Indukcja i rekurencja

1 Sumy, iloczyny, indukcja i rekurencja

1. W podanych wyra»eniach podstaw warto±ci w miejsce n zgodnie z tabelk¡

Wyra»enie Podstawienie n(n+1)(n+2) 3 n := k + 1 n(n+1)(n+2) n+3 n := n + 2 1 + 2 + 3 + . . . + n n := 3 1 + 2 + 3 + . . . + n n := n + 1 1 + 2 + 3 + . . . + n + (n + 1) n := n + 1 1 1·2 + 1 2·3 + . . . + 1 n·(n+1) n := 3 1 1·2 + 1 2·3 + . . . + 1 n·(n+1) n := n + 1

2. Zapisz bez u»ywania symbolu Σ nast¦puj¡ce sumy: (a) P5 i=1 i2, (b) P4 i=0 (−1)i(i + 1), (c) Pn k=1 (−1)k 1_k, (d) Pn k=1 1 k(k+1), (e) P3 i=1 3 P j=1 aij, (f) P3 i=1 3 P j=1 (−1)i+j_{i · j.}

3. Zapisz przy u»yciu symbolu Σ nast¦puj¡ce sumy: (a) 1 + 2 + . . . + n, (b) 1 − 2 + 3 − 4 + . . . + (−1)n+1_n, (c) 1 · 2 + 2 · 3 + . . . + 100 · 101, (d) 3 12_·22 +₂25_·32 + . . . +_n22n+1_(n+1)2, (e) 1 − 3 + 5 − 7 + . . . + 21 − 23, (f) 12_{· 1}2_{+ 1}2_{· 2}2_{+ 1}2_{· 3}2_{+ 2}2_{· 1}2_{+ 2}2_{· 2}2_{+ 2}2_{· 3}2_{+ 3}2_{· 1}2_{+ 3}2_{· 2}2_{+ 3}2_{· 3}2_.

4. Zapisz bez u»ywania symbolu Π nast¦puj¡ce iloczyny: (a) Qn k=1 k3₋₁ k3₊₁, (b) n+1Q i=0 (i + 1)2, (c) Q3 k=1 3 Q l=1 (k + l).

2 5. Zapisz przy u»yciu symbolu Π nast¦puj¡ce iloczyny:

(a) 1 · 3 · 5 · . . . · (2n − 1),

(b) (11_{· 1!) · (2}2_{· 2!) · . . . · ((k − 1)}k−1_{· (k − 1)!),}

(c) 1 · 1 · 2 · 1 · 3 · 1 · 1 · 2 · 2 · 2 · 3 · 2 · 1 · 3 · 2 · 3 · 3 · 3.

6. Stosuj¡c zasad¦ indukcji, udowodnij, »e dla ka»dej liczby naturalnej n zachodz¡ równo±ci: (a) 1 + 2 + · · · + n = n(n + 1) 2 , (b) Pn i=1 1 i(i + 1) = n n + 1, (c) Pn i=1 i · i! = (n + 1)! − 1, (d) 12_{− 2}2_{+ 3}2_{− 4}2_{+ · · · + (−1)}n−1_n2 _{= (−1)}n−1n(n + 1) 2 , (e) Pn k=1 k2= n(n + 1)(2n + 1) 6 , (f) Pn k=1 k3= n 2_{(n + 1)}2 4 , (g) Pn k=1 k(k + 1) = n(n + 1)(n + 2) 3 , (h) Pn k=1 k · 2k_{= 2 + (n − 1) · 2}n+1_, (i) 1 + 11 + 111 + . . . + 11 . . . 1 | {z } n = 10 n+1_{− 9n − 10} 81 .

7. Dla jakiej warto±ci a ∈ N poni»szy wzór jest prawdziwy dla ka»dego n ∈ N? 2 · 12+ 3 · 22+ · · · + n(n − 1)2+ (n + 1)n2 = n(n + 1)(n + 2)(3n + a)

12 8. Uzasadnij, »e dla ka»dego n ∈ N prawdziwe s¡ nierówno±ci:

(a) 2n_{> n,}

(b) (1 + x)n_{≥ 1 + nx, dla x ∈ R i x > −1 (nierówno±¢ Bernoulli'ego),}

(c) | sin(nx)| ≤ n| sin(x)|, dla x ∈ R, 9. Dla jakich n ∈ N prawdziwe s¡ nierówno±ci:

(a) 2n + 1 < 2n_,

(b) n2_{< 2}n_,

(c) n3_{< 2}n_?

10. Wyka», »e dla dowolnej liczby naturalnej prawdziwe s¡ podzielno±ci: (a) 6 | 13n_{− 7,}

(b) 2 | n2_{+ n,}

3 (d) 6 | n3_{+ 5n,} (e) 7 | 2n+2_{+ 3}2n+1_, (f) 43 | 6n+2_{+ 7}2n+1_, (g) 133 | 11n+2_{+ 12}2n+1_, (h) 25 | 2n+2_{· 3}n_{+ 5n − 4,} (i) 64 | 32n+1_{+ 40n − 67.}

11. Udowodnij nast¦puj¡ce wªasno±ci symbolu Newtona: (a) Pn k=0 n k
= 2 n _{(dla n ≥ 0),} (b) Pn k=0 (−1)k n_k
= 0 (dla n ≥ 1), (c) (x + y)n₌ Pn k=0 n k
xn−kyk (dla n ≥ 0 i x, y ∈ R).

12. Rozpatrzmy ci¡g (an)n≥1 zdeniowany rekurencyjnie w nast¦puj¡cy sposób:



a0 = 2

an+1 = an+ 3

Wyznacz (jawny) wzór na n-ty wyraz tego ci¡gu i uzasadnij go indukcyjnie. 13. Rozpatrzmy ci¡g (an)n≥1 zdeniowany rekurencyjnie w nast¦puj¡cy sposób:



a0 = 1

an+1 = (n + 1)an

Wyznacz (jawny) wzór na n-ty wyraz tego ci¡gu i uzasadnij go indukcyjnie. 14. Rozpatrzmy ci¡g (an)n≥1 zdeniowany rekurencyjnie w nast¦puj¡cy sposób:

   a0 = 2 a1 = 3 an+1 = 3an− 2an−1.

Wyznacz (jawny) wzór na n-ty wyraz tego ci¡gu i uzasadnij go indukcyjnie. 15. Rozpatrzmy ci¡g (an)n≥1 zdeniowany rekurencyjnie w nast¦puj¡cy sposób:

   a0 = 0 a1 = 1 an+2 = an+1+ an

(Ci¡g ten nazywamy ci¡giem Fibonacciego). Uzasadnij, »e jawny wzór na n-ty element tego ci¡gu ma posta¢:

an= 1 √ 5 " 1 +√5 2 !n − 1 − √ 5 2 !n# .

16. Niech X b¦dzie zbiorem n-elementowym. Uzasadnij indukcyjnie, »e liczba wszystkich podzbiorów zbioru X wynosi 2n_.

17. Udowodnij, »e ka»dy n-k¡t mo»na podzieli¢ na n−2 trójk¡ty przy pomocy odcinków, które nie przecinaj¡ si¦ wewn¡trz n-k¡ta.