Teoria obwodow wyklad 2 2019

(1)

Dr inż. Agnieszka Wardzińska

konsultacje: 105 Polanka

agnieszka.wardzinska@put.poznan.pl

cygnus.et.put.poznan.pl/~award

konsultacje: poniedziałek: 8.00-9.30 Czwartek: 8.00-9.30

(2)

Programy obliczeniowe

• Matlab

• Mathcad

• Matematica

• Wolfram alpha

• …

(3)

Programy symulacyjne

• LTspice

• PSpice

• Circuit simulator falstad

(

https://www.falstad.com/circuit/

)

(

https://www.falstad.com/circuit/

)

• …

(4)

Przykład

• Oblicz impedancję zastępczą widzianą z zacisków AB

B A D Z1 Z4 Z3 Z2 B

(5)

Przykład

• Oblicz impedancję zastępczą widzianą z zacisków AB

B A B D Z1 Z4 Z3 Z2 równolegle Z1 i Z2 B B 2 1 2 1

Z

_BD

+

=

(6)

Przykład

• Oblicz impedancję zastępczą widzianą z zacisków AB

B A B D Z4 Z3 Z_BD szeregowo Z_BD i Z3 B B 3 2 1 2 1 1

Z

_AB

+

=

(7)

Przykład

• Oblicz impedancję zastępczą widzianą z zacisków AB

B A B Z4 Z_AB1 szeregowo Z_BD i Z3 B B 3 2 1 2 1 1

Z

_AB

+

=

(8)

Przykład

• Oblicz impedancję zastępczą widzianą z zacisków AB

B A B Z4 Z_AB1 równolegle Z_AB1 i Z4 B B 4 3 2 1 2 1 4 3 2 1 2 1

Z

_AB

+













+

=

(9)

Przykład

• Oblicz impedancję zastępczą widzianą z zacisków AB

B A B Z4 Z_AB1 równolegle Z_AB1 i Z4 B B 4 3 2 1 2 1 4 3 2 1 2 1

Z

_AB

+













+

=

Wolfram alpha ((Z_1*Z_2)/(Z_1+Z_2)+Z_3)*Z_4/((Z_1*Z_2)/(Z_1+Z_2)+Z_3+Z_4)

(10)

Przykład

• Simplify,

• factor,

• expand

(11)

Przykład 2

• Oblicz rozpływ prądów korzystając z praw Kirchhoffa

A E1 _Z1=Z2=Z3=Z B E2 E3 Z1 Z2 Z3

(12)

Przykład 2

• Oblicz rozpływ prądów korzystając z praw Kirchhoffa

E1 I1 I2 I3 I1-I2-I3=0 PPK E2 E3 Z1 Z2 Z3

(13)

Przykład 2

• Oblicz rozpływ prądów korzystając z praw Kirchhoffa

E1 I1 I2 I3 I1-I2-I3=0 PPK NPK E2 E3 Z1 Z2 Z3 NPK -Z1I1-E2-Z2I2+E3=0 E1-I3Z3+I2Z2=0

(14)

Przykład 2

• Oblicz rozpływ prądów korzystając z praw Kirchhoffa

E1 I1 I2 I3 I1-I2-I3=0 PPK NPK E2 E3 Z1 Z2 Z3 NPK -Z1I1-E2-Z2I2+E3=0 E1-I3Z3+I2Z2=0 Wolfram alpha

(15)

Przykład 2

• Oblicz rozpływ prądów korzystając z praw Kirchhoffa

I1-I2-I3=0 PPK NPK -Z1I1-E2-Z2I2+E3=0 E1-I3Z3+I2Z2=0













−

=

























−

1 3 2 3 2 1 3 2 2 1

0

1

1 E

E

I

Z

E1-I3Z3+I2Z2=0

(16)

Przykład 2

• Oblicz rozpływ prądów korzystając z praw Kirchhoffa













−

=

























−

1 3 2 3 2 1 2

0

1

1 E

E

I

Z

E1-I3Z3+I2Z2=0

(17)

Przykład 2

• Oblicz rozpływ prądów korzystając z praw Kirchhoffa













−

=

























−

1 3 2 3 2 1

0

1

1 E

E

I

Z

− E1-I3Z3+I2Z2=0













−













−

=













− 1 3 2 1 3 2 1

0

1

1 E

E

Z

I

Wolfram alpha

(18)

Przykład 2

( {{1,-1,-1}, {-Z,-Z,0}, {0,Z,-Z}}^-1)*({{0},{E_2-E_3},{-E_1}})

• Uwagi do obliczeń w WolramAlpha.

