Index of /rozprawy2/11527

Pełen tekst

(1)Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie Wydział Matematyki Stosowanej. Rozprawa doktorska. Przybliżone rozwiązania równań funkcyjnych. Autor: mgr inż. Krzysztof Król. Promotor: prof. Pol. Śl. dr hab. Stefan Czerwik. Kraków 2013.

(2) Spis treści. Wstęp. 2. I. Metody wyznaczania przybliżonych rozwiązań liniowego równania funkcyjnego. 5. 1. Metoda najmniejszych kwadratów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5. a. Całkowa metoda najmniejszych kwadratów . . . . . . . . . . . . . . . .. 5. b. Dyskretna metoda najmniejszych kwadratów . . . . . . . . . . . . . . . 15 2. Metoda dekompozycji Adomiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 a. Wprowadzenie do metody dekompozycji . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 b. Metoda dekompozycji Adomiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3. Metoda kolokacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4. Metoda momentów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 II. Pewne operatory funkcyjne. 34. 5. Liniowy operator funkcyjny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 6. Zbieżność ciągu przybliżeń metody najmniejszych kwadratów i oszacowanie błędu przybliżeń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 III. Zbieżność ciągu przybliżeń metody dekompozycji Adomiana. 46. 7. Metoda dekompozycji Adomiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 8. Zbieżność . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 9. Nowy dowód zbieżności metody Adomiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 a. Wzór na wyznaczanie wielomianów An . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 IV. Wyznaczanie przybliżonych rozwiązań nieliniowych równań funkcyjnych. 68. 10. Metoda najmniejszych kwadratów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 11. Metoda kolokacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 12. Metoda momentów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 13. Metoda dekompozycji Adomiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Literatura. 79.

(3) Wstęp. Podjęty problem w równaniach funkcyjnych jest nowatorski. Ma on duże znaczenie dla teorii równań funkcyjnych oraz ich zastosowań w różnych zagadnieniach matematyki i innych dyscyplin naukowych. Praca dotyczy metod wyznaczania przybliżonych i ciągłych rozwiązań równań funkcyjnych (tzw. równań jednej zmiennej), problemów zbieżności procedur iteracyjnych do rozwiązania danego równania oraz oszacowań różnicy między rozwiązaniem a jego przybliżeniem. W rozprawie tej będziemy rozważać przybliżone i ciągłe rozwiązania liniowego równania funkcyjnego y[f (x)] = g(x)y(x) + F (x), gdzie funkcje f, g, F są dane, a y jest nieznaną funkcją, oraz nieliniowego równania funkcyjnego (tzw. równanie Kordylewskiego - Kuczmy) y[f (x)] = h(x, y(x)), gdzie funkcje h i f są dane, a y jest nieznaną funkcją. W pracy zastosujemy następujące algorytmy wyznaczania przybliżonych i ciągłych rozwiązań równań funkcyjnych: metodę najmniejszych kwadratów (całkowa i dyskretna), metodę momentów, metodę kolokacji i metodę dekompozycji. Stosując pierwsze trzy metody do liniowego równania funkcyjnego otrzymujemy układy równań liniowych, które można rozwiązać metodami algebraicznymi. Natomiast czwarta metoda sprowadza się do wyznaczenia pewnego szeregu funkcyjnego. Zastosowanie metody najmniejszych kwadratów, kolokacji i momentów do nieliniowego równania funkcyjnego prowadzi do układów równań nieliniowych. Natomiast zastosowanie wielomianów Adomiana, w metodzie dekompozycji, pozwala na wyznaczenie przybliżonego rozwiązania nieliniowego równania funkcyjnego. W pracy sformułujemy twierdzenia dotyczące zbieżności ciągu przybliżeń do rozwiązania równania oraz zajmiemy sie uzyskaniem oszacowań błędu |yn (x) − y(x)| mających znaczenie w zastosowaniach.. dla x ∈ P (P − przedział ),.

(4) WSTĘP. 3. W rozprawie tej zbadamy własności pewnego operatora funkcyjnego, którego konstrukcja wiąże się z liniowym równaniem funkcyjnym i problemami wymienionymi wcześniej. Wszystkie te zagadnienia są nowatorskie dla równań funkcyjnych, chociaż są to ważne i podstawowe problemy dla innych typów równań (różniczkowych, całkowych, cząstkowych. . . ) oraz mają ważne znaczenie dla zastosowań równań funkcyjnych. Profesor Bogdan Choczewski w swojej pracy habilitacyjnej (patrz [14]) rozważał podobne problemy, jednak jego idee były całkowicie inne niż zastosowane w tej pracy. W pierwszym rozdziale zastosujemy metodę najmniejszych kwadratów (całkową i dyskretną) do szukania przybliżonych rozwiązań liniowego równania funkcyjnego. Zaletą tej metody jest to, że możemy tutaj zastosować twierdzenia dotyczące przechodzenia z różniczkowaniem pod znak całki i odpowiednio sumy. Natomiast metoda kolokacji bazuje na obliczaniu wartości funkcji błędu dla wskazanych argumentów, a metoda momentów opiera się na liczeniu pewnych całek. Wyznaczanie rozwiązań, za pomocą wspomnianych metod, sprowadza się do obliczania pewnych całek i liczenia sum, a takie postępowanie sprzyja implementacji numerycznej. Dodatkowo w pierwszym rozdziale poznamy metodę dekompozycji Adomiana. Tą metodę zastosujemy do równania operatorowego (1.17), gdzie operator znajdujący się po lewej strona tego równania rozkłada się na odwracalny operator nieskończenie addytywny, operator nieskończenie addytywny i operator nieliniowy. Ten operator nieliniowy zastąpimy wielomianami tzw. wielomianami Adomiana zdefiniowanymi poprzez zależności (1.20). W tym rozdziale również przedstawimy twierdzenia dotyczące zbieżności tej metody. Wszystkie wspomniane tutaj metody zaprezentujemy razem z przykładami pokazującymi jak można wspomnianą metodę zastosować. Przeprowadzimy tutaj również rozważania na temat metody najmniejszych kwadratów z jednym parametrem, której idea pochodzi od profesora Stefana Czerwika. W drugim rozdziale zajmiemy się pewnym operatorem funkcyjnym zdefiniowanym poprzez wzór A[y](x) := y[f (x)] + g(x)y(x), gdzie y ∈ C([a, b]). Pokażemy, że operator ten jest liniowy i ograniczony. Dodatkowo przy pewnych założeniach istnieje operator odwrotny do rozważanego operatora. Operator odwrotny jest również liniowy i ograniczony. Rozpatrzymy tutaj normy k · k1 , k · k2 zdefiniowane poprzez (2.2). Przedstawimy oszacowania zdefiniowanego operatora biorąc pod uwagę wskazane normy. Warte uwagi jest oszacowanie kyk ≤ αkA[y]k,.

(5) WSTĘP. 4. które zachodzi, przy pewnych założeniach, dla obydwu norm. Dodatkowo w tym rozdziale ∞ udowodnimy twierdzenie o zbieżności ciągu {A[yn ]}∞ n=1 , gdy {yn }n=1 jest ciągiem przy-. bliżeń uzyskanym metodą najmniejszych kwadratów dla równania (2.1). Również, przy pewnych założeniach, ciąg {yn }∞ n=1 jest zbieżny. W Twierdzeniu 19 otrzymamy oszacowania przydatne w zastosowaniach. W trzecim rozdziale zaprezentujemy dowód twierdzenia o zbieżności metody Adomiana w której nieliniowy operator zostaje rozłożony w szereg o wyrazach zwanych wielomianami Adomiana (patrz Twierdzenie 20). Zajmiemy się tutaj uogólnionym równaniem Fredholma-Voltery drugiego rodzaju (patrz (3.1)). Dodatkowo poprawimy rezultaty pochodzące z pracy [13]. W tym rozdziale zaprezentujemy inne podejście do dowodzenia zbieżności szeregu, którego elementami są wielomiany Adomiana (patrz Twierdzenie 23 i 26). Przedstawimy tutaj wzory na wyznaczanie wielomianów Adomiana. Ważnym wzorem jest wzór w którym wielomiany Adomiana są funkcjami tylko jednego argumentu (patrz Twierdzenie 24). Ponadto prezentujemy tutaj tabelę wartości współczynników występujących we wspomnianym wzorze. W ostatnim rozdziale zastosujemy, poznane wcześniej, metody wyznaczania przybliżonych rozwiązań do wyznaczania przybliżonych rozwiązań nieliniowego równania funkcyjnego. Te metody zaprezentujemy na przykładach pokazując jak można zastosować te metody. Zaznaczmy, że w przypadku istnienia rozwiązań zależnych od dowolnej funkcji, brak jest wzorów na otrzymanie tych rozwiązań, stąd pożyteczne jest stosowanie metod szukania rozwiązań przybliżonych. Do pracy dołączone są autorskie programy komputerowe przy pomocy których możemy, stosując rozważane metody, wyznaczyć przybliżone rozwiązanie ciągłe zadanego równania. Szczegółowe informacje dotyczące tych programów znajdziemy w kolejnych rozdziałach tej rozprawy. W tej pracy C, R, N oznaczają odpowiednio zbiór liczb zespolonych, zbiór liczb rzeczywistych oraz zbiór liczb naturalnych. Dodatkowo C([a, b]) oznacza klasę funkcji ciągłych na przedziale [a, b] o wartościach rzeczywistych..

(6) Rozdział I Metody wyznaczania przybliżonych rozwiązań liniowego równania funkcyjnego. 1. Metoda najmniejszych kwadratów a. Całkowa metoda najmniejszych kwadratów Rozpocznijmy od następującej definicji. Definicja 1 Liniowym równaniem funkcyjnym nazywamy równanie postaci y[f (x)] = g(x)y(x) + F (x),. (1.1). gdzie funkcje f, g, F są dane, a y jest nieznaną funkcją. Oznaczmy przez Y[P] klasę funkcji zdefiniowanych na przedziale P i przyjmujących wartości z R. Niech R0ξ [P] będzie klasą funkcji ciągłych, ściśle rosnących na przedziale P i spełniających dla ξ ∈ P (domknięcie przedziału P) warunki: (a) (f (x) − x)(ξ − x) > 0 dla x ∈ P, x 6= ξ, (b) (f (x) − ξ)(ξ − x) < 0 dla x ∈ P, x 6= ξ. Będziemy korzystać z następującego twierdzenia. Twierdzenie 1 ([26]) Załóżmy, że f ∈ R0ξ [P], gdzie ξ ∈ P . Niech funkcje g, F ∈ Y[P] będą ciągłe na przedziale P i g(x) 6= 0 dla x ∈ P , oraz niech spełniony będzie warunek |g(ξ)| > 1.. (1.2). Wtedy równanie (1.1) ma dokładnie jedno rozwiązanie ciągłe y ∈ Y[P] na P . Rozwiązanie to dane jest wzorem y(x) = −. ∞ X F [f n (x)] n=0. Gn+1 (x). ,. x ∈ P,. (1.3).

(7) I. LINIOWE RÓWNANIE FUNKCYJNE. 6. gdzie Gn (x) =. n−1 Y. g[f i (x)],. x ∈ P, n = 1, 2, 3, . . .. .. (1.4). i=0. Rysunek 1: Wykres funkcji należącej do klasy funkcji R0ξ [P]. Na początku przedstawmy kilka uwag. Uwaga 1 W Twierdzeniu 1 zakładamy, że funkcja f jest ściśle rosnąca. Gdy funkcja f jest ściśle malejąca, sytuacja daje się sprowadzić do przypadku funkcji f ściśle rosnącej. Mianowicie, gdy funkcja f jest ściśle malejąca to funkcja f 2 := f ◦f jest ściśle rosnąca, ponadto jeśli y spełnia równanie (1.1), to mamy y[f (f (x))] = g(f (x))y(f (x)) + F (f (x)) = g(f (x))[g(x)y(x) + F (x)] + F (f (x)) = g(f (x))g(x)y(x) + g(f (x))F (x) + F (f (x)), czyli y[f 2 (x)] = h(x)y(x) + K(x),. x ∈ P,. gdzie h(x) = g(f (x))g(x),. K(x) = g(f (x))F (x) + F (f (x)),. oraz f (f (ξ)) = f (ξ) = ξ,. x∈P.

