niewymieme. Niech {An} nE N będzie c i ągi em skł adaj ący m si ę z rozwini ęcia dziesiętnego liczby A. Oznacza to, że {An} n E N C Q An --+ A(przy /I --+ 00) . Z c i ągłośc i funkcji f otrzymujemy f(Ą,) -->f(Ą),. przy. /I z mi erzaj ący m. do. nie s koń czo nośc i ..

(4) I. Oomf1a Węg rzyn. Dla dowo lnej li czby naturalnej. f(A n ) = c . An czyli. =c. fi).). II. An j est jednak. --ł C .. li c zbą w y mi e rną , a zatem. A (przy n --+ 00),. . A, dla Ą niewymicrncj.. Tak w i ęcJ(x) = c . x, dla dowol nego rzeczyw istego x. Tw ie rdze nie odwrotne jest oczyw iste. W wypadku , gdy N jest li czbą większą od l , wówczas przes trzeń RN m oż na ide nt y fik ować z il oczynem kartezjańskim przestrzen i mni ej szyc h wymiarów . Tak więc RH = Rp x Rq, gdzie p , q lO liczby naturalne. takie że p + q =N. Elementami przestrzeni x, y nal eżący m i do RN będą pary x. = (xP' x q),. y. = (YP' Yq)'. gdzie x p' yp nal eż ą do RP, natom iast x i y tów określone będzi e nast ępująco q q (x + y). należą. = (xP' x q) + (yp' Yq) =(xl'. do. Rą,. Dodawa nie e lemen-. + yp' Yą + Yq) '. J eś li założy m y jące. to. o funkcjifRN--ł R, że jest addytywna , to otrzymamy twierdzenie .. n a s t ęp u . Twierdzenie 3. Jeś l i funkcjaf: RN~ R jest addytywną funkcją i RN=RI' X funkcje addytywne!, :Rp ~ R ./2:Rq ~ R. taki e że. Rą,. i s tni ej ą. f(x) =J(x,. xq ) =J,(x,) + J,(xq ).. W. zw i ązku. z. pow yższy m. twierdzeni em. m ożna zauważyć. pewien fakt.. Uwaga 2. Po N-krotnym zastosowaniu twierdzen ia 3 mo ż na przed s t awi ć funkcję addy t yw ną f RN -). R w postaci sumy N addytywnych funkcj i zm iennej rzeczywistych fR ~ R, i= I , .. . ,N. rzeczywistej o. wartościac h. w tak i sposób,. że N. J(x) =f(x, •... , x,) = I!;(x,).. ,. ,. J eś l i w tw ie rdzeniu 3 o funk cjach!;(x;) , i= I , ... , N za ło ży m y, że i wy ko rzystamy uwagę 2, to otrzymamy na s t ępujące twi erdzeni e.. s ą c ią g l e. Twierdzenie 4. J eś li funk cjafRN~ R jest c i ąg ł a i addytywna (tzn . s pe ł nia równanief(x ] + Y], ... ,xN + YN) = f( x] , ... ,xN) + f(y], ""YN))' to istnieje s tał a c na l eżąca do RN, taka że: N. J(x) =f(x }, ... ,xN ) Poni ew a ż. =I Cr , =cx. i_ I. w twierdzeniu 2 udowodniono jedn o rodność funkcji addytywnej z wiązku z tym m ożna potrakt ować t eż funkcje addytywne jako homomorfizmy przestrzeni liniowych RN w R nad c i ałe m liczb wymiernych.. f RN~ R , to w.

