WYKŁAD 3 Algebra

(1)

ALGEBRA 1

Algebra

WYKŁAD 3

(2)

ALGEBRA 2

Postać wykładnicza liczby zespolonej

Niech

e

oznacza stałą Eulera

Definicja Równość



cos i sin

e

ⁱ

 

nazywamy wzorem Eulera.

Liczby zespolone

(3)

ALGEBRA 3 Każdą liczbę zespoloną różną od zera można przedstawić w postaci



 i z e

ⁱ

z

z  | | (cos  sin )  | |

Definicja

Przedstawienie liczby zespolonej



e

i

z z  | |

nazywamy postacią wykładniczą

Liczby zespolone

(4)

ALGEBRA 4 Przykład

Korzystając z postaci wykładniczej obliczyć z^jeżeli

   

²

4 3

3 1

i z i



 

e i

i 2 ⁴

1

 



e i

i 2 ⁶ 3







 

_



 



 



 



 



 _ _

3 sin 4 3

cos 4 4

4 2

2 ⁴₃

2 4 3

3 3



 



 e i

e e e

z e ⁱ

i i

2 , 1 , 0 3 ,

3 2 4 3 sin

3 2 4

cos 











 













 

 k

k i

k z_k

 



 



 



 



 

9 sin 4 9

cos 4

0



 i

z 



 



 



 



 

9 sin 10 9

cos 10

1



 i z



 



 



 



 

9 sin 16 9

cos 16

2



 i z

Liczby zespolone

(5)

ALGEBRA 5

Podstawiając we wzorze Eulera   otrzymujemy równość^:

0 1 





e

i _,

nazywaną tożsamością Eulera

Tożsamość Eulera bywa nazywana najpiękniejszym wzorem matematycznym ponieważ:

 wykorzystane są w niej trzy działania arytmetyczne: dodawanie, mnożenie i potęgowanie,

 łączy pięć fundamentalnych stałych matematycznych:

liczbę 0, liczbę 1, liczbę π, liczbę e^,

jednostkę urojoną i

 każda ze stałych jest użyta są dokładnie raz,

 wzór ten jest przedstawiony w zwyczajowej formie równania, którego prawa strona jest zerem.

Liczby zespolone

(6)

ALGEBRA 6

Liczby zespolone

(7)

CIEKAWOSTKA Zbiór Mandelbrota

ALGEBRA 7

Liczby zespolone

(8)

ALGEBRA 8

Zbiór Mandelbrota

(9)

ALGEBRA 9

Zbiór Mandelbrota

(10)

ALGEBRA 10

Zbiór Mandelbrota

(11)

ALGEBRA 11

Zbiór Mandelbrota

(12)

ALGEBRA 12

Zbiór Mandelbrota

(13)

ALGEBRA 13

Zbiór Mandelbrota

(14)

ALGEBRA 14

Zbiór Mandelbrota - podzbiór płaszczyzny zespolonej, którego brzeg jest jednym ze sławniejszych fraktali. Nazwa tego obiektu została

wprowadzona dla uhonorowania jego odkrywcy, matematyka Benoit Mandelbrota.

Zbiór Mandelbrota

(15)

ALGEBRA 15

Konstrukcja

Zbiór Mandelbrota

M

wyznaczają te punkty dla których ciąg opisany równaniem rekurencyjnym:

nie dąży do nieskończoności:

Można wykazać, że jest to równoważne z warunkiem:

Podsumowując:

Zbiór Mandelbrota

(16)

ALGEBRA 16

Za pomocą komputera można wykreślić przybliżone obrazy zbioru Mandelbrota (obrazy takie przedstawiają zamieszczone rysunki).

Aby uzyskać taki obraz dla każdego punktu p oblicza się pewną liczbę początkowych wyrazów ciągu zn.

Przyjmuje się, że punkt należy do zbioru jeżeli dla wszystkich (w szczególności dla ostatniego) wyrazów tego podciągu spełniony jest warunek | zn | < 2.

Jest to tym samym obraz przybliżony (okazuje się jednak, że efekt przybliżenia jest widoczny tylko w dużych powiększeniach).

Zbiór Mandelbrota jest podzbiorem każdego przybliżenia.