(8) I. LINIOWE RÓWNANIE FUNKCYJNE. 7. a to pokazuje, że funkcja y spełnia równanie (1.1) z danymi funkcjami h i K, ponadto punkt ξ, będący punktem stałym funkcji f , jest równocześnie punktem stałym funkcji f 2 . Uwaga 2 Gdy ξ = b, tzn. ξ (punkt stały funkcji f ) jest prawym końcem przedziału P , sytuacja jest analogiczna i dowody przebiegaja analogicznie, stąd ograniczamy się do przypadku ξ = a (przedstawione dowody w książce M. Kuczmy [26] dotyczą tej sytuacji i dla wygody czytelnika również ograniczamy się do tego przypadku). Uwaga 3 Gdy ξ jest wewnątrz przedziału P , dzielimy go na dwa podprzedziały [a, ξ] oraz [ξ, b] i prowadzimy rozważania analogicznie dla każdego z tych przedziałów. Uwaga 4 Gdy ξ ∈ / P , sytuacja jest inna (patrz M. Kuczma [26]). Wtedy rozwiązanie ciągłe zależy od „dowolnej funkcji”, dokładniej: dla każdej funkcji ciągłej y0 określonej na przedziale [x0 , f (x0 )], gdy f jest rosnąca lub [f (x0 ), x0 ], gdy f jest malejąca (x0 ∈ P ), istnieje dokładnie jedna funkcja y : P → R ciągła, spełniająca równanie (1.1) i taka, że y(x) = y0 (x) dla. x ∈ [x0 , f (x0 )] ([f (x0 ), x0 ]) .. Sytuacja taka, oczywiście, nie jest „użyteczna” z punktu widzenia zastosowań, bo nie wiadomo, która funkcja opisuje badane zjawisko, a przecież przy poprawnie postawionym problemie, rozwiązanie powinno być jedyne. Uwaga 5 Przypadek f niemonotonicznego (brak odwrotnej funkcji f −1 ) jest skomplikowany, ale podobne rozważania prowadzą do podobnych rezultatów (patrz M. Kuczma [26]). Uwaga 6 Wiele zagadnień teoretycznych dotyczących liniowego równania funkcyjnego możemy znaleźć w ksiązce [26] i [27]. Dla rozważanego przypadku mamy następujące twierdzenie prezentujące metodę znajdowania przybliżonego rozwiązania ciągłego równania (1.1). Twierdzenie 2 Niech funkcje g, F : [a, b] → R, f : [a, b] → [a, b] spełniają założenia twierdzenia 1 dla P = [a, b], gdzie a < b, a, b ∈ R. Załóżmy, że Φj : [a, b] → R, j = 1, . . . , n, są funkcjami zadanymi, ciągłymi i liniowo niezależnymi na przedziale [a, b]. Niech macierz. Z C = [Cij ]i,j=1,...,n , Cij =. b. Ψi (x)Ψj (x)dx, a.

(9) I. LINIOWE RÓWNANIE FUNKCYJNE. 8. gdzie Ψj (x) = Φj [f (x)] − g(x)Φj (x), x ∈ [a, b], j = 1, . . . , n, będzie dodatnio określona. Wtedy rozwiązanie ciągłe równania (1.1) na przedziale [a, b] można przybliżyć funkcją n X. yn (x) =. pj Φj (x),. x ∈ [a, b],. n ∈ N,. (1.5). j=1. gdzie współczynniki pj , j = 1, . . . , n, są rozwiązaniami układu równań liniowych Z b Z b n X Ψi (x)F (x)dx Ψi (x)Ψj (x)dx = pj. (1.6). a. a. j=1. dla i = 1, . . . , n. Dowód. Zauważmy, że z przyjętych założeń i Twierdzenia 1 wynika, iż równanie (1.1) ma na P dokładnie jedno rozwiązanie ciągłe. Wyznaczymy jego przybliżenie. Zdefiniujmy funkcję błędu jako R[y(x)] := y[f (x)] − g(x)y(x) − F (x),. x ∈ P.. Obliczmy wartość R[yn (x)] dla x ∈ [a, b] R[yn (x)] = yn [f (x)] − g(x)yn (x) − F (x) n n X X = pj Φj [f (x)] − g(x) pj Φj (x) − F (x) =. j=1 n X. j=1. pj Φj [f (x)] − g(x)Φj (x) − F (x).. j=1. Wprowadzając oznaczenie Ψj (x) := Φj [f (x)] − g(x)Φj (x). dla j = 1, . . . , n,. otrzymujemy R[yn (x)] =. n X. pj Ψj (x) − F (x).. j=1. W metodzie najmniejszych kwadratów dążymy do zminimalizowania wyrażenia Z b 2 I(p) = I(p1 , . . . , pn ) := R[yn (x)] dx. a. W tym celu musimy tak dobrać współczynniki pi , aby spełniały równania ∂I(p) =0 ∂pi. dla i = 1, . . . , n.. (1.7).

(10) I. LINIOWE RÓWNANIE FUNKCYJNE. 9. Podstawiając R[yn (x)] do (1.7) otrzymujemy 2 Z bX n I(p) = pj Ψj (x) − F (x) dx. a. (1.8). j=1. Różniczkując równanie (1.8) względem parametru pi otrzymujemy Z bX n 1 ∂I(p) = pj Ψj (x) − F (x) Ψi (x) dx 2 ∂pi a j=1 dla i = 1, . . . , n. Przyrównując do zera otrzymane pochodne cząstkowe dostajemy następujący układ równań. n X j=1. Z. b. b. Z Ψi (x)Ψj (x) dx =. pj. Ψi (x)F (x) dx. a. a. dla i = 1, . . . , n. Obliczając Hesjan funkcji I(p) otrzymujemy HI (p) = [Hij ]i,j=1,...,n ,. ∂ 2 I(p) gdzie Hij = =2 ∂pi ∂pj. Z. b. Ψi (x)Ψj (x) dx, a. czyli HI (p) = 2C. Oznacza to, że Hesjan jest dodatnio określony i funkcja I(p) ma w punkcie (p1 , . . . , pn ) minimum. To kończy dowód.. . W zapisie macierzowym układ równań (1.6) wygląda następująco C · p = F,. (1.9). gdzie b. Z C = [Cij ]i,j=1,...,n , Cij =. Ψi (x)Ψj (x)dx, a. p = [p1 , . . . , pn ]T , F = [F1 , . . . , Fn ]. T. Z. b. , Fi =. Ψi (x)F (x)dx. a. Uwaga 7 Problem zbieżności ciągu (1.5) i oszacowaniem błędu przybliżenia zajmiemy się w następnym rozdziale. Przykład 1 Całkową metodą najmniejszych kwadratów znaleźć przybliżone rozwiązanie ciągłe równania . 1 y x 2. . = (2x + 4)y(x) − 4x2 − 7x. dla x ∈ [−1, 1].. (1.10).

(11) I. LINIOWE RÓWNANIE FUNKCYJNE. 10. Rozwiązanie: Z równania (1.10) otrzymujemy f (x) = 12 x, g(x) = 2x + 4, F (x) = −4x2 − 7x, ξ = 0, g(ξ) = 4 > 1, czyli równanie (1.10) ma dokładnie jedno rozwiązanie ciągłe. Przyjmijmy następujące funkcje liniowo niezależne Φ1 (x) = 1,. Φ2 (x) = x,. x ∈ [−1, 1].. Wyznaczmy funkcje Ψj dla j = 1, 2: Ψ1 (x) = Φ1 [f (x)] − g(x)Φ1 (x) = −2x − 3, 7 Ψ2 (x) = Φ2 [f (x)] − g(x)Φ2 (x) = −2x2 − x, 2. x ∈ [−1, 1].. Dalej otrzymujemy następujące elementy macierzy C: Z 1 Z 1 2 62 (−2x − 3)2 dx = , Ψ1 (x) dx = C11 = 3 −1 −1 Z 1 Z 1 7 26 (−2x − 3)(−2x2 − x) dx = , Ψ1 (x)Ψ2 (x) dx = C12 = C21 = 2 3 −1 −1 Z 1 Z 1 2 293 7 2 C22 = Ψ2 (x) dx = , − 2x2 − x dx = 2 30 −1 −1 i elementy kolumny wyrazów wolnych: Z 1 Z 1 52 (−2x − 3)(−4x2 − 7x) dx = , Ψ1 (x)F (x) dx = F1 = 3 −1 −1 Z 1 Z 1 7 293 (−2x2 − x)(−4x2 − 7x) dx = Ψ2 (x)F (x) dx = F2 = . 2 15 −1 −1 Korzystając z twierdzenia Sylvestra otrzymujemy, że macierz C jest dodatnio określona, gdyż C11 > 0 i det C > 0. Ostatecznie dostajemy układ równań postaci ( 62 p + 26 p = 3 1 3 2 26 p 3 1. +. 52 , 3 293 p = 293 , 30 2 15. którego jedynym rozwiązaniem jest (. p1 = 0, p2 = 2.. Stąd otrzymujemy przybliżone rozwiązanie ciągłe równania (1.10) w postaci y2 (x) = p1 Φ1 (x) + p2 Φ2 (x) = 2x,. x ∈ [−1, 1].. Ponadto, R[y2 (x)] = 0 dla x ∈ [−1, 1], więc y2 jest rozwiązaniem ciągłym równania (1.10)..

(12) I. LINIOWE RÓWNANIE FUNKCYJNE. 11. Uwaga 8 Zauważmy, że ponieważ minimum funkcji (1.7) jest dla y2 równe zero, to yn (x) = 2x. dla n ≥ 2. i ciąg {yn }∞ n=1 jest zbieżny do rozwiązania równania (1.10) jednostajnie na P . Stosując wzór (1.3) do równania (1.10) otrzymujemy rozwiązanie w postaci szeregu y(x) =. ∞ X n=0. 4 · ( 21n x)2 + 7 · 21n x 1 (2 · 21n x + 4)(2 · 2n−1 x + 4) · · · (2 ·. 1 x 20. + 4). , x ∈ [−1, 1].. Uwaga 9 Stosując Twierdzenie 1 otrzymujemy, że sumą powyższego szeregu jest jedyne rozwiązanie ciągłe równania (1.10), czyli y(x) = 2x, x ∈ [−1, 1]. Wyznaczanie rozwiązania w postaci szeregu jest złożone obliczeniowo. Pokazuje to zaletę stosowania metod przybliżonych, które prowadzą do identycznego wyniku, jednakże poprzez mniej złożone obliczenia. Uwaga 10 Profesor Czerwik zaproponował rozpatrzenie metody najmniejszych kwadratów z jednym parametrem. Metoda ta jest modyfikacją metody najmniejszych kwadratów. Podobnie jak w metodzie najmniejszych kwadratów rozwiązanie ciągłe przybliżamy funkcją yn (x) =. n X. pj Φj (x),. x ∈ [a, b],. n ∈ N,. j=1. gdzie Φj : [a, b] → R, j = 1, . . . , n, są funkcjami zadanymi, ciągłymi i liniowo niezależnymi na przedziale [a, b]. Ponadto, niech spełnione będą założenia Twierdzenia 2. W metodzie tej minimalizujemy wyrażenie I(p) =. Z bX n a. 2 pj Ψj (x) − F (x) dx,. j=1. gdzie Ψj (x) = Φj [f (x)] − g(x)Φj (x), x ∈ [a, b], j = 1, . . . , n. Postępujemy tutaj kolejno w następujący sposób: • Pierwszym krokiem jest wyznaczenie minimum funkcji I(p1 ), czyli ustalenie przybliżenia y1 (x) = p1 Φ1 (x), x ∈ [a, b]. Oznaczmy to minimum dla p1 przez p∗1 . • Drugim krokiem jest wyzanczenie minimum funkcji I(p∗1 , p2 ), zależnej tylko od jednego parametru p2 . Tak postępując ustalimy przybliżenie y2 (x) = p∗1 Φ1 (x) + p∗2 Φ2 (x), x ∈ [a, b], gdzie p∗2 oznacza wyznaczone minimum dla parametru p2 ..