(5) Podamy twierdzenie mówiące o ty m, że dla dowolnej runkcji g określonej w bazie Hamela przestrzeni RN O wartościach rzeczywistych istnieje dokładnie j ed na addytywna runkcja określona w RN będąca rozszerzen iem g. Bazą Hamela nazywamy dowolną bazę przestrzeni (RN. Q. +,-).. Twierdzenie 5. Je że li zbiór H jest dowolną bazą Hamela przestrzeni (RN, Q, każdej runkcji g: H --t R istnieje dokładnie jedna addytywna funkcjaf RN--t R, laka żefl H = g. +, '). to dla. Z powyższego twierdzenia otrzymujemy jako wniosek dzenie.. następujące. twier-. Twierdzenie 6. Jeśli H jest dowolną bazą Hamela przestrzeni (R. Q. +,-) oraz g: H --t R jest dowolną funkcją, nat omiastf R --t R jest jedynym addytywnym jej rozszerzeniem, wówczas funkcjafjest c ią g ła wtedy i tylko wtedy, gdy g(x)/x =const., dla x nal eżącyc h do bazy Hamela.. 3. Warunki wystarczaJqce. clqg/oścl. funkcji addytywnych. Pon i żej udowodniono , że można wyprowadzić ciąg ło ść runkcji add ytywnych z takich własności, jak mi e rzaln ość, og r aniczoność (z co najmniej jednej strony) na pewnym przedziale. Miarę w przestrzeni RN wyznaczonq przez miarę zewnętrz n ą Lebesgue'a nazywamy miarą Lebesgue'a w RN. Miara Lebesg ue'a jest okreś l ona na a-ciele LN z ł ożonym ze wszystkich zbi orów A c RN i takich. że m(Z) = m(Z ( l A) + + m(ZlA) , dla każdego Z c RN. Zbiory A E LN nazywa s i ę zbiorami mierzaln ymi. Funkcjajesl mierzalna. jeże li A E LN ifA --t R i 'r/a ER: {x E A :J(x) < a} E LN.. Twjerdzenje 7. Każda funkcjafR --t R mierzalna i addytywna jest c iąg ła . Dowód. W dowodz ie wykorzystamy naj prostsze własności miary Lebesgue'a na prostej. Najpierw definiujemy. funkcję. oraz pewien zbiór. g,(x): = I/(X) - X/(I). A;. , := {x. E. [0, Izl] : II/(x) - x/(I)I ~ "},. dla dowolnych l, li , Z rzeczywistych. Zdefiniowana funkcja ma następujące g,(x + l). własności:. =tf(x + l) - (x + 1)/(1) =tj{x) + tj(1) - X/( I) -. tf(1). = tf(x) -X/(I) = g,(x},. a zatem jest okresowa oraz 8,(2x) dla. dowołny ch. = tf(2x) -. 2x/(I). x, t rzeczywistych.. = 211/(x) -. x/(t)]. = 28;(X),. =.

(6) Dall/tla. Weżmy. teraz. nas t ęp ujące. zbiory. A;.',: = {x. E. [O , Itl J: Ig,(x)1 $ 2u} ,. A; ",,:= {x. E. [O, 1211J: Ig,(x)1 $ 2u} ,. A;,:= {x Dla. powyższych. zbio rów. E. [O, III]: Ig,(2x) I $ 2u}.. zachodzą następujące związ ki między u. lu. m(A I, I) = m(AI, I) =. Obliczamy. m i arę różn i cy. "2l. ich miarami:. 2u. 'm(A I, 21)'. zbiorów. (A "1,/ lA'1,/ ) < A"1,1 oraz czy li. (A~,UIIA~,) u A~, I C A~,ul ' zatem z. w ł asnośc i. miary Lebesgue'a. O ~ m(A~,u,/A:' I) ~ m(A;,u() - m(A:' /) = O, a to oznacza,. że. m(A~UI IA: I) = Q, Teraz ob liczamy. miarę róż n icy nastę pujących. m([O, IIIl/A~ ,) =. m LP__ {x. = m( (x E. zbiorów:. [0,1111 : 8,(x)1 > O}). =. m LP__ {A;,n, IA;,n, -. E lO, Iti] : 2n - 1 < Ig,(x)1::; 2n}) =. l}) =. +-. +-. =n _...,., L m(A~nIIA;nl -l ) =n __ L O = Q, " Oznacza (O, że g,(x) = O prawie by ł a zadana wzorem. wszędz ie. g,(x). na przedziale [O, Iti], Funkcj a g/(x). = 11(X) -. Dla ('* 0 , (jest okresem funkcji g/, Ma my natomiast dla f = O go(x). Tak. więc. =01(x) -. xJ(O). x1(I). stąd. g, = O prawie. =OJ(x) -. xO. wszędz i e. = O.. dla dowolnego rzeczyw istego t:. O = '8, (x) - g,(x). = 11(X) -. XIJ( I ) - 11(X). + x1(I). =X(J( I ) -. If( I)).. w R,.

