STATYKA PŁYT CIENKICH
Płyty są jednym z częściej wykorzystywanych elementów konstrukcji. Spotkać je można niemal w każdej budowli lub konstrukcji mechanicznej. Geometryczny kształt płyty zdefiniować można podobnie jak tarczy (rozdz.VI), różnica dotyczy jednak sposobu obciążenia. Płyty obciążone są obciążeniem normalnym do swojej powierzchni, co wywołuje ich zginanie, nieobecne przy deformacji tarczy.
Analityczne metody wyznaczania ugięć i sił wewnętrznych w płytach zapoczątkowały prace Eulera, Bernuliego, Germain, Lagrange’a, Poissona, Naviera, które powstały na przełomie XVIII i XIX wieku [16]. Literatura poświęcona teorii płyt jest niezwykle bogata, zainteresowanym polecić można m.in. książki [9], [11], [18].
Metodami analitycznymi (przede wszystkim metodą szeregów Fouriera) uzyskano rozwiązania wielu ważnych zagadnień statyki i dynamiki płyt, zawodzą one jednak przy problemach o złożonych warunkach brzegowych lub w przypadkach skomplikowanych kształtów płyt. Uniwersalną metodą okazała się tu metoda elementów skończonych, która dostarcza rozwiązań przybliżonych, ale dostatecznie dokładnych dla zastosowań praktycznych.
7.1. PODSTAWOWE ZAŁOŻENIA I RÓWNANIA KLASYCZNEJ TEORII PŁYT
Przyjmiemy, że płyty, którymi będziemy się zajmowali spełniają założenia klasycznej teorii płyt cienkich [18]:
a) grubość płyty jest mała w porównaniu z jej pozostałymi wymiarami; b) ugięcia płyty są małe w porównaniu z jej grubością;
c) płaszczyzna środkowa płyty nie ulega odkształceniu;
d) punkty leżące na normalnych do płaszczyzny środkowej przed odkształceniami, leżą na normalnych do powierzchni środkowej po odkształceniu;
e) naprężenia normalne do płaszczyzny płyty mogą być pominięte.
Z punktu d) tych założeń wynika, że przemieszczenia punktów leżących wewnątrz płyty zmieniają się liniowo na jej grubości (Rys.7.1):
u z w x x = -¶ ¶ , u z w y y = -¶ ¶ , uz = ( , )w x y . (7.1)
Rys.7.1 Odkształcenia wyrażą się więc zależnościami:
e ¶ ¶ ¶ ¶ x x u x z w x = = - 22 , e ¶ ¶ ¶ ¶ y y u y z w y = = - 22 , g ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ xy x y u y u x z w x y = + = -2 2 . (7.2)
Wektor odkształcenia można zatem przedstawić w postaci:
e = -z
∂
w(x,y), (7.3)gdzie wektor
∂
jest wektorem operatorów różniczkowych:∂
= ¶ ¶ ¶ xx yy xy 2 é ë ê ê ê ù û ú ú ú, a ¶ ¶ ¶ xx x = 2 2 , ¶ ¶ ¶ yy y = 2 2 , ¶ ¶ ¶ ¶ xy x y = 2 .Założymy płaski stan naprężenia w płycie, stąd wektor naprężenia wyznaczyć będzie można następująco:
s = D e = -z D
∂
w(x,y), (7.4)gdzie D jest macierzą stałych sprężystych określoną dla PSN:
D= - -é ë ê ê ê ê ù û ú ú ú ú E 1 1 0 1 0 0 0 1 2 2 n n n n .
