Własności granic funkcji

(1)

Własności granic funkcji

Autorzy:

Katarzyna Czyżewska

(2)

Własności granic funkcji

Autor: Katarzyna Czyżewska

TWIERDZENIE

Twierdzenie 1:

Twierdzenie 1: o działaniach

o działaniach arytmetycznych na granicach funkcji

arytmetycznych na granicach funkcji

Niech funkcje i będą określone w pewnym sąsiedztwie punktu . Jeżeli oraz , to

UWAGA

Uwaga 1:

Twierdzenie o działaniach arytmetycznych na granicach funkcji stosuje się również do granic jednostronnych w punkcie oraz granic w nieskończoności. W przypadku, gdy jedna lub obydwie funkcje mają granice niewłaściwe działania arytmetyczne na granicach tych funkcji prowadzą do symboli oznaczonych lub nieoznaczonych.

PRZYKŁAD

Przykład 1:

Oblicz granicę . Rozwiązanie: Rozwiązanie:

Z twierdzenia o działaniach arytmetycznych na granicach funkcji obliczamy granice

oraz Funkcja jest określona w otoczeniu punktu i

, a funkcja jest określona w otoczeniu punktu i .

Z twierdzenia o działaniach arytmetycznych na granicach funkcji obliczamy granicę

f(x) h(x)

x

0 _x→x

lim

f(x) =

0

g

1 x→x

lim

0

h(x) =

g

2

(f + h)(x) = +

lim

x→x0

g

1

g

2

(f ⋅ h)(x) = ⋅

lim

x→x0

g

1

g

2

(x) = , je

ż

eli ≠ 0

lim

x→x0 f h gg12

g

2

lim

x→−1 ln (2x+3)+x −3x 2 −5x+1x3 √

(2x + 3) = 2 ⋅ (−1) + 3 = 1

lim

x→−1

(2 − 5x + 1) = 2 ⋅ (−1 − 5 ⋅ (−1) + 1 = 4.

lim

x→−1

x

3

)

3

ln x

1 ln(2x + 3) = ln 1 = 0

lim

x→−1

√

x

4

x→−1

lim

2 − 5x + 1

x

3

=

= 2

−

−−−−−−−−

−

√

4 = [

] = − .

lim

x→−1 ln (2x+3)+x −3x 2 −5x+1x3 √ 2−3⋅(−1)0−1 15

(3)

PRZYKŁAD

Przykład 2:

Oblicz granicę Rozwiązanie: Rozwiązanie:

Obliczamy oraz . Funkcja jest określona w otoczeniu punktu , czyli

i funkcja jest określona w otoczeniu punktu , a zatem . Korzystając z twierdzenia o działaniach arytmetycznych na granicach funkcji obliczamy granicę

TWIERDZENIE

Twierdzenie 2:

Twierdzenie 2: o dwóch funkcjach

o dwóch funkcjach

Jeżeli dla wszystkich z pewnego sąsiedztwa punktu zachodzi nierówność oraz istnieją granice i , to

UWAGA

Uwaga 2:

Twierdzenie o dwóch funkcjach zachodzi również dla granic jednostronnych i wtedy w założeniach odpowiednią nierówność badamy w sąsiedztwie jednostronnym punktu , a także dla granic w nieskończonościach i wtedy nierówność badamy dla argumentów większych od pewnej liczby , w przypadku , albo dla argumentów mniejszych od pewnej liczby , w przypadku .

.

lim

x→2 3 tg −4 sinπ 2x 3xπ −x x2

= [ ] =

lim

x→2 π 2x 2⋅2π π4

lim

_x→23xπ

= [ ] =

3⋅2π π6

tg x

π4

tg

= tg = 1

lim

x→2 π

2x π4

sin x

π6

lim

_x→2

sin

3xπ

= sin =

π6 12

= [

] = .

lim

x→2 3 tg −4 sinπ 2x 3xπ −x x2 3⋅1−4⋅1 2 −2 22 1₂

x

0

f(x) < g(x)

_x→x

lim

f(x)

0

g(x)

lim

x→x0 x→x

lim

0

f(x) ≤

x→x

lim

0

g(x)

x

0

M

+∞

M

−∞

(4)

PRZYKŁAD

Przykład 3:

Ponieważ , a funkcja nie ma granicy w , nie możemy skorzystać z

twierdzenia o działaniach arytmetycznych na granicach funkcji. Skorzystamy z twierdzenia o dwóch funkcjach i nierówności dla funkcji cosinus .