– Z nieznanych mi powodów interpretacja

naturalnej formy zapisu powyższych równań, czyli:

nie działa prawidłowo (akurat w tym konkretnym

przypadku).

– Wynik można uzyskać podając dane liczbowe, np.

Z=1, E1=1, E2=2, E3=3:

– Albo zapisując wektor wyników trochę „dookoła”

( {{1,-1,-1}, {-Z,-Z,0}, {0,Z,-Z}}^-1)*({{0}, {X}, {-E_1}}), X=E_2-E_3 ( {{1,-1,-1}, {-1,-1,0}, {0,1,-1}}^-1)*({{0}, {-1}, {-1}}),

(19)

Dodawanie źródeł napięciowych

e1(t) e2(t) e1(t)-e2(t)+e3(t) or e2(t) e3(t) e2(t)-e1(t)-e3(t)

(20)

Dodawanie źródeł napięciowych

E1 E2 E1 – E2 + E3 or E2 E3 E2- E1 – E3

(21)

Dodawanie źródeł napięciowych

• e(t)=0,

• E=0,

• U

AB

=0,

A B A B E=0,

(22)

przykład

A E1=2+j E2=2-j E2=2j B E2=2j

(23)

przykład

A E1=2+j E2=2-j E2=2j A E=2-j-(2+j)+2j=0 B E2=2j B

(24)

przykład

A E1=2+j E2=2-j E2=2j A E=2-j-(2+j)+2j=0 B E2=2j B B A

(25)

Dodawanie źródeł prądowych

j3(t) j2(t) j1(t) or j1(t)-j2(t)+j3(t) j2(t)-j1(t)-j3(t)

(26)

J(t)=0 J=0

I=0, U=? Z=∞

Dodawanie źródeł prądowych

Z=∞

I=0

(27)

przykład

j3(t) Z j1(t) j3(t)=j1(t)=2sin(2t+π) e(t)=sin(2t) Z=2+j e(t) Z

(28)

przykład

j3(t) Z j1(t) j3(t)=j1(t)=2sin(2t+π) e(t)=sin(2t) Z=2+j e(t) Z J3 Z J1 E Z J3=J1=-2 E=1 Z=2+j

(29)

przykład

J3 Z J1 E Z J3=J1=-2 E=1 Z=2+j A _I

(30)

przykład

J3 Z J1 E Z J3=J1=-2 E=1 Z=2+j A _I J3-J1=0 Z E Z A I

(31)

przykład

J3 Z J1 E Z J3=J1=-2 E=1 Z=2+j A _I J3-J1=0 Z E Z Z E Z A A I I

(32)

przykład

J3 Z J1 E Z J3=J1=-2 E=1 Z=2+j A _I J3-J1=0 Z E Z Z E Z A A I I

j

Z

E

I

0 .

2

0 .

1 )

2 (

2

1

2 =

+

=

−

=

(33)

(34)

Dzielnik napięciowy

(35)

(36)

Przykład 1

R

if

=

1 Ω

V

U

and

R

if

AB

5

1

5 4 3 2 1

=

Ω

=

(37)

Przykład 1

R

if

=

1 Ω

V

U

and

R

if

AB

5

1

5 4 3 2 1

=

Ω

=

5 4 3 2 1 1 1

R

U

_R _AB

+

=

(38)

Przykład 1

R

if

=

1 Ω

V

U

and

R

if

AB

5

1

5 4 3 2 1

=

Ω

=

V

R

U

_R _AB

1

5

1

5

5 4 3 2 1 1 1

=

+

=

(39)

Przykład 2

V

U

and

R

if

AB

5

1

5 4 3 2 1

=

Ω

=

(40)

Przykład 2

V

U

and

R

if

AB

5

1

5 4 3 2 1

=

Ω

=

Ω

=

+

=

R

2 R

₂₃

=

R

₂

+

R

₃

=

2 Ω

R

(41)

Przykład 2

Ω

=

+

=

R

2 R

V

U

and

R

if

AB

5

1

5 4 3 2 1

=

Ω

=

Ω

=

+

=

Ω

=

+

=

2

5 4 45 3 2 23

R

(42)

Przykład 2

Ω

=

+

=

R

2 R

V

U

and

R

if

AB

5

1

5 4 3 2 1

=

Ω

=

Ω

=

+

⋅

=

Ω

=

+

=

Ω

=

+

=

1 //

2

45 22 45 23 45 23 5 4 45 3 2 23

R

(43)

Przykład 2

3 2 23 R R 2 R = + = Ω

V

U

and

R

if

AB

5

1

5 4 3 2 1

=

Ω

=

45 23 1 1 1 45 22 45 23 45 23 5 4 45 3 2 23 // 1 // 2 R R R R U U R R R R R R R R R AB R = + Ω = + ⋅ = Ω = + =

(44)

Przykład 2

V

U

and

R

if

AB

5

1

5 4 3 2 1

=

Ω

=

V

R

U

R

AB R

2 .