Wprowadzimy teraz pojęcia sił wewnętrznych (momentów i sił poprzecznych - Rys.7.2): Mx xzdz h h = -
ò
s / / 2 2 , My yzdz h h = -ò
s / / 2 2 , Mxy xyzdz h h = -ò
t / / 2 2 , Qx xzdz h h = -ò
t / / 2 2 , Qy yzdz h h = -ò
t / / 2 2 . (7.5)Rys.7.2
Równowaga infinitezymalnego elementu płyty pokazanego na Rys.7.2b prowadzi do układu równań:
¶ ¶ ¶ ¶ Q x Q y q x y x + y + = ( , ) 0 , ¶ ¶ ¶ ¶ M x M y Q x xy x + = , ¶ ¶ ¶ ¶ M x M y Q xy y y + = . (7.6)
Po wykonaniu całkowań (7.5) przy uwzględnieniu (7.4) otrzymamy:
M D w x w y x = - + æ è ç ö ø ÷ ¶ ¶ n ¶ ¶ 2 2 2 2 , M D w y w x y = - + æ è ç ö ø ÷ ¶ ¶ n ¶ ¶ 2 2 2 2 ,
(
)
M D w x y xy = - 1 -2 n ¶ ¶ ¶ , (7.7)gdzie D oznacza tzw. sztywność płytową zdefiniowaną równaniem:
(
)
D= Eh -3 2 12 1 n . (7.8)Z dwóch ostatnich równań (7.6) otrzymujemy związki określające siły poprzeczne:
Q D w x w x y x = - + æ è ç ö ø ÷ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ 3 3 3 2 , Q D w x y w y y = - + æ è ç ö ø ÷ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ 3 2 3 3 . (7.9)
Podstawiając siły poprzeczne do pierwszego z równań (7.6) otrzymamy: ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ 4 4 4 2 2 4 4 2 w x w x y w y q x y D + + = ( , ) . (7.10)
Jest to biharmoniczne cząstkowe równanie różniczkowe, które powinna spełniać funkcja ugięcia w(x,y)w obszarze płyty. Na krawędziach płyty powinny być spełnione warunki brzegowe: a) w = 0, ¶ ¶ w n = 0 - na krawędzi utwierdzonej, b) w = 0, ¶ ¶ 2 2 0 w
n = - na krawędzi swobodnie podpartej, c) Mn = 0, Vn = 0 - na krawędzi swobodnej.
W warunkach tych n oznacza kierunek normalnej do krawędzi a Vn jest siłą
zredukowaną wprowadzoną w 1850 r. przez Kirchhoffa [18]. Siła ta łączy wpływ momentu skręcającego Mns oraz siły poprzecznej Qn na brzegu swobodnym (Rys.7.2b):
(
)
V Q M s D w n w n s n n ns = - = - é + -ë ê ù û ú ¶ ¶ ¶ ¶ n ¶ ¶ ¶ 3 3 3 2 2 , (7.11)gdzie n oznacza kierunek normalnej do brzegu, a s stycznej do brzegu płyty.
Ta modyfikacja warunków brzegowych okazała się niezbędna, gdyż równanie czwartego rzędu (7.10) nie może spełniać na brzegu trzech warunków, które wynikają z wymogów znikania naprężeń na swobodnym brzegu:
7.2. TRÓJKĄTNY ELEMENT SKOŃCZONY PŁYTY CIENKIEJ
Pokażemy teraz sposób konstruowania macierzy sztywności elementu trójkątnego płyty cienkiej (Rys.7.3).
Rys.7.3 Wprowadzimy też kilka wygodnych oznaczeń:
– w(x,y) - oznacza przemieszczenia powierzchni środkowej elementu;
– j ¶ ¶ x w y
= - jest kątem obrotu elementu wokół osi x;
– j ¶ ¶ y w x
Węzeł elementu płytowego jak widać na Rys.7.3 ma trzy stopnie swobody. Zatem wektory przemieszczeń węzłowych elementu w układzie lokalnym zapisać można następująco: u'i i ix iy w = é ë ê ê ê ù û ú ú ú j j , u'j j jx jy w = é ë ê ê ê ù û ú ú ú j j , u'k k kx ky w = é ë ê ê ê ù û ú ú ú j j , (7.12)
a wektor przemieszczeń elementu:
u u u u ' ' ' ' e i j k = é ë ê ê ê ù û ú ú ú . (7.13)
Siły węzłowe skierowane są analogicznie do przemieszczeń (Rys.7.3b), stąd analogiczne oznaczenia wektorów sił węzłowych:
f 'i i ix iy Q M M = é ë ê ê ê ù û ú ú ú, f 'j j jx jy Q M M = é ë ê ê ê ù û ú ú ú, f 'k k kx ky Q M M = é ë ê ê ê ù û ú ú ú. (7.14)
Wektor sił węzłowych elementu zapiszemy zatem następująco:
f f f f ' ' ' ' e i j k = é ë ê ê ê ù û ú ú ú . (7.15)
Powierzchnia odkształconego elementu aproksymować będziemy wielomianem trzeciego stopnia zaproponowanym przez J.LTochera w 1962 r.:
(
)
w x y( , )=a1+a x2 +a y3 +a x4 2 +a xy5 +a y6 2 +a x7 3+a x y8 2 +xy2 +a y9 3 = = hT a, (7.16) gdzieh= 1 2 2 3 2 2 3 x y x xy y x x y xy y + é ë ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú , a= a a a a a a a a a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 é ë ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú .
Współczynniki a1 ... a9 funkcji w(x,y) wyznaczymy z warunków brzegowych w
węzłach i, j, k:
w x y( i, i)=wi, jx(x yi, i)=jix, jy(x yi, i)=jiy, w x( j,yj)= wj, jx(xj,yj)=jjx, jy(xj,yj)=jjy,
w x( k,yk)=wk, jx(xk,yk)=jkx, jy(xk,yk)=jky.
(7.17)
Po wyliczeniu kątów obrotu otrzymamy:
j ¶ ¶ x w x y y a a x a y a x xy a y = ( , ) = 3 + 5 +2 6 + 8( 2 +2 )+3 9 2,
[
]
j ¶ ¶ y w x y x a a x a y a x a xy y = - ( , ) = - 2 +2 4 + 5 +3 7 2 + 8(2 + 2) . (7.18)Wstawimy teraz równania (7.16) i (7.18) do warunków brzegowych (7.17) otrzymując:
M a= 'ue, (7.19)
gdzie M jest macierzą kwadratową zależną od współrzędnych węzłów elementu.
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 1 0 0 0 0 0 0 0 0 wi 0 0 1 0 0 0 0 0 0 jix 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 jiy 1 xj 0 x2j 0 0 x3j 0 0 wj M= 0 0 1 0 xj 0 0 x2j 0 jjx (7.20) 0 -1 0 -2xj 0 0 - 3x2j 0 0 jjy 1 xk yk xk2 xk yk yk2 xk3 x yk2 k +x yk k2 yk3 wk 0 0 1 0 xk 2yk 0 xk2 +2x yk k 3yk2 jkx 0 -1 0 -2xk -yk 0 - 3xk2 -2x yk k - y2k 0 jky
Rozwiązanie równania (7.19) przedstawić można następująco:
a =M-1u'e, (7.21)
gdzie M-1 jest macierzą odwrotną do M. Znalezienie macierzy M-1 jest możliwe wtedy, gdy det M¹ 0(por. dodatek nr 1), co nie zawsze ma miejsce w naszym zadaniu, gdyż
(
)
det M= x y5j k5 2xk +yk -xj (7.22)
Oznacza to, że w przypadkach, gdy wierzchołek k elementu znajduje się na prostej o równaniu y= xj - 2 , to macierz M staje się osobliwa. Problem rozwiązuje się wówczas x przez zmianę lokalnego układu współrzędnych.
Obliczymy teraz wektor odkształcenia określony równaniem (7.3)
e e z z y x w z ( , ) ηTM 1u' B M 1u' ε=- ¶ =- ¶ - =- * -, (7.23)
gdzie B*=¶ hT jest macierzą prostokątną, której składowe są równe:
B* = + é ë ê ê ê ù û ú ú ú 0 0 0 2 0 0 6 2 0 0 0 0 0 0 2 0 2 6 0 0 0 0 2 0 0 4 0 x y x y x y ( ) . (7.24)
Porównując równanie (7.23) z definicją macierzy geometrycznej Be, otrzymamy
Be = -zB M* -1. (7.25)
Możemy zatem wykorzystać definicję macierzy sztywności zawartą w równaniu:
( )
( )
( )
K' B D B M B D B M / / e e e h h d z dz d =ò
= -ò
ò
= -* * -T T T V A V A 1 2 2 2 1(
)( ) ( )
= --ò
* * -Eh d 3 2 1 1 12 1 n M B D B M T T A A . (7.26)Po oznaczeniu całki występującej w tym równaniu przez K* i wykorzystaniu definicji sztywności płytowej mamy:
( )
K'e= D M-1 TK M* -1. (7.27)
Po wykonaniu mnożeń macierzowych pod znakiem całki w równaniu (7.26) mamy
K* = S -
ò
E d 1 n2 A A , (7.28)gdzie S
(
)
(
)
(
)(
)
(
)
(
)
(
) (
)(
) (
)
(
) (
)
(
)
= + - + -+ + + + - + + + + + - + + 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 4 12 4 12 0 0 0 0 2 1 0 0 4 1 0 0 0 0 4 0 4 12 4 12 0 0 0 12 0 12 36 12 36 0 0 0 4 4 1 4 12 4 3 4 3 8 12 2 2 2 2 2 2 2 2 n n n n n n n n n n n n n n n n x y x y x y x y x y x x x xy x xy y x x y y x xy x y xy x x xy y y(
)
(
)
n n n n + + é ë ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú xy y y xy y xy y 0 0 0 12 0 12 36 12 2 36 2 .Przy obliczeniu całek funkcji występujących w równaniu (7.28) pomocne okażą się związki: dA x yj k A
ò
= 1 2 ,(
)
xdA x yj k xj xk Aò
= 1 + 6 , ydA x yj k Aò
=1 6 2 ,(
)
x d2 1 x yj k x2j x xj k xk2 12 A Aò
= + + ,(
)
xydA x yj k xj xk Aò
= 1 + 24 2 2 , y d2 1 x yj k2 12 A Aò
= . (7.29)Macierz (7.26) określona jest w lokalnym układzie współrzędnych. Musimy zatem transformować ją do układu globalnego zgodnie z zależnością:
( )
Ke =R Ke 'e Re T.
