ROCZNIKI POLSKIEGO TOW ARZYSTW A MATEMATYCZNEGO SERIA I: PRACE MATEMATYCZNE V (1901)
Oi Gt j a n-f u (Poznań)
O bezwzględnej zbieżności szeregów wielokrotny cli Walsha i Fouriera
Praca niniejsza składa się z dwóch części, w których zajmiemy się kolejno pewnymi zagadnieniami, dotyczącymi bezwzględnej zbieżności wielokrotnych szeregów Walsha-Fouriera oraz trygonometrycznych sze
regów Fouriera. Wpierw udowodnimy dla wielokrotnych szeregów Walsha- -Fouriera twierdzenia o bezwzględnej zbieżności typu Bernsteina-Zyg- munda, następnie sformułujemy dla szeregów tych twierdzenie M. Eiesza.
Wreszcie podamy pewne uogólnienia twierdzenia Levy’ego-Wienera i pokrewnych twierdzeń dla wielokrotnych szeregów trygonometrycznych Fouriera, dotyczące szeregów postaci
oo
У I przy 0 < a < l . wij — oo
1.0. W dalszym ciągu będziemy się posługiwali definicjami z pracy [3]. Przez {Rn(x), n — 0 , 1 , 2 , . . . } oznaczać będziemy układ Bademachera, a przez \Wn(x), n — 0 , 1 , 2, ...} układ Walsha. Operacja będzie określona w sposób następujący: Mech
oo oo
301 ?/€<(*b 1), os — 2» > У ~ 2» ’
n = l n= 1
gdzie xn i yn przyjmują wartość 0 lub 1; w przypadku gdy x lub у jest liczbą diadyczną < 1, bierzemy rozwinięcie skończone. Piszemy wówczas
OO ^
x + y = ^ , gdzie Cn = xn + yn{ m od2); С» = 0 , 1 .
n=* 1
W przestrzeni euklidesowej w-wy miarowej En = { (xl} . .., xn), — o o <
< xXJ . .., xn < co} określa się układ Walsha wzorem
W m x . . . m n {0 C x i • • • > 0Gn ) = W m ^ ( X - j ) . . . W m n (0Cn ) i
gdzie Włn Wm (®w) są funkcjami Walsha jednej zmiennej,
108 Ci Gruan-fu
mx, . .. , mn = 0 , 1 , 2, ... Układ funkcji { Wmi т>ь(x17 . . . , x n)} jest oczy
wiście układem ortonormalnym zupełnym w X(<0,1>“ ), a nadto
2/l? • • •» ®n~Ь Уп) — • • • j ®n) ^ГЩ...тп(У1> • • • ? Уп)
dla ustalonego (y17 ..., yn) i dla wszystkich {xx, ..., xn) z wyjątkiem zbioru przeliczalnego, zależnego od (ylt ..., yn). Stąd dla f{xi7 ..., xn) eU(<0, 1>") mamy
1 i _ i i
/••• J / (® i+3L , + J7(®i, " • ,x n)dx1...dxn'7
0 0 0 0
dowód powyższej równości przebiega podobnie jak w [3].
1.1. Liczby
i i
(*‘m1...mn(f) = = J ” ’ J fit'll • • • J *^ и ) • • • j • >dxn7 0 o
nazywamy współczynnikami Walsha-Fouriera funkcji f(x17..., xn), a sze
reg
co
am1...mn{f)Wm,1...mn{ffili • • •j ®n) т 1.” ..т й= 0
szeregiem W alsha-Fouriera tej funkcji. Jasne jest, że bezwzględna zbież
ność tego szeregu równoważna jest zbieżności szeregu OO
X 1йЧ...тп(/)|.
1.2. W pracy [6] udowodniono twierdzenie typu Bernsteina-Zyg- munda dla układu trygonometrycznego w En. Wykażemy obecnie, że twierdzenia te są również prawdziwe dla wielokrotnych szeregów Walsha- Fouriera.