(13) I. LINIOWE RÓWNANIE FUNKCYJNE. 12. • Procedurę możemy powtarzać dalej, natomiast jeżeli stwierdzimy, że interesuje nas wyznaczenie przybliżenia y2 to powyższe postepowanie kończymy na drugim kroku i przybliżonym rozwiązaniem ciągłym jest y2 (x) = p∗1 Φ1 (x) + p∗2 Φ2 (x), x ∈ [a, b]. Zastosujemy metodę najmniejszych kwadratów z jednym parametrem do równania funkcyjnego z Przykładu 1. Przykład 2 Metodą najmniejszych kwadratów z jednym parametrem znaleźć przybliżone rozwiązanie ciągłe równania 1 y x = (2x + 4)y(x) − 4x2 − 7x 2. dla x ∈ [−1, 1].. (1.11). Rozwiązanie: Z równania (1.11) otrzymujemy f (x) = 12 x, g(x) = 2x + 4, F (x) = −4x2 − 7x, ξ = 0, g(ξ) = 4 > 1, czyli równanie (1.11) ma dokładnie jedno rozwiązanie ciągłe. Przyjmijmy następujące funkcje liniowo niezależne Φ1 (x) = 1,. Φ2 (x) = x,. x ∈ [−1, 1].. Oznaczmy przez . 1 R[y(x)] := y x − (2x + 4)y(x) + 4x2 + 7x, 2. x ∈ [−1, 1].. Przyjmijmy, że y1 (x) = p1 Φ1 (x) = p1 , stąd R[y1 (x)] = p1 − p1 (2x + 4) + 4x2 + 7x. Wyznaczmy minimum funkcji Z. 1. I(p1 ) =. (p1 − p1 (2x + 4) + 4x2 + 7x)2 dx.. −1. Wykorzystując warunek konieczny istnienia ekstemum funkcji otrzymujemy Z 1 1 ∂I(p1 ) = (p1 − p1 (2x + 4) + 4x2 + 7x)(−2x − 3) dx = 0, 2 ∂p1 −1 52 62 − + p1 = 0, 3 3 26 p1 = . 31.

(14) I. LINIOWE RÓWNANIE FUNKCYJNE. 13. Ponadto funkcja I(p1 ) jest malejąca dla p1 < p∗1 =. 26 31. i rosnąca dla p1 >. 26 , 31. czyli minimum. 26 , 31. a stąd otrzymujemy y1 (x) =. W kolejnym kroku y2 (x) =. 26 . 31. 26 31. + p2 x oraz 26 1 26 R[y2 (x)] = + p2 x − (2x + 4) + p2 x + 4x2 + 7x 31 2 31 78 165 7 = − + x − p2 x + 4x2 − 2p2 x2 . 31 31 2. Wyznaczmy minimum funkcji I(p∗1 , p2 ). 2 7 78 165 2 2 dx. x − p2 x + 4x − 2p2 x = − + 31 31 2 −1 Z. 1. Wykorzystując warunek konieczny istnienia ekstemum funkcji otrzymujemy Z 1 1 ∂I(p∗1 , p2 ) 78 165 7 7 2 2 2 = (− + x − p2 x + 4x − 2p2 x ) − x − 2x dx = 0, 2 ∂p2 31 31 2 2 −1 1901 293 − + p2 = 0, 155 30 11406 , p2 = 9083 Ponadto funkcja I(p∗1 , p2 ) jest malejąca dla p2 <. 11406 9083. minimum p∗2 =. 11406 , 9083. a stąd mamy y2 (x) =. 11406 26 x+ . 9083 31. i rosnąca dla p1 >. 11406 , 9083. czyli.

(15) I. LINIOWE RÓWNANIE FUNKCYJNE. 14. Rysunek 2: Wykres rozwiązania ciągłego równania (1.11) oraz przybliżonego rozwiązania ciągłego y2 tego równania. Uwaga 11 Po przeanalizowaniu kilku liniowych równań funkcyjnych możemy przypuszczać, że przybliżone rozwiązanie ciągłe, wyznaczone metodą najmniejszych kwadratów z jednym parametrem, rózni się od ciągłego rozwiązania przybliżonego wyznaczonego całkową metodą najmniejszych kwadratów. Uwaga 12 Do pracy dołączony jest autorski program komputerowy przy pomocy którego możemy, całkową metodą najmniejszych kwadratów, wyznaczyć przybliżone rozwiązanie ciągłe zadanego równania. Do programu wprowadza się funkcje: Φi , f , g, F oraz stałe a, b i n. W wyniku działania tego programu otrzymujemy przybliżone rozwiązanie ciągłe zadanego równania oraz wykres tego przybliżonego rozwiązania na określonym przedziale. Program ten został wykonany w oparciu o oprogramowanie Mathematica firmy Wolfram Research..

(16) I. LINIOWE RÓWNANIE FUNKCYJNE. 15. b. Dyskretna metoda najmniejszych kwadratów Zaprezentujmy naszą zmodyfikowaną metodę najmniejszych kwadratów. Twierdzenie 3 Niech funkcje g, F : [a, b] → R, f : [a, b] → [a, b] spełniają założenia twierdzenia 1 dla P = [a, b], gdzie a < b, a, b ∈ R. Załóżmy, że macierz C = [Cjk ]j,k=1,...,n ,. Cjk =. N X. Ψj (xi )Ψk (xi ). i=1. jest dodatnio określona, gdzie Ψj (xi ) = Φj [f (xi )] − g(xi )Φj (xi ), j = 1, . . . , n, a Φj : [a, b] → R, j = 1, . . . , n, są funkcjami zadanymi, liniowo niezależnymi na przedziale [a, b], natomiast xi (i = 1, . . . , N , N ≥ n) jest układem punktów (węzłów) z przedziału [a, b], (xk < xk+1 dla k = 1, . . . , N − 1). Wtedy rozwiązanie ciągłe równania (1.1) na przedziale [a, b] można przybliżyć funkcją yn (x) =. n X. pj Φj (x),. x ∈ [a, b],. n ∈ N,. (1.12). j=1. gdzie współczynniki pj , j = 1, . . . , n, są rozwiązaniami układu równań liniowych n X. pj. j=1. N X. Ψj (xi )Ψk (xi ) =. i=1. N X. Ψk (xi )F (xi ). (1.13). i=1. dla k = 1, . . . , n.. Dowód. Dowód jest analogiczny do dowodu Twierdzenia 2. Zauważmy, że z przyjętych założeń i Twierdzenia 1 wynika, iż równanie (1.1) ma na P dokładnie jedno rozwiązanie ciągłe. Zdefiniujmy funkcję błędu jako R[y(x)] := y[f (x)] − g(x)y(x) − F (x),. x ∈ [a, b].. Obliczmy dla x ∈ [a, b] R[yn (x)] = yn [f (x)] − g(x)yn (x) − F (x) n n X X = pj Φj [f (x)] − g(x) pj Φj (x) − F (x) j=1. =. n X j=1. j=1. pj Φj [f (x)] − g(x)Φj (x) − F (x)..

(17) I. LINIOWE RÓWNANIE FUNKCYJNE. 16. Znajdźmy minimum funkcji IN (p) = I(p1 , . . . , pn ) :=. N X. 2 R[yn (xi )] .. (1.14). i=1. W tym celu musimy tak dobrać współczynniki pk , aby ∂IN (p) =0 ∂pk. dla k = 1, . . . , n.. Podstawiając obliczone R[yn (xi )] (i = 1, . . . , N ) do (1.14) otrzymujemy IN (p) =. N X n X i=1. pj. 2 Φj [f (xi )] − g(xi )Φj (xi ) − F (xi ) .. j=1. Jeżeli, dla uproszczenia zapisu, wprowadzimy oznaczenie Ψj (xi ) = Φj [f (xi )] − g(xi )Φj (xi ). dla j = 1, . . . , n, i = 1, . . . , N,. to poprzednie równanie możemy zapisać w postaci IN (p) =. N X n X i=1. 2 pj Ψj (xi ) − F (xi ) .. j=1. Zróżniczkujmy powyższe równanie względem parametru pk N n 1 ∂IN (p) X X = pj Ψj (xi ) − F (xi ) Ψk (x) 2 ∂pk i=1 j=1 dla k = 1, . . . , n. Przyrównując do zera otrzymaną pochodną dostajemy n X j=1. pj. N X. Ψj (xi )Ψk (xi )dx =. N X. i=1. Ψk (xi )F (xi )dx. i=1. dla k = 1, . . . , n. Obliczmy hesjan funkcji IN (p) N. HIN (p) = [Hjk ]j,k=1,...,n ,. gdzie Hjk =. X ∂ 2 IN (p) =2 Ψj (xi )Ψk (xi ), ∂pj ∂pk i=1. czyli HIN (p) = 2C. Oznacza to, że hesjan jest dodatnio określony i funkcja IN (p) ma w punkcie (p1 , . . . , pn ) minimum, a to kończy dowód.. . W zapisie macierzowym układ równań (1.13) wygląda następująco C · p = F,. (1.15).

(18) I. LINIOWE RÓWNANIE FUNKCYJNE. 17. gdzie C = [Cjk ]j,k=1,...,n , Cjk =. N X. Ψj (xi )Ψk (xi ),. i=1. p = [p1 , . . . , pn ]T , F = [F1 , . . . , Fn ]T , Fk =. N X. Ψk (xi )F (x).. i=1. Przykład 3 Dyskretną metodą najmniejszych kwadratów znaleźć przybliżone rozwiązanie ciągłe równania . 1 y x 2. . = (2x + 4)y(x) − 4x2 − 7x. dla x ∈ [−1, 1].. (1.16). Rozwiązanie: Z równania (1.16) otrzymujemy f (x) = 12 x, g(x) = 2x + 4, F (x) = −4x2 − 7x, x ∈ [−1, 1], ξ = 0, g(ξ) = 4 > 1, czyli równanie (1.16) ma dokładnie jedno rozwiązanie ciągłe. Przyjmijmy następujące funkcje liniowo niezależne Φ1 (x) = 1,. Φ2 (x) = x,. x ∈ [−1, 1].. Jako węzły z przedziału [−1, 1] przyjmujemy x1 = −1, x2 = − 12 , x3 = 0, x4 = 12 , x5 = 1. Następnie wyznaczamy Ψj (xi ) dla j = 1, 2, i = 1, 2, . . . , 5: Ψ1 (xi ) = Φ1 [f (xi )] − g(xi )Φ1 (xi ) = −2xi − 3, 7 Ψ2 (xi ) = Φ2 [f (xi )] − g(xi )Φ2 (xi ) = −2x2i − xi . 2 Dalej otrzymujemy następujące elementy macierzy C: C11 = C12 = C21 = C22 =. 5 X i=1 5 X i=1 5 X. 5 2 X 2 Ψ1 (xi ) = − 2xi − 3 = 55, i=1 5 X. Ψ1 (xi )Ψ2 (xi ) =. i=1. 2 Ψ2 (xi ) =. i=1. 5 X i=1. 7 65 − 2xi − 3 − 2x2i − xi = , 2 2. 7 2 313 − 2x2i − xi = , 2 8. i elementy kolumny wyrazów wolnych: F1 = F2 =. 5 X i=1 5 X i=1. Ψ1 (xi )F (xi ) = Ψ2 (xi )F (xi ) =. 5 X i=1 5 X i=1. − 2xi − 3 − 4x2i − 7xi = 65, 313 7 . − 2x2i − xi − 4x2i − 7xi = 2 4.