(7) ,,. Wybralle. równość zachodzi prawi e wszędzie ze względu było dowolną liczbą rzeczywistą, to fU) if( l) w zbiorze. Ostatnia. =. na x, a poni eważ t R, czyli! jest funk-. cją ciąg ł ą. Wykażemy teraz, że funkcja addytywna jest ciągła, jeśli jest ograniczona na zbiorze dodatniej miary. W dowodzie tej własności skorzystamy z twierdzenia Steinhausa.. Twierdzenie Steinhallsa . Niech zbiór C będzie domkniętym i ograniczonym zbiorem w W', jego miara m(C) > O. Wtedy istnieje taka liczba 5 > O, że dla dowolnego v E R H; lvi < 5 istnieją pewne elementy x, y E C, takie że v =x - y. Twierdzen ie 8. Niech funkcjafR ---) R będzie funkcją a d dytyw n ą ogranina pewnym zbiorze E dodatniej miary. Wówczas funkcja! jest ciągła. Dowód. Za kł adamy, że E jest dodatniej miary , do mkni ę t y i ograniczony. Istnieje wówczas dodatnia liczba ó > O, taka że dla dowolnego a E R. czo ną. jeśli. lal < 5,. lO. a. =x -. y,. dla pewnych x, y n ależącyc h do E. Z addytywno śc i fu nkcji! wyni ka imp likacja : jeśli M jest górnym ograniczen iem l!l na zbiorze E, to otrzymujemy dla a jak wyżej lI\a)1 = If(x - y)1= II\x) - j(y)1 $ 2M. Mamy zatem <5 2M (7) lal = li" => lf{a)1 :5 -'-/' /J =o 1,2, ... Niech teraz X o będzie i Ir - xol <. dowo l ną liczbą rzeczywi s tą. J eśli. r jest li czbą. wym i erną. ~ ,to przez addytywność funkcji! oraz implikację (7), dla 1/ =. 1,2, .... otrzymujemy. II\xQ) -xo 'j(I) 1 = Ij(xo - r) + (r-x o) 'j(I) 1$ (2' M + 11(1)1 '0) ' Gdy. będziemy. zn. zmierz a ć. do. ni eskOliczonośc i. li'. to otrzymamy. II\xo)1 - Xo . f(l) 1 = 0, czyli. j(xo) =xoj( l), dla dowolnego Xo rzeczywistego.. Okazuje się, że wystarczy , żeby funkcja addytywna była og raniczona od góry lub od do ł u na pewnym przedziale , aby b y ła postaci j(x) = c . x. Mamy więc następujące twierdzenie. od. Twierdzenie 9. Każda addytywna funkcjaIR --) R og rani czona od góry lu b do łu na pewnym przedziale jest funkcją ciągłą.. Dowód. Pokażemy , że wszystkie addytywne funkcje ograniczone od dol u na przedziale la, h) są ciąg le. Niech więc funkcja/będzie ograniczona od dołu na przedziale [a, hl przez pewną li czbę rzeczywistą M:.

(8) D allll/a. J(x) = M , R ów ni eż. na przedziale. Vx. E. [a, bJ.. lO, b - a l funkcjaJjest ograni czona od dolu , bowiem jeś l i XE [O,b-aJ, to(x+a) E [a,bl. oraz. J(x + a) = J(x) + j(a), poniewa ż. funkcjafjes t addytywna, czy li f(x) =f(x + a) - J(a). Sy tu ację tę. ~. (8). M - J(a).. przedstawiono na rys. l.. y. /. y'" j(x). /. M. M - fia). Rys. l. Zródło:. Ograniczoność. ~ D D. X. ". funkcji addytywnej na przedziale. opracowanie wlasne.. Funkcjafjest addytywna, zatem z twierdzenia 2: f(nx) =nf(x ) , dla dowo lnej li czby natu ra lnej /I oraz funkcja! jest og rani czona od dol u na przedziale lO , b - a]. Niech t będ z ie li cz bą zd efiniowa n ą na s t ęp uj ąco l :=b-a . Pon i eważ. funkcjaf{x) =c . x, z pewną stałą c ,jest okre ś l on a dla dowolnego x rze-. czywistego, to również jest określona dla x =t . Tak. więc stała c wynos i c =fil), ..