1.21. Zdefiniujemy H = (k17 . .. , ks), żlH( / ; colt . .. , xn7 hu . . . , hn), шн (хч, ...,ocln_8) h17 . . . , hn), ójĘ{hx1 . . . , hn), V f(f) i A Vl_ ,n tak jak w [6]
z tą różnicą, że zamiast zwykłego dodawania ,, + ” używamy operacji a przedziały < 0 , 2 ) n i (al7 bf) ... (an, bn} zastąpimy przedziałem
<0,1>W.
1.22. Przy powyższych oznaczeniach zachodzą następujące twier
dzenia.
Tw i e r d z e n i e A. Załóżmy, że określona w En funkcja f(x17. . . , x n) spełnia następujące warunki'.
1. f(x 17 ..., xn) jest okresowa z okresem 1 w każdej zmiennej;
2. feL p((0 , 1>те) dla pewnego 1 < p < 2;
Szeregi Walsha i Fouriera 109
3. dla pewnej Masy 'K podzbiorów zbioru N = (1, 2, ... , n) przy każ
dym niepustym Я e 9C istnieje taka liczba rH, że 1 < r „ < oo • dla Я <f. 9i piszemy rH = p. Prócz tego załóżmy, że dla pewnych /?х, .. •, > 0 oraz 0 < у < 2 zachodzą warunki
OO o o S
(a,) % ... £
’’КГ1 ' V 1 i i
X { / . . . / [ « * ( * , , , x,n_s)-,2- 1,
....
2-^r~rrldxh...doiln_sf Pdla H e 9(?, o o
00 00 s
(a2) 2 ... 2 2<-i г . . . , 2 " ' « ) 7 < oo
”*1 = 1 ”*s=l
dla Н 4 % Я ф O, gdzie H = (fcx, . .., &s), Я = N —H = (Zx, . .., Zw_s).
OO
Wowosoe ^ (w 1+ l f 1...(rn łl+ l f w!<»ł№l...mft( / ) r <
?»х,...,даи=о
Twierdzenie B. JeżeZi го twierdzeniu A warunki (ax) г (a2) zastą
pimy następującymi:
„H (Ьх) d) (OC^ , . . ., Жln—s ? ^1 ? • • • J ^n) ^ (*^x > • • • j ®In_ e) ^*x • • •
dla He 9t, gdzie (Zx, ..., Zn_s) = Я , i i
/• • • / [KH{xh, ...,X in_s)]p- rHdxh...docin_ s < oo o o
jt p(8k. + l —y)
oraz щ > --- ł--- dla rH Ф p, fik. < у —1 dla rH = p;
y { p -r H) %
(b2) <»?(Лх, .. •, К) < ц 1 • • • hi
dla О Ф Я е 9Ć, ой^ге К н jest stalą i щ > ? ^ k% — — У ^ У ^ ур
оо
Zauważmy, że jeżeli klasa CK jest pusta, to twierdzenia powyższe dają uogólnienie twierdzenia Bernsteina, a gdy jest ona klasą wszystkich niepustych podzbiorów zbioru A = (1., 2, ..., n), dają one uogólnienie twierdzenia Zygmunda.
1.23. Twierdzenie В wynika z twierdzenia A, to ostatnie wynika na
tomiast z następującego lematu, tak jak w [6].
110 Ci G u a n - f u
Lemat. Niech 1 r ф р < 2 (p Ф 1), 1/p-j-l/^ = i. Oznaczmy dla danego {v1, ...,v n) przez H = (Teu ... , Te8) zbiór H = {г: v* Ф 0} oraz li = N —H = {^, Z*-*}- Niech nadto feL p((0, l ) n).
W ówczas
i i
; 2 - « { / . . . / [ЙЯ(Ж11, 2 , 2 - » f - - x 0 0
1 1
X [ / . . . /\ d H ( f - , ; 2 - 1 - 1 , . . . , ^
D o w ó d . Zauważmy najpierw, że zachodzi następująca równość
(*) —
am1...mn{f) J J [Wk.(hk.)-1].i — l
Równość powyższa wynika przy s = 1 z 1.0, a w przypadku ogólnym лгу starczy zastosować indukcję zupełną.