(19) I. LINIOWE RÓWNANIE FUNKCYJNE. 18. Korzystając z twierdzenia Sylvestra otrzymujemy, że macierz C jest dodatnio określona, gdyż C11 > 0 i det C > 0. Ostatecznie dostajemy układ równań postaci ( 55p1 + 65 p = 65, 2 2 65 p 2 1. +. 313 p 8 2. =. 313 , 4. którego jedynym rozwiązaniem jest (. p1 = 0, p2 = 2.. Stąd otrzymujemy przybliżone rozwiązanie ciągłe równania (1.16) w postaci y2 (x) = p1 Φ1 (x) + p2 Φ2 (x) = 2x, a jednocześnie jest to rozwiązanie ciągłe tego równania. Uwaga 13 Do pracy dołączony jest autorski program komputerowy przy pomocy którego możemy, dyskretną metodą najmniejszych kwadratów, wyznaczyć przybliżone rozwiązanie ciągłe zadanego równania. Do programu wprowadzamy funkcje: Φi , f , g, F oraz stałe a, b i n. Natomiast węzły (punkty równoodległe) generują się automatycznie. W wyniku działania tego programu otrzymujemy przybliżone rozwiązanie ciągłe zadanego równania oraz wykres tego przybliżonego rozwiązania na określonym przedziale. Program ten został wykonany w oparciu o oprogramowanie Mathematica firmy Wolfram Research..

(20) I. LINIOWE RÓWNANIE FUNKCYJNE. 19. 2. Metoda dekompozycji Adomiana a. Wprowadzenie do metody dekompozycji Rozważmy równanie operatorowe (patrz [5]) G(u) = f,. (1.17). gdzie G : X → X, X - przestrzeń Banacha, u, f ∈ X, f jest zadane i u jest nieznane. Równanie (1.17) nosi nazwę uogólnionego równania Fredholma-Volterry pierwszego rodzaju. Ponieważ metoda dekompozycji Adomiana przedstawiona w pracy [5] (oraz innych pracach) zawiera braki i nieścisłości, przedstawimy ją tutaj uzupełniając te luki. Załóżmy, że operator G można przedstawić w postaci G(u) = L(u) + R(u) + N (u),. u ∈ X,. (1.18). gdzie L jest odwracalnym operatorem nieskończenie addytywnym z X na X, tzn. dla dowolnego ciągu {ak }∞ k=1 ⊂ X takiego, że szeregi ∞ X. ak. i. ∞ X. k=1. L(ak ). k=1. są zbieżne, zachodzi równość L. ∞ X. ! ak. =. ∞ X. L(ak ),. k=1. k=1. oraz R jest operatorem nieskończenie addytywnym i N operatorem nieliniowym takim, że N ∈ D∞ (X, X) (operator różniczkowalny dowolną ilość razy). Uwaga 14 Zauważmy, iż gdy L jest różnowartościowy, addytywny i ograniczony, to spełnia powyższe warunki. Faktycznie niech L(Sn ) = L(a1 + . . . + an ) = L(a1 ) + . . . + L(an ), oraz niech istnieje suma. ∞ X k=1. ak = S,.

(21) I. LINIOWE RÓWNANIE FUNKCYJNE. 20. taka, że n→∞. Sn −→ S. Wykorzystując ograniczoność operatora L mamy n→∞. L(Sn ) −→ L(S). Ponadto przy założeniu, że szereg. ∞ X. L(ak ). k=1. jest zbieżny otrzymujemy n X. ∞ X. n→∞. L(ak ) −→. k=1. L(ak ).. k=1. Z różnowartościowości operatora L dostajemy L(S) =. ∞ X. L(ak ),. k=1. czyli ∞ X. L. ! ak. =. k=1. ∞ X. L(ak ).. k=1. Uwaga 15 Operator L−1 przy przyjętych założeniach jest też „prawie” nieskończenie addytywny. Mianowicie, niech yn ∈ X,. xn = L−1 (yn ),. i niech istnieje suma. ∞ X. n = 1, 2, . . .. yn .. n=1. Wtedy jeśli szereg. ∞ X. xn. n=1. jest zbieżny, to mamy ∞ X. yn =. n=1. ∞ X. L(xn ) = L. n=1. ∞ X. ! xn. ,. n=1. a stąd −1. L. ∞ X n=1. ! yn. =. ∞ X n=1. xn =. ∞ X n=1. L−1 (yn ),.

(22) I. LINIOWE RÓWNANIE FUNKCYJNE. 21. a to oznacza, że L−1 jest też nieskończenie addytywny. Założyliśmy tu jednak dodatkowo, iż szereg. ∞ X. xn. n=1. jest zbieżny. Zauważmy, że gdy L−1 jest ograniczony (ciągły), to ostatni warunek jest też spełniony. Rzeczywiście, niech Sn =. n X. n→∞. yk −→ S =. ∞ X. k=1. yk ,. k=1. wtedy −1. L (Sn ) =. n X. " n→∞. −1. −1. L (yk ) −→ L (S) = lim. n X. n→∞. k=1. czyli suma. ∞ X. # −1. L (yk ) = lim. n X. n→∞. k=1. k=1. ! xk. =. ∞ X. xk ,. k=1. xk. k=1. istnieje, oraz ∞ X k=1. xk =. ∞ X. " L−1 (yk ) = L−1 (S) = L−1. k=1. ∞ X. # yk .. k=1. Niech u ∈ X spełnia równanie (1.17). Ponieważ L−1 jest też addytywny i na X, to z (1.18), (1.17) mamy L−1 [G(u)] = u + L−1 [R(u)] + L−1 [N (u)] = L−1 (f ). Oznaczmy g0 := L−1 (f ), stąd otrzymujemy u = g0 − L−1 [R(u)] − L−1 [N (u)]. Niech u :=. ∞ X. gi ,. gi ∈ X, i = 0, 1, . . . ,. i=0. i N (u) :=. ∞ X n=0. An ,. (1.19).

(23) I. LINIOWE RÓWNANIE FUNKCYJNE. 22. gdzie An są wielomianami Adomiana (patrz [9]) zdefiniowanymi w następujący sposób A0 = N (g0 ), X

(24) ∞

(25) 1 dn i

(26) , An = N λ g i

(27) n! dλn λ=0 i=0 n = 0, 1, 2, . . .. (1.20). ,. gdzie λ jest parametrem rzeczywistym lub zespolonym. Ostatecznie otrzymujemy (korzystając z nieskończonej addytywności L−1 ) X X ∞ ∞ −1 g0 + g1 + . . . = g0 − L R gi −L Ai −1. i=0 −1. i=0 −1. = g0 + [−L (R(g0 )) − L (A0 )] + [−L−1 (R(g1 )) − L−1 (A1 )] + . . .. (1.21) .. Z ostatniej równości dostajemy następujące formuły rekurencyjne: g0 = L−1 (f ), gn = −L−1 (R(gn−1 )) − L−1 (An−1 ),. n ∈ N.. (1.22). Występujące tu szeregi traktujemy jako szeregi formalne i pomijamy problemy ich zbieżności. Uwaga 16 Jeśli powyższe założenia są spełnione, to formuły (1.22) i (1.19) dają rozwiązanie równania (1.17). Rzeczywiście z (1.21) otrzymujemy wtedy u = g0 − L−1 [R(u)] − L−1 [N (u)], a stąd wobec g0 = L−1 (f ), mamy L(u) = L(g0 ) − R(u) − N (u), czyli L(u) + R(u) + N (u) = f, to jest G(u) = f. Uwaga 17 Formalnie wzory (1.19), (1.20), (1.21) możemy również stosować przy założeniu, że L jest addytywny i odwracalny, zaś R addytywny oraz N różniczkowalny dowolnie wiele razy. Oczywiście pozostają otwarte problemy zbieżności do rozwiązania równania..

(28) I. LINIOWE RÓWNANIE FUNKCYJNE. 23. b. Metoda dekompozycji Adomiana Rozpocznijmy od następującego twierdzenia. Twierdzenie 4 Niech funkcje g, F : A → K, f : A → A, A ⊂ K (R ∨ C) i g(x) 6= 0 dla x ∈ A. Niech szereg. ∞ X. x ∈ A,. ϕn (x),. (1.23). n=0. gdzie F (x) , g(x) ϕn−1 (f (x)) , ϕn (x) = g(x) ϕ0 (x) = −. x ∈ A,. n = 1, 2, . . .. (1.24). będzie zbieżny w A. Wtedy funkcja y : A → K, dana wzorem y(x) :=. ∞ X. x ∈ A,. ϕn (x),. (1.25). n=0. spełnia równanie funkcyjne (1.1). Dowód. Wykonajmy dekompozycję Adomiana szukanej funkcji y, czyli przedstawmy ją w postaci y(x) =. ∞ X. ϕn (x),. x ∈ A.. n=0. Oznaczmy dla x ∈ A G(y)(x) := y[f (x)] − g(x)y(x), L−1 (y)(x) = −. L(y)(x) := −g(x)y(x), R(y)(x) := y[f (x)],. y(x) , g(x). N (y)(x) = 0.. Wtedy równanie (1.1) ma postać G(y)(x) = F (x),. x ∈ A.. Stosując wzory (1.22) dostajemy g0 (x) = ϕ0 (x) = L−1 (F )(x) = −. F (x) , g(x). g1 (x) = ϕ1 (x) = −L−1 [R(g0 )](x) = −L−1 [R(ϕ0 )](x) = =. ϕ0 [f (x)] , g(x). R(ϕ0 )(x) g(x).

(29) I. LINIOWE RÓWNANIE FUNKCYJNE. 24. stąd ϕ1 (x) =. ϕ0 [f (x)] , g(x). x∈A. i analogicznie ϕn (x) =. ϕn−1 [f (x)] , g(x). x ∈ A,. n = 1, 2, . . .. .. Weźmy więc funkcję postaci (1.25), gdzie ϕn dane są (według metody Adomiana) wzorami (1.24). Wstawiając (1.24) i (1.25) do lewej strony równania y(x) =. y[f (x)] − F (x) , g(x). otrzymamy dla x ∈ A (złożenie ϕn ◦ f istnieje dla n ∈ N ∪ {0}) ∞ X. ∞ X. ∞ F (x) X ϕn−1 (f (x)) y(x) = ϕn (x) = ϕ0 (x) + ϕn (x) = − + g(x) n=1 g(x) n=0 n=1 P∞ F (x) y[f (x)] − F (x) n=0 ϕn (f (x)) = − = . g(x) g(x) g(x). . To kończy dowód.. Uwaga 18 Twierdzenie 4 przedstawia wyznaczanie rozwiązania równania (1.1) metodą Adomiana w klasie dowolnych funkcji określonych na A i o wartościach w K. Oczywiście przy silniejszych założeniach (ciągłość danych funkcji i jednostajna zbieżność szeregu (1.23)) możemy uzyskać tezę o istnieniu rozwiązań ciągłych tego równania. Uwaga 19 Zauważmy, że w tym przypadku ciąg, występujący w metodzie Adomiana, daje szereg taki jak w metodzie kolejnych przybliżeń Banacha (jest to jednocześnie znany szereg Neumanna). Przedstawimy teraz modyfikację Twierdzenia 1 pochodzącego z pracy [22]. Dla dowodu twierdzenia użyjemy postępowania polegającego na wykazaniu, że ciąg sum częściowych szeregu jest ciągiem Cauchy’ego. Twierdzenie 5 Niech A będzie zbiorem, X przestrzenią Banacha i ϕn : A → X, n ∈ N ∪ {0}. Załóżmy, że istnieje liczba rzeczywista α taka, że kϕk+1 (x)k ≤ αkϕk (x)k dla x ∈ A,. k ∈ N ∪ {0},. (1.26).