(9) Dla każdej zdefini owanej w punkcie wyrazenie. t:;t. O unkcji addytywnej ]. moż na utw orzyć. f(t) _· x. t. Udowodnimy,. że. dowolna funkcja g. =f(x) -. g(x). prz yjmująca wartości. f(t) - t- x. =f(x) -. (9). ex ,. gdzie funkcjaJUa k w yżej) jest funk cj ą to żsa m ośc i o wo równą zeru, dl a rzeczyw istychx. Z ( 1)J(x) 2:: M - Jta) w przedziale [O, tj. Dla XE [O, Il mamy też. <C. cx -. d ' ,g zle. Ze wzoru (9) otrzymujemy. C_(cr, - O,. jeśl i. CI =f(t). jeś li c/:50. 2:: 0. więc. ~. g(x). M - f(a) - C =: D,. zate m g(x) dla dowo lnego x z g(x + y). Tak. więc. przedz iału. =f(x + y) -. ~. [O, t}. Funkcja g jest. e(x + y). ( 10). D,. =f(x) + fly) -. t eż. addytywna. et - ey. = g(x) + gly).. ( II ). g jako funkcja addytyw na (twierdzenie 2) jest nieparzysla g(-x) = -8(x). (12). g("x) = " g(x). ( 13). oraz i rzeczyw istego x. Dla x = f f(t) g(t ) =f(t) - - t- t =O.. dla dowolnej liczby naturalnej. 11. Zatem z ( 11 ) g(x + t) = g(x) + g(t) = g(x),. czyli funk cja g jest okresowa o okresie t. Ponieważ g jest ograniczona od dol u przez D w przedziale [0 , l} i jest okresowa o okresie 1, lo funkcja ta jest ograniczona od dolu przez D w zbiorze liczb rzeczywistych (rys. 2). Ze wzoru ( ID) gex) 2:: D, dla dowolnego x rzeczywi stego. P r zyp u ść m y, że istni eje xo' takie że g(xo) ~ O. J eśli. g(xo) > O, 10 wtedy. wed ł ug. wzoru ( 12). g(- xo). Definiujemy Xl:. =-xo' skąd. =- g(xo) < O..

(10) Dallula J eśl i. g(xo) <O, IOX I =xo i znowu g(x,). Wówczas. według. = E < O.. wzoru (13) g(IL',). =Ilg(x,) =ilE (rys. 2).. y. y:::: g(x). \-':----,&-"--4,3X-,0,----,I. ,,. 4xo. Sx. 2,1:. .3d. .t. -D------·-i------iE~-------j~----------r4-i--- ---~~--- -- ....... -----------. Rys . 2. Okresowość funkcji g(x) i jej wplyw na. ogran i czoność. funkcji addytywnej. się. dużą l iczbą uj e mną .. Źródło: opracowanie własne.. Li czba E jesl ujemna, tak Weźmy 1/ tak duże, żeby. więc". . E staje. g(IIX) Otr.~ymujemy. g(x). zatem. s przecz n ość. dowo lni e. = nE < D.. z ograniczonością funk cji 8 - Oznacza to , że. =O dla dowo lnej li czby rzeczyw istej x, czy li f{x) - ex. = O.. Funkcje postaciJtx) =c . x są zatem jedynymi addytywnymi ograniczony mi od funk cjami na dowolnym przedziałe.. dołu. Uwaga 3. J eś li funkcjaJjest ograniczona od góry na pewnym przedziale, lo funkcja (-j) jest ograniczona od dołu na tym przedziale. Z dowodu powyższego twi erdzenia (-j) jest ciąg ła , a stąd otrzymujemy ciągłość funk cjij. Jeś li za ł ożymy o funkcji addytywnej nieujemność dla małyc h x, 10 o każe się, że jest ona ciągła . Otrzymujemy więc na s t ęp ując e twierdzenie ..

(11) T wierdzenie JO. Każda addytywna funk cja. która jest ni eujemna (niedodatni a) dl a dodatnich x, jest postaci: j(x) = cx,. z nie ujemnym (niedodatnim) c, dla rzeczywistego c, Dowód. Załóż m y, otrzy mujemy wi ęc. żej(y) ~. j(x. O dla dodatnich y. Z równania Cauchy'ego (1). + y) =f (x ) + f (y). ~j(x) .. Oznacza to, że funk cjaJjest monotoniczna (ro s n ąc a). czywiste i dwa c i ąg i , które z mi e rzają do x, takie że { r,,} c Q jest Poni e wa ż. ro s nący. Weź my. oraz { R,, } c Q jest. dowolne x rze-. m a l ej ący.. funk cjaf jest addytywna, to (na podstawi e twierd zeni a 2) j(' ) = c· ". dl a dowolnej liczby wymiernej r . Z er" i przy. II z mi e rzający m. do. m o n otoni c zno śc i. funkcj i. =f(r,,) SJ(x) Sfe R,,) =cRn. n i es k o ńczo n ośc i. er ,,----)cx. oraz. otrzymujemy eR n ----) cx,. czy li ex SJ(x) S ex .. a to oznacza, że f(x) = ex , dla dowolnego x rzeczywistego i nieujemnego c .. 4 . Procent. składany. Po ni żej wykazano, ż e zasada z ł ożo n ej kapitali zacji odsetek m oże b yć wyprowadzona przy wykorzystaniu funkcji addytywnych. Funkcja opi s ująca tę zasadę jest rozwiązani e m układu ró wnań Cauchy' ego:. j(x + y). =j(x). . f( y) i f (x + y). =f(x) + f (y )·. Oznaczmy przez F(z , t) kapitał , który otrzymamy z kwoty z przez dopi sanie odsetek na koni ec okresu t. J eś li rozłożym y kapit a ł z na dwie lokaty w wy so kośc i x , y . to po okresie t prawdziwa będzi e zależn ość: F(z, r). = F(x + y, r) = F(x , r) + F(y, r) .. ( 14 ). Jest to funkcja addytywna zmiennej oznaczającej kwot ę kapitału przy ustalonej zmiennej t oz nac zającej czas. Przyjmuje ona w a rto ści dodatnie i jest rosną c a (oznacza ona w zra stając y kapita ł ) , a zatem ma postać (według twierdzenia ł O): F(x, r). = c(r ) . x ,. ( 15).

