Szczególne typy macierzy

(1)

Szczególne typy

macierzy

Autorzy:

Agnieszka Kowalik

(2)

Szczególne typy macierzy

Autor: Agnieszka Kowalik

DEFINICJA

Definicja 1: Macierz zerowa

Macierz, której wszystkie elementy są równe zero, nazywamy macierzą zerowąmacierzą zerową. Macierz zerową oznaczamy symbolem .

DEFINICJA

Definicja 2: Macierz kwadratowa, główna przekątna

1. Jeżeli liczba wierszy macierzy jest równa liczbie jej kolumn, to mówimy, że dana macierz jest kwadratowakwadratowa. Jeżeli liczba wierszy i kolumn macierzy jest równa , to wówczas mówimy, że macierz jest stopnia stopnia .

2. Główną przekątnąGłówną przekątną macierzy kwadratowej stopnia nazywamy zbiór elementów, dla których numer wiersza i numer kolumny są równe, tj. zbiór elementów .

DEFINICJA

Definicja 3: Macierz trójkątna górna, macierz trójkątna dolna

1. Macierzą trójkątną górnąMacierzą trójkątną górną nazywamy macierz kwadratową, której wszystkie elementy leżące pod główną przekątną są równe zero.

2. Macierzą trójkątną dolnąMacierzą trójkątną dolną nazywamy macierz kwadratową, której wszystkie elementy leżące nad główną przekątną są równe zero.

PRZYKŁAD

Przykład 1:

Rozważmy macierz

Główną przekątną powyższej macierzy stanowi zbiór elementów . Ponieważ wszystkie elementy leżące pod główną przekątną są równe zero, zatem mamy do czynienia z macierzą trójkątną górną.

O

n

A = ( )

a

ij

n

{ ,

a

11

a

22

, …,

a

nn

}

A =

.

⎛

⎝

⎜

1

0

0 2i

0

0 i

3 −i

0

2

1

0 i

⎞

⎠

⎟

{1, 2i, −i, i}

(3)

DEFINICJA

Definicja 4: Macierz diagonalna

Macierzą diagonalną

Macierzą diagonalną nazywamy macierz kwadratową, której wszystkie elementy leżące poza główną przekątną są równe zero.

DEFINICJA

Definicja 5: Macierz jednostkowa

Macierzą jednostkową

Macierzą jednostkową nazywamy macierz diagonalną, której wszystkie elementy leżące na głównej przekątnej są równe . Macierz jednostkową stopnia oznaczamy symbolem . Czasami, jeżeli nie ma wątpliwości co do wymiaru danej macierzy jednostkowej, pomijamy dolny indeks pisząc po prostu .

PRZYKŁAD

Przykład 2:

Macierz jednostkowa stopnia jest postaci

DEFINICJA

Definicja 6: Macierz transponowana

Jeżeli jest macierzą wymiaru to macierzą transponowaną do macierzą transponowaną do lub transpozycją transpozycją nazywamy macierz wymiaru , której elementy wyrażają się wzorem .

Z definicji wynika, że macierz transponowana powstaje z macierzy wyjściowej poprzez zapisanie kolejno poszczególnych wierszy macierzy jako kolejne kolumny macierzy .

1 n

I

n

I

3 =

.

I

3

⎛

⎝

⎜

1

0

1

0

1 ⎞

⎠

⎟

A = ( )

a

ij

m × n

A

= ( )

A

T

_a

T ij

n × m

a

Tij

=

a

ji

A

T

(4)

PRZYKŁAD

Przykład 3:

Dla macierzy

macierz transponowana jest postaci

TWIERDZENIE

Twierdzenie 1: Własności transpozycji

Zachodzą następujące własności: 1.

2. 3. 4. 5.

gdzie , jest dowolną liczbą rzeczywistą lub zespoloną, zaś wymiary macierzy i dla poszczególnych własności są takie, aby rozważane działania były wykonalne.

DEFINICJA

Definicja 7: Macierz symetryczna i macierz antysymetryczna

1. Macierz kwadratową nazywamy symetrycznąsymetryczną, jeżeli jest równa swojej macierzy transponowanej, tj. zachodzi

warunek .

2. Macierz kwadratową nazywamy antysymetrycznąantysymetryczną, jeżeli .

Z definicji wynika, że macierz kwadratowa jest symetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy jej elementy leżące symetrycznie względem głównej przekątnej są sobie równe.

Z kolei macierz kwadratowa jest antysymetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy jej elementy leżące symetrycznie względem głównej przekątnej są liczbami wzajemnie przeciwnymi, zaś elementy na głównej przekątnej są równe .

A =

⎛

⎝

⎜

1

0 −1

0

2

1

3 −3

−1

6

2

2 ⎞

⎠

⎟

A

T

=

.

A

T

⎛

⎝

⎜

1

2 −1

0

1

6 −1

3

2

0 −3

2 ⎞

⎠

⎟

(A + B =

)

T

_A

T

+

_B

T

;

(A ⋅ B =

)

T

_B

T

⋅

_A

T

;

(

A

T

₎

T

= A;

(

a

r

₎

T

= (

_A

T

₎

r

;

(αA = α ,

)

T

_A

T

r ∈ N α

A B

A

A = A

T

A

T

= −A

0

(5)

PRZYKŁAD

Przykład 4:

Macierz

jest symetryczna, z kolei macierz

jest antysymetryczna.

Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie

http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.

Data generacji dokumentu: 2019-04-15 16:17:28

Oryginalny dokument dostępny pod adresem: https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php? link=62afea64d4b70f4064256538ecb6ff8d