(30) I. LINIOWE RÓWNANIE FUNKCYJNE. 25. gdzie 0 ≤ α < 1. Wtedy szereg. ∞ X. (1.27). ϕn (x). n=0. jest zbieżny dla x ∈ A.. Dowód. Niech Sn = ϕ0 + ϕ1 + ϕ2 + · · · + ϕn ,. n ∈ N ∪ {0}.. Pokażemy, że {Sn (x)}∞ n=0 jest ciągiem Cauchy’ego dla każdego x ∈ A. Z założenia (1.26) otrzymujemy dla x ∈ A kSn+1 (x) − Sn (x)k = kϕn+1 (x)k ≤ αkϕn (x)k ≤ α2 kϕn−1 (x)k ≤ · · · ≤ αn+1 kϕ0 (x)k. Natomiast dla każdych n, m ∈ N, n ≥ m, x ∈ A mamy nierówności kSn (x) − Sm (x)k = k(Sn (x) − Sn−1 (x)) + (Sn−1 (x) − Sn−2 (x)) + · · · + (Sm+1 (x) − Sm (x))k ≤ kSn (x) − Sn−1 (x)k + kSn−1 (x) − Sn−2 (x)k + · · · + kSm+1 (x) − Sm (x)k ≤ αn kϕ0 (x)k + αn−1 kϕ0 (x)k + · · · + αm+1 kϕ0 (x)k αm+1 ≤ (αm+1 + αm+2 + · · · )kϕ0 (x)k = kϕ0 (x)k. 1−α Stąd dla x ∈ A, m, n ∈ N, n ≥ m, kSn (x) − Sm (x)k ≤. αm+1 kϕ0 (x)k. 1−α. (1.28). Ostatecznie dostajemy, że dla każdego x ∈ A lim kSn (x) − Sm (x)k = 0,. n,m→∞. czyli {Sn (x)}∞ n=0 jest ciągiem Cauchy’ego, a to pokazuje, dla każdego x ∈ A (z zupełności X), że istnieje S(x), takie, że limn→∞ Sn (x) = S(x) dla x ∈ A, czyli S(x) =. ∞ X. ϕn (x), x ∈ A.. n=0. To kończy dowód.. .

(31) I. LINIOWE RÓWNANIE FUNKCYJNE. 26. Wniosek 1 Przy założeniach Twierdzeń 4 i 5 zachodzi następujące oszacowanie: ky(x) − Sm (x)k ≤ gdzie Sm (x) :=. Pm. n=0. αm+1 kϕ0 (x)k, 1−α. x ∈ A, m ∈ N ∪ {0},. (1.29). ϕn (x).. Dowód. Teza wynika z (1.28) przy n → ∞.. . Przykład 4 Metodą dekompozycji znaleźć przybliżone rozwiązanie równania 1 y x = (2x + 4)y(x) − 4x2 − 7x dla x ∈ [−1, 1]. 2. (1.30). Rozwiązanie: Z równania (1.30) otrzymujemy f (x) = 12 x, g(x) = 2x + 4, F (x) = −4x2 − 7x, dla x ∈ [−1, 1], ξ = 0, g(ξ) = 4 > 1, czyli równanie (1.30) ma dokładnie jedno rozwiązanie ciągłe. Korzystając z formuły rekurencyjnej (1.24) otrzymujemy dla x ∈ [−1, 1] F (x) 4x2 + 7x = , g(x) 2x + 4 4( 1 x)2 + 72 x ϕ0 ( 12 x) 1 = 2 · , ϕ1 (x) = 2x + 4 x+4 2x + 4 ϕ1 ( 21 x) 4 · ( 212 x)2 + 7 · 212 x ϕ2 (x) = , = 2x + 4 (2 · 212 x + 4)(2 · 12 x + 4)(2 · 210 x + 4) ϕ0 (x) = −. ϕ3 (x) =. ϕ2 ( 21 x) = 2x + 4 (2 ·. 4 · ( 213 x)2 + 7 · 213 x 1 x + 4)(2 · 212 x + 4)(2 · 21 x + 4)(2 · 23. 1 x 20. + 4). ,. .. . 4 · ( 21n x)2 + 7 · 21n x ϕn (x) = . 1 (2 · 21n x + 4)(2 · 2n−1 x + 4) · · · (2 · 210 x + 4) P Następnie obliczmy kilka sum częściowych szeregu ∞ n=0 ϕn (x): S1 (x) = ϕ0 (x) + ϕ1 (x) = 2x +. 1 1 − , 4(x + 2) 2(x + 4). S2 (x) = ϕ0 (x) + ϕ1 (x) + ϕ2 (x) 1 1 1 = 2x + − + . 24(x + 2) 8(x + 4) 12(x + 8). (1.31).

(32) I. LINIOWE RÓWNANIE FUNKCYJNE. 27. Z zależności (1.31) dostajemy dla x 6= 0 i n ∈ N ∪ {0} 1 1 4 · ( 2n+1 x)2 + 7 · 2n+1 x 1 ϕn+1 (x) Ψ n x := = 1 2 ϕn (x) x + 4)(4 · ( 21n x)2 + 7 · (2 · 2n+1 = = Podstawiając t =. 1 x 2n. ( 21n x)2 + 72 · 21n x ( 21n x + 4)(4 · ( 21n x)2 + 7 ·. 1 x) 2n. 1 x) 2n. 1 x 2n. + 27 . ( 21n x + 4)(4 · ( 21n x) + 7). (t ∈ [−1, 1], n ∈ N ∪ {0}) do ostatniej równości, otrzymujemy Ψ(t) =. t + 27 4t2 + 23t + 28. .. Funkcja Ψ jest malejąca (bo Ψ0 (t) < 0 dla t ∈ [−1, 1]) i |Ψ(t)| ≤ więc istnieje stała 0 ≤ α =. 5 18. 5 18. dla t ∈ [−1, 1]. Tak. < 1 spełniająca warunek (1.26).. Korzystając z Twierdzenia 5 otrzymujemy, że szereg y(x) =. ∞ X n=0. 4 · ( 21n x)2 + 7 · 21n x 1 x + 4) · · · (2 · (2 · 21n x + 4)(2 · 2n−1. 1 x 20. + 4). jest zbieżny dla x ∈ [−1, 1]. Stosując metodę dekompozycji Adomiana otrzymujemy szereg taki jak w Twierdzeniu 1 (czyli szereg (1.3)). Stosując Twierdzenie 1 otrzymujemy, że suma powyższego szeregu jest jedynym rozwiązaniem ciągłym równania (1.30). Obliczmy błędy przybliżeń S0 , S1 , S2 i Sn . Korzystając z (1.29) i |ϕ0 (x)| ≤ |y(x) − S0 (x)| ≤. 5 18. 1− |y(x) − S1 (x)| ≤ 0, 2,. 5 18. ·. 11 , 6. x ∈ [−1, 1] mamy. 11 ≤ 0, 71, 6. |y(x) − S2 (x)| ≤ 0, 05, .. . n+1 33 5 |y(x) − Sn (x)| ≤ · . 13 18.

(33) I. LINIOWE RÓWNANIE FUNKCYJNE. 28. 3. Metoda kolokacji Rozpocznijmy od następującego twierdzenia. Twierdzenie 6 Niech funkcje g, F : [a, b] → R, f : [a, b] → [a, b] spełniają założenia twierdzenia 1 dla P = [a, b], gdzie a < b, a, b ∈ R. Niech S := {xi : xi ∈ [a, b], xi 6= xj dla i 6= j, i, j = 1, . . . , n}. Załóżmy, że Φj : [a, b] → R, j = 1, . . . , n, są zadanymi funkcjami ciągłymi i liniowo niezależnymi na przedziale [a, b]. Wtedy rozwiązanie ciągłe równania (1.1) na przedziale [a, b] można przybliżyć funkcją yn (x) =. n X. pj Φj (x),. x ∈ [a, b],. (1.32). j=1. gdzie współczynniki pj , j = 1, . . . , n, są rozwiązaniami układu równań liniowych n X. pj Ψj (xi ) = F (xi ),. i = 1, . . . n. (1.33). j=1. gdzie Ψj (xi ) := Φj [f (xi )] − g(xi )Φj (xi ) oraz xi ∈ S, i, j = 1, . . . , n. Dowód. Zauważmy, że z przyjętych założeń i Twierdzenia 1 wynika, iż równanie (1.1) ma na P dokładnie jedno rozwiązanie ciągłe. Wyznaczymy jego przybliżenie. Zdefiniujmy funkcję błędu jako R[y(x)] := y[f (x)] − g(x)y(x) − F (x),. x ∈ [a, b].. Obliczmy wartość R[yn (xi )] dla xi ∈ S: R[yn (xi )] = yn [f (xi )] − g(xi )yn (xi ) − F (xi ) n n X X = pj Φj [f (xi )] − g(xi ) pj Φj (xi ) − F (xi ) =. j=1 n X. j=1. . pj Φj [f (xi )] − g(xi )Φj (xi ) − F (xi ).. j=1. W metodzie kolokacji nieznane parametry pi dobieramy w taki sposób, aby funkcja błędu R[y(x)] przyjmowała wartość zero na zbiorze S (patrz [15]), czyli R[yn (xi )] = 0,. i = 1, . . . , n.. Z powyższych zależności otrzymujemy układ równań (1.33), a to kończy dowód.. .

(34) I. LINIOWE RÓWNANIE FUNKCYJNE. 29. Przykład 5 Metodą kolokacji znaleźć przybliżone rozwiązanie ciągłe równania 1 y x = (2x + 4)y(x) − 4x2 − 7x dla x ∈ [−1, 1]. 2. (1.34). Rozwiązanie: Przyjmijmy trzy węzły x1 = −1, x2 = 0, x3 = 1. Z równania (1.34) otrzymujemy f (x) = 12 x, g(x) = 2x + 4, F (x) = −4x2 − 7x, x ∈ [−1, 1], ξ = 0, g(ξ) = 4 > 1, czyli równanie (1.11) ma dokładnie jedno rozwiązanie ciągłe. Przyjmijmy następujące funkcje liniowo niezależne Φ1 (x) = 1,. Φ2 (x) = x,. Φ3 (x) = x2 ,. x ∈ [−1, 1].. Wyznaczmy funkcje Ψj (x) dla j = 1, 2, 3, x ∈ [−1, 1]: Ψ1 (x) = Φ1 [f (x)] − g(x)Φ1 (x) = −2x − 3, 7 Ψ2 (x) = Φ2 [f (x)] − g(x)Φ2 (x) = −2x2 − x, 2 15 Ψ3 (x) = Φ3 [f (x)] − g(x)Φ3 (x) = −2x3 − x2 . 4 Wstawiając wartości węzłów do powyższych funkcji i korzystając z (1.33) otrzymujemy układ równań.  3 7    −p1 + 2 p2 − 4 p3 = 3,. −3p1 + 0p2 + 0p3 = 0,    −5p − 11 p − 23 p = −11, 1 2 2 4 3 którego jedynym rozwiązaniem jest     p1 = 0, p2 = 2,    p = 0. 3 Stąd otrzymujemy przybliżone rozwiązanie ciągłe równania (1.34) w postaci y3 (x) = p1 Φ1 (x) + p2 Φ2 (x) + p3 Φ3 (x) = 2x, a jednocześnie jest to rozwiązanie ciągłe tego równania. Uwaga 20 Osobny problem stanowi pytanie o warunki jakie muszą być spełnione, aby ciąg przybliżonych rozwiązań ciągłych yn był zbieżny do rozwiązania ciągłego y. Ważnym, z punktu widzenia zastosowań, jest wyznaczenie wartości różnicy ky − yn k. Na te pytania nie ma prostych odpowiedzi, a część z nich można znaleźć w [25] i [31]..