Dla każdego z punktów nie należących do zbioru można określić liczbę m:

Jest to liczba początkowych wyrazów ciągu zn, które spełniają powyższy warunek.

Wykorzystuje się ją do barwienia punktów nie należących do zbioru Mandelbrota przyporządkowując każdej z wartości m pewien kolor.

Zbiór Mandelbrota

(17)

ALGEBRA 17 Benoit B. Mandelbrot, (1924 -2010) wybitny i nowatorski matematyk

pochodzący z Polski.

Był on twórcą tzw. geometrii fraktalnej, opisującej nieregularne kształty

występujące w przyrodzie, takie jak linia brzegowa, zbocza górskie, i systemy komórkowe. Fraktale w najogólniejszym znaczeniu to interpretacja graficzna

równań i ciągów uchodzących poprzednio za całkowicie abstrakcyjne i nie mające odniesień do rzeczywistości.

Jak wykazał Mandelbrot, powinny one być przedmiotem badań i mają

zastosowania w wielu dziedzinach praktycznych. Jedną z nich była m.in. grafika komputerowa.

Benoit Mandelbrot urodził się w Warszawie 20 listopada 1924 roku w rodzinie litewskich Żydów. W 1936 roku wyemigrował z rodzicami do Francji, gdzie

studiował w Ecole Polytechnique w Paryżu. Po wojnie wyjechał do USA. Pracował w centrum badawczym im. Watsona w Nowym Jorku, wykładał na Uniwersytecie Harvarda, w Massachusetts Institute of Technology, a od 1987 roku był profesorem na Uniwersytecie Yale.

- Jeśli mówimy o wpływie w matematyce i jej zastosowaniach w naukach ścisłych, Mandelbrot był jedną z najważniejszych postaci ostatnich 50 lat - powiedział o zmarłym profesor matematyki z Uniwersytetu w Bremie, Heinz-Otto Peitgen, cytowany w artykule wspomnieniowym w niedzielnym "New York Timesie".

(18)

ALGEBRA 18

Macierze

(19)

ALGEBRA 19

Definicja

Macierzą rzeczywistą wymiaru mn, gdzie m,n  N nazywamy tablicę prostokątną m  n liczb rzeczywistych ustawionych w m wierszach i n kolumnach:

kolumna ta

j

wiersz ty

i

a a

a

a a

a

a a

a

A

mn mj

m

in ij

i

n j



















1 1

11

Element stojący na przecięciu i-tego wiersza i j-tej kolumny oznaczamy przez

a

ij.

Macierz A o elementach

a

ij zapisywana jest jako [

a

ij ] lub [

a

ij]mxn.

Macierze

(20)

ALGEBRA 20

Uwagi

W definicji macierzy przyporządkowujemy parze (i,j) (miejscu na przecięciu i-tego wiersza i j-tej kolumny) liczbę a

ij

, zatem macierz jest wartością funkcji

odwzorowującej iloczyn kartezjański

(1,..., m)  (1, ... , n) w zbiór liczb rzeczywistych R ( i, j)  ( 1, ..., m)  ( 1, ..., n), ( i, j)  a

ij

.

Jeżeli a

ij

są liczbami zespolonymi, to otrzymujemy macierz zespoloną.

Macierze

(21)

ALGEBRA 21

Definicja

Macierz kwadratowa stopnia n jest to macierz o wymiarze n  n.

Liczbę wierszy n równą liczbie kolumn n nazywamy stopniem macierzy.













nn n

n n

a a

a

a a







1

2 22

21

1 11

Elementy macierzy mające ten sam numer wiersza i kolumny tworzą główną przekątną macierzy.

Macierze

(22)

ALGEBRA 22

Macierz diagonalna stopnia n jest to macierz kwadratowa stopnia n, w której wszystkie elementy poza główną przekątną są równe 0.

 





 





a

nn

a a







0 0 0

0 0

22 11

Macierz jednostkowa stopnia n jest to macierz diagonalna,

której przekątna składa się z samych jedynek. Oznaczamy ją I

n

lub I.













1 0

0 1

0

0 0

1







Macierze

(23)

ALGEBRA 23

Wektor kolumnowy jest to macierz o wymiarze m1.

Wektor wierszowy jest to macierz o wymiarze 1n.

