ZADANIA Z TEORII APROKSYMACJI (1) Wyka˙z wprost z definicji, ˙ze przestrze´ n ci ag´
,ow niesko´ nczonych
c
0:= {(x
1, x
2, . . .) : x
i∈ R, lim
i→∞
x
i= 0}
(a) nie jest ´sci´sle wypuk la (a tym samym nie jest te˙z jednostajnie wypuk la), (b) nie jest refleksywna.
(2) Wyka˙z wprost z definicji, ˙ze przestrzenie L
1(a, b) i L
∞(a, b) nie s a ´sci´sle wypuk le.
,(3) Wyka˙z, ˙ze L
p(a, b) dla 1 < p < ∞ jest jednostajnie wypuk la (a wi ec te˙z ´sci´sle
,wypuk la).
(4) Wyka˙z, ˙ze je´sli funkcja f : [a, b] → R jest wypuk la to dla dowolnego c zbi´or {x ∈ [a, b] : f (x) ≤ c} jest wypuk ly.
(5) Znajd´ z w L
p(0, 1) (1 ≤ p < ∞) wszystkie elementy optymalne dla funkcji f (t) = t
2wzgl edem podprzestrzeni (a) span(1), (b) span(1, t).
,1