5

2

1

5 //

1 //

2

45 23 1 1 1 45 22 45 23 45 23 5 4 45 3 2 23

=

+

=

Ω

=

+

⋅

=

Ω

=

+

=

Ω

=

+

=

(45)

(46)

(47)

Dzielnik prądowy dla identycznych

elementów

(48)

(49)

(50)

(51)

Zamiana źródeł

Note

Z

I

≠

J

I

=

_Z

+

(52)

Zamiana źródeł

Uwaga

Z

I

≠

J

I

=

_Z

+

Z

U

E

U

=

−

(53)

Zamiana źródeł – rezystancja źródła o charakterze

indukcyjnym

(54)

Zamiana źródeł – rezystancja źródła o charakterze

indukcyjnym

(55)

Zamiana źródeł – rezystancja źródła o charakterze

indukcyjnym

(56)

Zamiana źródeł – rezystancja źródła o charakterze

pojemnościowym

(57)

(58)

Moc – obwody DC (prądu stałego)

]

[

]

[

]

[

W

V

A

I

U

P

⋅

=

⋅

=

R

]

[

]

[

]

[

W

=

V

⋅

A

R

U

I

R

I

U

P

2 2

=

⋅

=

⋅

=

(59)

Dopasowanie energetyczne dla prądu stałego

• Dopasowanie energetyczne

odbiornika do źródła, czyli

stan w którym odbiornik

pobiera maksymalną moc

występuje gdy rezystancja

obciążenia jest równa

(60)

przykład

• Obliczyć całkowitą moc wydzieloną w źródle,

dobrać Rw tak aby wystąpiło dopasowanie

(61)

Moc w obwodach prądu sinusoidalnie

zmiennego (AC)

Z i u Z I U

(

ω

+

α

)

=

U

t

u

_m

cos

Moc chwilowa [VA].

(

ω

+

α

+

ϕ

)

=

I

t

(62)

Moc w obwodach prądu sinusoidalnie

zmiennego (AC)

Z i u Z I U

(

ω

+

α

)

=

U

t

u

_m

cos

(

ω

+

α

+

ϕ

)

=

I

t

i

cos

(

ω

+

α

) (

ω

+

α

+

ϕ

)

=

⋅

=

u

i

U

I

t

p

_m _m

cos

(

ω

+

α

+

ϕ

)

=

I

t

i

_m

cos

(63)

Moc w obwodach prądu sinusoidalnie

zmiennego (AC)

Z i u Z I U

(

ω

+

α

)

=

U

t

u

_m

cos

(

ω

+

α

+

ϕ

)

=

I

t

i

cos

(

ω

+

α

) (

ω

+

α

+

ϕ

)

=

⋅

=

u

i

U

I

t

p

_m _m

cos

(

) (

)

( )

ϕ

(

ω

α

ϕ

)

ϕ

α

ω

α

ω

−

+

=

+

=

⋅

=

2

2 cos

2

1 cos

2

1 cos

cos

t

I

U

I

U

t

I

U

i

u

p

m m m m m m

(

ω

+

α

+

ϕ

)

=

I

t

i

_m

cos

(64)

Moc w obwodach prądu sinusoidalnie

zmiennego (AC)

Z i u

(

ω

+

α

)

=

U

t

u

_m

cos

(

ω

+

α

+

ϕ

)

=

I

t

i

_m

cos

(

ω

+

α

) (

ω

+

α

+

ϕ

)

=

⋅

=

u

i

U

I

t

p

_m _m

cos

(

) (

)

( )

ϕ

(

ω

α

ϕ

)

ϕ

α

ω

α

ω

−

+

=

+

=

⋅

=

2

2 cos

2

1 cos

2

1 cos

cos

t

I

U

I

U

t

I

U

i

u

p

m m m m m m

(65)

Moc w obwodach prądu sinusoidalnie

zmiennego (AC)

• Moc czynna [W]

1 

+ ∆

⋅

=

T t t

dt

p

T

P

0 0

1 ( )

ϕ

cos

2

1

m m

I

U

P

=

(66)

Moc w obwodach prądu sinusoidalnie

zmiennego (AC)