Macierzą trójkątną dolną (dolnotrójkątną

)

nazywamy macierz kwadratową, w której elementy leżące nad górną przekątną są równe 0.

Macierzą trójkątną górną (górnotrójkątną) nazywamy macierz kwadratową, w której elementy leżące pod górną przekątną są równe 0.

Macierz zerowa oznaczona 0 lub 0

mxn

jest macierzą wymiaru m  n składającą się z samych zer

.

Macierze

(24)

ALGEBRA 24

Przykłady

Wektor kolumnowy wymiaru 3:

Wektor wierszowy wymiaru 4:

[2, -4, 7, 3].

Macierz o wymiarze 23:

Macierz dolnotrójkątna stopnia 2:

Macierze

(25)

ALGEBRA 25

 ^Definicja

Macierze A i B nazywamy równymi, co zapisujemy A = B, jeżeli mają ten sam wymiar m  n i jeżeli a

ij

= b

_ij

dla i = 1, ..., m

oraz j = 1, ... ,n.

Przykład

Obliczyć dla jakich wartości x i y macierze A i B są równe.

Macierze

(26)

ALGEBRA 26

 ^Definicja

Sumą macierzy A = [ a

ij

] i B = [ b

ij

] wymiaru m  n, nazywamy macierz C = [ c

ij

] wymiaru m  n taką, że

c

ij

= a

ij

+ b

ij

, 1 i  m, 1  j  n.

(oznaczenie C = A + B)

Przykład

Macierze

(27)

ALGEBRA 27

 ^Definicja

Różnicą macierzy A = [ a

ij

] i B = [ b

ij

] wymiaru m  n, nazywamy macierz C = [ c

ij

] wymiaru m  n taką, że

c

ij

= a

ij

- b

ij

, 1 i  m, 1  j  n.

(oznaczenie C = A - B)

Przykład

Macierze

(28)

ALGEBRA 28

Zadanie

Jaką wartość musi mieć x, żeby podana niżej macierz była macierzą trójkątną dolną?

Macierze

(29)

ALGEBRA 29

 Definicja

Dla macierzy A =[ a

ij

] i liczby rzeczywistej c c  A =[ c  a

_ij

].

Mnożąc macierz A przez liczbę c, mnożymy każdy wyraz macierzy przez c.

Przykład

Macierze

(30)

ALGEBRA 30

Niech A = [ a

ij

] będzie macierzą wymiaru m  p oraz B = [ b

_jk

]

macierzą wymiaru p  n.

 ^Definicja

Iloczynem macierzy A ⁱ B nazywamy macierz C= [ c

_ij

] wymiaru m  n o wyrazach:

pj ip j

i j

i

ij

a b a b a b

c 

₁ ₁



₂ ₂

  

gdzie 1 i  m, 1  j  n, tzn.:

 

n m p

k

kj n ik

ij m

a b

c B

A

 







 



 



 

1

Macierze

(31)

ALGEBRA 31

Praktyczny sposób mnożenia macierzy

Wybieramy i - ty wiersz macierzy A tzn. (

a

_i1

, a

_i2

, ... , a

_ip ) oraz j - tą kolumnę macierzy B tzn. (

b

_1j

, b

_2j

, ... , b

_pj^).

Mnożymy kolejno odpowiednie wyrazy wybranego wiersza i wybranej kolumny przez siebie i otrzymane iloczyny dodajemy, otrzymując wyraz

c

_ij

macierzy C.

Wyraz

c

_ij macierzy C jest więc iloczynem skalarnym i - tego wiersza macierzy A oraz j - tej kolumny macierzy B

. 

Macierze

(32)

ALGEBRA 32

Uwagi !

Mnożenie macierzy w ogólnym przypadku nie jest przemienne.

Dwie macierze można pomnożyć tylko wtedy gdy liczba kolumn macierzy A jest równa liczbie wierszy macierzy B.

Przykład

Obliczyć iloczyny macierzy: A  B i B  A.



 





 

2 3

1 2

A 



 







 

3

1 2 B 1

AB  BA

Macierze

(33)

ALGEBRA 33

Przykłady

=

Macierze

(34)

ALGEBRA 34

Zadanie

Obliczyć iloczyn macierzy: