LINIOWYCH UKŁADÓW AUTOMATYKI
Przy analizie elementów układów automatyki spotyka się elementy o różnej naturze fizycznej (elementy elektryczne, mechaniczne, pneumatyczne, hydrauliczne, itp.), ale są one opisane takimi samymi typami równań różniczkowych lub algebraicznych. Takie elementy nazywa się członami automatyki. Jeżeli opis matematyczny takiego członu jest na tyle prosty, że nie można lub nie ma potrzeby przedstawiać go w postaci prostszej, to takie człony nazywamy członami podstawowymi. Wprowadzenie członów podstawowych znacznie ułatwia analizę bądź syntezę układów automatyki, bez względu na ich naturę fizyczną. Opis matematyczny takich członów sprowadza się bowiem do kilku typów prostych równań (algorytmów działania członów).
W dalszej kolejności zostaną omówione poszczególne rodzaje podstawowych członów automatyki z podaniem ich równań czasowych, transmitancji, i charakterystyk czasowych w odpowiedzi na skok jednostkowy (wymuszenie stałe u(t) =1(t)).
I. Człon proporcjonalny
Równanie dynamiki członu ma następującą postać: ) ( ) (t ku t
y = , (I.1)
gdzie k jest współczynnikiem wzmocnienia (proporcjonalności). Transmitancja operatorowa wyraża się zależnością:
k s
K( )= . (I.2)
Równanie statyki (dla stanów ustalonych - wszystkie pochodne przyjmujemy jako zero) ma postać: kU Y = (I.3) Y α = arctgk U Rys. I.1. Charakterystyka statyczna członu proporcjonalnego
Odpowiedź skokowa dla wymuszenia u(t) = 1(t) wyraża się wzorem: k t h( )= . (I.4) h(t) k1(t) k t Rys. I.2. Odpowiedź skokowa członu proporcjonalnego
Przykłady członów proporcjonalnych to między innymi dźwignia dwuramienna (rys. I.3).
F1 F
2
l1 l2
Rys. I.3. Człon proporcjonalny – dźwignia dwuramienna
Zależność pomiędzy siłami oddziałującymi na końcach pręta, wyznaczona z równania momentów, ma postać: 1 2 1 2 F l l F = , (I.4)
gdzie l1, l2 – ramiona dźwigni.
Transmitancja operatorowa tego członu, określona jako stosunek transformaty siły F2 do
transformaty siły F1: k s K( )= , (I.5) gdzie 2 1 l l k= .
II. Człon inercyjny pierwszego rz
ędu
Równanie dynamiki członu inercyjnego pierwszego rzędu: ku
y dt dy
T + = , (II.1)
gdzie: k – współczynnik wzmocnienia, T – stała czasowa.
Równanie dynamiki w postaci operatorowej ma postać: ) ( ) 1 )( (s Ts kU s Y + = , (II.2)
czyli ) ( 1 ) ( U s Ts k s Y + = . (II.3)
Transmitancja operatorowa opisana jest wzorem: K(s) = 1 + Ts k . (II.4) Równanie statyki: kU Y = . (II.5)
Charakterystyka statyczna jest analogiczna, jak dla członu proporcjonalnego (rys. I.1). W celu uzyskania odpowiedzi skokowej wstawiamy do równania (II.4) zależność U(s)=1/s:
) 1 ( ) ( T s Ts k s Y + = . (II.6)
Odpowiedź skokową członu inercyjnego pierwszego rzędu otrzymujemy korzystając z odwrotnego przekształcenia Laplace’a h(t)=L-1[Y(s)]:
) 1 ( ) ( T t e k t h = − − . (II.7)
Charakterystykę skokową członu inercyjnego pierwszego rzędu pokazano na rys. 3.7. h(t) T t 0 ,6 3 k k
Rys. II.1. Charakterystyka skokowa członu inercyjnego pierwszego rzędu Wstawiając do równania (II.7) t=T otrzymujemy:
k
yT =0,632 . (II.8)
Stała czasowa T określa czas dochodzenia do nowego stanu ustalonego po zakłóceniu spowodowanym sygnałem skokowym. W praktyce przyjmuje się, że następuje to po około pięciu stałych czasowych T. Graficzny sposób wyznaczania wartości stałej czasowej T, polega na wykreśleniu stycznej do krzywej, przechodzącej przez początek układu i odczytaniu odcinka, jaki ta styczna wyznacza na poziomie stanu ustalonego k (rys. II.1).
Rys. II.2. Charakterystyka skokowa członu inercyjnego pierwszego rzędu (T=var)
Na rys. II.2 przedstawiono odpowiedzi na skok jednostkowy członu inercyjnego I-rzędu dla trzech różnych stałych czasowych: T1=0,1; T2=1; T3=5.
Przykładem inercyjnego członu pierwszego rzędu jest silnik obcowzbudny prądu stałego. Na rys. II.3 przedstawiono uproszczony schemat silnika obcowzbudnego prądu stałego. W układzie tym sterujemy prędkością kątowa w(t) za pomocą napięcia twornika U(t). Zależność wiążącą te wielkości można wyznaczyć korzystając z równań, opisujących obwód elektryczny i mechaniczny maszyny.
Uw=const ω U i e R J φ
U e
R
i
Rys. II.4. Schemat obwodu elektrycznego twornika
Na rys. II.4 przedstawiono schemat obwodu elektrycznego twornika, uwzględniający oporność R twornika oraz siłę elektromotoryczną indukcji e. Siła elektromotoryczna jest równa:
ϕω
c
e= , (II.9)
gdzie: c – stała konstrukcyjna maszyny, φ – strumień wzbudzenia,
ω – prędkość obrotowa silnika.
Ponieważ napięcie Uw w obwodzie wzbudzenia jest stałe, stały jest także strumień wzbudzenia φ. Możemy zatem napisać:
ω
e k
e= , (II.10)
gdzie ke – stała elektromechaniczna maszyny.
Stosując drugie prawo Kirchhoffa do obwodu twornika otrzymujemy równanie:
e=keω =U −iR. (II.11)
Równanie równowagi momentów na wale silnika ma postać:
o e M M dt d J ω = − , (II.12)
gdzie: J – całkowity moment bezwładności, Me – moment elektromagnetyczny silnika,
Mo – moment obciążenia.
Zachodzi także zależność (II.13):
Me =cmφi =k im , (II.13)
gdzie km – stała mechaniczna.
Wobec tego podstawiając do równania (II.12) zależności (II.11) i (II.13), otrzymujemy równanie dynamiki silnika:
o m e e e m M k k R U k dt d k k JR ω +ω = 1 − (II.14)
oraz o o uU k M k dt d T ω + ω = − , (II.15) gdzie: e mk k JR
T = - stała czasowa obiektu, k k u e = 1 ; m e o k k R k = – wzmocnienia statyczne.
III. Człon oscylacyjny
Równanie dynamiki członu oscylacyjnego ma postać:
u k y dt dy dt y d n n n 2 2 2 2 2ξω +ω = ω + , (III.1)
gdzie: k – współczynnik wzmocnienia, n
ω – współczynnik drgań nietłumionych (pulsacja drgań nietłumionych), ξ – współczynnik tłumienia.
Postać operatorowa powyższych równań:
) ( 2 ) ( 2 2 2 s U s s k s Y n n n ω ξω ω + + = . (III.2)
Transmitancja operatorowa przedstawia się następująco:
2 2 2 2 ) ( n n n s s k s K ω ξω ω + + = . (III.3)
Równanie w mianowniku transmitancji operatorowej (III.3) jest wielomianem drugiego rzędu i w zależności od wyróżnika ∆ może mieć różne pierwiastki. Dla układu oscylacyjnego zachodzi warunek ∆<0. 0 2 2 2 + + = n ns s ξω ω , (III.4) ) 1 ( 4 4 4 2 2 − 2 = 2 2 − = ∆ ξ ωn ωn ωn ξ . (III.5)
Aby wyróżnik powyższych równań był mniejszy od zera, współczynnik tłumienia musi spełniać zależność 0 < ξ < 1 (ograniczenie dolne związane jest z warunkiem stabilności). Wtedy, na przykład równanie (3.73), ma dwa pierwiastki sprzężone:
) 1 ( 2 1 =−ω ξ− j −ξ s n , (III.6) ) 1 ( 2 2 =−ω ξ+ j −ξ s n .
)) 1 ( ))( 1 ( ( ) ( 2 2 2 ξ ξ ω ξ ξ ω ω − + + − − + = j s j s k s K n n n . (III.7)
Równanie statyki członu oscylacyjnego, tak jak dla wcześniej omawianych przypadków, ma postać:
kU
Y = . (III.8)
Charakterystyka statyczna jest analogiczna, jak dla układu proporcjonalnego ( rys. I.1).
W celu uzyskania odpowiedzi skokowej, należy skorzystać z odwrotnego przekształcenia Laplace’a, wyznaczając wyrażenie:
L-1 = )] ( [Y s L-1 1] 2 [ 2 2 2 s s s k n n n ω ξω ω + + . (III.9)
Odpowiedź skokowa członu oscylacyjnego h(t)=L-1[Y(s)] ma postać: )] sin( 1 1 1 [ ) ( 2 ω ϕ ξ ξω + − − =k e− t t h nt w , (III.10)
gdzie ωw =ωn 1−ξ2 pulsacja drgań własnych.
Charakterystykę skokową członu oscylacyjnego przedstawiono na rys. III.1.
h(t) e−ξωnt k Tt t a b
Rys. III.1. Charakterystyka skokowa członu oscylacyjnego
Parametry k, wn, x można wyznaczyć korzystając z właściwości charakterystyki skokowej
członu oscylacyjnego (III.10).
Współczynnik wzmocnienia k można wyznaczyć na podstawie charakterystyki skokowej dla wartości ustalonej h(t), czyli:
k t h t−>∞ ( )=
Przyjmując za Tt czas (rys. III.1) pomiędzy dwoma kolejnymi maksimami (Tt=tb- ta) oraz
wyznaczając wartości funkcji dla czasów ta oraz tb, otrzymujemy następujące zależności:
)] 1 sin( 1 1 1 [ ) ( 2 2 ω ξ ϕ ξ ξω − + − − = − a n t a k e t t h na , (III.12) )] 1 sin( 1 1 1 [ ) ( 2 2 ω ξ ϕ ξ ξω − + − − = − b n t b k e t t h nb , (III.13) t n a b n b n a n T t t t t b a e e e e b a k t h k t h ξω ξω ξω ξω = = = = − − − − − ) ( ) ( ) ( . (III.14)
Ponieważ dla funkcji sinusoidalnej zachodzi zależność: π ξ ω ωwTt = n 1− 2Tt =2 , (III.15) czyli t n T 2 1 2 ξ π ω − = . (III.16)
Podstawiając zależność (III.16) do wyrażenia (III.14) otrzymujemy:
2 1 2 ) ln( ξ π ξ ξω − = = nTt b a , (III.17) stąd ) ( ln 4 ) ln( 2 2 b a b a + = π ξ . (III.18)
Tak więc dokonując pomiarów a, b, Tt na charakterystyce skokowej, otrzymanej np. na drodze doświadczalnej, można wyznaczyć parametry ξ i wn, czyli zidentyfikować parametry modelu obiektu.
Rys. III.2. Charakterystyka skokowa członu oscylacyjnego (ξ =var)
Na rys. III.2 przedstawiono odpowiedzi układu oscylacyjnego dla trzech różnych wartości parametru ξ : ξ 1=0,125; ξ 2=0,5; ξ 3=0,85.
Rys. III.3. Charakterystyka skokowa członu oscylacyjnego (ω =var)n
Na rys. III.3 przedstawiono odpowiedzi układu oscylacyjnego dla trzech różnych wartości parametru ω : n ω =2; n1 ω =4; n2 ω =8. n3
Przykładem członu oscylacyjnego jest układ elektryczny RLC (rys. III.3). W układzie tym sygnałem wejściowym jest napięcie uwe, natomiast sygnałem wyjściowym
napięcie na kondensatorze uwy.
R L
C
uwe uwy
Rys. III.4. Człon oscylacyjny – układ elektryczny RLC
Równanie różniczkowe, opisujące układ, wyznaczamy z drugiego prawa Kirchhoffa, uwzględniając zależność pomiędzy prądem i napięciem na kondensatorze:
we wy u u dt di L Ri+ + = , (III.19) dt du C i= wy , (III.20) zatem we wy wy wy u u dt du RC dt u d LC 2 + + = 2 . (III.21)
Transmitancja operatorowa układu ma postać:
2 n n 2 2 n 2 we wy s 2 s ) LC 1 s L R s ( LC 1 U U ) s ( K ω ξ ωω + + = + + = = , (III.22) gdzie: LC 1 n = ω , L C R 2 = ξ .