Granica , czyli , a zatem granica funkcji o wartościach większych lub równych wartościom funkcji w lewostronnym sąsiedztwie punktu nie może być mniejsza, a zatem

PRZYKŁAD

Przykład 4:

Obliczamy granice pomocnicze , czyli oraz ,

czyli .

Otrzymujemy symbol nieoznaczony . Skorzystamy z twierdzenia o dwóch funkcjach

wiedząc, że dla zachodzi nierówność .

Ponieważ , to funkcja o wartościach mniejszych od w

prawostronnym sąsiedztwie punktu nie może mieć granicy od niej większej, a zatem

TWIERDZENIE

Twierdzenie 3:

Twierdzenie 3: o trzech funkcjach

o trzech funkcjach

Jeżeli dla wszystkich z pewnego sąsiedztwa punktu zachodzą nierówności oraz , to wówczas istnieje granica .

(2 + cos ((x − 1

+ 1))

lim

x→1−

e

1 1−x

)

−2

((x − 1

+ 1) = [ + 1] = +∞

lim

x→1−

)

−2 ₀1+

cos x

+∞

cos x ≥ −1

(2 − 1)

(2 + cos ((x − 1

+ 1))

e

1−x1

≤

dla x∈R

e

1 1−x

)

−2

= +∞

lim

x→1−1−x1 _x→1

lim

−

e

= +∞

1 1−x

e

1−x1

1 (2 + cos ((x − 1

+ 1)) = +∞.

lim

x→1−

e

1 1−x

)

−2

[(1 − ) ln (x + 1)]

lim

x→0+

2

1 x

= +∞

lim

x→0+ 1 x _x→0

lim

+

(1 − ) = [1 − ∞] = −∞

2

1 x

lim

(x + 1) = [0 + 1] = 1

x→0+

ln (x + 1) = ln 1 = 0

lim

x→0+

[(1 − ) ln (x + 1)] = [−∞ ⋅ 0]

lim

x→0+

2

1 x

x ∈ (0, 1)

ln (x + 1) < ln 2

(1 − ) ln (x + 1)

2

1x

<

(1 − ) ln 2

dla x∈(0,1)

2

1 x

(1 − ) ln 2 = [(1 − ∞) ln 2] = −∞

lim

x→0+

2

1 x

(1 − ) ln 2

2

1x

0 [(1 − ) ln (x + 1)] = −∞.

lim

x→0+

2

1 x

x

0

f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)

f(x) =

h(x) = a

lim

x→x0 x→x

lim

0 x→x

lim

0

g(x) = a

(5)

UWAGA

Uwaga 3:

Twierdzenie o trzech funkcjach zachodzi również dla granic jednostronnych i wtedy w założeniach odpowiednie nierówności badamy w sąsiedztwie jednostronnym punktu , a także dla granic w nieskończonościach i wtedy nierówności badamy dla argumentów większych od pewnej liczby , w przypadku , albo dla argumentów mniejszych od pewnej liczby , w przypadku .

PRZYKŁAD

Przykład 5:

Ponieważ dla funkcje oraz nie mają granic, zastosujemy twierdzenie o trzech funkcjach pamiętając, że zbiorem wartości funkcji sinus i cosinus jest przedział .

Zauważamy, że funkcja wykładnicza ma w granicę równą . Obliczamy granice funkcji skrajnych oraz

.