Macierz obrotu elementu Rejest równa:
R R R R e i j k = é ë ê ê ê ù û ú ú ú , (7.30)
gdzie Ri, Rj, Rk są macierzami obrotu węzłów. Gdy we wszystkich węzłach używamy tego
samego układu współrzędnych (tak było w tym rozdziale) można użyć tylko jednej macierzy obrotu: Rj = Ri, Rk = Ri, Ri c s s c = -é ë ê ê ê ù û ú ú ú 1 0 0 0 0 , (7.31)
gdzie c= cosa , s= sina, a jest kątem między osiami X układu globalnego i osią x układu
lokalnego (Rys.7.4). Wartość 1 w pierwszym wierszu macierzy Ri jest konsekwencją faktu, że
osie Z i z są równoległe.
Rys.7.4
Element trójkątny, którego macierz sztywności otrzymaliśmy, odznacza się pewną wygodną cechą, mianowicie bardzo łatwo dyskretyzuje się przy jego pomocy płyty o dowolnych kształtach. Element ten w połączeniu z elementem trójkątnym tarczy może być użyty jako element powłoki (por. [12]).
Element o innych kształtach (prostokątne lub dowolne czworokąty) omówione są w książkach Bathego [1], Zienkiewicza [19],[20], Rao [13], i Rakowskiego [12].
LITERATURA
[1] K.J.Bathe: Finite Element Procedures, Prentice Hall Inc., 1996.
[2] M.Dryja, J. i M. Jankowscy: Przegląd metod i algorytmów numerycznych, WNT, Warszawa 1982.
[3] Y.C.Fung: Podstawy mechaniki ciała stałego, PWN, Warszawa 1969. [4] R.H.Gallagher: Finite Element Analysis, Prentice Hall Inc., 1975.
[5] A.George, J.Liu: A Computer Solution of the Large Sparce Positive Definite Systems, Prentice Hall Inc., 1981.
[6] M.T.Huber, Teoria sprężystości, PWN, Warszawa 1954.
[7] B.M.Irons, S.Ahmad: Techniques of Finite Elements, Wiley, New York 1980.
[8] P.Jastrzębski, J.Mutermilch,W.Orłowski:Wytrzymałość materiałów, tom I i II, Arkady, Warszawa 1985.
[9] Z.Kączkowski: Płyty - obliczenia statyczne, Arkady, Warszawa 1980. [10] W.Nowacki: Mechanika budowli, PWN, Warszawa 1976.
[11] W.Nowacki: Dźwigary powierzchniowe, PWN, Warszawa 1979.
[12] G.Rakowski, Z.Kacprzyk: Metoda elementów skończonych w mechanice konstrukcji, OWPW, Warszawa 1993.
[13] S.S.Rao: The Finite Element Method in Engineering, Pergamon Press, 1982.
[14] C.T.F.Ross: Finite Element Methods in Engineering Science, Ellis Horwood Ltd., 1990. [15] J.Stoer: Wstęp do metod numerycznych, PWN, Warszawa 1970.
[16] S.P.Timoshenko: Historia wytrzymałości materiałów, Arkady, Warszawa 1966. [17] S.P.Timoshenko,J.N.Goodier: Teoria sprężystości, Arkady, Warszawa 1962.
[18] S.P.Timoshenko, S.Woinowsky-Krieger: Teoria płyt i powłok, Arkady, Warszawa 1962. [19] O.C.Zienkiewicz: Metoda elementów skończonych, Arkady, Warszawa 1972
[20] O.C.Zienkiewicz, R.L.Taylor, The Finite Element Method, Vol.1 i 2, McGraw Hill Book Company, 1994.
