Rachunek prawdopodobieństwa (2mef, lato 2012/2013)
2. Prawdopodobieństwo klasyczne - zadania na ćwiczenia
Ćw. 2.1 Niech A, B, C b¸ed¸a zdarzeniami. Zapisz w j¸ezyku teoriomnogościowym:
a) zachodzi zdarzenie A lub B ale nie C,
b) zachodzi dokładnie jedno ze zdarzeń A lub B, c) nie zachodzi żadne ze zdarzeń.
Ćw. 2.2 Rzucamy par¸a kostek sześciennych. Niech A i B b¸ed¸a zdarzeniami takimi, że:
A - iloczyn oczek na kostkach jest równy 12, B - przynajmniej na jednej kostce wypadła nieparzysta liczba oczek. Opisz przestrzeń zdarzeń elementarnych oraz zdarzenia: A ∩ B, A ∪ B, B \ A.
Ćw. 2.3 W grupie studentów wybieramy losowo jedn¸a osob¸e. Niech zdarzenia A, B, C b¸ed¸a takie, że: A - wybrana osoba jest m¸eżczyzn¸a, B - osoba nie ma oceny bdb z egzaminu w danym roku akademickim, C - osoba dojeżdża na wydział środkami komunikacji miejskiej. Wyjaśnij zdarzenia: Ac∩ Bc, A ∩ B ∩ Cc, A ∪ Bc.
Ćw. 2.4 Wiadomo, że: P (A0) = 13, P (A ∩ B) = 14, P (A ∪ B) = 23. Ile wynosi: P (B0), P (A ∩ B0), P (B \ A)?
Ćw. 2.5 Wykonujemy trzy rzuty monet¸a. Jakie jest prawdopodobieństwo, że otrzy- mamy:
a) dokładnie dwie reszki, b) co najwyżej dwie reszki?
Ćw. 2.6 W każdej z czterech urn s¸a po cztery kule białe, czarne, czerwone i niebie- skie. Losujemy z każdej urny po jednej kuli. Jakie jest prawdopodobieństwo, że otrzymamy co najmniej jedn¸a kul¸e czerwon¸a?
Ćw. 2.7 Na balu karnawałowym bawi si¸e 15 par. Do jednego z konkursów wylosowano 5 osób. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród nich jest co najmniej jedna para?
Ćw. 2.8 Dziesi¸eciu podróżnych, w tym czterech m¸eżczyzn, wsiada losowo do ośmiu wa- gonów. Jakie jest prawdopodobieństwo, że m¸eżczyźni wsi¸ad¸a do różnych wagonów o parzystych numerach, zaś kobiety do wagonów o numerach nieparzystych?
Ćw. 2.9 Brydż: rozdajemy tali¸e kart (52 szt.) na czterech graczy. Jakie jest prawdopo- dobieństwo, że
a) rozdaj¸acy otrzyma cały kolor,
b) rozdaj¸acy b¸edzie miał co najmniej jednego asa?
Ćw. 2.10 Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród pi¸eciu losowo wybranych osób nie ma dwóch osób spod tego samego znaku zodiaku?
Ćw. 2.11 Każdy z n patyków przełamano na dwie cz¸eści: dług¸a i krótk¸a. Otrzymano w ten sposób 2n kawałków; poł¸aczono je losowo w pary, z których każda tworzy nowy
"patyk". Obliczyć prawdopodobieństwo, że:
a) wszystkie kawałki zostały poł¸aczone w pierwotnym układzie;
b) wszystkie długie kawałki zostały poł¸aczone z krótkimi.
1
Rachunek prawdopodobieństwa (2mef, lato 2012/2013)
Ćw. 2.12 Rozmieszczamy 15 kul w 10-ciu ponumerowanych szufladach. Jakie jest praw- dopodobieństwo, że w każdej szufladzie o numerze nieparzystym znajdzie si¸e do- kładnie jedna kula, zaś w każdej szufladzie o numerze parzystym dokładnie dwie kule?
