Zadania domowe

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna – Łódź, 2019/2020 Zadania do pracy samodzielnej.

Prawdopodobieństwo.

1. Kupując los loterii można wygrać nagrodę główną, którą jest zestaw płyt kompaktowych lub jedną z 10 nagród książkowych. Przy zakupie jednego losu prawdopodobieństwo wygrania nagrody książkowej jest równe 1/7. Oblicz, ile losów jest pustych.

2. W klasie jest 10 dziewczyn. Losujemy z tej klasy ucznia. Prawdopodobieństwo, że będzie to chłopiec, jest równe 2/3. Ilu chłopców jest w tej klasie?

3. W pojemniku są kule białe i czarne. Prawdopodobieństwo wylosowania z pojemnika jednej kuli białej jest równe 3/7. Jeżeli dołożysz jedną kulę białą, prawdopodobieństwo wzrośnie do ½. Ile kul białych, a ile czarnych jest w pojemniku?

4. Grupa studencka składa się z 30 osób. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że żadnych dwóch studentów nie obchodzi urodzin tego samego dnia. (Liczba dni w roku 365). [sygn. AP&EP 14]

5. Po zarejestrowaniu impulsu układ pomiarowy nie jest w stanie zarejestrować następnego impulsu przed upływem czasu t (tzw. czas martwy detektora). Każdy z dwóch impulsów może dotrzeć do układu w dowolnej chwili w ciągu czasu T > t. Jakie jest

prawdopodobieństwo zarejestrowania przez układ dwóch impulsów w czasie T? [sygn. JLK 3]

Prawdopodobieństwo warunkowe.

6. Obliczyć prawdopodobieństwo p tego, że przypadkowo wybrany element jest I gatunku, jeśli wiadomo, że 5% całej produkcji stanowią braki, a 70% niewybrakowanych elementów jest I gatunku.

[sygn. AP&EP 30]

7. Obliczyć niezawodność układu złożonego z trzech połączonych a) równolegle b)

szeregowo przekaźników przy założeniu, że przekaźniki działają niezależnie i niezawodność każdego z nich jest p.

[sygn. AP&EP 37]

8. W partii 200 układów scalonych jest 8 sztuk wadliwych. Losujemy 3 sztuki. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że wszystkie trzy układy są wadliwe?

[sygn. AP&EP 48]

9. Na loterii jest 100 losów, z których 5 wygrywa. Jakie jest prawdopodobieństwo p, że wśród trzech kupionych losów

a) dokładnie jeden jest wygrany; b) przynajmniej jeden jest wygrany. [sygn. AP&EP 50]

Prawdopodobieństwo całkowite, wzór Bayesa.

10. Wiadomo, że 5% studentów (1 grupa) umie odpowiedzieć na wszystkie pytania

egzaminacyjne, 30% (2 grupa) umie odpowiedzieć na 70% pytań egzaminacyjnych, 40% (3 grupa) umie odpowiedzieć na 60% pytań egzaminacyjnych, 25% (4 grupa) ) umie

odpowiedzieć tylko na 50% pytań egzaminacyjnych. Wybrano w sposób przypadkowy studenta. Obliczyć:

a) prawdopodobieństwo tego, że odpowie on na zadane pytanie;

b) prawdopodobieństwo warunkowe tego, że należy do grupy 2-giej, jeżeli stwierdzono że odpowiedział poprawnie na zadane pytanie.

[sygn. AP&EP 51]

11. Przyrząd może składać się z dwóch rodzajów elementów: wysokiej jakości i średniej jakości. Około 30% przyrządów składa się z elementów wysokiej jakości. Jeśli przyrząd składa się z elementów wysokiej jakości, to jego niezawodność w okresie czasu t jest 0,95, jeśli z elementów średniej jakości, o 0,6. Wybrany przyrząd działał poprawnie w okresie czasu t. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że składał się on z elementów wysokiej jakości? [sygn. AP&EP 52]

12. Fabryka produkuje śruby na trzech maszynach A1, A2, A3, których produkcja wynosi odpowiednio 25%, 35%, 40% całej produkcji. Maszyny dają odpowiednio 5%, 4% i 2% braków. W sposób przypadkowy wybrano śrubę. Obliczyć:

a) prawdopodobieństwo tego, że wyprodukowała ją maszyna A1; b) prawdopodobieństwo tego, że jest ona brakiem;

c) prawdopodobieństwo tego, że nie jest ona brakiem;

d) prawdopodobieństwo warunkowe tego, że wyprodukowała ją maszyna A1, jeśli stwierdzono, że jest ona brakiem.