Ponieważ w dowolnym przedziale zachodzą nierówności pomiędzy wartościami trzech funkcji i granice funkcji skrajnych w są takie same, to

x

0

M

+∞

M

−∞

lim

x→−∞3 −sin x x +cos x 2x

x → −∞

sin x

cos x

[−1, 1]

−1 3x +1 2x

≤

dla x∈R −sin x 3x +cos x 2x

≤

dla x∈R +1 3x −1 2x

(

3 2

)

x

−∞

0 =

(

= [0 ⋅

] = 0

lim

x→−∞ −1 3x +1 2x

lim

x→−∞ 3 2

)

x 1−( 1 3)x 1+(1 2)x 1−0 1+0

=

(

= [0 ⋅

] = 0

lim

x→−∞ +1 3x −1 2x

lim

x→−∞ 3 2

)

x 1+( 1 3)x 1−(1 2)x 1+0 1−0

(−∞, M)

−∞

= 0.

lim

x→−∞ −sin x 3x +cos x 2x

(6)

PRZYKŁAD

Przykład 6:

Obliczamy granice pomocnicze , a funkcja ma w granicę niewłaściwą , to

otrzymujemy symbol nieoznaczony . Skorzystamy z twierdzenia o trzech funkcjach i faktu, że funkcja jest rosnąca, a zatem dla mamy

oraz . Czyli

Korzystając z twierdzeń o logarytmach obliczamy granice

oraz . Ponieważ w dowolnym przedziale dla

zachodzą nierówności pomiędzy wartościami trzech funkcji i granice w funkcji skrajnych są równe, to

TWIERDZENIE

Twierdzenie 4:

Twierdzenie 4: o granicy iloczynu funkcji ograniczonej i mającej granicę zero

o granicy iloczynu funkcji ograniczonej i mającej granicę zero

Jeżeli funkcje i są określone w pewnym sąsiedztwie punktu i w tym sąsiedztwie funkcja jest ograniczona, a funkcja ma granicę równą zero w punkcie , to granica iloczynu funkcji i w punkcie jest równa zero.

UWAGA

Uwaga 4:

Powyższe twierdzenie jest prawdziwe również dla granic jednostronnych i granic w nieskończonościach.

lim

x→∞ ln ( +2)x2 ln ( +3)x3

( + 2) =

( + 3) = ∞

lim

x→∞

x

2 x→∞

lim

x

3

ln x

+∞

= [ ]

lim

x→∞ ln ( +2)x2 ln ( +3)x3 ∞_∞

ln x

x > 1

ln ( ) < ln ( + 2) < ln ( + 2 )

x

2

_x

2

_x

2

_x

2

_{ln ( ) < ln ( + 3) < ln ( + 2 )}

_x

3

_x

3

_x

3

_x

3 ln ( )x2 ln ( +3 )x3 _x3

<

dla x>1 ln ( +2)x2 ln ( +3)x3

<

dla x>1 ln ( +2 )x2 _x2 ln ( )x3

=

= [

] =

lim

x→∞ ln ( )x2 ln ( +3 )x3 _x3

lim

x→∞ 2 ln x ln 4+3 ln x _x→∞

lim

ln 42₊₃ ln x 2 +3 ln 4 ∞ 2 3

=

= [

] =

lim

x→∞ ln ( +2 )x2 _x2 ln ( )x3

lim

x→∞ ln 3+2 ln x 3 ln x _x→∞

lim

+2 ln 3 ln x 3 +2 ln 3 ∞ 3 23

(M, ∞)

M > 1

+∞

= .

lim

x→∞ ln ( +2)x2 ln ( +3)x3 2₃

f(x) g(x)

x

0

f(x)

g(x)

x

0

f(x) g(x)

x

0

(7)

PRZYKŁAD

Przykład 7:

Zauważamy, że , a funkcja nie ma granicy w nieskończoności. Zbiorem wartości funkcji jest przedział , a zatem jest to funkcja ograniczona w całym zbiorze liczb rzeczywistych. Liczymy granicę drugiego

czynnika . Z twierdzenia o granicy iloczynu funkcji ograniczonej i mającej

granicę zero otrzymujemy

PRZYKŁAD

Przykład 8:

Ponieważ , a funkcja nie ma granicy w nieskończoności, dlatego nie możemy zastosować

twierdzenia o działaniach arytmetycznych na granicach funkcji, zauważmy jednak, że funkcja jest ograniczona w całym zbiorze liczb rzeczywistych. Obliczmy więc granicę pozostałego czynnika