Ćw. 2.13 W urnie jest n kul o numerach od 1 do n. Losujemy po jednej kuli bez zwra- cania. Obliczyć prawdopodobieństwo, że w co najmniej jednym losowaniu numer kuli pokryje si¸e z numerem losowania.
2
Rachunek prawdopodobieństwa (2mef, lato 2012/2013)
2. Prawdopodobieństwo klasyczne - zadania domowe
Zad. 2.1 Wiadomo, że P (A0T B0) = 12, P (A0) = 23, P (AT B) = 14. Ile wynosi P (B) oraz P (A0T B)?
Zad. 2.2 Cyfry 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ustawiamy w losowej kolejności. Jakie jest praw- dopodobieństwo, że w tak otrzymanym ci¸agu liczb pojawi si¸e podci¸ag 1983? Opisać przestrzeń zdarzeń elementarnych i zbiór zdarzeń elementarnych sprzyjaj¸acych roz- ważanemu zdarzeniu.
Zad. 2.3 Z 20-osobowej grupy składaj¸acej si¸e z 10 kobiet i 10 m¸eżczyzn wybrano losowo 5 osób. Znaleźć prawdopodobieństwo, że wśród wybranych osób jest dokładnie 2 m¸eżczyzn.
Zad. 2.4 W urnie s¸a 2 białe i 4 czarne kule. Wyjmujemy je z urny jedn¸a po drugiej.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że ostatnia wyj¸eta kula b¸edzie czarna?
Zad. 2.5 W windzie znajduje si¸e 5 kobiet i 5 m¸eżczyzn. Winda rusza z parteru i zatrzy- muje si¸e na 10 pi¸etrach budynku. Zakładaj¸ac, że pasażerowie wysiadaj¸a na losowo wybranych pi¸etrach, obliczyć prawdopodobieństwo, że wszyscy m¸eżczyźni wysi¸ad¸a na pi¸etrach o numerach parzystych, a każda z kobiet na innym pi¸etrze o numerze nieparzystym.
Zad. 2.6 Na płaszczyźnie dany jest n-k¸at foremny o boku 2. Losujemy (bez zwraca- nia) dwa jego wierzchołki. Jakie jest prawdopodobieństwo, że s¸a one w odległości wi¸ekszej niż 2?
Zad. 2.7 W szafie jest 10 par butów. Pobieramy losowo 4 buty. Obliczyć prawdopodo- bieństwo, że wylosujemy co najmniej jedn¸a par¸e.
Zad. 2.8 Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród czterech losowo wybranych osób ist- niej¸a conajmniej dwie urodzone w tym samym dniu tygodnia?
Zad. 2.9 Rozmieszczono w sposób losowy 10 identycznych kul w pi¸eciu szufladach. Obli- czyć prawdopodobieństwo, że w ostatniej szufladzie znajd¸a si¸e 4 kule.
Zad. 2.10 Z talii 52 kart losujemy jedn¸a. Oblicz prawdopodobieństwo, że karta ta b¸edzie pikiem, siódemk¸a lub figur¸a dowolnego koloru.
Zad. 2.11 Na polowanie udało si¸e 5 myśliwych. Nagle ukazało si¸e stado 6 kaczek. Każdy z myśliwych szybko wycelował w jedn¸a kaczk¸e i oddał strzał. Przyjmijmy, że my- śliwi s¸a znakomitymi strzelcami, a wi¸ec strzał każdego z nich był celny. Załóżmy także, że śrut ze strzelby myśliwego trafia tylko do jednej kaczki oraz że kaczka zostaje upolowana wtw. gdy trafił do niej co najmniej jeden z myśliwych. Obliczyć prawdopodobieństwa zdarzeń: A - każdy trafi w inn¸a kaczk¸e, B- wszyscy strzel¸a do kaczki numer 3, C- polowanie przeżyj¸a dokładnie 2 kaczki.
3