(35) I. LINIOWE RÓWNANIE FUNKCYJNE. 30. Uwaga 21 Do pracy dołączony jest autorski program komputerowy przy pomocy którego możemy, metodą kolokacji, wyznaczyć przybliżone rozwiązanie ciągłe zadanego równania. Do programu wprowadzamy funkcje: Φi , f , g, F oraz stałe a, b i n. Natomiast punkty należące do zbioru S generują się automatycznie i są to punkty równoodległe. W wyniku działania tego programu otrzymujemy przybliżone rozwiązanie ciągłe zadanego równania oraz wykres tego przybliżonego rozwiązania na określonym przedziale. Program ten został wykonany w oparciu o oprogramowanie Mathematica firmy Wolfram Research.. 4. Metoda momentów Rozpocznijmy od zaprezentowania metody momentów. Twierdzenie 7 Niech funkcje g, F : [a, b] → R, f : [a, b] → [a, b] spełniają założenia twierdzenia 1 dla P = [a, b], gdzie a < b, a, b ∈ R. Załóżmy, że Φj : [a, b] → R, j = 1, . . . , n, są zadanymi funkcjami ciągłymi i liniowo niezależnymi na przedziale [a, b]. Wtedy rozwiązanie ciągłe równania (3.1) na przedziale [a, b] można przybliżyć funkcją yn (x) = F (x) +. n X. pj Φj (x),. x ∈ [a, b],. (1.35). j=1. gdzie współczynniki pj , j = 1, . . . , n, są rozwiązaniami układu równań liniowych n X j=1. Z pj. b. Z b Ψj (x)Φi (x) dx = (1 + g(x))F (x) − F [f (x)] Φi (x) dx. a. (1.36). a. dla i = 1, . . . , n, oraz Ψj (x) := Φj [f (x)] − g(x)Φj (x), x ∈ [a, b].. Dowód. Zauważmy, że z przyjętych założeń i Twierdzenia 1 wynika, iż równanie (1.1) ma na P dokładnie jedno rozwiązanie ciągłe. Wyznaczymy jego przybliżenie. Zdefiniujmy funkcję błędu jako R[y(x)] := y[f (x)] − g(x)y(x) − F (x),. x ∈ [a, b]..

(36) I. LINIOWE RÓWNANIE FUNKCYJNE. 31. Obliczmy wartość R[yn (x)] dla x ∈ [a, b]: R[yn (x)] = yn [f (x)] − g(x)yn (x) − F (x) " # n n X X = F [f (x)] + pj Φj [f (x)] − g(x) F (x) + pj Φj (x) − F (x) j=1. = =. n X j=1 n X. j=1. pj Φj [f (x)] − g(x)Φj (x) + F [f (x)] − (1 + g(x))F (x) pj Ψj (x) + F [f (x)] − (1 + g(x))F (x).. (1.37). j=1. W metodzie momentów wymaga się, aby funkcja błędu była ortogonalna do funkcji Φi , i = 1, . . . , n. Oznacza to, że musi być spełniony warunek Z b R[yn (x)]Φi (x) dx = 0, i = 1, . . . , n.. (1.38). a. Korzystając z (1.37) i (1.38) otrzymujemy układ równań Z bX n a. Z pj Ψj (x)Φi (x) dx −. b. Z a. a. j=1. b. F [f (x)]Φi (x) dx = 0.. (1 + g(x))F (x)Φi (x) dx +. Po przekształceniach otrzymujemy układ równań (1.36), a to kończy dowód.. . W zapisie macierzowym układ równań (1.36) wygląda następująco C · p = F,. (1.39). gdzie b. Z C = [Cij ]i,j=1,...,n , Cij =. Ψj (x)Φi (x) dx, a. p = [p1 , . . . , pn ]T , F = [F1 , . . . , Fn ]. T. Z , Fi =. b. (1 + g(x))F (x) − F [f (x)] Φi (x) dx.. a. Przykład 6 Metodą momentów znaleźć przybliżone rozwiązanie ciągłe równania 1 y x = (2x + 4)y(x) − 4x2 − 7x dla x ∈ [−1, 1]. (1.40) 2 Rozwiązanie: Z równania (1.40) otrzymujemy dla x ∈ [−1, 1]: f (x) = 12 x, g(x) = 2x + 4, F (x) = −4x2 − 7x, ξ = 0, g(ξ) = 4 > 1, czyli równanie (1.11) ma dokładnie.

(37) I. LINIOWE RÓWNANIE FUNKCYJNE. 32. jedno rozwiązanie ciągłe. Przyjmijmy następujące funkcje liniowo niezależne Φ1 (x) = 1,. Φ2 (x) = x,. Φ3 (x) = x2 ,. x ∈ [−1, 1].. Wyznaczmy funkcje Ψj dla j = 1, 2, 3, x ∈ [−1, 1]: Ψ1 (x) = Φ1 [f (x)] − g(x)Φ1 (x) = −2x − 3, 7 Ψ2 (x) = Φ2 [f (x)] − g(x)Φ2 (x) = −2x2 − x, 2 15 Ψ3 (x) = Φ3 [f (x)] − g(x)Φ3 (x) = −2x3 − x2 . 4 Dalej otrzymujemy następujące elementy macierzy C: Z 1 Z 1 Ψ1 (x)Φ1 (x) dx = (−2x − 3) dx = −6, C11 = −1 −1 Z 1 Z 1 7 4 (−2x2 − x) dx = − , Ψ2 (x)Φ1 (x) dx = C12 = 2 3 −1 −1 Z 1 Z 1 15 5 C13 = Ψ3 (x)Φ1 (x) dx = (−2x3 − x2 ) dx = − , 4 2 −1 −1 Z 1 Z 1 4 C21 = Ψ1 (x)Φ2 (x) dx = (−2x − 3)x dx = − , 3 −1 −1 Z 1 Z 1 7 7 (−2x2 − x)x dx = − , Ψ2 (x)Φ2 (x) dx = C22 = 2 3 −1 −1 Z 1 Z 1 15 4 (−2x3 − x2 )x dx = − , Ψ3 (x)Φ2 (x) dx = C23 = 4 5 −1 −1 Z 1 Z 1 C31 = Ψ1 (x)Φ3 (x) dx = (−2x − 3)x2 dx = −2, −1 −1 Z 1 Z 1 4 7 C32 = Ψ2 (x)Φ3 (x) dx = (−2x2 − x)x2 dx = − , 2 5 −1 −1 Z 1 Z 1 15 3 (−2x3 − x2 )x2 dx = − C33 = Ψ3 (x)Φ3 (x) dx = 4 2 −1 −1 i elementy kolumny wyrazów wolnych: 2 Z 1 1 1 2 F1 = (2x + 5)(−4x − 7x) + 4 x +7 x dx = −22, 2 2 −1 2 Z 1 1 1 121 2 F2 = (2x + 5)(−4x − 7x) + 4 x +7 x x dx = − , 2 2 5 −1 2 Z 1 1 1 66 2 x +7 x x2 dx = − . F3 = (2x + 5)(−4x − 7x) + 4 2 2 5 −1.

(38) I. LINIOWE RÓWNANIE FUNKCYJNE. 33. Ostatecznie dostajemy układ równań postaci  4 5    −6p1 − 3 p2 − 2 p3 = −22, , − 43 p1 − 73 p2 − 45 p3 = − 121 5    −2p − 4 p − 3 p = − 66 , 1. 5 2. 2 3. 5. którego jedynym rozwiązaniem jest     p1 = 0, p2 = 9,    p = 4. 3 Ostatecznie otrzymujemy przybliżone rozwiązanie ciągłe równania (1.40) w postaci y3 (x) = p1 Φ1 (x) + p2 Φ2 (x) + p3 Φ3 (x) + F (x) = 9x + 4x2 − 4x2 − 7x = 2x, a jednocześnie jest to rozwiązanie ciągłe tego równania. Uwaga 22 Informację na temat oszacowania różnicy rozwiązania ciągłego i przybliżonego rozwiązania ciągłego, uzyskanego poprzez zastosowanie metody momentów, można znaleźć w [17]. Uwaga 23 Do pracy dołączony jest autorski program komputerowy przy pomocy którego możemy, metodą momentów, wyznaczyć przybliżone rozwiązanie ciągłe zadanego równania. Do programu wprowadzamy funkcje: Φi , f , g, F oraz stałe a, b i n. W wyniku działania tego programu otrzymujemy przybliżone rozwiązanie ciągłe zadanego równania oraz wykres tego przybliżonego rozwiązania na określonym przedziale. Program ten został wykonany w oparciu o oprogramowanie Mathematica firmy Wolfram Research. Uwaga 24 Podobnie można zastosować przedstawione metody do równań nieliniowych (patrz Rozdział IV tej pracy). Uwaga 25 Interesujące są problemy zbieżności ciągu przybliżeń do rozwiązania odpowiedniego równania oraz oszacowanie różnicy |yn (x) − y(x)|,. x ∈ X,. ważne z punktu widzenia zastosowań. O tych zagadnieniach będzie mowa w następnych rozdziałach..

(39) Rozdział II Pewne operatory funkcyjne. 5. Liniowy operator funkcyjny W tym rozdziale zajmiemy się badaniem własności pewnego operatora funkcyjnego, oraz zbieżnością metody najmniejszych kwadratów. Rozważmy liniowe równanie funkcyjne w postaci y[f (x)] + g(x)y(x) = F (x),. (2.1). gdzie funkcje f : [a, b] → [a, b], g, F : [a, b] → R, [a, b] ⊂ R są dane, a y : [a, b] → R jest nieznaną funkcją. Przyjmijmy oznaczenia: Z kf k1 := sup |f (x)|,. kf k2 :=. x∈[a,b]. b. |f (x)|2 dx. 21 .. (2.2). a. Twierdzenie 8 Niech funkcje f : [a, b] → [a, b], g : [a, b] → R będą ciągłe na przedziale [a, b] oraz niech A : C([a, b]) → C([a, b]) będzie operatorem funkcyjnym zdefiniowanym wzorem A[y](x) := y[f (x)] + g(x)y(x),. (2.3). gdzie y ∈ C([a, b]). Tak określony operator A jest liniowy i ograniczony. Zachodzi wtedy kA[y]k1 ≤ αkyk1 ,. (2.4). α := 1 + sup |g(x)|.. (2.5). gdzie x∈[a,b]. Dowód. Wykażmy liniowość operatora A. Mamy A[y1 + y2 ](x) := y1 [f (x)] + y2 [f (x)] + g(x)(y1 (x) + y2 (x)) = A[y1 ](x) + A[y2 ](x) dla y1 , y2 ∈ C([a, b])..

(40) II. PEWNE OPERATORY FUNKCYJNE. 35. Dalej A[λy](x) := λy[f (x)] + g(x)λy(x) = λA[y](x), dla λ ∈ R, y ∈ C([a, b]), czyli operator A jest liniowy. Pokażmy ograniczoność operatora A (w normie k · k1 ). Niech f, g, y ∈ C([a, b]), oraz |g(x)| ≤ M dla x ∈ [a, b]. Wtedy kA[y]k1 =. sup |A[y](x)| = sup |y[f (x)] + g(x)y(x)| x∈[a,b]. ≤. x∈[a,b]. sup (|y[f (x)]| + |g(x)| · |y(x)|) ≤ sup |y[f (x)]| + sup (|g(x)| · |y(x)|) x∈[a,b]. ≤. x∈[a,b]. x∈[a,b]. sup |y(x)| + M sup |y(x)| ≤ kyk1 + M kyk1 ≤ (1 + M )kyk1 = αkyk1 . x∈[a,b]. x∈[a,b]. Stąd istnieje liczba rzeczywista α = 1 + sup |g(x)| > 0 x∈[a,b]. taka, że dla każdego y ∈ C([a, b]) kA[y]k1 ≤ αkyk1 , czyli operator A jest ograniczony i zarazem ciągły, a to kończy dowód.. . Rozważmy jednorodne liniowe równanie funkcyjne y[f (x)] = g(x)y(x).. (2.6). Zdefiniujmy ciąg funkcji Gn (x) =. n−1 Y. g[f i (x)],. x ∈ P, n = 1, 2, 3, . . .. .. i=0. Dla tak zdefiniowanego ciągu mamy trzy przypadki (zobacz [26]): (i) Istnieje granica G(x) = limn→∞ Gn (x), dla x ∈ P . Ponadto G(x) jest ciągła na P oraz G(x) 6= 0 dla x ∈ P . (ii) Istnieje przedział J ⊂ P taki, że limn→∞ Gn (x) = 0 jednostajnie na J. (iii) Nie zachodzi żaden z przypadków (i), (ii). Zachodzi następujące twierdzenie..

