Ca lka nieoznaczona
Definicja 1 (Funkcja pierwotna). Niech I b¸ edzie przedzia lem w zbiorze liczb rzeczywistych. Funkcj¸ e F nazywamy funkcj¸ a pierwotn¸ a funkcji f na przedziale I, je˙zeli
F 0 (x) = f (x) dla ka˙zdego x ∈ I.
Przyk lad 1. Rozwa˙zmy funkcj¸ e
f (x) = x 4 + x 3 − x 2 + x.
Wielomian
F (x) = 1 5 x 5 + 1
4 x 4 − 1 3 x 3 + 1
2 x 2 + 2020
jest funkcj¸ a pierwotn¸ a funkcj f na przedziale (−∞, +∞), czyli na w zbiorze R.
Czy jest to jedyna funkcja pierwotna funkcji f w R?
Przyk lad 2. Nie! Funkcjami pierwotnymi funkcji f s¸ a tak˙ze funkcje F 1 (x) = 1
5 x 5 + 1 4 x 4 − 1
3 x 3 + 1 2 x 2 , F 2 (x) = 1
5 x 5 + 1 4 x 4 − 1
3 x 3 + 1
2 x 2 + 2021, F 3 (x) = 1
5 x 5 + 1 4 x 4 − 1
3 x 3 + 1 2 x 2 − 3, F 4 (x) = 1
5 x 5 + 1 4 x 4 − 1
3 x 3 + 1 2 x 2 − π . . .
A teraz pomy´ sl, czym r´ o˙zni¸ a si¸ e te funkcje?
Twierdzenie 1 (O funkcji pierwotnej). Dwie dowolne funkcje pierwotne tej samej funkcji f r´ o˙zni¸ a si¸ e o sta l¸ a. Innymi s lowy, je˙zeli F i G s¸ a funkcjami pierwotnymi na przedziale I funkcji f , to istnieje C ∈ R takie, ˙ze
F (x) = G(x) + C dla ka˙zdego x ∈ I.
Twierdzenie 2. Je˙zeli funkcja jest ci¸ ag la na przedziale, to ma funkcj¸ e pier- wotn¸ a na tym przedziale.
Definicja 2. Rodzin¸ e wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f w przedziale I nazywamy ca lk¸ a nieoznaczon¸ a funkcji f w przedziale I i oznaczamy j¸ a sym- bolem
Z
f (x)dx.
Zatem
Z
f (x)dx = F (x) + C ⇐⇒ F 0 (x) = f (x).
Uwaga 1. Wprost z definicji wynikaj¸ a dwie nast¸ epuj¸ ace w lasno´ sci ca lki nieoz- naczonej:
• R f 0 (x)dx = f (x) + C;
• (R f (x)dx) 0 = f (x).
Poni˙zej podajemy list¸ e ca lek nieoznaczonych podstawowych funkcji elemen- tarnych:
1. R 0dx = C,
2. R x α dx = α+1 1 x α+1 + C dla α 6=
−1, 3. R dx
x = ln |x| + C, 4. R e x dx = e x + C,
5. R a x dx = ln a a
x+ C dla 0 < a 6= 1, 6. R sin xdx = − cos x + C,
7. R cos xdx = sin x + C, 8. R dx
sin
2x = − ctg x + C, 9. R dx
cos
2x = tg x + C, 10. R dx
1+x
2= arctg x + C, 11. R dx
√
1−x
2= arcsin x + C, 12. R f
0(x)
f (x) dx = ln |f (x)| + C.
Twierdzenie 3 (Podstawowe w lano´ sci ca lki nieoznaczonej). Je˙zeli funkcje f i g maj¸ a funkcje pierwotne, to
1. R (f (x) ± g(x)) dx = R f (x)dx ± R g(x)dx;
2. R (af (x)) dx = a R f (x)dx dla a ∈ R.
Przyk lad 3. Oblicz ca lk¸ e 1. R
x 6 + x+7 √
3x
5+ x 1
7dx;
2. R
sin x − 2 x−3 + e x − 1 x dx;
3. R x 13 (x 2 + x + 1)dx;
4. R x
5+x
4−x
3x dx;
5. R sin 2x sin x dx;
6. R x
23x
2+3 dx;
7. R cos 2x
sin x+cos x dx.
Przegl¸ ad podstawowych metod ca lkowania
• Ca lkowanie przez podstawienie Z
f (g(x)) g 0 (x)dx = Z
f (t)dt, gdzie t = g(x).
Przyk lad 4. Obliczymy poni˙zsze ca lki stosuj¸ ac metod¸ e podstawiania 1. R (7x 6 + 5x 4 )(x 7 + x 5 ) 2020 dx;
2. R x+3
√
5x−1 dx
3. R (5x 4 + 4x 3 + 1) cos(x 5 + x 4 + x)dx;
4. R (3x 2 + 2x + 6)e x
3+x
2+6x+16 dx;
5. R dx
x cos
2(ln x) ;
6. R cos(3 − x)(10 − sin(3 − x)) 6 dx.
• ca lkowanie przez cz¸e´sci Z
f (x)g 0 (x)dx = f (x)g(x) − Z
f 0 (x)g(x)dx.
Przyk lad 5. Poni˙zsze ca lki obliczymy stosuj¸ ac metod¸ e ca lkowania przez cz¸ e´ sci
1. R (3x + 2) cos xdx;
2. R (x + 1) · 6 x dx;
3. R (x 2 + x + 1)e −x dx;
4. R (x 3 + x 2 + 3) ln xdx;
5. R ln(x 2 + 1)dx;
6. R x 2 · 2 x dx;
7. R ln 2 xdx;
8. R x sin x cos
6x dx.
Podzia l odcinka
• [a, b] - przedzia l;
• P = {x 0 , x 1 . . . , x n }, - tzw. podzia l odcinka [a, b] na n cz¸e´sci, przy czym x 0 = a, x n = b;
• ∆x k = x k − x k−1 dla k = 1, . . . , n;
• δ(P) = max{∆x k , k = 1, . . . , n};
• c k ∈ [x k−1 , x k ], k = 1, . . . , n - wybrane punkty po´ srednie.
Ca lka oznaczona
Definicja 3. Za l´ o˙zmy, ˙ze funkcja f jest ograniczona na przedziale [a, b]. Ca lk¸ e oznaczon¸ a Riemanna z funkcji f na przedziale [a, b] definiujemy wzorem
b
Z
a
f (x)dx = lim
δ(P )→0 n
X
k=1
f (c k )∆x k ,
o ile granica ta jest w la´ sciwa i nie zale˙zy od sposob´ ow podzia lu P odcinka [a, b], ani od wyboru punkt´ ow po´ srednich. Przyjmujemy przy tym, ˙ze
a
Z
a
f (x)dx = 0,
b
Z
a
f (x)dx = −
a
Z
b
f (x)dx.
Twierdzenie 4 (O ca lkowalno´ sci funkcji ci¸ ag lej). Funkcja ci¸ ag la na przedziale domkni¸ etym jest ca lkowalna.
Twierdzenie 5 (Twierdzenie Newtona-Leibniza). Dla funkcji f ci¸ ag lej na przedziale [a, b] prawdziwy jest wz´ or
b
Z
a
f (x)dx = F (b) − F (a),
gdzie F oznacza funkcj¸ e pierwotn¸ a funkcji f (tzn. F 0 (x) = f (x)) na przedziale [a, b].
Twierdzenie 6 (Liniowo´ s´ c ca lki oznaczonej). Je˙zeli funkcje f i g s¸ a ca lkowalne na przedziale [a, b], to prawdziwe s¸ a wzory
1.
b
R
a
(f (x) ± g(x))dx =
b
R
a
f (x)dx ±
b
R
a
g(x)dx;
2.
b
R
a
(cf (x)) dx = c
b
R
a
f (x)dx, gdzie c ∈ R.
Twierdzenie 7 (Addytywno´ s´ c ca lki wzgl¸ edem przedzia l´ ow ca lkowania). Za l´ o˙zmy,
˙ze funkcja f jest ca lkowalna na przedziale [a, b], c ∈ (a, b). Prawdziwy jest wz´ or
b
Z
a
f (x)dx =
c
Z
a
f (x)dx +
b
Z
c
f (x)dx.
Obliczymy ca lki oznaczone i geometrycznie zinterpretujemy uzyskane wyniki:
Przyk lad 6. 1.
4
R
2
xdx;
2.
π 2
![Denicja 1. Niech f : R → R b¦dzie funkcj¡ okresow¡ o okresie 2T, gdzie T ∈ R + i caªkowaln¡ w przedziale [−T, T ]. Szeregiem (trygonometrycznym) Fouriera funkcji f nazywamy szereg funkcyjny postaci:](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)