Równanie Schroedingera zale˙zne od czasu
21 pa´zdziernika 2020
1
Elektron (masa m = 0.067m0jak poprzednio) uwi˛eziony jest w potencjale oscylatora harmo-nicznego V (x) = mω22x2. Operator energii H = −2mh¯2 ∂x∂22+V (x). Energia oscylatora ¯hω = 10 meV.
Do rozwi ˛azania problemu ewolucji funkcji falowej wewn ˛atrz potencjału i¯h∂Ψ(x,t)∂t = HΨ(x, t), wykorzystamy metod ˛a Askara Ψ(x, t + dt) = Ψ(x, t − dt) +2dti¯hHΨ(x, t). Drug ˛a pochodn ˛a zast ˛apimy ilorazem ró˙znicowym, jak poprzednio.
2
Pracujemy w pudle x ∈ [−100, 100] nm, na 101 punktach. Na ostatnim i pierwszym trzymamy warunek brzegowy Ψ(±100nm, t) = 0. Interesuje nas przedział czasowy t ∈ [0, 10T ], gdzie
T = 2π
ω. Liczymy z krokiem czasowy dt = 2 [w jednostkach atomowych]. Jednostka atomowa
czasu: 2.42 × 10−5ps.
Wstawiamy jako warunek pocz ˛atkowy funkcj˛e Ψ(x, t = 0) = C exp(−mw(x − x0)2/2).
Funkcje unormowa´c (wyznaczy´c C) jak na zaj˛eciach z iteracji w czasie urojonym. dla Ψ(x, t =
dt) przyjmiemy Ψ(x, t = dt) = Ψ(x, t = 0) × exp(−iωdt
2 ) (to nie jest dokładny wynik).
3
Przyj ˛a´c x0= 20 nm. Narysowa´c |Ψ(x, t)|2. Uwaga: wyprowadza´c np. co 500 albo co 1000 krok czasowy. (40 pkt)
4
Policzy´c warto´s´c oczekiwan ˛a poło˙zenia hxi(t) porówna´c z wynikiem klasycznym dla poło˙zenia cz ˛astki punktowej x(t) = x0cos(ωt) (uwaga dla przyj˛etej funkcji falowej przy t = 0 ´sredni p˛ed elektronu wynosi 0). (30 pkt)
5
Zmieni´c warunek pocz ˛atkowy na x0= 0. Jak zmienia si˛e w czasie g˛esto´s´c prawdopodobie´nstwa (20 pkt) ?
6
Zostawiamy x0 = 0. Zerujemy potencjał. Mamy wtedy pakiet w niesko´nczonej studni potencja-łu. Jak zmienia si˛e w czasie g˛esto´s´c prawdopodobie´nstwa (10 pkt) ?