Mech teraz ( w , , . .. , mn)eAVv^ n przy v .-фО (i = 1 , 2 , . . . , n). W ów
czas mamy 2”i~1 ^ m£ < 2”% więc
(**) |Wmfc.(2-^ .)-.l| = 2.
Aby wykazać równość (**) zauważmy, że 2Vkr l ф mk. < 2*ki, więc mk. = 2*fci_1 + 2T2 + 2T3-f ... + 2T<, gdzie rA,.—l > r 2 > r3 > ..! > rt > 0 są liczbami całkowitymi. Stąd
R 4 . ( 2 - ^ ) = Л,**-1 (2- ”^) J?ł2 (2- ^ ) ... RH (2~чч) .
Jednak N„ki-i(oo) = — 1 dla 2“ ^ < ж < 2 ~ ,'А:г + 1 i Вт.(л?) = 1 dla 0 < ж < 2 “ ^ + 1) ( / = 2 , 3 , . a stąd RT.{2~V4) = I (j = 2 , 3 , . .. , t).
Zatem WnlJ,_{2~Vki) — —1, skąd wynika równość (**).
Uwzględniając równości (*) i (**) i nierówność F. Bieszą i ¥. Haus- dorffa, otrzymujemy przy hL — 2~4 (i = 1 , 2 , . .. , n),
4 ..Cnn( j n)\Q <
\ a ' n i - m n(/)Г - A 2 " ‘
( M 1 > • • • .. , V n
0 0
1 1
'i? • 2 ~
• • i %Ajn J " > . . . , 2 ~ ' » ) \ V d a ! :
0 0
n — s r a z y
l l
» * * п - в » 2 1 '
x \ j. . . f \ A n ( f’, 001, . . . , ,X'W. У* • 1 ~ J,j? • • • , 2
|(T/C <r"
o o
s razy
iSzeregi W ais ha i Fouriera 111 1.3. Sformułujemy teraz dla szeregów wielokrotnych Walsha- Fouriera twierdzenie M. Itiesza, znane dla szeregów trygonometrycznych. *
Niech funkcja feL'z{(Q, 1 >n) będzie f unkcją okresową o okresie 1 w każ
dej zmiennej. Szereg Walsha- Fouriera tej funkcji jest bezwzględnie zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy
i i
Jf (&‘i j • • • J Я'и) = J • • • J (f ('*'1 ~Ь t i , • • • , X n ~\~ t-n) h { l l 1 • • • » I n ) • • • dt.n
o o
prawie wszędzie, gdzie funkcje g, h e L2(<0, l ) w) są okresowe o okresie 1 w każdej zmiennej.
Dowód powyższego twierdzenia przebiega podobnie jak w przypadku klasycznym (patrz [5]).
1.4. Zamiast układu Walsha o wartościach rzeczywistych rozważać też można uogólniony układ Walsha o p-wartościach zespolonych przy p > 2 (patrz [1]). Analogiczne twierdzenia do 1.22 i 1.3 pozostają wówczas prawdziwe. Co więcej, twierdzenia analogiczne do powyższych można również udowodnić przy odpowiednich założeniach dla układów ortonor- malnych multyplikatywnych rzędu p. Wystarczy w tym celu odwzorować przedział <0, l ) ’1 na siebie z zachowaniem miary tak, by dany układ multy- plikatywny przeszedł na uogólniony układ Walsha o p wartościach (patrz np. [4], str. 52). Jako przykład, sformułujemy założenia dotyczące układu
{/!*(#)} multyplikatywnego rzędu 2 w przypadku jednej zmiennej x : Oznaczmy przez Pk = {x : Afe(a?) = 1}, Nk = {x : ).k{x) = —1} oraz Ek = Pk lub Nk. Jeżeli dla prawie wszystkich (dokładniej: z wyjątkiem przeliczalnej ilości) wyborów Ek jako Pk lub Nk, zbiór Ek składa się
Je
z jedynego punktu, wtedy istnieje odwzorowanie T przedziału < 0 ,1 ) na siebie (z dokładnością do miary zero), takie że
1. T jest prawie wszędzie jedno-jednoznaczne, 2. vk{x) = Wk{Tx),
3. T jest mierzalnym odwzorowaniem,
4. dla każdego zbioru mierzalnego E, pifr~lE) = p(E), gdzie |гл(а?)}
jest pewnym nowym uporządkowaniem układu |Afc(rr)|, a p(- ) jest miarą Lebesgue’a (patrz [2]). Stąd
i i i
ff{x)vk(x)dx = ff{x )W k{Tx)dx j f { T - 1x)Wk{x)dx,
b o o
więc jeżeli funkcję f(x) zastąpimy funkcją g{x) = f ( T ~ 1x), to zagadnienie dotyczące bezwzględnej zbieżności według układu {vk{x)), czyli {Aft(a?)}, redukuje się do rozpatrywania zbieżności bezwzględnej według układu Walsha.