(41) II. PEWNE OPERATORY FUNKCYJNE. 36. Twierdzenie 9 ([26]) Załóżmy, że f ∈ R0ξ [P], gdzie ξ ∈ P . Niech g ∈ Y[P] będzie funkcją ciągłą na przedziale P i g(x) 6= 0 dla x ∈ P , x 6= ξ. W przypadku (iii) funkcja y(x) ≡ 0 jest jedynym ciągłym rozwiązaniem rówania (2.6) w klasie funkcji Y[P]. Ponadto Wniosek 2 ([26]) Przy założeniach Twierdzenia 9 i dla |g(ξ)| > 1 zachodzi przypadek (iii) (ξ - punkt stały f ). Wykażemy następujące twierdzenie. Twierdzenie 10 Niech spełnione będą załozenia Twierdzenia 9 oraz |g(ξ)| > 1. Wtedy istnieje operator A−1 odwrotny do operatora A : C([a, b]) → C([a, b]) zdefiniowanego wzorem (2.3). Dowód. Wykażmy różnowartościowość operatora A. Niech A[y1 ] = A[y2 ], y1 , y2 ∈ C([a, b]), wtedy x ∈ [a, b],. y1 [f (x)] + g(x)y1 (x) = y1 [f (x)] + g(x)y1 (x), a stąd (y1 − y2 )[f (x)] + g(x)(y1 (x) − y2 (x)) = 0,. x ∈ [a, b].. Oznaczmy ψ := y1 − y2 , wtedy ψ[f (x)] + g(x)ψ(x) = 0,. x ∈ [a, b],. oraz ψ[f (x)] = −g(x)ψ(x),. x ∈ [a, b].. Ponadto spełnione są założenia Twierdzenia 9 i | − g(ξ)| = |g(ξ)| > 1, czyli ψ(x) = 0 dla x ∈ [a, b]. Stąd 0 = ψ(x) = y1 (x)−y2 (x), czyli y1 (x) = y2 (x) dla x ∈ [a, b]. Ostatecznie otrzymujemy, że równość A[y1 ] = A[y2 ] implikuje y1 = y2 , czyli operator A jest różnowartościowy, stąd istnieje operator A−1 odwrotny do operatora A, a to kończy dowód.. . W przypadku równania (2.1) wzór (1.3) przyjmuje postać y(x) =. ∞ X n=0. Mamy również ważne twierdzenie.. (−1)n. F [f n (x)] , Gn+1 (x). x ∈ [a, b].. (2.7).

(42) II. PEWNE OPERATORY FUNKCYJNE. 37. Twierdzenie 11 Niech będą spełnione założenia Twierdzenia 9. Wtedy operator A−1 , odwrotny do operatora A : C([a, b]) → C([a, b]) zdefiniowanego wzorem (2.3), jest liniowy i ograniczony. Dowód. Operator A−1 jest liniowy, ponieważ jest to operator odwrotny do liniowego. Wykażmy ograniczoność operatora A−1 . Przyjmijmy, że ξ jest lewym końcem przedziału P = [a, b] = [ξ, b] (w innych przypadkach dowód jest analogiczny). Ponadto f (ξ) = ξ, |g(ξ)| > 1 i funkcja g jest ciągła. Wtedy istnieją takie δ > 0 i Θ > 1, że |g(x)| > Θ > 1 dla x ∈ [ξ, ξ + δ] ⊂ [ξ, b]. Dla b ∈ P znajdźmy takie N , że f n (b) ∈ [ξ, ξ + δ] dla n ≥ N.. (2.8). Zależność (2.8) zachodzi, ponieważ f n (b) → ξ przy n → ∞. Z (2.8) i z monotoniczności funkcji f (f jest silnie rosnąca) otrzymujemy, że f n (x) ∈ [ξ, ξ + δ] dla n ≥ N i x ∈ [ξ, b]. Niech L = inf |g(x)| > 0. x∈[ξ,b]. Powyższe infimum istnieje, ponieważ funkcja g jest ciągła i posiada wartości różne od zera na przedziale zwartym P = [ξ, b]. Dla x ∈ P i n ≥ N otrzymujemy 1. 1 |Gn+1 (x)| |g(x) · g(f (x)) · . . . · g[f n (x)]| 1 = N −1 |g(x) · g(f (x)) · . . . · g[f (x)] · g[f N (x)] · . . . · g[f n (x)]| 1 ≤ . LN Θn+1−N =. Stąd

(43)

(44) n

(45)

(46) F [f (x)] kF k1 n

(47) (−1)

(48) ≤

(49)

(50) N Gn+1 (x) L Θn+1−N. dla n ≥ N i x ∈ [ξ, b].. Ponadto wobec (2.7) −1. y(x) = A [F ](x) =. ∞ X n=0. (−1)n. F [f n (x)] , Gn+1 (x). x ∈ [a, b]..

(51) II. PEWNE OPERATORY FUNKCYJNE. 38. Stąd kA−1 [F ]k1.

(52) ∞

(53)

(54)

(55) ∞

(56) X

(57) X n n

(58)

(59) F [f (x)]

(60)

(61) n n F [f (x)]

(62)

(63) = sup

(64) (−1) sup

(65) (−1)

(66) ≤ Gn+1 (x)

(67) Gn+1 (x)

(68) x∈[ξ,b]

(69) x∈[ξ,b] n=0. ≤. N −1 X. n=0. ∞ X. kF k1 kF k1 + sup N n+1−N |Gn+1 (x)| n=N x∈[ξ,b] L Θ n=0 x∈[ξ,b] sup. ≤ kF k1. N −1 X. sup. n=0 x∈[ξ,b]. 1. ∞ kF k1 X 1 LN n=1 Θn. +. |Gn+1 (x)|. ≤ M1 kF k1 + M2 kF k1 ≤ (M1 + M2 )kF k1 ≤ KkF k1 . Stała M1 istnieje, ponieważ każda funkcja. 1 , |Gn+1 (x)|. n = 0, 1, . . . , N −1, jest funkcją ciągłą. na zbiorze zwartym, czyli przyjmuje kres dolny i górny. Natomiast stała M2 istnieje, gdyż występujący tutaj szereg geometryczny jest zbieżny. Ostatecznie istnieje stała K ≥ 0 taka, że dla każdej funkcji F ∈ C([ξ, b]) = C([a, b]) kA−1 [F ]k1 ≤ KkF k1 ,. (2.9). gdzie K=. N −1 X. sup. n=0 x∈[ξ,b]. 1 |Gn+1 (x)|. +. 1 LN (Θ. − 1). ,. (2.10). czyli operator A−1 jest ograniczony i zarazem ciągły, a to kończy dowód.. . Aby uzyskać kolejne twierdzenie skorzystamy z twierdzenia zawartego w książce [30]. Twierdzenie 12 ([30]) Niech T będzie operatorem liniowym odwzorowującym przestrzeń unormowaną X na przestrzeń unormowaną Y . Operator T jest różnowartościowy i operator do niego odwrotny T −1 : Y → X jest liniowy i ciągły wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka liczba m > 0, że kT xk1 ≥ mkxk1 dla każdego x ∈ X. Twierdzenie 13 Istnieje taka liczba rzeczywista γ > 0, że dla każdego y ∈ C([a, b]) kyk1 ≤ γkA[y]k1 ,. (2.11). γ=K. (2.12). gdzie. (K dane jest wzorem (2.10))..

(70) II. PEWNE OPERATORY FUNKCYJNE. 39. Dowód. Operator A jest liniowy i różnowartościowy, oraz operator A−1 jest liniowy i ciągły. Na podstawie Twierdzenia 12 zachodzi nierówność (2.11). Wyznaczymy stałą γ. Niech y ∈ X = C([a, b]) i A[y] = F . Z (2.9) mamy wtedy (dla K > 0) 1 1 kA−1 [F ]k1 = kyk1 , K K. kA[y]k1 = kF k1 ≥ a stąd kyk1 ≤ KkA[y]k1. dla kazdego ˙ y ∈ C([a, b]).. Stąd γ = K, a to kończy dowód.. . Twierdzenie 14 Niech y ∈ C([a, b]) będzie funkcją stałego znaku oraz niech funkcje f : [a, b] → [a, b], g : [a, b] → R będą ciągłe na przedziale [a, b]. Ponadto, niech inf g(x) > 0. x∈[a,b]. Wtedy istnieje taka liczba rzeczywista δ > 0, że kyk2 ≤ δkA[y]k2 ,. (2.13). gdzie δ=. 1 inf x∈[a,b] g(x). .. (2.14). Dowód. Mamy dla y stałego znaku, Z b Z b 2 2 g2 (x)y 2 (x) dx kA[y]k2 = (y[f (x)] + g(x)y(x)) dx ≥ a a Z b Z b 2 2 2 ≥ infx∈[a,b] g(x) y (x) dx ≥ β y 2 (x) dx = β 2 kyk22 . a. a. Stąd kA[y]k22 ≥ β 2 kyk22 oraz kyk22 ≤. 1 kA[y]k22 , β2. czyli kyk2 ≤ δkA[y]k2 dla y ∈ C([a, b]) i stałej δ= a to kończy dowód.. 1 inf x∈[a,b] g(x). > 0, .

(71) II. PEWNE OPERATORY FUNKCYJNE. 40. Twierdzenie 15 Niech funkcje y, g ∈ C([a, b]) oraz niech funkcja f : [a, b] → [a, b] będzie ciągła. Wtedy istnieje taka liczba rzeczywista µ > 0, że kA[y]k2 ≤ µkyk1 ,. y ∈ C([a, b]),. (2.15). gdzie √ µ = (1 + η) b − a,. (2.16). sup |g(x)|.. η :=. x∈[a,b]. Dowód. Niech η = supx∈[a,b] |g(x)|. Wtedy dla y ∈ C([a, b]) kA[y]k22 =. b. Z. Z. 2. !2. b. (y[f (x)] + g(x)y(x)) dx ≤. sup |y[f (x)]| + sup |g(x)y(x)|. a. a. x∈[a,b]. dx. x∈[a,b]. !2 ≤. · (b − a) ≤ (kyk1 + ηkyk1 )2 · (b − a). sup |y[f (x)]| + η sup |y(x)| x∈[a,b]. x∈[a,b] 2. = (b − a)(1 + η). kyk21 .. Stąd dla y ∈ C([a, b]) kA[y]k22 ≤ ωkyk21 lub kA[y]k2 ≤ µkyk1 , gdzie. √ µ = (1 + η) b − a > 0. . To kończy dowód. Twierdzenie 16 Niech funkcja y ∈ C([a, b]). Wtedy istnieje taka liczba rzeczywista % > 0, że kyk2 ≤ %kyk1 , gdzie %=. √. b − a.. Dowód. Mamy dla y ∈ C([a, b]) Z b Z b 2 2 kyk2 = y (x) dx ≤ ( sup |y(x)|)2 dx ≤ (b − a)kyk21 . a. a. x∈[a,b]. (2.17). (2.18).

