SIMR Analiza 1, zadania: Granice funkcji, Ciągłość funkcji, zastosowanie ciągłości 1. Obliczyć granicę funkcji:
(a) lim
x→0
x sin x sin2x (b) lim
x→0
sin2x cos x − 1 (c) lim
x→0
sin(x2 + x3) tg(2x2 + 3x3) (d) lim
x→∞
x sin(1x) cos 1x (e) lim
x→π2
sin 2x + cos x x − π2 (f) lim
x→π
sin2x 1 + cos 5x (g) lim
x→1(1 − x) tg πx2
2. Dla jakich wartości parametrów funkcja f : R → R jest ciągła:
(a) f (x) =
x3 + 2x − 3
x2 + x − 2 dla x > 1 ax + b dla 0 ¬ x ¬ 1 ln(1 − x)
x dla x < 0
(b) f (x) =
x2 + ax − 6
x2 − 4 dla x > 2
b dla x ¬ 2
(c) f (x) =
x + a√ x
x + sin x dla x > 0
bx + c dla − 1 ¬ x ¬ 0 x2 dla x < −1
(d) f (x) =
ax2 − x + 2
x2 + x − 2 dla x > 2
x dla 0 ¬ x ¬ 2
b1 − cos 2x
4x2 dla x < 0
(e) f (x) =
a
x2 2x − 1
1 1 − x
dla x > 1
b dla − 1 ¬ x ¬ 1
x4 + x
x + 1 dla x < −1 3. Pokazać, że poniższe równanie ma rozwiązanie:
(a) x5 + x + 1 = 0
(b) x4 − 7x2 + x + 2 = 0 (c) e−x = 2x + 1
(d) ln x = x − 2