112 Ci Gruan-fu
2.0. Udowodnimy obecnie pewne uogólnienie twierdzenia Levy’ego- Wienera (patrz np. [7], str. 245 i [8]). Będziemy używać następujących oznaczeń:
x = (xx, , xn) — zmienny punkt w n-wymiarowej przestrzeni eukli- desowej En,
a — liczba, spełniająca nierówności 0 < a < 1,
/ — funkcja całkowalna w <0,27c>№ i okresowa w każdej zmiennej o okresie 2nf
c,„, = (2тс 2rc 0
2tu
0 / = / ( * 1) •• • ? ®»)
oo
m (/)б —*Óftlajl + --* + m»a:n), wij,..,,,mn=-oo M
U ff > = i I< V . . . « „ w r - -00
2.1. Podamy teraz dwa lematy, potrzebne w dalszym ciągu.
L e m a t 1. Zachodzą następujące związki:
P/||(a) = |fc|a||/||(a) {k — liczba zespolona),
i i
L e m a t 2 . Załóżmy, że pochodne
diP^+- +Pn)f{x 1, . .. , xn) dxPl... dx%n
istnieją i są ciągłe w < 0 , 2 7 t > №. Wówczas
(° .. ., р п < Р ‘, Pa > 1 ) ,
ll/ll"" ■< к У ... У f max
p x=o,p %>n = o , p • а:б<0>2п>
gdzie К jest stalą niezależną od f.
D o w ó d .
@ mx...m n { f )
d{Vl+'"+Pn)f{x 1, ..., a?n_) j a = A dxPl... dxPn
2 i t 2 тс
~(2n)n (imx)Pl.. • ( n J ' " J da??1... da#1 - X
gdzie pi — p przy м* Ф 0, = 0 przy mt = o ; w tym ostatnim przypadku oznaczymy (m J Pi — \т{\гч = |WilPl° = 0° = i . Stąd
С. , л < ______1... max !
,ftl■■■*"“ ' "" \mx\Pl... |mn \Pn a»<o,2n>« I da?!1... dxPn
Szeregi Wolska i Fouriera 113
więc
oo т\,...,тп= — со
max
-же<0,2тг>и
d (Vl + . . . + P n) f ( X l , . . .< X n )
doff1... дх%п
2.2. Tw i e r d z e n i e 1. Jeżeli OO
oraz С — {£: C = f(x ), ^e (0, 2•л:)”'} , а Ф{'С) jest funkcją zmiennej zespo
lonej analityczną na O, to
D o w ó d . Ponieważ O jest zbiorem zwartym, więc istnieje taka liczba 0 < g < 1, że Ф{С) jest analityczną w każdym kole K[f(x)\2g) = {£:
|£—/ ( # ! , %n)\ < 2^}. Mech g = 8(x) = 8( хг, xn) będzie sumą częściową szeregu Fouriera funkcji f(x l , . . . , xn), taką że
dla każdego a?e(0, 2тх}п, więc Ф [$(&) + оегв] jest analityczna ze względu na każdą zmienną xt oraz wszystkie pochodne cząstkowe tej funkcji są funkcjami ciągłymi n + 1 zmiennych хг, ..., xn i в. Stąd na mocy lematu 2
ЦФ [$(#) + ge<e]|l(o) gdzie А ф jest stałą niezależną od 0.
