Zadania z matematyki dyskretnej (zestaw 10)
1. Rozważając liczbę sposobów wybrania delegacji z jej przewodniczącym spośród n osób, zinterpretuj poniższy wzór.
n
X
k=1
kn k
= n2n−1
2. Zinterpretuj w terminach zbiorów poniższe wzory.
m + n k
=
k
X
l=0
m l
n k − l
n
k
k m
= n m
n − m n − k
3. Udowodnij i zinterpretuj poniższe wzory:
n
X
k=0
k m
= n + 1 m + 1
n
k
= n k
n − 1 k − 1
4. Zinterpretuj poniższy wzór.
n
X
k=0
n k
2
=2n n
5. Negując górny indeks oblicz −1k.
6. Proszę obliczyć P
k(−1)k n k
, a następnie wykorzystać ten wynik do udowod- nienia reguły odwracania:
g(n) =X
k
(−1)k n k
f (k) ⇐⇒ f (n) =X
k
(−1)k n k
g(k)
Wskazówka: zapisać (1 + z)n jako odpowiednią sumę ze współczynikami dwumi- anowymi.
7. Udowodnij, że liczba nieporządków n elementów wynosi bn!e −12c.
8. Udowodnij wzory dwumianowe dla potęg kroczących, n ≥ 0.
(x + y)n=X
k
n k
xkyn−k (x + y)n =X
k
n k
xkyn−k
9. Liczby n k
oznaczają ilość sposobów podziału zbioru n-elemntowego na k nie- pustych podzbiorów (podzbiorowe liczby Stirlinga). Proszę pokazać, że spełniają one następującą rekurencję:
n k
= k n − 1 k
+ n − 1 k − 1
10. Liczby n k
oznaczają ilość sposobów rozmieszczenia n obiektów w k niepustych cyklach (cykliczne liczby Stirlinga). Proszę pokazać, że spełniają one następującą rekurencję:
n k
= (n − 1) n − 1 k
+ n − 1 k − 1
11. Proszę udowodnić, że (a)
xn =X
k
n k
xk, dla całkowitych n ≥ 0
(b)
xn =X
k
n k
xk, dla całkowitych n ≥ 0
Wskazówka: skorzystać z rekurencji dla liczb Stirlinga.
12. Proszę udowodnić, że (a)
xn=X
k
n k
(−1)n−kxk, dla całkowitych n ≥ 0
(b)
xn=X
k
n k
(−1)n−kxk, dla całkowitych n ≥ 0
Wskazówka: zastosować tożsamość xn = (−1)n(−x)n.