(72) II. PEWNE OPERATORY FUNKCYJNE. 41. Stąd dla y ∈ C([a, b]) kyk22 ≤ σkyk21 lub kyk2 ≤ %kyk1 , gdzie %=. √ b − a > 0. . To kończy dowód.. Uwaga 26 O operatorze funkcyjnym (2.3) można mówić w ogólniejszych przestrzeniach.. 6. Zbieżność ciągu przybliżeń metody najmniejszych kwadratów i oszacowanie błędu przybliżeń Dla czytelności przypomnimy kilka pojęć, ktore będziemy wykorzystywać dalej. Definicja 2 ([29]) Układ elementów (ϕk ) przestrzeni unormowanej (X, k · k) nazywamy zamknętym, gdy dla każdego x ∈ X i każdego ε > 0 istnieje liczba naturalna n i stałe (rzeczywiste lub zespolone) α1 , . . . , αn takie, że kx − yn k < ε, gdzie yn =. n X. αk ϕk .. k=1. Definicja 3 ([29]) Niech dany będzie operator liniowy A : (X, k · k) → (X, k · k). Układ (ϕk ) elementów przestrzeni (X, k · k) nazywamy A-zamkniętym, jeśli dla dowolnego y ∈ X i ε > 0 istnieje liczba naturalna n oraz stałe β1 , . . . , βn takie, że kA[y] − A[yn ]k < ε, gdzie yn =. n X. βk ϕ k .. k=1. Prawdziwy jest również następujący wniosek (patrz [29])..

(73) II. PEWNE OPERATORY FUNKCYJNE. 42. Wniosek 3 ([29]) Jeśli układ jest zamknięty i operator liniowy A jest ograniczony, to układ jest układem A-zamkniętym. Wniosek 4 Układ funkcji 1, x, x2 , . . . ,. dla x ∈ [a, b],. (2.19). jest układem zamkniętym w C([a, b]) z normą Czebyszewa supremum. Dowód. Wynika to z faktu, że ciąg wielomianów ψn (x) =. n X. αk ϕk (x),. ϕk (x) = xk ,. x ∈ [a, b]. k=1. jest zbieżny jednostajnie do funkcji ϕ ∈ C([a, b]), gdzie ϕ jest dowolne. . To kończy dowód. Udowodnimy następujące twierdzenie o zbieżności ciągu. {A[yn ]}∞ n=1 ,. gdy. {yn }∞ n=1. jest. ciągiem przybliżeń uzyskanym metodą najmniejszych kwadratów dla równania (2.1). Twierdzenie 17 (o zbieżności) Niech będą spełnione założenia Twierdzenia 1 dla P = [a, b]. Niech ponadto, {yn }∞ n=1 będzie ciągiem przybliżeń rozwiązania ciągłego równania (2.1) otrzymanym metodą najmniejszych kwadratów. Wtedy A[yn ] → A[y] = F w k · k2 , przy n → ∞,. (2.20). gdzie y jest (jedynym) rozwiązaniem ciągłym równania (2.1) na P. Dowód. Zauważmy, iż z przyjętych założeń w Twierdzeniu 17 wynika, że równanie (2.1) ma dokładnie jedno rozwiązanie ciągłe y. Ponieważ operator A dany wzorem (2.3) jest ograniczony, więc z Wniosku 3 mamy, iż układ (2.19) jest A-zamknięty. Stąd dla ε > 0 istnieją stałe α1 , . . . , αn0 takie, że ε kA[y] − A[ψn0 ]k1 < , % gdzie ψn0 =. n0 X k=1. αk ϕk ..

(74) II. PEWNE OPERATORY FUNKCYJNE. 43. Mamy ponadto, dla ciągu przybliżeń {yn }∞ n=1 , otrzymanego metodą najmniejszych kwadratów, kA[y] − A[yn0 ]k2 ≤ kA[y] − A[ψn0 ]k2 , ponieważ lewa strona osiąga minimum dla yn0 , zaś ψn0 jest jakąś kombinacją funkcji ϕn . Wobec tego z Twierdzenia 16 kA[y] − A[yn0 ]k2 ≤ kA[y] − A[ψn0 ]k2 ≤ %kA[y] − A[ψn0 ]k1 < % ·. ε = ε, %. tzn. kA[y] − A[yn0 ]k2 < ε. Ponieważ ze wzrostem n minimum lewej strony nie wzrasta, więc kA[y] − A[yn ]k2 < ε. dla n ≥ n0 .. Oznacza to, że zachodzi (2.20), a to kończy dowód.. . Mamy ponadto, Twierdzenie 18 (o zbieżności ciągu {yn }) Niech będą spełnione założenia Twierdzenia 1 dla P = [a, b] oraz niech inf g(x) > 0. x∈[a,b]. Ponadto, niech y ∈ C([a, b]) będzie (jedynym) rozwiązaniem ciągłym równania funkcyjnego (2.1) zaś yn jego przybliżeniem uzyskanym metodą najmniejszych kwadratów. Jeśli {y − yn }∞ n=1 jest ciągiem funkcji mających stały znak (niekoniecznie ten sam), to zachodzi yn → y w k · k2 , przy n → ∞. Dowód. Z Wniosku 4 ciąg (wielomianów) ψn (x) =. n X. αk ϕk (x),. gdzie ϕk (x) = xk , x ∈ [a, b],. k=1. jest zbieżny do y, tzn. ψn → y w k · k1 , czyli dla dowolnego ε > 0 istnieje n0 takie, że ky − ψn k1 < ε dla n ≥ n0 .. (2.21).

(75) II. PEWNE OPERATORY FUNKCYJNE. 44. Wtedy z Twierdzenia 14 dla n ≥ n0 zachodzi ky − yn k2 ≤ δkA[y − yn ]k2 ≤ δkA[y] − A[yn ]k2 ≤ δkA[y] − A[ψn ]k2 (ostatnia nierówność zachodzi na podstawie własności minimum dla ciągu {yn }, ψn jest zaś jakąś kombinacją liniową funkcji ϕk , k = 1, . . . , n). Stąd mamy wobec Twierdzenia 15 ky − yn k2 ≤ δkA[y] − A[ψn ]k2 ≤ δµky − ψn k1 < δµε dla n ≥ n0 . Ponieważ iloczyn δµ jest stały i ε > 0 dowolne, oznacza to, że zachodzi (2.21), . a to kończy dowód. Uwaga 27 Założenia Twierdzenia 18 nie są wygodne do weryfikacji.. Twierdzenie 19 (oszacowanie) Niech y ∈ C([a, b]) będzie jedynym rozwiązaniem ciągłym równania (2.1), zaś yn jest jego przybliżeniem uzyskanym metodą najmniejszych kwadratów. Ponadto, niech będą spełnione założenia Twierdzenia 1 dla P = [a, b]. Wtedy zachodzą oszacowania kyn − yk2 ≤ γ%kA[yn ] − F k1 kyn − yk1 ≤ γkA[yn ] − F k1. dla γ > 0, % > 0, dla γ > 0,. (2.22) (2.23). gdzie % =. √. b − a,. γ = K (K dane jest wzorem (2.10)). Dowód. Z Twierdzeń 16 i 13 otrzymujemy kyn − yk2 ≤ %kyn − yk1 ≤ γ%kA[yn ] − A[y]k1 ≤ γ%kA[yn ] − F k1 , kyn − yk1 ≤ γkA[yn ] − A[y]k1 ≤ γkA[yn ] − F k1 , gdzie % =. √. b − a,. γ = K, a to kończy dowód.. .

(76) II. PEWNE OPERATORY FUNKCYJNE. 45. Uwaga 28 Metoda najmniejszych kwadratów dla normy k · k2 ma tą zaletę, iż można stosować twierdzenie o przechodzeniu z różniczkowaniem pod znak całki (dla innych norm nie musi tak być). Stąd również szukanie innych sposobów minimalizacji funkcji błędu. Rzeczywiście, w przypadku normy k · k1 dla funkcji, która nie jest funkcją stałą, własność ta nie zachodzi, gdyż !0 sup (x3 + x2 + x + 1) x∈[0,1]. = (4)0 = 0 6= 5 = sup (3x2 + 2x + 1) = sup (x3 + x2 + x + 1)0 . x∈[0,1]. x∈[0,1]. Własność ta jest spełniona dla funkcji stałej. Uwaga 29 Dodatkowe informacje na temat zbieżności ciągu przybliżeń zdefiniowanego w metodzie najmniejszych kwadratów można znaleźć w [28]. Uwaga 30 Do pracy dołączony jest program komputerowy przy pomocy którego możemy wyznaczyć oszacowania (2.22) i (2.23). Do programu wprowadza się funkcje: f , g, F , yn oraz stałe a, b i K. W wyniku działania tego programu otrzymujemy oszacowanie dla normy supremum i normy średniokwadratowej..

(77) Rozdział III Zbieżność ciągu przybliżeń metody dekompozycji Adomiana. W tym rozdziale zaprezentujemy dowód twierdzenia o zbieżności metody Adomiana w której nieliniowy operator zostaje rozłożony w szereg o wyrazach zwanych wielomianami Adomiana. G. Adomian w wielu pracach (zobacz np. [7], [8], [9], [10], [11]) zaprezentował algorytm numeryczny w którym używa się specjalnego rodzaju wielomianów (zwanych wielomianami Adomiana) do rozwiązywania równań operatorowych. W tej metodzie rozwiązanie jest prezentowane w postaci szeregu, którego wyrazami są wielomiany Adomiana. Niestety do tej pory problemy związane ze zbieżnością tej metody są rozwiązane niesatysfakcjonująco. Yves Cherruault w pracy [13] zaprezentował pewne rezultaty dotyczące zbieżności metody Adomiana. Przedstawione w tej pracy rezultaty, oraz dowód twierdzenia o zbieżności metody Adomiana, zawierają błędy. W tym rozdziale zaprezentujemy podobne, poprawione rezultaty i kompletny dowód.. 7. Metoda dekompozycji Adomiana Rozważmy następujące równanie operatorowe y − N (y) = f,. (3.1). gdzie N : X → X jest danym operatorem na przestrzeni Banacha X i f ∈ X. Równanie (3.1) nosi nazwę uogólnionego równania Fredholma-Volterry drugiego rodzaju. Załóżmy, że równanie (3.1) ma dla każdego f ∈ X dokładnie jedno rozwiązanie y ∈ X. Zaprezentujmy metodę dekompozycji Adomiana (przedstawioną w pracy [7]). Niech y=. ∞ X n=0. yn ,. yn ∈ X, n ∈ N ∪ {0},. (3.2).

(78) III. METODA DEKOMPOZYCJI ADOMIANA oraz załóżmy, że N (y) =. ∞ X. 47. An ,. (3.3). n=0. gdzie An to wielomiany Adomiana otrzymane z następującej relacji: dla z =. ∞ X. n. λ yn ,. ∞ X. N. n=0. ! n. λ yn. =. n=0. ∞ X. λn An ,. n=0. gdzie λ jest parametrem rzeczywistym lub zespolonym. Wtedy otrzymujemy (przy odpowiednich założeniach o N ) " dn n!An = n N dλ. ∞ X. !# λk y k. ,. k=0. n = 0, 1, 2, . . .. .. (3.4). λ=0. Możemy zauważyć, że An zależy tylko od y0 , . . . , yn (przy yn+1 , . . . , po zróżniczkowaniu występuje parametr λ, a to dla λ = 0 powoduje ich znikanie). Na początku pomińmy problem zbieżności szeregów występujących w tej metodzie. Następnie z (3.1), (3.2) i (3.3) otrzymujemy ∞ X. yn −. n=0. ∞ X. An = f,. n=0. zatem y0 = f, y1 = A0 , .. . yn = An−1 ,. n = 1, 2, . . .. .. (3.5). W konsekwencji powyższej zależności możemy określić wszystkie wyrazy szeregu (3.2). W publikacji [13] jest zaprezentowana następująca modyfikacja tej metody. Dla każdego zbieżnego szeregu y=. ∞ X. yn ,. n=0. definiujemy N (y) =. ∞ X n=0. An (y0 , . . . , yn ),.