Mech teraz
|Ф[/]!1(о) < oo.
[ max |/(*)-S (*)| ]“ < ||/-Я||<°> <
X e < . 0 , 2 n } n
Ponieważ
\S(x) I- дегв—f(x)\ < \S(co)-f(x)\ + g ^
0(®; 0) = в) = Ф[8(х)+де*в]
8{x) + geie—f{x) to
oo
<?(»; o) = Ф[Я и + (,«•»] у ( /- « ) * < ,
Roczniki PTM - Praco Matematyczne V
114 Ci G u a n - f u
więc wraz z nierównością
max |Ф[Я(а>) + eeie]\ < {||Ф[Я(о?) + е^в]Ц(в>}1/в < U * )1/e,
#б<0,2тг>п 0б<О,2л>
otrzymujemy
00 00 / ^7
£ m S ( x ) + eeie] ( f -S ) ke- ke-ue\ < V ( A i )1'“ ( ® ) ' V *
=0 i*=« ' ^ '
< OO.
fc= 0
Znaczy to, że szereg jest jednostajnie zbieżny ze względu na % i 0, a.więc ze wzoru Oauchy’ego wynika, że
2rc
n n = Ф [ /( * )] = 2- J /(J ., e« =
2ir 00
= ~ J 9(x’,Q)de = ^ Q - k(f—S)kx
0 ft=o
. 2n
X k r I Ф[-8(я?)+ов<в]е -,'Агвйв1
" )
Jednak
27Г
y>{ar, /с)||(а) = — I Ф\8{х)+де*°]е-ш1 Г 2тс J
dO
spełnia założenia lematu 2, zatem м - - , щ р < к J T . . . £ max
Pj^ 0 , P Р п = 0 . р " ж б < 0 , 2 т г )
а(7,1+- +^)Ф[/8г( ж ) + ^ е]
U ,
(fc = o , 1, . . . ) ;
skąd, uwzględniając lemat 1, ostatecznie otrzymujemy
OO
mm™
< V lle_A:ll<“)ll(/—«Jll*”*llv(-; <к—0
^ Q Аа( ~ ) А ф < 2А ф < oo.
fc=o
Tw i e r d z e n i e 2. JeżeZi OO
/ ( * „ . . . , * „ ) = у ...H V W t
ml»«.'jwn5=3“ 00
Szeregi Walsha i Fouriera 115
||/||(a) < oOj ciąg \Фк(£)} jest jednostajnie zbieżny do 0 w pewnym otoczeniu krzywej G, wartości funkcji f{x x, xn) i wszystkie Фк(С) {к = 1 , 2 , . . . ) są analityczne w tym samym otoczeniu krzywej G, to
lim. ЦФ* [/]t|<CT) = 0.
A--* 00
D o w ó d . Z założeń wynika, że jeżeli w twierdzeniu 1 zastąpimy funkcję Ф(С) funkcją ФА(£), to będziemy mogli wybrać takie q i S(x), które będą niezależne od k. Stąd, zupełnie tak samo jak w twierdzeniu 1, otrzymujemy
?>!= 0,PZ
У | max I =0 P '•*е<0,2тг>№
n ’ 0е<О,2тт>
d^i+-+pn)0kis{x )+ g eie]
dxf1... дХпп
Ponieważ {#*(£)} jest jednostajnie zbieżny do 0, więc z twierdzenia Weier- strassa o jednostajnie zbieżnym szeregu funkcji analitycznych wynika, że Ит||ФА[/]||(в) = 0.
fc->00
Tw i e r d z e n i e 3 . Jeżeli
to
lll\ ,.-.,m n = -0 0
lim(|!/*||(a))1/fc = ( max |/|)“.