Rozpatrywany czwórnik RLC jest członem oscylacyjnym jeżeli ξ<1, czyli
C L R<2 .
IV. Człon całkuj
ący
Równanie dynamiki członu całkującego:
∫
= t d u k t y 0 ) ( ) ( τ τ . (IV.1)Zapisując powyższe równanie w postaci operatorowej: ) ( ) ( U s s k s Y = . (IV.2)
Transmitancja operatorowa członu wynosi:
s k s
K( )= , (IV.3)
a równanie statyki członu ma postać:
U = 0. (IV.4)
Na podstawie wyrażenia (y limsY(s)
s
u = −>∞ ) możemy stwierdzić, że wzmocnienie członu całkującego w stanie ustalonym przyjmuje (dla wymuszenia stałego) wartość równą nieskończoności:
∞ = u u u y . (IV.5)
Oznacza to, że dla zerowego sygnału wejściowego sygnał na wyjściu może przyjmować dowolną stałą wartość.
Odpowiedź skokową członu całkującego wyznaczamy dokonując transformacji Laplace’a równania (IV.1): s s k s Y ( ) = 1 , (IV.6)
a następnie wyznaczając oryginał równania (IV.6): kt t
h( )= . (IV.7)
Charakterystyka skokowa członu przedstawiona jest na rys. IV.1. h(t)
kt
t Rys. IV.1. Charakterystyka skokowa członu całkującego
Przykładem członu całkującego jest zbiornik z wodą (rys. IV.1). Wysokość zbiornika h jest wielkością wyjściową, natomiast przepływ Q wielkością wejściową.
Q
A h
Rys. 4.2. Człon całkujący - zbiornik z cieczą
Zakładając, że lustro wody ma pole powierzchni A, wysokość zbiornika można określić z zależności:
∫
= t Qdt A h 0 1 . (IV.8)Transmitancja operatorowa układu ma postać:
s k As s Q s H s K = = 1 = ) ( ) ( ) ( , (IV.9) gdzie A k= 1 .
V. Człon ró
żniczkujący rzeczywisty
Równanie dynamiki rzeczywistego członu różniczkującego ma postać:
dt du k y dt dy T + = , (V.1) W postaci operatorowej: ) ( ) ( ) 1 (Ts+ Y s =ksU s , (V.2) skąd otrzymujemy: ) ( 1 ) ( U s Ts ks s Y + = . (V.3)
Transmitancja operatorowa rzeczywistego członu różniczkującego:
1 ) ( + = Ts ks s K . (V.4)
Równanie statyki członu różniczkującego rzeczywistego: 0
=
Y . (V.5)
Odpowiedź skokową członu wyznaczamy przekształcając równanie (V.3): + = T s T k s Y 1 1 ) ( (V.6) i wyznaczając oryginał h(t)=L-1[Y(s)]: T t e T k t h( )= − . (V.7)
Charakterystykę skokową rzeczywistego członu różniczkującego przedstawiono na rys. V.1.
h(t) k/T t 0, 368k/ T T
Rys. V.1. Charakterystyka skokowa rzeczywistego członu różniczkującego
Rys. V.2. Charakterystyka skokowa członu różniczkującego rzeczywistego (T=var)
Na rys. V.2 przedstawiono odpowiedzi układu różniczkującego dla trzech różnych stałych czasowych: T1=0,1; T2=0,5; T3=1.
Przykładem rzeczywistego członu różniczkującego jest czwórnik CR (rys. V.2), gdzie wielkością wyjściową jest napięcie na rezystancji uwy, natomiast wielkością wejściową napięcie zasilania uwe. Równania opisujące układ są następujące:
. , 1 R u i u idt C u wy wy t we = + =
∫
(V.8)Po prostych przekształceniach i zróżniczkowaniu pierwszego równania otrzymujemy:
dt du CR u dt du CR we wy wy = + . (V.9) R uwe C uwy i
Rys. V.3. Człon różniczkujący rzeczywisty – czwórnik CR
Transmitancja operatorowa: 1 ) ( ) ( ) ( + = = Ts ks s U s U s K we wy , (V.10) gdzie: k=RC, RC T = .
