GEOMETRIA R ´ OZNICZKOWA DLA POCZA ¸ KUJA ¸ CYCH
Kilka dodatkowych rozwi¸ aza´ n J. de Lucas
Dana rozmaito´s´ c N , czyli zbi´ or punkt´ ow, kt´ ory lokalnie wyglada jak R
n, mo˙zemy zdefiniowa´ c dla ka˙zdego punktu p ∈ N przestrze´ n styczn¸ a T
pN . Przestrze´ n styczna to przestrze´ n liniowa wszystkich pochodnych kierunkowych w punkcie p. Mo˙zemy zain- terpretowa´ c ka˙zda pochodna kierunkowa jako wektor. Wi¸ azk¸ a styczn¸ a do N jest zbi´ or wszystkich przestrze´ n stycznych do N .
Wi¸ azka styczna pozwala nam powiedzie´ c, ˙ze jakas pochodna, np.
D = x ∂
∂x − y ∂
∂x
to odwzorowanie D : R
2→ TR
2. W la´snie, dla ka˙zdego punktu p ∈ R
2, np. dla p = (1, 1), mamy jedn¸ a pochodn¸ a kierunkow¸ a, np.
D = ∂
∂x − ∂
∂x .
Ponadto, dla ka˙zdego punktu rozmaito´sci N mamy przestrze´ n dualn¸ a do T
pN , tzn T
p∗N . M´ owimy, ˙ze ta przestrze´ n to przestrze´ n kostyczna do p. Przestrze´ n wszystkich przestrzeni kostycznych, to wi¸ azek kostyczny T
∗N do N . Kazda r´ o˙zniczka to odw- zorowanie df : p ∈ N 7→ df
p∈ T
∗N , czyli dla ka˙zdego punktu, df
pto funkcja liniowa.
Cwiczenie 1. Oblicz r´ ´ o˙zniczki funkcji
f (x, y, z) = xyz + x
2+ y
2+ z
2, f (x, y, z) = x
2y
z− zy − sin z, f (x, y, z) = x
2+ y
2. i oblicz jej wartos´ ci, (df )
p∈ T
p∗R
3w punkcie p = (1, 2, 4). Dany pochodne kierunkowe
D
p= ∂
∂x + 2 ∂
∂y + 3 ∂
∂z ∈ T
pR
3,
oblicz (df )
p(D
p) dla i = 1, 2, 3. Pami¸etaj¸ ac, ˙ze dx
i(∂/∂x
j) = δ
ij, sprawd´ z, ˙ze (D
pf )(p) = (df )
p(D
p).
Kr´ otko m´ owi¸ ac, r´ ozniczka pozwala nam obliczy´ c pochodne kierunkowe funkcji r´ o˙zniczkowalnej.
Cwiczenie 2. Oblicz r´ ´ o˙zniczka funkcji f : (x
1, . . . , x
n) ∈ R
n7→ f (x
1, . . . , x
n) ∈ R.
1
GEOMETRIA R ´ OZNICZKOWA DLA POCZA ¸ KUJA ¸ CYCH
Cwiczenie 3. Oblicz r´ ´ o˙zniczki funkcji
f (x, y, z) = xyz + x
2+ y
2+ z
2, f (x, y, z) = x
2y
z− zy − sin z, f (x, y) = x
2+ y
2. i oblicz jej wartos´ ci w punktach (2, 3, 4), (1, 2, 1) i (2, 3, 4).
Cwiczenie 4. Oblicz r´ ´ o˙zniczk¸e zewn¸etrzn¸ a formy
ω
1= (x
2y + x)dx + xyzdy + z
2ydz ω
2= (x
2y
z− zy)dz − sin zdx, ω
3= (x
2+ y
2) ω
4= sin(x
2z)dx ∧ dy + 2xydx ∧ dy − dz ∧ dz, ω
5= 1
px
2+ y
2(xzdx + yzdy − (x
2+ y
2)dz) ω
6= (x
2y + x)dx ∧ dy + xyzdy ∧ dz + z
2ydz ∧ dx ω
7= (x
2y
z− zy − sin z)dx ∧ dy.
Rozwi¸ azanie: Mamy, ˙ze
dω
1= d(x
2y + x) ∧ dx + d(xyz) ∧ dy + d(z
2y) ∧ dz.
Skoro
d(x
2y +x) = 2xydx+x
2dy +dx, d(xyz) = yzdx+yxdz +xzdy, d(z
2y) = 2zydz +z
2dy, to
dω
1= (2xydx + x
2dy + dx) ∧ dx + (yzdx + yxdz + xzdy) ∧ dy + (2zydz + z
2dy) ∧ dz.
Przypominamy, ˙ze dx ∧ dx = dy ∧ dy = dz ∧ dz = 0. Wi¸ec,
dω
1= x
2dy ∧ dx + (yzdx + yxdz) ∧ dy + z
2dy ∧ dz.
Te˙z musimy zauwa˙zy´ c ˙ze dx ∧ dy = −dy ∧ dx, dx ∧ dz = −dz ∧ dy, dy ∧ dz = −dy ∧ dz.
Z tego wynika, ˙ze
dω
1= (z
2− yx)dy ∧ dz + (zy − x
2)dx ∧ dy.
Warto pami¸eta´ c, ˙ze ddω
1= 0, wi¸ec, je˙zeli nie wida´ c tego z poprzednego wyniku, to cos jest nie tak...
2
GEOMETRIA R ´ OZNICZKOWA DLA POCZA ¸ KUJA ¸ CYCH
Warto zauwa˙zy´ c, ˙ze je˙zeli mamy pole wektorowe
F = (x
2y + x)i + xyzj + z
2yk,
kt´ ory ma takie wsp´ olczynniki jak ω
1, w szczeg´ olno´sci i ↔ dx, j ↔ dy, k ↔ dz, to jego rotacja jest
∇ × F =
i j k
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