, k->oo are<0,2ir>n
D o w ó d . Niech stała M > max |/|, а ФА(С) = Ск/М к', z twierdze-
xe<.0,2nyn
nia 2 wynika, że
i J L
!
мк(«)
■więc ll/fc||(a) < LM ka, gdzie 0 < L < oo jest pewną stałą, skąd iim(||/fc||(a))1/fc < Ма,
k-> oo
a zatem
iim(||/fc||(ał)1/fc < ( max |/|)“ .
Л-» oo же<0,2гс>и
Ponadto mamy
( max |/|)« = ( max \ f\ fk < (ll/ Г ) 1'*,
xe(.0,2nyn аге<0,2тг>п
skąd
( max |/|)“ < Um(|t/fc||<“>),,fc;
116 Ci G u a n - f u
z ostatniego wzoru otrzymujemy
lim(||/*||(a))1/fc = ( max |/|)“ .
xe(0,2n>n
W zakończeniu pragnę podziękować prof, dr W. Orliczowi za życzliwą pomoc i cenne uwagi w trakcie pisania pracy.
Prace cytowane
[1] H. E. C h r e s t e n s o n , A class o f generalized Walsh functions, Pacific Journ.
of Math. 5 (1955), str. 17-31.
[2] P. C iv in , Multiplicative closure and the Walsh functions, ibidem 3 (1952), str. 291-29 5.
[3] N. J. F in e , On the Walsh functions, Trans. Amer. Math. Soc. 65 (1949), str. 372-41 4.
[4] — On groups o f orthonormal functions (I), Pacific Journ. of Math. 5 (1955), str. 5 1 -5 9 .
[5] G. H. H a r d y and J. E. L i t t le w o o d , On the absolute convergence o f Fourier series, Journ. London Math. Soc. 3 (1925), str. 250-253.
[6] J. M u s ie la k , On absolute convergence o f multiple Fourier series, Ann. Polon.
Math. 5 (1958), str. 107-120.
[7] A . Z y g m u n d , Trigonometric series, Vol. I, second edition, Cambridge 1959.
[8] И. E. Ж а к , Об одной теореме Леви об абсолютной сходимости рядов Фурье, Успехи Мат. Наук 10, 1 (63) (1955), str. 107-112.
Чи Ру а н-ф у (Познань)
ОБ АБСОЛЮ ТНОЙ СХО ДИ М О СТИ К Р А Т Н Ы Х Р ЯДО В УО Л Ы П А И Ф УРЬЕ
РЕЗЮМЕ
Работа состоит из двух частей. В первой части рассматривается некоторые вопросы, касающиеся абсолютной сходимости кратных рядов Уолыиа-Фурье.
Сначала доказывается теоремы типа Бернштейна-Зигмунда, затем формируется теорему М. Рисса о свертке. Аналогичные теоремы можно доказать для муль
типликативных ортонормальных систем. Во второй части распространяемся теорему Леви-Винера об абсолютной сходимости рядов Фурье и некоторые ее следствия на кратные ряды Фурье; исследуется сходимость рядов вида
ОО
X I Omv ..mn \a , где 0< а < 1.
т1,...,тп~~со
В классической теореме рассматривается лишь случай п = а — 1.
Szeregi Walsha i Fouriera 117
Ci Gu a n-fu (Poznań)
ON AB SO L U TE C O N VERG EN C E OF M U LT IP LE W A L S H AND F O U R IE R SE R IE S
S U M M A R Y
This paper consist of two parts. In the first part we deal with some questions concerning the absolute convergence of multiple Walsh-Fourier series. First, we prove theorems of the Berstein-Zygmund type, then ive formulate M. Riesz’s theorem on convolution. Similar theorems may also be proved for multiplicative orthonormal systems. In the second part we give a generalization of the Levy-Wiener theorem on the absolute convergence of Fourier series and some of its corollaries for multiple trigonometrical Fourier series, concerning the series of the form
* OO
£ \Gm1...mn\a, where 0 < « < 1 . . ,mn — — oo
In the classical formulation, only the case n = a = 1 is considered.
