GRUPA 2
Zadania (V) z mechaniki kwantowej na ±rod¦, 26-go marca, 2014.
0. Wszystkie niesko«czone zadania z poprzednich ¢wicze«.
1. Cz¡stka w niesko«czonej studni potencjaªu z barier¡ w ±rodku:
V (x) =
U, (U > 0) |x| < d 0, d < |x| < L
∞ L < |x|
(1)
• Wyprowadzi¢ warunki zszycia dla rozwi¡za« symetrycznych i antysymetrycznych.
• Rozwi¡za¢ numerycznie (Mathematica) te warunki dla dwóch najni»szych stanów (symetrycznego i antysymetrycznego) uzy- skuj¡c energie wªasne ES i EAdla tych stanów. W obliczeniach numerycznych przyj¡¢: m = ¯h = 1, L = 2, d = 1, U = 3. Wsk.
wygodnie jest u»y¢ funkcji FindRoot[lhs[x]==rhs[x],{x,x0}], obie energie wªasne s¡ w okolicy warto±ci 2.3 . Sprawdzi¢, »e energie te wynosz¡ ES = 2.14368 i EA= 2.31807.
• Skonstruowa¢/wykre±li¢ odpowiadaj¡ce funkcje wªasne φS(x)i φA(x)oraz g¦sto±ci prawdopodobie«stwa. Przyj¡¢ normalizacj¦
A = 1 gdzie A jest ogóln¡ staª¡ normalizacji Zinterpretowa¢
uzyskane wyniki wykre±laj¡¢ stany i prawdopodobie«stwa na tle potencjaªu.
• Skonstruowa¢ zale»ne od czasu rozwi¡zanie
ψ(x, t) = e−¯hiEStφS(x, t) + e−¯hiEAtφA(x, t) (2) i prze±ledzi¢ (wykresy, animacja) zale»no±¢ od czasu (0 < t <
30)odpowiadaj¡cej mu g¦sto±ci prawdopodobie«stwa. Jaki wa- runek pocz¡tkowy speªnia ten stan? Poda¢ interpretacje zaob- serwowanego ruchu (ewolucji czasowej). Skonstruowa¢ funkcj¦
falow¡, która dla t = 0 byªa gªównie w prawej(lewej) cz¦±ci studni.
2 powt. Wyprowadzi¢ zwi¡zek ~j = ~vρ.
1
3. Obliczy¢ g¦sto±¢ pr¡du prawdobodobie«stwa dla cz¡stki kwanto- wej b¦d¡cej w stanie wªasnym operatora p¦du
ψp(x) = 1
√ Lexp
±i
¯ hpx
(3)
(Wybór normalizacji oznacza, »e w obj¦to±ci L jest 1 cz¡stka). Po- równa¢ wynik kwantowy z wzorem klasycznym.
4. Nasze wnioski nt. prawdopodobie«stwa penetracji obszaru nie- dost¦pnego klasycznie w sko«czonej studni byªy bª¦dne! Uzasadni¢
dlaczego. Wsk. Wykre±li¢ funkcj¦ falow¡ stanu podstawowego i zbada¢ zale»no±¢, jej warto±ci w punkcie zszycia, od U i d. Czy ta warto±¢ oscyluje? Czy mo»e by¢ zero? Uzasadni¢ obserwacje
`do±wiadczalne' rachunkiem analitycznym.
J. Wosiek
2