Z twierdzenia o granicy iloczynu funkcji ograniczonej i mającej granicę zero otrzymujemy

TWIERDZENIE

Twierdzenie 5:

Twierdzenie 5: o zamianie zmiennej w granicy

o zamianie zmiennej w granicy

Jeżeli funkcja jest określona w sąsiedztwie punktu , i w pewnym sąsiedztwie punktu wartości funkcji są różne od oraz funkcja jest określona w pewnym sąsiedztwie punktu i ma granicę w tym punkcie, to gdzie .

cos

lim

x→1 −2x+1 x2 +x−2 x2 _|x−1|1

= [ ] = +∞

lim

x→1|x−1|1 01+

cos x

[−1, 1]

= [ ] =

= [ ] = 0

lim

x→1 −2x+1 x2 +x−2 x2 0₀

lim

x→1 (x−1)2 (x−1)(x+2) 03

cos

= 0.

lim

x→1 −2x+1 x2 +x−2 x2 _|x−1|1

lim

x→∞ (3x−2) sin ( +1)x2 2 +4x+5x3

( + 1) = ∞

lim

x→∞

x

2

sin x

= [ ] =

=

⋅

= [0 ⋅

] = 0.

lim

x→∞ 3x−2 2 +4x+5x3 ∞_∞

lim

x→∞ x(3− )2 x (2+ + ) x3 4 x2 5 x3

lim

x→∞ 1 x2 3−2 x 2+ +4 x2 5 x3 3−0 2+0+0

= 0.

lim

x→∞ (3x−2) sin ( +1)x2 2 +4x+5x3

f(x)

x

0 _x→x

lim

f(x) =

0

y

0

x

0

y = f(x)

y

0

g(y)

y

0

g(f(x)) =

g(y),

lim

x→x0 y→y

lim

0

y = f(x)

(8)

UWAGA

Uwaga 5:

Twierdzenie o zamianie zmiennej w granicy prawdziwe jest również dla granic jednostronnych i granic w

nieskończonościach. Należy jednak zwracać uwagę na to, gdzie określona jest funkcja dla argumentów należących do jednostronnego sąsiedztwa punktu w przypadku granic jednostronnych, albo do przedziałów jednostronnie

nieograniczonych w przypadku granic w nieskończonościach.

PRZYKŁAD

Przykład 9:

Dokonajmy zamiany zmiennej w badanej funkcji i niech . Obliczamy granicę nowej zmiennej

. Zapisujemy funkcję jako funkcję nowej zmiennej w postaci funkcji . Funkcje i są określone w otoczeniu punktu . Korzystamy z twierdzenia o zamianie zmiennej w granicy pamiętając, że

.

PRZYKŁAD

Przykład 10:

Dokonujemy zamiany zmiennej podstawiając . Obliczamy granicę nowej zmiennej . Badana funkcja zapisuje się jako funkcja nowej zmiennej jako . Korzystamy z twierdzenia o zamianie zmiennej w

granicy pamiętając, że .

Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie

http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.

f(x)

x

0

arcsin

lim

x→∞ 2x+2 2x−3 2x−3x+1

y =

x+1 2x−3

=

lim

x→∞ x+1 2x−3 _x→∞

lim

x(1+ ) 1 x x(2− )3 x 1 2 2x+22x−3

2y

arcsiny

1 2

arcsiny =

lim

y→1 2 π 6

arcsin

=

(2y ⋅ arcsiny) = [1 ⋅ ] = .

lim

x→∞ 2x+2 2x−3 2x−3x+1 _y→

lim

1 2 π 6 π6

lim

x→3− arctg 1 3−x (x−3 +4)3

y =

_3−x1 _x→3

lim

−3−x1

= [ ] = +∞

₀1+ arctg y (1 +4 −y)3

arctgy =

lim

y→+∞ π 2

=

= [

] = .

lim

x→3− arctg 1 3−x

(x−3 +4)3 _y→+∞

lim

₍arctg y1 ₊₄ −y)3

π

2

(9)

Data generacji dokumentu: 2019-04-15 04:55:30

Oryginalny dokument dostępny pod adresem: https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php? link=67bb85097a1029f995352b8d49e53b96