(12) Dal/lila. z pewną li czbą rz eczy wi s tą c, która za l eży od czasu I i dla dowolnych dodatnich x (x jako kwota pien i ęż na jest li cz bą wymierną z mianownikiem będącym pot ęgą naturalną 10). Dla krótkich odcinków czasowych z auw aża m y, że jednostka monet arna (we wzorze (15) x = l) wzrasta w okresie ( do wielkości F( l , t) =C(I). J eśli kwot ę F( l , t) z ł ożymy na dalszy okres 1/ , wówczas po upły wie czasu /I otrzymamy laką w i e lkość,jak po z ł oże niu jednostki monetarnej na ca ł y czas (I + II), a zate m F( I , 1 + II ). Z równania tego wynika,. = cU + II) = F(C(I), II) =C(I). . C(II).. że. cU). = q',. gdz ie t jest dowoln ym ułamki e m z mianownikiem nie przekraczaj,jcym 366 (dni w roku). S tąd wart oŚć kapita łu , do którego wzroś ni e kwota x po okresie t , wynOSI: F(x, I) = x . q/, z pewną s t ałą q > [. Fo rmuła. tajest s łu sz na dla dowolnego okresu kapitalizacj i odsetek (rocznego, dziennego, c iągłego itd .). W zależności od rodzaju kapitalizacji odsetek q jest równe odpowied nio: - kapitali zacji rocznej: q = I + i,. półrocz n ego.. gdzie: i - roczna stopa procentowa,. - kapitalizacji w podokresach: I. q= l+m '. I =k.. gdzie: - roczna stopa procentowa , - liczba podokresów w c iągu roku, k - liczba podokresów w obserwowanym okresie , i. III. - kapitali zacji. c ią g łej:. gdzie: i - roczna stopa procentowa.. Lite ratura III Aczel J., Lectures 011 FunctiollaJ Equatiolls and their Applica/ioIlS, Academ ic Press. New York- London 1966. 12] Aczel J., O/l Applicatiolls and Theory o! FUll ctional Equotions. Base ł -S t uttgart 1969..

(13) wfasnośc:i. I3J Figiel T., O rOIl'I!(llIiufunkcyjlJymf(x + y) = f(x) + /(y), Roczniki PTM, "W i adomości Matematyczne" 1969, Xl. 141 Kuczma M., An IllIrod/lction lo the T/wory of Fl/nctiO/la1 Equatiolls (Ind Ineqlllllities. CallclJy's EqllatiolJ tJ/ld Jensen 's lneql/ality. PWN, Warszawa 1985. 15J Smit<ll J., On the FllnctiolJal Eqllation/(x + y) =/(x) + /(YJ, ..Re .... Roum. Malh. Pllres Et Ap pl.".1. 13.nr4,BllcaresI1968. [6J Węgrlyn D.. FWlkcje adtlytywlle i ich aspekt dydaktyczny, praca magisterska, WS P, Kraków 1997.. Selected Properties ol Additive Functions The purpose of !he pa per is to discuss fundamenlal propenies Dr additive funcliolls defined in the space W'. The author has <lIso presented proofs or sufficient conditions fo r continuity of these func tions defined in the R set of numbers (measurabili ty Dr the additive fUlIClioII, ils bollndedness on the set of posilive measure, bollndedness on Ihe one side or interval and non-negali veness fo r posilive real numbe rs). The laSI of Ihe condit ions was finally applied lo derive a formula or compound interest..

(14)