• Dla reprezentacji zespolonej

_Z

I U ) (α ϕ α +

=

j m j m

e

I

e

U

(67)

Moc w obwodach prądu sinusoidalnie

zmiennego (AC)

• Dla amplitudy zespolonej

_Z

I U ) (α ϕ α +

=

j m j m

e

I

e

U

( )

ϕ ϕ ϕ α α j m m j m m j m j m

e

I

U

UI

I

U

e

I

U

e

I

e

U

UI

zauwazmy

− − −

=

* * * ) ( *

:

(68)

Moc w obwodach prądu sinusoidalnie

zmiennego (AC)

• Moc czynna

_Z I U ) (α ϕ α +

=

j m j m

e

I

e

U

( )

UI

( )

U

I

P

*

Re

*

2

1 Re

2

1 =

=

(69)

Moc w obwodach prądu sinusoidalnie

zmiennego (AC)

• Moc czynna

_Z I U ) (α ϕ α +

=

j m j m

e

I

e

U

( )

UI

( )

U

I

P

*

Re

*

2

1 Re

2

1 =

=

R

U

R

I

P

2 2

|

2

1 |

|

2

1 =

=

(70)

Moc w obwodach o dowolnym

przebiegu prądu

( )

UI

k

( )

U

I

k

P

=

Re

*

=

Re

* Współczynnik kształtu Moc czynna •Zawsze dodatnia

•Wynika z wydzielania mocy na rezystorach

(71)

• Moc bierna [VAR]

• Moc zespolona [VA]

( )

sin

ϕ

2

1 Im

2

1

* m m

I

U

I

U

Q

=

• Moc zespolona [VA]

_*

2

1 I

U

S

=

jQ

P

S

=

+

lub

(72)

• Moc pozorna [VA]

or RMS RMS m m

I

U

I

U

I

U

S

=

2

1

2

1

2 2

Q

P

S

=

+

(73)

(74)

• Współczynnik mocy

• Bezwymiarowy

• Wartość między -1 a 1

• Jeśli jest równy zero to przepływ energii jest całkowicie

reaktancyjny.

• Jeśli jest równy 1 to cała energia ze źródła jest wydzielana na

obciążeniu.

(75)

Dopasowanie

energetyczne/impedancyjne

• W obwodach prądu przemiennego wyróżnia

się dopasowanie energetyczne ze względu na:

– maksymalną moc pozorną

– maksymalną moc czynną

(76)

Dopasowanie impedancyjne

• Dopasowanie na moc czynną

Z_s Z_l s l s l

R

X

R

=

∧

=

−

Z_s * s l

Z

=

Inaczej: s s s l l l

X

R

Z

X

R

Z

+

=

+

=

(77)

Dopasowanie impedancyjne

• Dopasowanie na moc pozorną

Z_s

Z_l

Dopasowanie ze względu na moc pozorną

zachodzi gdy moduły impedancji są równe:

| Z

_s

| = | Z

_l

|,

Z_s s s s l l l

X

R

Z

X

R

Z

+

=

+

=

a obciążenie ma charakter tylko

reaktancyjny

.

(78)

(79)

(80)

(81)

Metoda prądów oczkowych









=









⋅









b a b a N b b b a b N a b a a a

E

I

Z

...

, , , , , ,

























Z

N a

Z

N b

Z

N N

I

N

E

N

...

, , ,

(82)

Metoda prądów oczkowych









=









⋅









E

I

Z

...

, , , , , , Gdzie:

Za,a – wszystkie impedancje (rezystancje i reaktancje w oczku a)

Za,b – wszystkie impedancje w gałęziach między oczkami a i b z uwzględnieniem znaku! Ia – prądy związane z oczkiem a

Ea – źródła prądowe związane z oczkiem a

























Z

N a

Z

N b

Z

N N

I

N

E

N

...

, , ,

(83)

(84)

(85)

Metoda potencjałów węzłowych













=













⋅













−

N b a N b a N N b N a N N b b b a b N a b a a a

J

V

Y

...

, , , , , , , , ,

(86)

Metoda potencjałów węzłowych









=









⋅









−

J

V

Y

...

, , , , , , Gdzie:

Y_a,a – suma admitancji wszystkich gałęzi dochodzących do węzła a

Y_a,b – suma admitancji wszystkich gałęzi pomiędzy węzłami a i b, wszystkie admitancje są ze znakiem minus

V_a– potencjał dla węzła a w odniesieniu do punktu odniesienia

J_a– suma wszystkich źródeł prądowych w gałęziach dochodzących do węzła a